小波在信號(hào)奇異性檢測(cè)及圖象邊緣提取中的應(yīng)用

1、第第8章章 小波在信號(hào)奇異性檢測(cè)及圖象小波在信號(hào)奇異性檢測(cè)及圖象邊緣提取中的應(yīng)用邊緣提取中的應(yīng)用信號(hào)信號(hào)/函數(shù)奇異性的定量描述函數(shù)奇異性的定量描述連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)多尺度邊界檢測(cè)連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)多尺度邊界檢測(cè) 連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)奇異性檢測(cè)連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)奇異性檢測(cè) 從二進(jìn)小波模極大重構(gòu)信號(hào)從二進(jìn)小波模極大重構(gòu)信號(hào) 二維小波變換模極大與圖象多尺度邊緣提取二維小波變換模極大與圖象多尺度邊緣提取 小波分析及其工程應(yīng)用小波分析及其工程應(yīng)用-清華大學(xué)計(jì)算機(jī)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)系-孫延奎孫延奎-2005春春簡(jiǎn)介 簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 函數(shù)光滑性與奇異性的定義函數(shù)光滑性與奇異性的

2、定義 奇異性點(diǎn)的重要性奇異性點(diǎn)的重要性 傳統(tǒng)檢測(cè)方法的缺點(diǎn)傳統(tǒng)檢測(cè)方法的缺點(diǎn) 小波變換檢測(cè)方法的可行性及有效性小波變換檢測(cè)方法的可行性及有效性 本章的主要內(nèi)容本章的主要內(nèi)容用Lipschitz指數(shù)刻畫信號(hào)的奇異性 稱函數(shù)稱函數(shù) f在點(diǎn)在點(diǎn) vR為L(zhǎng)ipschitz 0，如果存在常數(shù)，如果存在常數(shù) 0vK 和和 m 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 vp，使得，使得 ,vvtR f tptK tv 稱函數(shù)稱函數(shù) f在區(qū)間在區(qū)間 , a b上是一致上是一致 Lipschitz 0的，如果存在常數(shù)的，如果存在常數(shù) 0K 使得（使得（8.1）對(duì)所有的）對(duì)所有的 （8.1）,va b成立，其中成立，其中 K與與 v無(wú)關(guān)

3、。無(wú)關(guān)。 函數(shù)在一點(diǎn)的函數(shù)在一點(diǎn)的Lipschitz指數(shù)指數(shù):如果函數(shù)如果函數(shù) f在點(diǎn)在點(diǎn) vR連續(xù)可微連續(xù)可微,或者可微，而導(dǎo)數(shù)有界但不連續(xù)時(shí)或者可微，而導(dǎo)數(shù)有界但不連續(xù)時(shí) , 在該點(diǎn)的在該點(diǎn)的Lipschitz指數(shù)為指數(shù)為1. f在在v點(diǎn)不連續(xù)但有界時(shí)點(diǎn)不連續(xù)但有界時(shí),其其 Lipschitz指數(shù)為指數(shù)為0.用Lipschitz指數(shù)刻畫信號(hào)的奇異性 如果函數(shù)如果函數(shù) f在點(diǎn)在點(diǎn) 在該點(diǎn)在該點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù) f在點(diǎn)在點(diǎn) vR的的Lipschitz指數(shù)小于指數(shù)小于1,則稱它則稱它在該點(diǎn)是奇異的在該點(diǎn)是奇異的.的的Lipschitz指數(shù)指數(shù)0滿足滿足01nn，則 f是是n次可微的，但其次可微的

4、，但其n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) nftv在點(diǎn)在點(diǎn) vLipschitz指數(shù)為指數(shù)為 是奇異的，它的是奇異的，它的0n，我們也說(shuō)，我們也說(shuō) 0描述了這個(gè)奇異性。描述了這個(gè)奇異性。 Lipschitz指數(shù)還可以擴(kuò)展到指數(shù)還可以擴(kuò)展到 10 的范圍。的范圍。 噪聲的噪聲的Lipschitz指數(shù)為負(fù)數(shù)指數(shù)為負(fù)數(shù).連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)多尺度邊界檢測(cè)連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)多尺度邊界檢測(cè) 平滑函數(shù)及多尺度邊緣點(diǎn)平滑函數(shù)及多尺度邊緣點(diǎn) 11stss一個(gè)函數(shù)一個(gè)函數(shù) 在尺度在尺度 s下的邊緣定義為下的邊緣定義為 sft tf的局部突變點(diǎn)。的局部突變點(diǎn)。 小波變換模極大用于信號(hào)多尺度邊緣檢測(cè)的可行性小波變換模

5、極大用于信號(hào)多尺度邊緣檢測(cè)的可行性 /tdtdt 1/21/2,ssdWf s usfusfudu ftsft(,)W fsu連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)多尺度邊界檢測(cè)連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)多尺度邊界檢測(cè) 小波變換模極大值、模極大點(diǎn)小波變換模極大值、模極大點(diǎn) 與極大曲線與極大曲線 （定義（定義8.2） 信號(hào)的邊界點(diǎn)信號(hào)的邊界點(diǎn)假設(shè) 0T 是一個(gè)閾值，在尺度 00s 下，則滿足以下兩個(gè)條件的點(diǎn)0u稱為信號(hào)在尺度 0s下的邊界點(diǎn)： 00,Wf s uT0,Wf s u點(diǎn)取得局部極大值。點(diǎn)取得局部極大值。 在在0u 離散小波系數(shù)序列模極大值的定義離散小波系數(shù)序列模極大值的定義對(duì)于離散的小波變換

6、序列對(duì)于離散的小波變換序列 ( ,0),( ,1),( , )Wf sWf sWf s n如果： ,1,1Wf s mWf s mWf s mWf s m且兩式中不能同時(shí)取等號(hào)。且兩式中不能同時(shí)取等號(hào)。則稱在則稱在m點(diǎn)取得模極大值。點(diǎn)取得模極大值。連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)多尺度邊界檢測(cè)連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)多尺度邊界檢測(cè) 確定邊界點(diǎn)的算法過(guò)程確定邊界點(diǎn)的算法過(guò)程已知輸入信號(hào)已知輸入信號(hào)01,nd dd步驟步驟1，計(jì)算連續(xù)小波變換，計(jì)算連續(xù)小波變換 ( ,0),( ,1),( , )Wf sWf sWf s n步驟步驟2，確定閾值，確定閾值 0T ，對(duì)，對(duì) 0,1,mn，如果以下條件滿

7、足：，如果以下條件滿足： ( ,)Wf s mT( ,)Wf s m在 m點(diǎn)取得模極大值。點(diǎn)取得模極大值。則則m點(diǎn)就是信號(hào)在尺度點(diǎn)就是信號(hào)在尺度s下的一個(gè)邊界點(diǎn)。下的一個(gè)邊界點(diǎn)。 連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)奇異性檢測(cè)連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)奇異性檢測(cè) 在在v點(diǎn)的鄰域中在細(xì)尺度下的點(diǎn)的鄰域中在細(xì)尺度下的 基本原理基本原理: 人們已從理論上證明，小波變換模人們已從理論上證明，小波變換模 ,Wf s u衰減性能夠刻畫函數(shù)衰減性能夠刻畫函數(shù)f在點(diǎn)在點(diǎn)v的局部的局部Lipschitz正則性正則性 。 n階消失矩小波的小波變換的特性：階消失矩小波的小波變換的特性： f t設(shè)設(shè)在v點(diǎn)的Lipschit

8、z 指數(shù)為指數(shù)為,則在則在v 點(diǎn)的某鄰域內(nèi)點(diǎn)的某鄰域內(nèi),f 可以用可以用多項(xiàng)式多項(xiàng)式vp做如下逼近做如下逼近: , vvvf tptttK tv其中設(shè)設(shè) t是具有是具有n階消失矩的小波階消失矩的小波,則容易推出則容易推出:( , )( , )( , )( , )vvvWf s uWp s uWs uWs u也即小波變換可以刻畫信號(hào)在奇異點(diǎn)的奇異性質(zhì)也即小波變換可以刻畫信號(hào)在奇異點(diǎn)的奇異性質(zhì).n連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)奇異性檢測(cè)連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)奇異性檢測(cè) 基本原理基本原理: n階消失矩的小波與一個(gè)階消失矩的小波與一個(gè)平滑函數(shù)的導(dǎo)數(shù)平滑函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系之間的關(guān)系教材中參考文獻(xiàn)教

9、材中參考文獻(xiàn)1 假設(shè)假設(shè)是快速衰減的，即對(duì)任意衰減指數(shù)是快速衰減的，即對(duì)任意衰減指數(shù)m（正整數(shù)），存在常數(shù)（正整數(shù)），存在常數(shù)Cm使得使得 ,1mmCtRtt ，則則快速衰減的快速衰減的小波小波具有具有n階消失矩，階消失矩，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)存在存在快速衰減的函數(shù)快速衰減的函數(shù)，使得，使得 1nntt 由此可以推出由此可以推出,如果如果恰好具有恰好具有n階消失矩并且是緊支撐階消失矩并且是緊支撐的的,則一定則一定存在存在緊支撐的函數(shù)緊支撐的函數(shù),使得使得 1nntt 且且 0t dt問(wèn)題問(wèn)題:在什么條件下在什么條件下,構(gòu)成平滑函數(shù)構(gòu)成平滑函數(shù)?Mallat原著中是否指平滑函數(shù)原著中是否指平滑函數(shù)?

10、如果小波還是對(duì)稱小波如果小波還是對(duì)稱小波,能否保證能否保證構(gòu)成平滑函數(shù)構(gòu)成平滑函數(shù)?連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)奇異性檢測(cè)連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)奇異性檢測(cè) 基本原理基本原理: Mallat等進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)等進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，的衰減性可以由其局部極大值控制。的衰減性可以由其局部極大值控制。,Wf s u定理定理 8.1（HWANG,MALLAT） 設(shè)設(shè)n0， t平滑函數(shù)平滑函數(shù) 緊支的緊支的n次連續(xù)可微的小波函數(shù)次連續(xù)可微的小波函數(shù) ， 1nn 設(shè)設(shè) 1,f tL a b，如果存在，如果存在 00s ，使得對(duì)任意的，使得對(duì)任意的 0ss和和 ,ua b,Wf s u，沒(méi)有局部極大值點(diǎn)，則對(duì)任

11、意的沒(méi)有局部極大值點(diǎn)，則對(duì)任意的 0，在在,abf上是一致上是一致Lipschitz n的。的。 定理定理8.1 蘊(yùn)含如下事實(shí)：僅當(dāng)存在一個(gè)小波極大點(diǎn)序列蘊(yùn)含如下事實(shí)：僅當(dāng)存在一個(gè)小波極大點(diǎn)序列 ,ppp Nsu在細(xì)尺度下收斂于在細(xì)尺度下收斂于v,亦即亦即 lim0pps且 limppuv，則 f在在v點(diǎn)是奇異的。點(diǎn)是奇異的。連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)奇異性檢測(cè)連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)奇異性檢測(cè) uu 2log( , )Wf s u2log s注意：注意： 模極大點(diǎn)可以在也可以不在同一條極大曲線上。模極大點(diǎn)可以在也可以不在同一條極大曲線上。 信號(hào)信號(hào)f的所有奇異點(diǎn)可以通過(guò)跟蹤細(xì)尺度下小波

12、變換模極大而檢測(cè)出來(lái)。的所有奇異點(diǎn)可以通過(guò)跟蹤細(xì)尺度下小波變換模極大而檢測(cè)出來(lái)。但僅沿著尺度搜索小波模極大對(duì)于奇異性檢測(cè)還是不充分的，還需要從模極大值的但僅沿著尺度搜索小波模極大對(duì)于奇異性檢測(cè)還是不充分的，還需要從模極大值的衰減性計(jì)算函數(shù)在一點(diǎn)的衰減性計(jì)算函數(shù)在一點(diǎn)的Lipschitz正則性。正則性。 連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)奇異性檢測(cè)連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)奇異性檢測(cè) 孤立奇異點(diǎn)的檢測(cè)：孤立奇異點(diǎn)的檢測(cè)： 假定假定 滿足定理滿足定理8.1的假設(shè)條件，的假設(shè)條件， 其其緊支集為緊支集為 ,C C0C 對(duì)對(duì) 0ss，設(shè)收斂于，設(shè)收斂于v點(diǎn)的所有模極大點(diǎn)都包含在錐點(diǎn)的所有模極大點(diǎn)都包含在錐

13、uvCs中中vv點(diǎn)的影響錐點(diǎn)的影響錐則對(duì)小于則對(duì)小于n 的非整數(shù)的非整數(shù) ，函數(shù)，函數(shù) f t在在v點(diǎn)為點(diǎn)為 Lipschitz ，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng) 存在常數(shù)存在常數(shù) 0A使得影響錐中的模極大點(diǎn)使得影響錐中的模極大點(diǎn) , s u滿足滿足 1/2,Wf s uAs2221log,loglog2Wf s uAs或或 ,u Css us us uu CsWf s uff tt dtf tt dt,vuCs uCs連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)奇異性檢測(cè)連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)奇異性檢測(cè) 在數(shù)值計(jì)算中，小波變換的最細(xì)尺度由離散數(shù)據(jù)的分辨率決定。假設(shè)所輸入在數(shù)值計(jì)算中，小波變換的最細(xì)尺度由離散數(shù)據(jù)的

14、分辨率決定。假設(shè)所輸入01,nd dd的原始信號(hào)為一個(gè)有限能量的序列的原始信號(hào)為一個(gè)有限能量的序列 ，則計(jì)算它的奇異性的主則計(jì)算它的奇異性的主主要過(guò)程可歸納如下：主要過(guò)程可歸納如下： （1）計(jì)算連續(xù)小波變換）計(jì)算連續(xù)小波變換,這里通常選用高斯小波這里通常選用高斯小波.（2）計(jì)算小波變換模極大值曲線；）計(jì)算小波變換模極大值曲線；（3）沿著各極大曲線確定奇異點(diǎn)；）沿著各極大曲線確定奇異點(diǎn)；（4）對(duì)于奇異點(diǎn)）對(duì)于奇異點(diǎn)v，求出，求出 2log,Wf s u作為作為log2s的函數(shù)沿著收斂的函數(shù)沿著收斂于于 v的極大曲線的最大斜率，該斜率為的極大曲線的最大斜率，該斜率為 1/2，從而求出，從而求出 問(wèn)

15、題：?jiǎn)栴}： 通過(guò)實(shí)驗(yàn)搞清楚具體的計(jì)算過(guò)程！（習(xí)題通過(guò)實(shí)驗(yàn)搞清楚具體的計(jì)算過(guò)程?。?xí)題8.2）數(shù)值計(jì)算過(guò)程：數(shù)值計(jì)算過(guò)程：連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)奇異性檢測(cè)連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)奇異性檢測(cè) 的不連續(xù)點(diǎn)或的不連續(xù)點(diǎn)或稱為階梯型邊界稱為階梯型邊界，是一類重要的邊界點(diǎn)。記，是一類重要的邊界點(diǎn)。記 滿足滿足Lipschitz 階梯型邊界點(diǎn)的提取階梯型邊界點(diǎn)的提取 ：0的點(diǎn)屬于一種特殊的奇異點(diǎn)，這種點(diǎn)對(duì)應(yīng)信號(hào)的點(diǎn)屬于一種特殊的奇異點(diǎn)，這種點(diǎn)對(duì)應(yīng)信號(hào) ssW f ufu 1/2,sWf s us W f u sW f uAs對(duì)應(yīng)式（對(duì)應(yīng)式（8.4），有），有這表明，對(duì)于階梯型邊界這表明，對(duì)于階梯型

16、邊界v，沿著收斂于，沿著收斂于v點(diǎn)的極大曲線上的點(diǎn)點(diǎn)的極大曲線上的點(diǎn)u,其模其模極大值都小于極大值都小于A。從而。從而 sW f vA連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)奇異性檢測(cè)連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)奇異性檢測(cè) 階梯型邊界點(diǎn)的提取階梯型邊界點(diǎn)的提取 ：下面將證明，當(dāng)下面將證明，當(dāng) v是是階梯型邊界點(diǎn)時(shí)，階梯型邊界點(diǎn)時(shí)， sW f v是一個(gè)與尺度是一個(gè)與尺度s s無(wú)關(guān)無(wú)關(guān) 非零常數(shù)。非零常數(shù)。 1, 0, tve ttv 0sW f vt dt即在不同的尺度 12,Js ss下， 12,JsssW f v Wf vW f v是一個(gè)相同的非零常數(shù)。 1jlssWf vW f v,1,2,j lJ

17、1jlssWf vrrW f vr r是一個(gè)大于是一個(gè)大于1但非常接近于但非常接近于1的一個(gè)實(shí)數(shù)的一個(gè)實(shí)數(shù) 連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)奇異性檢測(cè)連續(xù)小波變換的模極大值與信號(hào)奇異性檢測(cè) 階梯型邊界點(diǎn)的提取階梯型邊界點(diǎn)的提取 算法：算法：1 1）即在不同的尺度）即在不同的尺度 12,Js ss下，計(jì)算，計(jì)算 12,JsssW f v Wf vW f v2）對(duì)于閾值對(duì)于閾值T0T0， 及及r1r1且非常接近且非常接近1 1，如果，如果 , 1,2,jsW f vTjJ 1jlssWf vrrW f v,1,2,j lJ則則v v是檢測(cè)出的信號(hào)的階梯型邊界點(diǎn)。是檢測(cè)出的信號(hào)的階梯型邊界點(diǎn)。 請(qǐng)大家構(gòu)

18、造一個(gè)具有若干不連續(xù)點(diǎn)的邊界點(diǎn)，驗(yàn)證上述算法的有效性請(qǐng)大家構(gòu)造一個(gè)具有若干不連續(xù)點(diǎn)的邊界點(diǎn)，驗(yàn)證上述算法的有效性(習(xí)題習(xí)題8.1 )。也可結(jié)合習(xí)題。也可結(jié)合習(xí)題8.2進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。從二進(jìn)小波模極大重構(gòu)信號(hào)從二進(jìn)小波模極大重構(gòu)信號(hào) 問(wèn)題的提出與研究現(xiàn)狀：?jiǎn)栴}的提出與研究現(xiàn)狀：?jiǎn)栴}：?jiǎn)栴}：二進(jìn)小波變換模極大究竟攜帶了信號(hào)的多少信息？它能否給二進(jìn)小波變換模極大究竟攜帶了信號(hào)的多少信息？它能否給出信號(hào)的一個(gè)完備而穩(wěn)定的表示？也即，能否由所有模極大出信號(hào)的一個(gè)完備而穩(wěn)定的表示？也即，能否由所有模極大 2 ,jWfu的位置的位置 , j pu和小波變換和小波變換 ,2 ,jj pWfu完全重構(gòu)原信號(hào)

19、？完全重構(gòu)原信號(hào)？ 研究現(xiàn)狀：研究現(xiàn)狀： 1 1）實(shí)驗(yàn)數(shù)值表明，交錯(cuò)投影法等算法只能以）實(shí)驗(yàn)數(shù)值表明，交錯(cuò)投影法等算法只能以1010-2-2的級(jí)相對(duì)均方誤差近似的級(jí)相對(duì)均方誤差近似地重構(gòu)信號(hào)。地重構(gòu)信號(hào)。 2 2）目前已證明，對(duì)于一般的二進(jìn)小波，從二進(jìn)小波變換模極大精確）目前已證明，對(duì)于一般的二進(jìn)小波，從二進(jìn)小波變換模極大精確重構(gòu)信號(hào)是不可能的。重構(gòu)信號(hào)是不可能的。 3 3）當(dāng)信號(hào)的）當(dāng)信號(hào)的FourierFourier變換是帶通的，并且小波的變換是帶通的，并且小波的FourierFourier變換具有緊變換具有緊支撐時(shí)，二進(jìn)小波變換模極大可以給出信號(hào)的一個(gè)完備而穩(wěn)定的表支撐時(shí)，二進(jìn)小波變換模

20、極大可以給出信號(hào)的一個(gè)完備而穩(wěn)定的表示。示。 從二進(jìn)小波模極大重構(gòu)信號(hào)從二進(jìn)小波模極大重構(gòu)信號(hào) 一種重構(gòu)信號(hào)的快速算法：一種重構(gòu)信號(hào)的快速算法：1. 問(wèn)題描述問(wèn)題描述2 ,jWfu對(duì)應(yīng)的局部極大點(diǎn)為對(duì)應(yīng)的局部極大點(diǎn)為 , j ppu已知已知，小波系數(shù)為，小波系數(shù)為,2 ,jj pj pWfuf ,122j pj pjjtut設(shè)設(shè) 表示表示的導(dǎo)數(shù)，則有的導(dǎo)數(shù)，則有 ,(2 ,)2,0jj pjj pWfufu 則則我們的問(wèn)題是：重構(gòu)一個(gè)近似函數(shù)我們的問(wèn)題是：重構(gòu)一個(gè)近似函數(shù) f，它滿足以下條件：，它滿足以下條件： 1）、）、2）、）、3）從二進(jìn)小波模極大重構(gòu)信號(hào)從二進(jìn)小波模極大重構(gòu)信號(hào) 一種重構(gòu)

21、信號(hào)的快速算法：一種重構(gòu)信號(hào)的快速算法：2. 求解方法求解方法共軛梯度法共軛梯度法 設(shè)設(shè) V是由是由 ,j pj pj p生成的線性空間，則對(duì)于如下生成的線性空間，則對(duì)于如下 L算子：算子：,j pj pj pj pj prV Lrrr 1fL w可得，可得，,j pj pj pj pj pj pj pj pwLffff，其中，其中如下共軛梯度法定理如下共軛梯度法定理8.38.3可通過(guò)遞歸過(guò)程計(jì)算重構(gòu)函數(shù)可通過(guò)遞歸過(guò)程計(jì)算重構(gòu)函數(shù) f具有指數(shù)級(jí)收斂性。具有指數(shù)級(jí)收斂性。 ，而且它，而且它從二進(jìn)小波模極大重構(gòu)信號(hào)從二進(jìn)小波模極大重構(gòu)信號(hào) 一種重構(gòu)信號(hào)的快速算法：一種重構(gòu)信號(hào)的快速算法：3.基于共

22、軛梯度法的快速算法基于共軛梯度法的快速算法 為簡(jiǎn)化計(jì)算，我們不明確地要求為簡(jiǎn)化計(jì)算，我們不明確地要求 ,0j pf法中，算子法中，算子L L可簡(jiǎn)化為可簡(jiǎn)化為 ：，這樣，在共軛梯度，這樣，在共軛梯度,j pj pj prV Lrr 其中其中 V是由是由 ,j pj p生成的線性空間生成的線性空間 。在這種條件下，利用共軛梯度法（定理在這種條件下，利用共軛梯度法（定理8.3）可遞歸計(jì)算重構(gòu)函數(shù)）可遞歸計(jì)算重構(gòu)函數(shù) f并能夠使并能夠使 2 ,jWfu在 , j puu點(diǎn)近似為局部模極大。點(diǎn)近似為局部模極大。 從二進(jìn)小波模極大重構(gòu)信號(hào)從二進(jìn)小波模極大重構(gòu)信號(hào) 一種重構(gòu)信號(hào)的快速算法：一種重構(gòu)信號(hào)的快速

23、算法：4. 離散快速算法離散快速算法 主要是給出計(jì)算主要是給出計(jì)算LrLr的濾波器快速算法。的濾波器快速算法。 輸入的離散信號(hào)輸入的離散信號(hào) 00|0,1,1naanN尺度尺度 2j下的小波變換，求出每個(gè)尺度下的小波變換，求出每個(gè)尺度 2j下的模極大點(diǎn)下的模極大點(diǎn) , j pu1001NJmnaaNCN計(jì)算每個(gè)計(jì)算每個(gè)在最低分辨率在最低分辨率,有有 1001NnCaN已知的信息如下已知的信息如下:特性特性: 模極大點(diǎn)模極大點(diǎn), j pu是有限的是有限的,所以所以,j pj p是有限集，從而由是有限集，從而由 ,j pj p生成的線性空間生成的線性空間 V是有限維空間。是有限維空間。 從二進(jìn)小波

24、模極大重構(gòu)信號(hào)從二進(jìn)小波模極大重構(gòu)信號(hào) 一種重構(gòu)信號(hào)的快速算法：一種重構(gòu)信號(hào)的快速算法：4. 離散快速算法離散快速算法 基本計(jì)算過(guò)程描述基本計(jì)算過(guò)程描述:,1,Jj pj pjprV LrrC ,1,Jj pj pjpwfCLfLfw0,kkfLfwrw rLr我們需要解決的問(wèn)題是，我們需要解決的問(wèn)題是，已知已知rn,快速計(jì)算快速計(jì)算Lrn. 處理相應(yīng)的離散情況處理相應(yīng)的離散情況.從二進(jìn)小波模極大重構(gòu)信號(hào)從二進(jìn)小波模極大重構(gòu)信號(hào) 一種重構(gòu)信號(hào)的快速算法：一種重構(gòu)信號(hào)的快速算法：4. 離散快速算法離散快速算法 多孔算法多孔算法:步驟步驟1:計(jì)算 r n在各尺度 2j1jJ下的二進(jìn)小波變換，記各尺

25、度下的小波系數(shù)為下的二進(jìn)小波變換，記各尺度下的小波系數(shù)為 1jdjJ步驟步驟2:構(gòu)造如下離散信號(hào)：構(gòu)造如下離散信號(hào)： , 0, j pjuj pjmj pdmudmu若若步驟步驟3:濾波器組的重構(gòu)算法濾波器組的重構(gòu)算法 11jjjjjaahdg對(duì) 2logJN，令 Jna /CN0Jj0 nLr na 而當(dāng) 時(shí)時(shí),令令從二進(jìn)小波模極大重構(gòu)信號(hào)從二進(jìn)小波模極大重構(gòu)信號(hào)的討論的討論 1. 交錯(cuò)投影法交錯(cuò)投影法 基本思想：用模極大值點(diǎn)逼近原始小波系數(shù)。確點(diǎn)是：計(jì)算量大，基本思想：用模極大值點(diǎn)逼近原始小波系數(shù)。確點(diǎn)是：計(jì)算量大，程序復(fù)雜，而且計(jì)算過(guò)程可能不穩(wěn)定。程序復(fù)雜，而且計(jì)算過(guò)程可能不穩(wěn)定。2.

26、基于共軛梯度法的快速重構(gòu)算法基于共軛梯度法的快速重構(gòu)算法3. 一種新的信號(hào)二進(jìn)小波變換模極大重構(gòu)信號(hào)的迭代算法一種新的信號(hào)二進(jìn)小波變換模極大重構(gòu)信號(hào)的迭代算法.中國(guó)科學(xué)中國(guó)科學(xué)(E輯輯), Vol.33, No. 6,20034. PCSI算法算法教材中參考文獻(xiàn)教材中參考文獻(xiàn)8 主要由兩步組成：主要由兩步組成：1） 模極大值預(yù)處理；模極大值預(yù)處理；2）分段樣條插值方法）分段樣條插值方法二維小波變換模極大與圖象多尺度邊緣提取二維小波變換模極大與圖象多尺度邊緣提取 連續(xù)圖象的小波多尺度邊緣檢測(cè)連續(xù)圖象的小波多尺度邊緣檢測(cè) ,f u v1.連續(xù)圖象邊緣點(diǎn)的概念連續(xù)圖象邊緣點(diǎn)的概念 :一幅連續(xù)圖象一幅

27、連續(xù)圖象 ,fffuv : 梯度矢量梯度矢量 設(shè) 11,u v是圖象上一點(diǎn)，如果是圖象上一點(diǎn)，如果 f的梯度矢量的模的梯度矢量的模 22fffuv在在 11,u v點(diǎn)沿著最大變化方向的一維鄰域點(diǎn)沿著最大變化方向的一維鄰域 1111,u vu vf u v 中變化，當(dāng)中變化，當(dāng) 充分小時(shí)在該點(diǎn)取到局部極大值，則稱充分小時(shí)在該點(diǎn)取到局部極大值，則稱 的一個(gè)邊緣點(diǎn)。的一個(gè)邊緣點(diǎn)。 11,u v是是f二維小波變換模極大與圖象多尺度邊緣提取二維小波變換模極大與圖象多尺度邊緣提取 連續(xù)圖象的小波多尺度邊緣檢測(cè)連續(xù)圖象的小波多尺度邊緣檢測(cè) 2. 二維小波變換模極大與圖象邊緣點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系二維小波變換模極大

28、與圖象邊緣點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 設(shè)二維平滑函數(shù)設(shè)二維平滑函數(shù) , u v滿足：滿足： 2,0,1, lim,0Ru vu vu v dudvu v記記21,su vu vss s定義定義 1,u vu vu2,u vu vv則則 ,f u v在尺度在尺度 s上的二維小波變換包括兩個(gè)分量上的二維小波變換包括兩個(gè)分量： 21111, ,sRxu yvW f s u vfx ydxdyfu vsss22221, ,sRxu yvW f s u vfx ydxdyfu vsss二維小波變換模極大與圖象多尺度邊緣提取二維小波變換模極大與圖象多尺度邊緣提取 連續(xù)圖象的小波多尺度邊緣檢測(cè)連續(xù)圖象的小波多尺度邊緣

29、檢測(cè) 2. 二維小波變換模極大與圖象邊緣點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系二維小波變換模極大與圖象邊緣點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 2212, , , ,Mf s u vW f s u vW f s u v21, , ,arctan, ,W f s u vAf s u vW f s u v于是，計(jì)算一個(gè)光滑函數(shù)于是，計(jì)算一個(gè)光滑函數(shù) ,sfu v等價(jià)于計(jì)算小波變換的模極大值。等價(jià)于計(jì)算小波變換的模極大值。 沿著梯度方向的模極大值，沿著梯度方向的模極大值，,sfu v與如下小波變換的模成比例：與如下小波變換的模成比例： 梯度方向與水平方向的夾角（相角或幅角）為：梯度方向與水平方向的夾角（相角或幅角）為： 1122, , ,s

30、ssssfu vfu vW f s u vusssfu vW f s u vfu vfu vv ,cos( , , ),sin( , , )sn u vAf s u vAf s u v與與,sfu v平行平行.二維小波變換模極大與圖象多尺度邊緣提取二維小波變換模極大與圖象多尺度邊緣提取 連續(xù)圖象的小波多尺度邊緣檢測(cè)連續(xù)圖象的小波多尺度邊緣檢測(cè) 2. 二維小波變換模極大與圖象邊緣點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系二維小波變換模極大與圖象邊緣點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 在在 11,u v點(diǎn)沿著最大變化方向的一維鄰域點(diǎn)沿著最大變化方向的一維鄰域 1111,u vu vf u v 中變化，當(dāng)中變化，當(dāng) 取到局部極大值，則點(diǎn)取到局

31、部極大值，則點(diǎn) 的一個(gè)邊緣點(diǎn)。的一個(gè)邊緣點(diǎn)。 11,u v若模若模 , ,Mf s u v充分小時(shí)在該點(diǎn)充分小時(shí)在該點(diǎn)就是就是 ,sfu v從而是從而是 ,f u v的一個(gè)突變點(diǎn)。的一個(gè)突變點(diǎn)。 以上表明，通過(guò)檢測(cè)二維小波變換的模極大點(diǎn)可以確定圖象的邊緣點(diǎn)。以上表明，通過(guò)檢測(cè)二維小波變換的模極大點(diǎn)可以確定圖象的邊緣點(diǎn)。 3. 各尺度下的模極大曲線各尺度下的模極大曲線 沿著邊界方向?qū)⒚總€(gè)尺度下的邊緣點(diǎn)連接起來(lái)可形成沿著邊界的沿著邊界方向?qū)⒚總€(gè)尺度下的邊緣點(diǎn)連接起來(lái)可形成沿著邊界的模極大曲線。模極大曲線。 注意注意,任一邊緣點(diǎn)的邊界方向與該點(diǎn)的梯度方向是垂直的任一邊緣點(diǎn)的邊界方向與該點(diǎn)的梯度方向是

32、垂直的.數(shù)字圖象的多尺度邊緣提取數(shù)字圖象的多尺度邊緣提取 ,| ,0,1,1n mDdn mN對(duì)于數(shù)字圖象對(duì)于數(shù)字圖象進(jìn)行邊緣檢測(cè)呢？進(jìn)行邊緣檢測(cè)呢？ ,如何利用小波變換模極大如何利用小波變換模極大1) 計(jì)算計(jì)算 122 , ,2 , ,jjW fn m W fn m,0,1,1n mN21logjJN分解的尺度數(shù)可根據(jù)需要而定。分解的尺度數(shù)可根據(jù)需要而定。 說(shuō)明說(shuō)明: 小波變換的選擇小波變換的選擇2）計(jì)算每一點(diǎn)的模值和相角）計(jì)算每一點(diǎn)的模值和相角 (2 , ,)jAfn m的正切值的正切值 2212(2 , ,)2 , ,2 , ,jjjMfn mW fn mW fn m212 , ,tan

33、(2 , ,)2 , ,jjjW fn mAfn mW fn m(都等于都等于0,怎么處理怎么處理?)數(shù)字圖象的多尺度邊緣提取數(shù)字圖象的多尺度邊緣提取 3) 求邊界點(diǎn)求邊界點(diǎn) 確定閾值確定閾值 0T ，對(duì)，對(duì) ,0,1,1n mN，如果，如果 (2 , ,)jMfn mT 如果 (2 , ,)jMfn m取得局部極大值。取得局部極大值。 則 , n m就是一個(gè)邊界點(diǎn)。就是一個(gè)邊界點(diǎn)。 Code (2 , ,)jAfn m用用表示表示tan(2 , ,)jAfn m所落入的區(qū)間編號(hào)，所落入的區(qū)間編號(hào)， 將將 (2 , ,)jMfn m與扇區(qū)與扇區(qū) Code (2 , ,)jAfn m對(duì)應(yīng)梯度方向

34、上對(duì)應(yīng)梯度方向上 相鄰兩個(gè)像素的模值進(jìn)行比較即可判定相鄰兩個(gè)像素的模值進(jìn)行比較即可判定是否取得局部極大值是否取得局部極大值. 12,12 ,21,21 ,21, 12 , 12,21 數(shù)字圖象的多尺度邊緣提取數(shù)字圖象的多尺度邊緣提取 4) 在各尺度上連接邊界點(diǎn)，形成沿著邊界的極大曲線。在各尺度上連接邊界點(diǎn)，形成沿著邊界的極大曲線。 在離散情況下，極大曲線是通過(guò)將圖象離散采樣點(diǎn)中兩個(gè)相鄰的邊界點(diǎn)在離散情況下，極大曲線是通過(guò)將圖象離散采樣點(diǎn)中兩個(gè)相鄰的邊界點(diǎn) , n m與與 ,n mn m連接起來(lái)形成的，其中連接起來(lái)形成的，其中 , n m垂直于垂直于 扇區(qū)扇區(qū) Code (2 , ,)jAfn

35、m對(duì)應(yīng)的梯度方向。對(duì)應(yīng)的梯度方向。 注意：注意： 邊界連接方法的改進(jìn)算法。邊界連接方法的改進(jìn)算法。傳統(tǒng)方法存在的問(wèn)題傳統(tǒng)方法存在的問(wèn)題 小波變換的模極大值充分刻畫了信號(hào)的奇異點(diǎn)小波變換的模極大值充分刻畫了信號(hào)的奇異點(diǎn),并可以利用模極大值來(lái)提取并可以利用模極大值來(lái)提取出所有的奇異點(diǎn)出所有的奇異點(diǎn),但是但是,傳統(tǒng)的方法都沒(méi)有涉及到有關(guān)奇異點(diǎn)的結(jié)構(gòu)問(wèn)題傳統(tǒng)的方法都沒(méi)有涉及到有關(guān)奇異點(diǎn)的結(jié)構(gòu)問(wèn)題.以下的圖象以下的圖象(左左)屬于屬于多結(jié)構(gòu)邊界圖象多結(jié)構(gòu)邊界圖象,里面嵌入了兩類奇異點(diǎn)里面嵌入了兩類奇異點(diǎn):(1) 飛機(jī)的輪廓飛機(jī)的輪廓,屬于階梯型奇異點(diǎn)屬于階梯型奇異點(diǎn);(2) 一些直線和文字屬于跳躍型奇異

36、點(diǎn)一些直線和文字屬于跳躍型奇異點(diǎn).直接使用小波變換的模極大值來(lái)提取輪廓的結(jié)果如上右圖直接使用小波變換的模極大值來(lái)提取輪廓的結(jié)果如上右圖(模極大值圖模極大值圖)所示所示.傳統(tǒng)方法存在的問(wèn)題傳統(tǒng)方法存在的問(wèn)題 模極大值的方法檢測(cè)出了所有的奇異點(diǎn)模極大值的方法檢測(cè)出了所有的奇異點(diǎn),但是沒(méi)有區(qū)分兩類不同奇但是沒(méi)有區(qū)分兩類不同奇異點(diǎn)的結(jié)構(gòu)異點(diǎn)的結(jié)構(gòu),所以直線、文字和飛機(jī)的輪廓都混在一起。如果只需所以直線、文字和飛機(jī)的輪廓都混在一起。如果只需要保留飛機(jī)的輪廓，同時(shí)刪除直線和文字，該如何處理呢？即如要保留飛機(jī)的輪廓，同時(shí)刪除直線和文字，該如何處理呢？即如何得到如下的圖象？何得到如下的圖象？圖象中階梯型邊界點(diǎn)

37、的提取圖象中階梯型邊界點(diǎn)的提取 2R 這里只考慮這里只考慮Lipschitz指數(shù)為指數(shù)為 01的情況。的情況。 一個(gè)函數(shù)一個(gè)函數(shù) 22fLR在點(diǎn)在點(diǎn) 11,u v被稱為是被稱為是Lipschitz的，如果存在常數(shù)的，如果存在常數(shù)0K 對(duì)所有對(duì)所有 ，使得，使得2, u vR，有，有 如果存在常數(shù)如果存在常數(shù) 0K ,使得上式對(duì)使得上式對(duì)中所有的點(diǎn)成立中所有的點(diǎn)成立 , 則稱則稱 f在在 上是一致上是一致Lipschitz 的的.f在在2R的一個(gè)有界區(qū)域內(nèi)是的一個(gè)有界區(qū)域內(nèi)是一致一致Lipschitz 的，的，存在常數(shù)存在常數(shù) 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)0A，使得對(duì)該區(qū)域內(nèi)的一切，使得對(duì)該區(qū)域內(nèi)的一切 ,

38、 u v及任意的尺度及任意的尺度 0s ，有，有 1, ,Mf s u vAs/2221111,f u vf u vK uuvv圖象中階梯型邊界點(diǎn)的提取圖象中階梯型邊界點(diǎn)的提取 記記 , ,/sM f u vMf s u vs,sM f u vAs,則有則有對(duì)于圖象中一條孤立的邊緣曲線對(duì)于圖象中一條孤立的邊緣曲線,可通過(guò)估計(jì)可通過(guò)估計(jì) 作為作為 2log s的斜率進(jìn)行計(jì)算。的斜率進(jìn)行計(jì)算。 當(dāng) 0時(shí)，對(duì)任意尺度時(shí)，對(duì)任意尺度 可以看出可以看出,0s ，都有，都有 ,sM f u vA問(wèn)題問(wèn)題:,sM f u v是否真的與尺度無(wú)關(guān)是否真的與尺度無(wú)關(guān)?二維階梯型邊界點(diǎn)及其尺度無(wú)關(guān)算法二維階梯型邊界點(diǎn)及其尺度無(wú)關(guān)算法:在實(shí)際應(yīng)用時(shí)在實(shí)際應(yīng)用時(shí),通常采用的是二進(jìn)尺度及二進(jìn)小波變換通常采用的是二進(jìn)尺度及二進(jìn)小波變換.問(wèn)題問(wèn)題:二維階梯型邊界點(diǎn)與二維階梯型邊界點(diǎn)與Lipschitz等于等于0的點(diǎn)在多大程度的點(diǎn)在多大程度上是等價(jià)的上是等價(jià)的?二進(jìn)小波實(shí)際應(yīng)用中需要注意的問(wèn)題二進(jìn)小波實(shí)際應(yīng)用中需要注意的問(wèn)題 2nnhhnngg1. 二進(jìn)小波濾波器的對(duì)稱性二進(jìn)小波濾波器的對(duì)稱性2. 邊緣