第六講冪級(jí)數(shù)ppt課件

1、三、冪級(jí)數(shù)及其收斂性三、冪級(jí)數(shù)及其收斂性 (1)形如00)(nnnxya202010)()(xyaxyaa的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù), 其中數(shù)列), 1 , 0(nan為冪級(jí)數(shù)的系數(shù) .nnxya)(0稱 令0 xyx0nnnxa則冪級(jí)數(shù)化為不失一般性，下面討論冪級(jí)數(shù)0nnnxa(2)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域任何冪級(jí)數(shù)在0都收斂。由例1知其收斂域是一個(gè)區(qū)間。）收斂域（1 , 10nnx定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若冪級(jí)數(shù)0nnnxa,0點(diǎn)收斂在xx 則對(duì)滿足不等式0 xx 的一切 x 冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂.在1xx 0 xx 的一切 x , 該冪級(jí)數(shù)也發(fā)散 . 點(diǎn)發(fā)散 , 則對(duì)滿足不等式

2、ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂發(fā)散阿貝爾阿貝爾(1802 1829)挪威數(shù)學(xué)家, 近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者. 他在22歲時(shí)就解決了用根式解5 次方程的不可能性問題 , 他還研究了更廣的一 并稱之為阿貝爾群. 在級(jí)數(shù)研究中, 他得 到了一些判斂準(zhǔn)則及冪級(jí)數(shù)求和定理. 論的奠基人之一, 他的一系列工作為橢圓函數(shù)研究開拓了道路. 數(shù)學(xué)家們工作150年. 類代數(shù)方程, 他是橢圓函數(shù)C. 埃爾米特曾說: 阿貝爾留下的思想可供 后人發(fā)現(xiàn)這是一類交換群,證證: 設(shè)設(shè), 0lim0nnnxa收斂,則必有),2, 1(0nMxann于是存在常數(shù) M 0, 使00nnnxannnnnnxxxaxa00nnnxxxa00n

3、xxM0當(dāng) 時(shí), 0 xx 00nnxxM收斂,0nnnxa故原冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 .也收斂,下面用反證法證之.假設(shè)有一點(diǎn)1x1x1xx 滿足且使級(jí)數(shù)收斂 ,級(jí)數(shù)在點(diǎn)的 x , 原冪級(jí)數(shù)也發(fā)散 . 則對(duì)一切滿足不等式則由前可知也應(yīng)收斂, 與所設(shè)矛盾。證畢證畢設(shè)發(fā)散,01nnnxaxO界界 點(diǎn)點(diǎn)討論：在界點(diǎn)處討論：在界點(diǎn)處函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否有相同斂散性？有相同斂散性？答：在界點(diǎn)處級(jí)數(shù)可能收斂，答：在界點(diǎn)處級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散，在兩個(gè)界點(diǎn)處的也可能發(fā)散，在兩個(gè)界點(diǎn)處的斂散性未必相同，要單獨(dú)討論斂散性未必相同，要單獨(dú)討論.RR 因而，當(dāng)我們從原點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向兩方走，因而，當(dāng)我們從原點(diǎn)出發(fā)

4、，沿?cái)?shù)軸向兩方走，后來遇到的全部是發(fā)散點(diǎn)后來遇到的全部是發(fā)散點(diǎn). .起初只遇到收斂點(diǎn)，起初只遇到收斂點(diǎn)，定義定義1若冪級(jí)數(shù)0nnnxa,:絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂Rxx在在,:發(fā)散發(fā)散Rxx這個(gè)R稱為冪級(jí)數(shù)0nnnxa的收斂半徑，而把開區(qū)間（-R,R稱為收斂區(qū)間。冪級(jí)數(shù)在 (, +) 收斂 ，規(guī)定規(guī)定R = 0 ；冪級(jí)數(shù)僅在 x = 0 收斂 ，R = 。(1)冪級(jí)數(shù)的收斂域是區(qū)間；(2)冪級(jí)數(shù)00)(nnnxya在 (a,b) 內(nèi)收斂 ，在 (a,b) 外發(fā)散 ，.2a-bR 則則例例3. 設(shè)設(shè)1) 1(nnnxa在1x處收斂，則此級(jí)數(shù)在2x處收斂性如何？（A條件收斂條件收斂（B絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂#2

5、019022801（C發(fā)散發(fā)散（D太難確定了太難確定了例例3. 設(shè)設(shè)1) 1(nnnxa在1x處收斂，則此級(jí)數(shù)在2x處收斂性如何？解解: 令令1 xy設(shè)級(jí)數(shù)1nnnya的收斂半徑為R。級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)即即, 21yx1nnnya收斂，由阿貝爾定理22 R,12Ryx 即即又又.2處處級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂x1. 知知0 xx 在處條件收斂 , 問該級(jí)數(shù)收斂半徑性質(zhì)為0)(xRAnnnxa00)(xRB0)(xRC真不好說)(D考慮考慮#2019022802冪級(jí)數(shù) 由它的系數(shù)數(shù)列 所確定，0nnnxana故其收斂半徑R也應(yīng)由 唯一確定na定理定理2. 假設(shè)假設(shè)0nnnxa的系數(shù)滿足,lim1nnnaa

6、;1R;R.0R1) 當(dāng) 0 時(shí),2) 當(dāng) 0 時(shí),3) 當(dāng) 時(shí),那么 xaaxaxannnnnnnn111limlim證證:1) 假設(shè) 0,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng),1x原級(jí)數(shù)收斂;當(dāng),1x原級(jí)數(shù)發(fā)散.x即1x時(shí),即時(shí),1x因此級(jí)數(shù)的收斂半徑.1R2) 假設(shè), 0則根據(jù)比值審斂法可知,;R絕對(duì)收斂 ,3) 假設(shè),則對(duì)除 x = 0 以外的一切 x 原級(jí)發(fā)散 ,.0R對(duì)任意 x 原級(jí)數(shù)因而因而 注意1缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)不能直接用此定理處置：（ii用一般級(jí)數(shù)收斂域求法（i作變換112nnnxa12nnnxa（2 2也可以由根值法求收斂半徑也可以由根值法求收斂半徑對(duì)端點(diǎn) x =1, nnnaaR1lim

7、1nxxxxnn 132) 1(32的收斂半徑及收斂域.解解:11nn11對(duì)端點(diǎn) x = 1, 級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),1) 1(11nnn收斂; 級(jí)數(shù)為,11nn發(fā)散 . . 1, 1(故收斂域?yàn)槔?.1.求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) limn 1 R例例2.nnxnn202) !(! )2(求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 .解解: 級(jí)數(shù)缺少奇次冪項(xiàng)級(jí)數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理不能直接應(yīng)用定理2,審斂法求收斂半徑. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 .21R21x即142x當(dāng)

8、21x即) 1(2nxnx2故直接由比值例例3.12) 1(nnnnx求冪級(jí)數(shù)的收斂域.解解: 令令 ,1 xt級(jí)數(shù)變?yōu)閚nntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12當(dāng) t = 2 時(shí), 級(jí)數(shù)為,11nn此級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng) t = 2 時(shí), 級(jí)數(shù)為,) 1(1nnn此級(jí)數(shù)條件收斂;因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?22t故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?212x即.31x例例4. 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域.nxnnen2111) 1 (nnxn1)2(解解: (1)令令 ,xet級(jí)數(shù)變?yōu)閚nntn2111于是于是 ,111limlimenunnnnneR nnntn2111

9、的收斂區(qū)間為),(ee0 xet)e , 0(收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為。，收收斂斂域域?yàn)闉樵?jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為),-1(),-1(nnxn1)2(解解: (1)令令 ,1xt 級(jí)數(shù)變?yōu)閚nntn1于是于是 ,limlimnunnnn0R級(jí)數(shù)nnntn1在0t收斂，xt1原級(jí)數(shù)無收斂點(diǎn)。原級(jí)數(shù)無收斂點(diǎn)。2. 在冪級(jí)數(shù)在冪級(jí)數(shù)中,nnaa1nn) 1(2) 1(2211n 為奇數(shù),23n 為偶數(shù),61nnnnx02) 1(2它的收斂半徑?2)(RA0)(RB顯然不存在RC)(真不好說)(D考慮考慮#20190228032. 在冪級(jí)數(shù)在冪級(jí)數(shù)nnnnx02) 1(2中,nnaa1nn) 1(

10、2) 1(2211n 為奇數(shù),23n 為偶數(shù),61能否確定它的收斂半徑不存在 ?答答: 不能不能. 因?yàn)閚nnxu)(lim2) 1(2limxnnn2x當(dāng)2x時(shí)級(jí)數(shù)收斂 ,2x時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 ,.2R說明說明: 可以證明可以證明:比值判別法成立根值判別法成立三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)1.1.四則運(yùn)算性質(zhì)四則運(yùn)算性質(zhì)其中其中0110bababacnnnn 設(shè)有冪級(jí)數(shù)設(shè)有冪級(jí)數(shù) 與與 ，它們的收斂半徑分別為，它們的收斂半徑分別為 與與 ，記，記 ，且，且 .那么那么1R 0nnnxa 0nnnxb2R,min21RRR 0 R(1)(1),(,)(000RRxxbaxbxannnnnnnnnn

11、 (2)(2),(,000RRxxcxbxannnnnnnnn 說明說明:兩個(gè)冪級(jí)數(shù)相除所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑小得多.例如, 設(shè) nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它們的收斂半徑均為,R但是nnnxa0nxxx21其收斂半徑只是 .1R1x1nnnxb0 x112.冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì)Ixdttadttadttsnxnnxnnnx ,)(00000(4.8)(4.8)性質(zhì)性質(zhì)1 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù) 在其收斂域在其收斂域I上連續(xù)上連續(xù).即有即有 或或 0nnnxa)(

12、xs)()(lim00 xsxsxx (4.7)(4.7)Ixxaxannnnnnxx 000,lim00性質(zhì)性質(zhì)2 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù) 在其收斂域在其收斂域 上可積，上可積，并且可以逐項(xiàng)積分，即有并且可以逐項(xiàng)積分，即有 0nnnxa)(xsI逐項(xiàng)求極限逐項(xiàng)求極限性質(zhì)性質(zhì)3 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù) 在其收斂區(qū)間在其收斂區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，并且可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，即有內(nèi)可導(dǎo)，并且可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，即有 0nnnxa),(RR )(xs并且逐項(xiàng)求積或逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得的冪級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)有相并且逐項(xiàng)求積或逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得的冪級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑同的收斂半徑.(4.9)(4.9) ),(,)(01

13、00RRxxnaxaxaxsnnnnnnnnn 反復(fù)應(yīng)用上述結(jié)論可得，冪級(jí)數(shù)反復(fù)應(yīng)用上述結(jié)論可得，冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù) 在其收斂區(qū)間在其收斂區(qū)間 內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù). 0nnnxa)(xs),(RR 你發(fā)現(xiàn)這三條你發(fā)現(xiàn)這三條性質(zhì)的條件有性質(zhì)的條件有什么不同嗎？什么不同嗎？逐項(xiàng)求極限、逐項(xiàng)積分是在收斂域逐項(xiàng)求極限、逐項(xiàng)積分是在收斂域I上；上；而逐項(xiàng)求導(dǎo)限制在收斂域區(qū)間而逐項(xiàng)求導(dǎo)限制在收斂域區(qū)間(-R,R)內(nèi)內(nèi).例例1. 1nnxn求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解解: 易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 1 , x1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā),)1,1(時(shí)故當(dāng)x1)(nnxnxS1)(nnxxx

14、xx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx散,例例2. 求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù)01nnnx的和函數(shù). )(xS解解: 易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 1 , 時(shí)級(jí)數(shù)且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及收斂 , 有時(shí)則當(dāng),0 x0111nnnxxxnnxxx00d1) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1ln(1xx因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:)(xS而)0(S,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x及解解: 級(jí)數(shù)的收斂半徑級(jí)數(shù)的收斂半徑 R+.例例3.0!nnnx求

15、冪級(jí)數(shù)0!)(nnnxxS)(x那么11! ) 1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(x故有0)(xSexxeCxS)(,)(1)0(xexSS 得由故得.!0 xnnenx的和函數(shù) .因此得設(shè)例例4.2) 1(122的和求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)nnn解解: 設(shè)設(shè),1)(22nnnxxS那么, )1, 1(x2112nnnxx21121nnnxx)0( x12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(21nnnx 101dnxnxx而xxxnnd011 xxx01d)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS故222) 1(1nnn)0( x1212)(nnnxxxxS)2(212x

16、xx21S2ln4385)0( x內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法1) 對(duì)標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)先求收斂半徑 , 再討論端點(diǎn)的收斂性 .2) 對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)(缺項(xiàng)或通項(xiàng)為復(fù)合式)求收斂半徑時(shí)直接用比值法或根值法,2. 冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)兩個(gè)冪級(jí)數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與)0(0nnnnaxa也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求 .乘法運(yùn)算. 2) 在收斂區(qū)間內(nèi)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3) 冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)和求積分.第四節(jié)兩類問題: 在收斂域內(nèi)和函數(shù))(xSnnnxa0冪級(jí)數(shù)求 和展展 開開本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開成冪級(jí)

17、數(shù) 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 第十一章 一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中)(xRn( 在 x 與 x0 之間)稱為拉格朗日余項(xiàng) .10) 1()(! ) 1()(nnxxnf則在若函數(shù)0)(xxf在的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù), 此式稱為 f (x) 的 n 階泰勒公式 ,該鄰域內(nèi)有 :)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(為f (x) 的泰勒級(jí)數(shù) . 則稱當(dāng)x0 = 0 時(shí), 泰勒級(jí)數(shù)又稱為麥克勞林級(jí)數(shù) .1) 對(duì)

18、此級(jí)數(shù), 它的收斂域是什么 ？2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否為 f (x) ?待解決的問題待解決的問題 :若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 0)(xxf在定理定理1 .各階導(dǎo)數(shù), )(0 x那么 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是 f (x) 的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足:.0)(limxRnn證明證明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf令)()()(1xRxSxfnn)(limxRnn)()(lim1xSxfnn,0)(0 xxknkknxxkxfxS)(!)()(000)(1)(0 xx設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一鄰域 內(nèi)具有定理定理2.假設(shè) f (x)

19、能展成 x 的冪級(jí)數(shù), 則這種展開式是唯一的 , 且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.證證: 設(shè)設(shè) f (x) 所展成的冪級(jí)數(shù)為所展成的冪級(jí)數(shù)為),(,)(2210RRxxaxaxaaxfnn那么;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;) 1(!2)(22 nnxannaxf)0(!212fa ;!)()(nnanxf)0()(!1nnnfa 顯然結(jié)論成立 .)0(0fa 二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 1. 直接展開法直接展開法由泰勒級(jí)數(shù)理論可知, 展開成冪級(jí)數(shù)的步函數(shù))(xf第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;第二步 寫出麥克勞林級(jí)數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ;

20、第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi))(limxRnn是否為驟如下 :展開方法展開方法直接展開法 利用泰勒公式間接展開法 利用已知其級(jí)數(shù)展開式0. 的函數(shù)展開例例1. 將函數(shù)將函數(shù)xexf)(展開成 x 的冪級(jí)數(shù). 解解: ,)()(xnexf), 1 ,0(1)0()(nfn1其收斂半徑為 對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足 )(xRne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxn故,!1!31!21132nxxnxxxenRlim!1n! ) 1(1nn0),(x( 在0與x 之間)x2!21x3!31xnxn!1故得級(jí)數(shù) 例例2. 將將xxfsin)(展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: )(

21、)(xfn)0()(nf得級(jí)數(shù):x)sin(2nx其收斂半徑為 ,R對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足 )(xRn) 1(sin(2 n! ) 1( n1nx! ) 1(1nxn12kn),2, 1,0(k3!31x5!51x12! )12(1) 1(kkkx),(xxsinn0kn2,) 1(k,012! )12(15!513!31) 1(kkkxxxxkkxkxxx242! )2(1) 1(!41!211cos類似可推出:),(x),(x1253! ) 12(1) 1(!51!31sinkkxkxxxx(見P281頁) 例例3. 將函數(shù)將函數(shù)mxxf)1 ()(展開成 x 的冪級(jí)數(shù), 其中m

22、為任意常數(shù) . 解解: 易求出易求出 , 1)0(f,)0(mf, ) 1()0( mmf, ) 1()2)(1()0()(nmmmmfn于是得 級(jí)數(shù) mx12!2) 1(xmm由于1limnnnaaRnmnn1lim1nxnnmmm!) 1() 1(級(jí)數(shù)在開區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂. 因此對(duì)任意常數(shù) m, 11, )(xxF2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(1! ) 1() 1() 1(111)(nxnnmmxmmxFxmxF1)()()1 (xFx),(xmFmxxF)1 ()(xxxxmxxFxF00d1d)()()1ln()0(ln)(lnxmFxF1)0(F那么為

23、避免研究余項(xiàng) , 設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x稱為二項(xiàng)展開式 .說明：說明：(1) 在 x1 處的收斂性與 m 有關(guān) .(2) 當(dāng) m 為正整數(shù)時(shí), 級(jí)數(shù)為 x 的 m 次多項(xiàng)式, 上式 就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理.由此得 對(duì)應(yīng)1,2121m的二項(xiàng)展開式分別為xx21112421x364231x)11(x48642531x111 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(xnnx) 1(x) 11(1112xxxxxn2. 間接展開法間接展開法211x x11利用一些已知的函數(shù)

24、展開式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì), 例例4. 將函數(shù)將函數(shù)展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: 因?yàn)橐驗(yàn)閚nxxx) 1(12)11(x把 x 換成2x211xnnxxx242) 1(1)11(x, 得將所給函數(shù)展開成 冪級(jí)數(shù). 例例5. 將函數(shù)將函數(shù))1ln()(xxf展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: xxf11)()11() 1(0 xxnnn從 0 到 x 積分xxxxnnnd) 1()1ln(00,1) 1(01nnnxn定義且連續(xù), 區(qū)間為.11x利用此題可得11) 1(41312112lnnn11x11x上式右端的冪級(jí)數(shù)在 x 1 收斂 ,有在而1)1ln(xx所以展開式對(duì) x 1 也是成立的,于是收

25、斂得例例6. 將將xsin展成4x解解: )(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx2132)4(!31)4(!21)4(121xxx)(x的冪級(jí)數(shù). 2)4(!21x4)4(!41x1)4(x3)4(!31x5)4(!51x例例7. 將將3412 xx展成 x1 的冪級(jí)數(shù). 解解: )3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x 4121x222) 1(xnnnx2) 1() 1( 81141x224) 1(xnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x1內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法(1) 直接展開法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法 利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開2. 常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式xe1),(x)1 (l