高中數(shù)學(xué) 3.2.1《復(fù)數(shù)的運算-復(fù)數(shù)的加法與減法》教案（2）新人教版選修2-2

1、3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運算法則，深刻理解它是乘法運算的逆運算過程與方法：理解并掌握復(fù)數(shù)的除法運算實質(zhì)是分母實數(shù)化類問題情感、態(tài)度與價值觀：復(fù)數(shù)的幾何意義單純地講解或介紹會顯得較為枯燥無味，學(xué)生不易接受，教學(xué)時，我們采用講解或體驗已學(xué)過的數(shù)集的擴充的，讓學(xué)生體會到這是生產(chǎn)實踐的需要從而讓學(xué)生積極主動地建構(gòu)知識體系。教學(xué)重點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算。教學(xué)難點：對復(fù)數(shù)除法法則的運用。教具準(zhǔn)備：多媒體、實物投影儀。教學(xué)設(shè)想：如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等即：如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=

2、c，b=d，只有當(dāng)兩個復(fù)數(shù)不全是實數(shù)時才不能比較大小教學(xué)過程：學(xué)生探究過程： 1.虛數(shù)單位:(1)它的平方等于-1，即; (2)實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立2. 與1的關(guān)系: 就是1的一個平方根，即方程x2=1的一個根，方程x2=1的另一個根是3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=14.復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實部，叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示*3. 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式: 復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即，把復(fù)數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式4. 復(fù)數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：對

3、于復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時，復(fù)數(shù)a+bi(a、bR)是實數(shù)a；當(dāng)b0時，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b0時，z=bi叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時，z就是實數(shù)0.5.復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：NZQRC.6. 兩個復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等即：如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d一般地，兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.如果兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)，就可以比較大小只有當(dāng)兩個復(fù)數(shù)不全是實數(shù)時才不能比較大小7. 復(fù)平面、實軸、虛軸：點Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi(a、bR)可用點Z(a，b)表示，這

4、個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸實軸上的點都表示實數(shù) 對于虛軸上的點要除原點外，因為原點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為(0，0)， 它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0表示是實數(shù).故除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)8復(fù)數(shù)z1與z2的和的定義：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9. 復(fù)數(shù)z1與z2的差的定義：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.10. 復(fù)數(shù)的加法運算滿足交換律: z1+z2=z2+z1.11. 復(fù)數(shù)的加法運算滿足結(jié)合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)講解新課：乘法運

5、算規(guī)則：規(guī)定復(fù)數(shù)的乘法按照以下的法則進行：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i.其實就是把兩個復(fù)數(shù)相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結(jié)果中把i2換成1，并且把實部與虛部分別合并.兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù).2.乘法運算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R).z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+

6、b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R). (z1z2)z3=(a1+b1i)(a2+b2i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3+(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a

7、2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可證：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R).z1(z2+z3)=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)(a2+a3)+(b2+b3)i=a1(a2+a3)-b1(b2+b3)+b1(a2+

8、a3)+a1(b2+b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)iz1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1計算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(

9、-2+i)(11-2i) (-2+i)= -20+15i.例2計算：（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.3.共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)通常記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為。4. 復(fù)數(shù)除法定義：滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復(fù)數(shù)x+yi(x,yR)叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記為：(a+bi)(c+di)或者5.除法運算規(guī)則：設(shè)復(fù)數(shù)

10、a+bi(a，bR)，除以c+di(c，dR)，其商為x+yi(x，yR)，即(a+bi)(c+di)=x+yi(x+yi)(c+di)=(cxdy)+(dx+cy)i.(cxdy)+(dx+cy)i=a+bi.由復(fù)數(shù)相等定義可知解這個方程組，得于是有:(a+bi)(c+di)= i.利用(c+di)(cdi)=c2+d2.于是將的分母有理化得：原式=.(a+bi)(c+di)=.點評：是常規(guī)方法，是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡無理分式時，都是采用的分母有理化思想方法，而復(fù)數(shù)c+di與復(fù)數(shù)cdi，相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的的對偶式，它們之積為1是有理數(shù)，而(c+di)(cdi)=c2+d2是正實數(shù).所以可

11、以分母實數(shù)化. 把這種方法叫做分母實數(shù)化法例3計算解：例4計算解：例5已知z是虛數(shù)，且z+是實數(shù)，求證：是純虛數(shù).證明：設(shè)z=a+bi(a、bR且b0)，于是z+=a+bi+=a+bi+.z+R，b=0.b0，a2+b2=1.b0，a、bR，是純虛數(shù)鞏固練習(xí)：1.設(shè)z=3+i,則等于A.3+i B.3iC.D.2.的值是A.0B.iC.iD.13.已知z1=2i,z2=1+3i,則復(fù)數(shù)的虛部為A.1B.1C.iD.i4.設(shè) (xR,yR),則x=_,y=_.答案：1.D 2.A 3.A4. , 課后作業(yè)：課本第112頁 習(xí)題3. 2 A組4，5，6 B組1，2教學(xué)反思：復(fù)數(shù)的乘法法則是：(a+

12、bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i.復(fù)數(shù)的代數(shù)式相乘，可按多項式類似的辦法進行，不必去記公式.復(fù)數(shù)的除法法則是：i(c+di0).兩個復(fù)數(shù)相除較簡捷的方法是把它們的商寫成分式的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再把結(jié)果化簡 高考題選1（2007年北京卷）2. （2007年湖北卷）復(fù)數(shù)z=a+bi,a,bR,且b0,若是實數(shù)，則有序?qū)崝?shù)對（a,b）可以是 .(寫出一個有序?qū)崝?shù)對即可)【答案】：.【分析】：是實數(shù)，所以，取.【高考考點】：本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和運算.【易錯點】：復(fù)數(shù)的運算公式不能記錯?！靖邆淇继崾尽浚簭?fù)數(shù)的基本概念和運算，是高考每年必考的內(nèi)容，應(yīng)熟練

13、掌握。3（2007年福建卷）復(fù)數(shù)等于（ D ）ABCD4（2007年廣東卷）若復(fù)數(shù)（1+bi）(2+i)是純虛數(shù)（i是虛數(shù)單位，b為實數(shù)），則b= (A) -2 (B) - (C) (D) 2答案：B；解析：（1+bi）(2+i)=（2-b）+(2b+1)i，故2b+1=0，故選B；5（2007年湖南卷）復(fù)數(shù)等于（ C ）ABCD6（2007年江西卷）化簡的結(jié)果是（）7（2007年全國卷I）設(shè)是實數(shù)，且是實數(shù)，則（ B ）ABCD8（2007年全國卷）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（ C ）ABCD9.（2007年陜西卷）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=對應(yīng)的點位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第在象限（D）第四象限10（2007年四川卷）復(fù)數(shù)的值是（）（A）0（B）1（C）（D）解析：選A本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運算11（2007年天津卷）是虛數(shù)單位，（） 12（2007年浙江卷）已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù) 13（2007年上海卷）已知是實