用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形課件

1、線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回第第5 5節(jié)節(jié) 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 一、正交變換一、正交變換二、利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二、利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形下頁(yè)線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回5.1 5.1 正交變換的概念與性質(zhì)正交變換的概念與性質(zhì)定義定義1 設(shè)設(shè)P為為n階正交矩陣，階正交矩陣，X,Y是都是是都是n維向量維向量，稱線性變換稱線性變換 性質(zhì)性質(zhì)1 正交變換是可逆線性變換；正交變換是可逆線性變換； 性質(zhì)性質(zhì)2 正交變換不改變向量的內(nèi)積正交變換不改變向量的內(nèi)積. .下頁(yè)XPY為正交變換為正交變換.正交變換的概念正交變換的概念正交變換的性質(zhì)正交變換的性質(zhì)證明：證明：因?yàn)橐驗(yàn)?

2、,)(,)X XPY PY() ()TPYPYTTY P PY()TTYP P YTY Y( , ).Y Y線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回5.2 5.2 實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)定理定理2 實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是正交的實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是正交的. 定理定理1 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值是實(shí)數(shù)；實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值是實(shí)數(shù)；實(shí)對(duì)稱矩陣A的的 ri 重特重特征值征值l li 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) ri 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.下頁(yè)定理定理3 設(shè)設(shè)A為為n 階實(shí)對(duì)稱矩陣，則必有正交矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣，則必有正交矩陣P 使使1TP APP AP12(,),ndiagl

3、 ll 其中其中為為A的的n個(gè)特征值，個(gè)特征值，nlll,21正交矩陣正交矩陣P 的的n個(gè)列向量個(gè)列向量是矩陣是矩陣A對(duì)應(yīng)于這對(duì)應(yīng)于這n個(gè)特征值的標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量個(gè)特征值的標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量.線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回5.3 5.3 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（要求：熟練掌握?。ㄒ螅菏炀氄莆眨。?(1) 寫(xiě)出二次型的矩陣形式；寫(xiě)出二次型的矩陣形式； (2) 求出求出A的全部特征值的全部特征值l l1, l l2 , , l ln ； (3) 對(duì)每一個(gè)特征值對(duì)每一個(gè)特征值l li , 解方程解方程 (l li E-A )X=o, 求出基礎(chǔ)解系，求出基礎(chǔ)解系， 然后用施密

4、特正交化方法將其正交化，再標(biāo)準(zhǔn)化；然后用施密特正交化方法將其正交化，再標(biāo)準(zhǔn)化； (4) 將所有經(jīng)過(guò)正交化標(biāo)準(zhǔn)化的特征向量作為列向量構(gòu)成一將所有經(jīng)過(guò)正交化標(biāo)準(zhǔn)化的特征向量作為列向量構(gòu)成一 個(gè)矩陣就得到了正交矩陣個(gè)矩陣就得到了正交矩陣P，所求的正交變換為，所求的正交變換為 XPY； (5) 所求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為所求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為2221122.nnfyyylll下頁(yè)線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回例例1.1. 用正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形323121232221321484363),(xxxxxxxxxxxxf解解: : 二次型的二次型的 f 系數(shù)矩陣為系數(shù)矩陣為324262

5、 ,423A 矩陣矩陣A的特征方程為的特征方程為324262423llllAE0)7)(2(2ll解得解得 l l1=-2, =-2, l l2= =l l3=7=7724)7(262023llll124262023)7(lll1240210023)7(lll21023)7(lll下頁(yè)線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回 對(duì)于對(duì)于l l1 1=-2=-2，解方程組，解方程組( (- -2 2E- -A) )X= =o,1(2,1,2) ,T得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系T) 1, 0 , 1 (2，T)2 , 4, 0(3. 將其正交化得將其正交化得將其單位化得將其單位化得12 1 2( , ) .3 3 3T將其單位

6、化得將其單位化得222(,0,) ,22T322 22(,) .636TT) 1, 0 , 1 (23,(1, 4,1)T得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系下頁(yè)解得解得 l l1=-2, =-2, l l2= =l l3=7=7 對(duì)于對(duì)于l l2 2= =l l3=7=7，解方程組，解方程組(7(7E- -A) )X= =o,例例1.1. 用正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形323121232221321484363),(xxxxxxxxxxxxf線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回12322232612 2,0,33222326P 令令則通過(guò)正交變換則通過(guò)正交變換11223322232612 20

7、,33222326xyxyxy222123277.fyyy 下頁(yè)例例1.1. 用正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形323121232221321484363),(xxxxxxxxxxxxf將二次型將二次型 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回例例2. 已知二次型已知二次型)0(2334),(32232221321axaxxxxxxxf通過(guò)正交變換通過(guò)正交變換X=PY化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形,442232221yyyf變換矩陣變換矩陣P 解：解：f 的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣A及標(biāo)準(zhǔn)形及標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)矩陣分別為的系數(shù)矩陣分別為3030004aaA200,040 .004 由已

8、知條件得由已知條件得 即即 4(9- a2) =32，解得解得 a=1, a= -1 (舍去舍去). 由由A相似于對(duì)角陣相似于對(duì)角陣，得，得A的的 特征值為特征值為 l l1 1= =2，l l2 2= =l l3 3= =4 對(duì)于對(duì)于l l1 1= =2 ，解方程組，解方程組(2E-A)X=o,得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系1(0,1, 1) ,T下頁(yè)故故A相似于對(duì)角陣相似于對(duì)角陣，所以有，所以有 A,TP AP 1P AP求求a及正交及正交線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回把把 1單位化，得對(duì)應(yīng)于單位化，得對(duì)應(yīng)于l l1 1= =2的單位特征向量的單位特征向量111(0,) ;22T 對(duì)于對(duì)于l l2 2= =l

9、 l3 3=4 =4 ，解方程組，解方程組(4E- -A)X= =o,（注意求基礎(chǔ)解系的過(guò)程）（注意求基礎(chǔ)解系的過(guò)程）4EA 4- 4 0 0 00-1 4-3 30 4-3 0-1 0 0 0 0 -11 01 -100 00 0100-1下頁(yè)例例2. 已知二次型已知二次型)0(2334),(32232221321axaxxxxxxxf通過(guò)正交變換通過(guò)正交變換X=PY化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形,442232221yyyf變換矩陣變換矩陣P求求a及正交及正交線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回4EA 4-4 0 0 00-1 4-304-30-1 0 0 0 0 -11 01 -100 01 00-10000 00

10、 0100-1(4E A)X o 的一般解為的一般解為 x2 0 x1 x3 ,其基礎(chǔ)解系為其基礎(chǔ)解系為2(1, 0, 0) ,T3(0, 1, 1) .T下頁(yè)例例2. 已知二次型已知二次型)0(2334),(32232221321axaxxxxxxxf通過(guò)正交變換通過(guò)正交變換X=PY化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形,442232221yyyf變換矩陣變換矩陣P求求a及正交及正交線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回2(1, 0, 0) ,T311(0,) .22T所求的正交矩陣為所求的正交矩陣為12301011(,)0.2211022P 下頁(yè)00 01 00-100(4E A)X o 的一般解為的一般解為 x2 0 x1

11、 x3 ,其基礎(chǔ)解系為其基礎(chǔ)解系為2(1, 0, 0) ,T3(0, 1, 1) .T例例2. 已知二次型已知二次型)0(2334),(32232221321axaxxxxxxxf通過(guò)正交變換通過(guò)正交變換X=PY化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形,442232221yyyf變換矩陣變換矩陣P求求a及正交及正交將將 2, 3正交化標(biāo)準(zhǔn)化得正交化標(biāo)準(zhǔn)化得線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回例例3. 已知二次型已知二次型323121232221321222),(xxxxxbxxaxxxxxf通過(guò)正交變換通過(guò)正交變換X=PY化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形23224yyf,求求a , b的值及正交及的值及正交及正交變換矩陣正交變換矩陣P111

12、111abbA000,010 .004 由由A相似于對(duì)角陣相似于對(duì)角陣, 得得A的的 特征值為特征值為 l l1 1= =0, ,l l2 2=1,=1,l l3 3=4=4 對(duì)于對(duì)于l l1 1= =0, ,解方程組解方程組(0E - A)X=o,得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系1(1, 0,1) ,T下頁(yè)由已知條件得由已知條件得故故A相似于對(duì)角陣相似于對(duì)角陣，所以，所以 A Tr(A)= Tr(),TP AP 1P AP2(1)025ba 3.1ab, 解得解得即即 解：解：f 的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣A及標(biāo)準(zhǔn)形及標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)矩陣分別為的系數(shù)矩陣分別為線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回把把 1單位化，得對(duì)應(yīng)于單位化，得對(duì)應(yīng)于l l1= =0的單位特征向量的單位特征向量111(, 0,) ,22T類似可得對(duì)應(yīng)于類似可得對(duì)應(yīng)于l l= =的單位的單位特征向量為特征向量為2111(,) ,333T對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于l l= =的單位特征向量為的單位特征向量為3121(,) ,66