勾股定理知識點及練習(xí)

1、2cm。7cm,則正方形A, B, C, D的面積之和為/【練習(xí)1】如圖2,（1）求圖中格點四邊形 ABCD勺面積和周長。BA1-C-D-勾股定理知識總結(jié)一：勾股定理直角三角形兩直角邊 a、b的平方和等于斜邊 c的平方。（即：a2+b2= c2） 要點詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系,是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩 （3 ）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題 二：勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長：a、b、c,則有關(guān)系a2+b2 = c2,那么這個三角形是直角三角形。 要點詮

2、釋：用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形應(yīng)注意：（1 ）首先確定最長邊，不妨設(shè)最長邊長為：c ；（2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若 c2 = a2+b2，則 ABC是以/ C為直角的直角三 角形（若c2>a2+b2,則厶ABC是以/ C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2,則厶ABC為銳角三角形）。 三：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。 四：互逆命題的概念我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，

3、那么另 一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理） 規(guī)律方法指導(dǎo)1 勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。2 勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān) 系的題目。3 勾股定理在應(yīng)用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應(yīng)用過程中易犯 的主要錯誤。4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a, b, c （c是最長邊）有下列關(guān)系: a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法.5. ?應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進(jìn)行代數(shù)運

4、 _ 通過學(xué)習(xí)加深對“數(shù)形結(jié)合”的理解.類題總結(jié)類型一：等面積法求高（直角三角形的面積=兩直角邊乘積的二分之一（或斜邊與斜邊上高的 乘積的二分之一）【例題】如右圖， ABC中，/ ACB=90, AC=7, BC=24 CD!AB于 Db（1 ）求AB的長; （2 ）求CD的長。類型二：面積問題【例題】如圖1,所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大 的正方形的邊長為圖2每個小方格都是邊長為 1的正方形，（2）求/ ADC的度數(shù)。【練習(xí)2】如圖3，四邊形ABCD是正方形，AE丄BE，且AE =3cm BE=4cm,陰影 部分的面積是.【練習(xí)3】如圖4，字母B所代表的正方形的

5、面積是（）A.12 B.13 C.144 D.194類型三：距離最短問題【例題】 如右圖，A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流 CD的同側(cè)，分別到河的 距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建 一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費用為每千米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M,使鋪設(shè)水管的費用最節(jié)省， 并求出總費用是多少？【練習(xí)1】如圖，一圓柱體的底面周長為 蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點20cm 高AE為4cm,EC是上底面的直徑.一只螞C,試求出爬行的最短路程.類型五：直接考查勾股定理【例題】 在Rt ABC中，/ C=90° 已知 a=6, c=1

6、0，求 b;(2)已知 a=40, b=9，求 c； (3)已知 c=25, b=15,求 a.?！揪毩?xí)2】如圖，一個牧童在小河的南 4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋 B的西8km北7km 處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家他要完成這件事情所走的最短路程是多少？【練習(xí)】：如圖/ B= Z ACD90° , A=13,C=12, B(=3, 則AB的長是多少？A牧童IB十小屋類型四：判斷三角形的形狀【例題】 如果A ABC的三邊分別為a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷A ABC的形 狀。類型六：構(gòu)造應(yīng)用勾股定理【例題】如圖，已知：在 二中，一

7、 ，亠川求：BC勺長.【練習(xí)】四邊形 ABCD中, Z B=90°, AB=3 BC=4, CD=12 AD=13求四邊形 ABCD勺面積。練習(xí)1】已知 ABC的三邊分別為 卅一n2,2mn,m2+ n2(m,n為正整數(shù)，且m> n),判斷 ABC是否 為直角三角形【練習(xí)3】.已知a , b , c為厶ABC三邊，且滿足(a2 b2)(a 2+b2 c2) = 0,則它的形狀為(三角形A. 直角B.等腰 C.等腰直角D.等腰或直角【練習(xí)4】三角形的三邊長為(a b)2 2ab,則這個三角形是()三角形(A)等邊(B)鈍角(C)直角(D)銳角類型七：利用勾股定理作長為 n的線段例

8、1在數(shù)軸上表示"川的點。 作法：如圖所示在數(shù)軸上找到 A點，使OA=3作ACL OA且截取 AC=1,以0。為 _以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點 B即為'I【練習(xí)】在數(shù)軸上表示 13的點。類型八：勾股定理及其逆定理的一般用法【例題】若直角三角形兩直角邊的比是3: 4,斜邊長是20,求此直角三角形的面積?！揪毩?xí)1】如圖所示，折疊矩形的一邊BC=10cm 求 EF 的長?！揪毩?xí)1】等邊三角形的邊長為 2,求它的面積?！揪毩?xí)2】如圖， ABC中, Z C=90°，AB垂直平分線交 BC于D若BC=8 AD=5求AC的長【練習(xí)2】以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（B

9、、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40類型九：生活問題）A、8，15，17【例題】如圖5，在高2米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長至少需 米.【練習(xí)1】種盛飲料的圓柱形杯（如圖6），測得內(nèi)部底面半徑為 2.5 cm，高為12 cm，吸管放進(jìn)杯里，杯口外面至少要露出4.6 cm，問吸管要做 cm?！揪毩?xí)2】如圖7學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路"。他們僅僅少走了 步路（假設(shè)2步為1n），卻踩傷了花草。【練習(xí)3】如圖8，校園內(nèi)有兩棵樹，相距 12米，一棵樹高13米，另一棵樹高8米，一只小 鳥從一棵樹的頂端飛到另

10、一棵樹的頂端，小鳥至少要飛圖6米.類型十：翻折問題【例題】如圖，有一個直角三角形紙片，折疊，使它落在斜邊 AB上，且與AE重合，你能求出 CD的長嗎?1TVT12 米-4圖8兩直角邊AC=6cm BC=8cm現(xiàn)將直角邊 AC沿直線AD一、填空題:勾股定理練習(xí)1. 在 Rt ABC中，Z C=90°（ 1）若 a=5，b=12，則 c=;（2） b=8，c=17，貝V Sabc=。2. 若一個三角形的三邊之比為5 ： 12 ： 13，則這個三角形是 （按角分類）3. 直角三角形的三邊長為連續(xù)自然數(shù)，則其周長為 。4 傳說，古埃及人曾用"拉繩”的方法畫直角 ，現(xiàn)有一根長24厘米

11、的繩子，請你利用它 拉出一個周長為24厘米的直角三角形，那么你拉出的直角三角形三邊的長度分別為厘米,厘米,厘米，其中的道理是 .5. 命題“對頂角相等”的逆命題為 ,它是命題.（填“真”或“假”）6. 觀察下列各式：32+42=52 ; 82+62=102; 152+82=172; 242+102=262;；你發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律是，請用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出接下來的式子： 。7.利用四個全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形， 這個圖形被稱為弦圖（最早由三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽給出的）.從圖中可以看到：大正方形面積=小正方形面積+四a7個直角三角形面積.因而c2=b2c =& 一只螞蟻從長、寬都是

12、3,高是8的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是、選擇題:9 觀察下列幾組數(shù)據(jù)： 8, 15, 17; （2） 7, 12, 15; （3）12, 15, 20;（4） 7, 24, 25.其中能作為直角三角形的三邊長的有（） 組A. 1B. 2 C. 3D. 410 三個正方形的面積如圖，正方形A的邊長為（）A. 6B.36 C. 64 D. 811. 已知直角三角形的兩條邊長分別是5和12,則第三邊為（）A.13E. .119C.1 3或 119D.不能確定19 .有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線長，

13、已知門寬4尺，求竹竿高與門高。20 .一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻a7米，（1）這個梯子的頂端距地面有多高？ （2）如果梯子的頂端下滑了 4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？AO4B 第20題12. 下列命題如果a、b、c為一組勾股數(shù)，那么4a、4b、4c仍是勾股數(shù)；如果直角三角形的兩邊是5、12 ,那么斜邊必是13;如果一個三角形的三邊是12、25、21,那么此三角形必是直角三角形；一個等腰直角三角形的三邊是a、b、c, （a>b=c）,那么a2 : b2 : c2=2 :1 ： 1。其中正確的是（）A 、B C、D、13. 三角形的三邊長為（a+b） 2

14、=c2+2ab,則這個三角形是（）A.等邊三角形；B. 鈍角三角形；C. 直角三角形；D.銳角三角形.14. 如圖一輪船以16海里/時的速度從港口 A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口 A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（）A、25海里B 30海里C 35海里D 40海里15.已知等腰三角形的腰長為10,一腰上的高為6,則以底邊為邊長的正方形的面積為（80C、40 或 360 D 80 或 360計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已 a元，則購買這種草皮至少需要（225a 元 C 150a 元A、40B16 .某市在舊城改造中, 知這種草皮每平方米售價A、450a 元B20m- .30m第16題圖)D21.如右圖，將正方形 ABCD折疊，使頂點交BC于F,邊AB折疊后與BC邊交于點G求證：DE DM EM=3 4: 5。17 .如圖9,在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有 AB 直角三角形三邊的線段是（）CD EF