經(jīng)典相似三角形練習(xí)題(附參考答案)(匯編)

1、精品文檔相似三角形一解答題（共30 小題）6如圖， E 是 ?ABCD的邊 BA延長線上一點，連接EC，交 AD于點 F在不添加輔助線1如圖，在 ABC中， DE BC，EF AB，求證： ADE EFC的情況下，請你寫出圖中所有的相似三角形，并任選一對相似三角形給予證明2如圖，梯形ABCD中， AB CD，點 F 在 BC上，連 DF與 AB的延長線交于點G（ 1）求證： CDF BGF；（ 2）當(dāng)點 F 是 BC的中點時，過 F 作 EFCD交 AD于點 E，若 AB=6cm，EF=4cm，求CD的長3如圖，點D， E 在 BC上，且 FD AB， FE AC求證： ABC FDE4如圖，

2、已知E 是矩形 ABCD的邊 CD上一點， BF AE 于 F，試說明： ABF EAD7如圖，在 4× 3 的正方形方格中， ABC和 DEF 的頂點都在邊長為 1 的小正方形的頂點上（1）填空： ABC=_°， BC=_；（2）判斷 ABC與 DEC是否相似，并證明你的結(jié)論8如圖，已知矩形ABCD的邊長 AB=3cm， BC=6cm某一時刻，動點M從 A 點出發(fā)沿AB 方向以 1cm/s 的速度向B 點勻速運動；同時，動點 N 從 D點出發(fā)沿 DA方向以 2cm/s 的速度向 A 點勻速運動，問：（1）經(jīng)過多少時間， AMN的面積等于矩形 ABCD面積的 ？（2）是否存

3、在時刻 t ，使以 A，M， N 為頂點的三角形與 ACD相似？若存在，求 t 的值；若不存在，請說明理由5已知：如圖所示，在ABC和 ADE中， AB=AC， AD=AE， BAC= DAE，且點 B，9如圖，在梯形 ABCD中，若 AB DC， AD=BC，對角線 BD、 AC把梯形分成了四個小A， D在一條直線上，連接BE， CD， M， N分別為 BE， CD的中點三角形（ 1）求證： BE=CD； AMN是等腰三角形；（1）列出從這四個小三角形中任選兩個三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩（ 2）在圖的基礎(chǔ)上， 將 ADE繞點 A 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 180°，其他條件不變

4、， 得個三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）到圖所示的圖形請直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立；（2）請你任選一組相似三角形，并給出證明（ 3）在（ 2）的條件下，請你在圖中延長ED交線段 BC于點 P求證： PBDAMN10如圖 ABC中， D為 AC上一點， CD=2DA，BAC=45°，BDC=60°，CE BD于 E，連接 AE（1）寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；精品文檔精品文檔（ 2）圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由；（ 3）求 BEC與 BEA的面積之比11如圖，在 ABC中， AB=AC=a， M為底邊

5、 BC上的任意一點，過點 M分別作 AB、AC的平行線交 AC于 P，交 AB于 Q（ 1）求四邊形 AQMP的周長；（ 2）寫出圖中的兩對相似三角形（不需證明）；（ 3） M位于 BC的什么位置時，四邊形 AQMP為菱形并證明你的結(jié)論12已知： P 是正方形 ABCD的邊 BC上的點，且BP=3PC， M是 CD的中點，試說明： ADM MCP13如圖，已知梯形ABCD中， AD BC， AD=2， AB=BC=8， CD=10（ 1）求梯形 ABCD的面積 S；（ 2）動點 P 從點 B 出發(fā)，以 1cm/s 的速度，沿 B? A? D? C 方向，向點 C 運動；動點Q從點 C 出發(fā)，以

6、 1cm/s 的速度，沿 C? D? A 方向，向點 A 運動，過點 Q作 QEBC 于點 E若 P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達目的地時整個運動隨之結(jié)束，設(shè)運動時間為t 秒問：當(dāng)點 P 在 B? A 上運動時，是否存在這樣的t ，使得直線PQ將梯形 ABCD的周長平分？若存在，請求出t 的值；若不存在，請說明理由；在運動過程中， 是否存在這樣的t ，使得以 P、A、D 為頂點的三角形與CQE相似？若存在，請求出所有符合條件的t 的值；若不存在，請說明理由；在運動過程中，是否存在這樣的t ，使得以P、 D、 Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在， 請求出所有符合條件的 t

7、的值；若不存在， 請說明理由14已知矩形 ABCD，長 BC=12cm，寬 AB=8cm，P、Q分別是 AB、BC上運動的兩點若 P 自點 A 出發(fā)，以 1cm/s 的速度沿 AB方向運動， 同時， Q自點 B 出發(fā)以 2cm/s 的速度沿 BC方向運動，問經(jīng)過幾秒，以 P、 B、Q為頂點的三角形與 BDC相似？15如圖，在 ABC中， AB=10cm，BC=20cm，點 P 從點 A 開始沿 AB 邊向 B 點以 2cm/s 的速度移動， 點 Q從點 B 開始沿 BC邊向點 C以 4cm/s 的速度移動， 如果 P、Q分別從A、 B 同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘，PBQ與 ABC相似16如圖， A

8、CB= ADC=90°， AC= ， AD=2問當(dāng) AB的長為多少時，這兩個直角三角形相似17已知，如圖，在邊長為 a 的正方形 ABCD中， M是 AD的中點，能否在邊 AB上找一點 N（不含 A、 B），使得 CDM與 MAN相似？若能，請給出證明，若不能，請說明理由18如圖在 ABC中，C=90°，BC=8cm，AC=6cm，點 Q從 B 出發(fā)，沿 BC方向以 2cm/s 的速度移動， 點 P 從 C出發(fā)，沿 CA方向以 1cm/s 的速度移動 若 Q、P 分別同時從 B、C 出發(fā)，試探究經(jīng)過多少秒后，以點C、P、 Q為頂點的三角形與CBA相似？精品文檔精品文檔19如

9、圖所示，梯形 ABCD中， AD BC， A=90°， AB=7， AD=2， BC=3，試在腰 AB 上確定點 P 的位置，使得以 P，A，D為頂點的三角形與以 P，B，C為頂點的三角形相似20 ABC和 DEF是兩個等腰直角三角形，A=D=90°， DEF的頂點 E 位于邊 BC的中點上（ 1）如圖 1，設(shè) DE與 AB 交于點 M， EF與 AC交于點 N，求證： BEM CNE；（ 2）如圖 2，將 DEF繞點 E 旋轉(zhuǎn)，使得 DE與 BA的延長線交于點 M，EF 與 AC交于點 N，于是，除（ 1）中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形并證明你的結(jié)論21如

10、圖，在矩形 ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，點 P 沿 AB邊從點 A 開始向 B 以 2cm/s 的速度移動； 點 Q沿 DA邊從點 D 開始向點 A 以 1cm/s 的速度移動 如果 P、Q同時出發(fā)，用 t （秒）表示移動的時間，那么當(dāng) t 為何值時，以點 Q、A、P 為頂點的三角形與 ABC相似22如圖，路燈（ P 點）距地面 8 米，身高 1.6 米的小明從距路燈的底部（ O點） 20 米的 A 點，沿 OA所在的直線行走 14 米到 B 點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？23陽光明媚的一天， 數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?nèi)y量一棵樹的高度 （這棵樹底部可以到

11、達，頂部不易到達） ，他們帶了以下測量工具：皮尺，標(biāo)桿，一副三角尺，小平面鏡請你在他們提供的測量工具中選出所需工具，設(shè)計一種測量方案（ 1）所需的測量工具是：_ ；（ 2）請在下圖中畫出測量示意圖；（3）設(shè)樹高 AB 的長度為x，請用所測數(shù)據(jù)（用小寫字母表示）求出x24問題背景在某次活動課中，甲、乙、丙三個學(xué)習(xí)小組于同一時刻在陽光下對校園中一些物體進行了測量下面是他們通過測量得到的一些信息：甲組：如圖1，測得一根直立于平地，長為 80cm的竹竿的影長為60cm乙組：如圖2，測得學(xué)校旗桿的影長為 900cm丙組：如圖 3，測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體其粗細(xì)忽略不計）的高度為200cm

12、，影長為 156cm任務(wù)要求：（ 1）請根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計算出學(xué)校旗桿的高度；（ 2）如圖 3，設(shè)太陽光線 NH與 O相切于點 M請根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑 （友情提示：如圖 3，景燈的影長等于線段 NG的影長；需要時可采用等式 1562+2082=2602）精品文檔精品文檔27如圖，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S ，1S2， S3表示，則不難證明S1=S2+S3（1）如圖， 分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形， 其面積分別用S1，S ， S 表示，那么 S ， S ， S 之間有什么關(guān)系； （不必證明）23123（2）如圖

13、，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S1、 S2、 S3 表示，請你確定S1，S2， S3 之間的關(guān)系并加以證明；（3）若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用S1，25陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下2.7m 寬的亮區(qū) （如圖所示），已知亮區(qū)S ，S 表示，為使 S ，S ，S 之間仍具有與（ 2）相同的關(guān)系，所作三角形應(yīng)滿足什么23123到窗口下的墻腳距離EC=8.7m，窗口高 AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高 BC條件證明你的結(jié)論；（4）類比（ 1），（ 2），（ 3）的結(jié)論，請你總結(jié)出一個更具一般意義的結(jié)論26如圖，李華晚上

14、在路燈下散步已知李華的身高AB=h，燈柱的高OP=O P=l ，兩燈柱之間的距離OO=m（ 1）若李華距燈柱OP的水平距離OA=a，求他影子AC的長；（ 2）若李華在兩路燈之間行走，則他前后的兩個影子的長度之和（ DA+AC）是否是定28已知：如圖，ABC ADE， AB=15， AC=9，BD=5求 AE值請說明理由；（ 3）若李華在點 A 朝著影子（如圖箭頭）的方向以 v1 勻速行走，試求他影子的頂端在地面上移動的速度 v229已知：如圖Rt ABC Rt BDC，若 AB=3， AC=4（1）求 BD、CD的長；（2）過 B 作 BE DC于 E，求 BE的長精品文檔精品文檔30（ 1）

15、已知，且 3x+4z 2y=40 ，求 x， y，z 的值；（ 2）已知：兩相似三角形對應(yīng)高的比為3： 10，且這兩個三角形的周長差為560cm，求它們的周長一解答題（共30 小題）1如圖，在 ABC中， DE BC，EF AB，求證： ADE EFC解答： 證明： DE BC， DEFC， AED= C又 EF AB， EFAD， A= FEC ADE EFC點評： 本題考查的是平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理2如圖，梯形ABCD中， AB CD，點 F 在 BC上，連 DF與 AB的延長線交于點G（ 1）求證： CDF BGF；（ 2）當(dāng)點 F 是 BC的中點時，過 F 作 EFCD交

16、AD于點 E，若 AB=6cm，EF=4cm，求CD的長解答：（ 1）證明：梯形 ABCD， AB CD， CDF= FGB， DCF= GBF，（2 分） CDF BGF（ 3 分）（ 2）解：由（ 1） CDF BGF，又 F 是 BC的中點， BF=FC， CDF BGF，精品文檔 DF=GF， CD=BG，（ 6 分）AB DCEF， F 為 BC中點，E 為 AD中點， EF 是 DAG的中位線， 2EF=AG=AB+BG BG=2EFAB=2× 46=2， CD=BG=2cm（ 8 分）3如圖，點D， E 在 BC上，且 FD AB，F(xiàn)E AC求證： ABC FDE解答：

17、 證明： FD AB， FE AC， B= FDE， C=FED， ABC FDE4如圖，已知 E 是矩形 ABCD的邊 CD上一點， BF AE于 F，試說明： ABF EAD解答： 證明：矩形 ABCD中， AB CD， D=90°，（ 2 分） BAF=AED（ 4 分） BF AE， AFB=90° AFB=D（ 5 分） ABF EAD（ 6 分）點評： 考查相似三角形的判定定理，關(guān)鍵是找準(zhǔn)對應(yīng)的角5已知：如圖所示，在 ABC和 ADE中， AB=AC，AD=AE， BAC= DAE，且點 B，A， D在一條直線上，連接 BE，CD， M， N分別為 BE， CD

18、的中點（ 1）求證： BE=CD； AMN是等腰三角形；（ 2）在圖的基礎(chǔ)上， 將 ADE繞點 A 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 180°，其他條件不變， 得到圖所示的圖形請直接寫出（ 1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立；（3）在（ 2）的條件下，請你在圖中延長ED交線段 BC于點 P求證： PBDAMN解答： （1）證明：BAC= DAE， BAE= CAD， AB=AC， AD=AE， ABE ACD， BE=CD精品文檔由 ABE ACD，得 ABE= ACD， BE=CD， M、N 分別是 BE， CD的中點， BM=CN又 AB=AC， ABM ACN AM=AN，即 AMN為等腰三角形（

19、2）解：（ 1）中的兩個結(jié)論仍然成立（ 3）證明：在圖中正確畫出線段 PD，由（ 1）同理可證 ABM ACN， CAN= BAM BAC= MAN又 BAC= DAE， MAN= DAE= BAC AMN， ADE和 ABC都是頂角相等的等腰三角形 PBD和 AMN都為頂角相等的等腰三角形， PBD= AMN， PDB= ANM， PBD AMN6如圖， E 是?ABCD的邊 BA 延長線上一點，連接EC，交 AD于點 F在不添加輔助線的情況下，請你寫出圖中所有的相似三角形，并任選一對相似三角形給予證明分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)和兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似這一判定定理可證明圖中相似三角形有：A

20、EF BEC； AEF DCF； BEC DCF解答：解：相似三角形有 AEF BEC； AEF DCF； BEC DCF（3 分）如： AEF BEC在 ?ABCD中， AD BC， 1= B， 2= 3（ 6 分） AEF BEC（ 7 分）7如圖，在 4× 3 的正方形方格中， ABC和 DEF的頂點都在邊長為 1 的小正方形的頂點上（ 1）填空： ABC=135°°， BC=；（ 2）判斷 ABC與 DEC是否相似，并證明你的結(jié)論解答： 解：（ 1） ABC=135°， BC=；（ 2）相似；精品文檔BC=， EC=；，；又 ABC=CED=13

21、5°， ABC DEC8如圖，已知矩形 ABCD的邊長 AB=3cm， BC=6cm某一時刻，動點 M從 A 點出發(fā)沿AB方向以 1cm/s 的速度向 B 點勻速運動；同時，動點 N 從 D 點出發(fā)沿 DA方向以 2cm/s 的速度向 A 點勻速運動，問：（ 1）經(jīng)過多少時間， AMN的面積等于矩形 ABCD面積的 ？（ 2）是否存在時刻 t ，使以 A，M， N 為頂點的三角形與 ACD相似？若存在，求 t的值；若不存在，請說明理由解：（ 1）設(shè)經(jīng)過x 秒后， AMN的面積等于矩形ABCD面積的，則有：（ 6 2x） x=× 3× 6，即 x2 3x+2=0，（

22、 2 分）解方程，得 x1=1， x2=2，（3 分）經(jīng)檢驗，可知 x1=1， x2=2 符合題意，所以經(jīng)過 1 秒或 2 秒后， AMN的面積等于矩形ABCD面積的（ 4 分）（ 2）假設(shè)經(jīng)過 t 秒時，以 A，M， N 為頂點的三角形與 ACD相似，由矩形 ABCD，可得 CDA= MAN=90°，因此有或（5分）即，或（ 6 分）精品文檔解，得t=；解，得t=（ 7 分）經(jīng)檢驗， t=或 t=都符合題意，所以動點M，N 同時出發(fā)后，經(jīng)過秒或秒時，以 A， M，N 為頂點的三角形與 ACD相似（ 8 分）9如圖，在梯形ABCD中，若 AB DC， AD=BC，對角線BD、 AC把

23、梯形分成了四個小三角形（ 1）列出從這四個小三角形中任選兩個三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個三角形是相似三角形的概率是多少； （注意：全等看成相似的特例）（ 2）請你任選一組相似三角形，并給出證明解答： 解：（ 1）任選兩個三角形的所有可能情況如下六種情況：，（2 分）其中有兩組（，）是相似的選取到的二個三角形是相似三角形的概率是P= （4 分）證明：（ 2）選擇、證明在 AOB與 COD中， ABCD， CDB= DBA， DCA= CAB， AOB COD（ 8 分）選擇、證明四邊形ABCD是等腰梯形， DAB= CBA，在 DAB與 CBA中有AD=BC， DAB= CAB， A

24、B=AB， DAB CBA，（ 6 分） ADO= BCO又 DOA= COB， DOA COB（ 8 分）點評： 此題考查概率的求法：如果一個事件有n 種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A 出現(xiàn) m種結(jié)果，那么事件A 的概率 P（ A）=，即相似三角形的證明還考查了相似三角形的判定10附加題：如圖 ABC中， D 為 AC上一點， CD=2DA， BAC=45°， BDC=60°， CE BD于 E，連接 AE（ 1）寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；（ 2）圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由；（ 3）求 BEC與 BEA的面積之比解答：

25、解：（ 1） AD=DE， AE=CECE BD， BDC=60°，在 Rt CED中， ECD=30° CD=2ED CD=2DA，AD=DE， DAE=DEA=30°= ECD AE=CE（2）圖中有三角形相似，ADE AEC； CAE=CAE， ADE= AEC， ADE AEC；（ 3）作 AF BD的延長線于 F，設(shè) AD=DE=x，在 Rt CED中，可得 CE=，故 AE= ECD=30°在 Rt AEF中， AE=， AED= DAE=30°，sin AEF=，AF=AE?sin AEF=精品文檔精品文檔點評：本題主要考查了直角

26、三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及三角形面積的求法等，范圍較廣11如圖，在 ABC中， AB=AC=a， M為底邊 BC上的任意一點，過點 M分別作 AB、AC的平行線交 AC于 P，交 AB于 Q（ 1）求四邊形 AQMP的周長；（ 2）寫出圖中的兩對相似三角形（不需證明）；（ 3） M位于 BC的什么位置時，四邊形 AQMP為菱形并證明你的結(jié)論解答： 解：（ 1） ABMP， QMAC，四邊形 APMQ是平行四邊形， B= PMC， C= QMB AB=AC， B= C， PMC= QMB BQ=QM，PM=PC四邊形 AQMP的周長 =AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+

27、AC=2a（ 2） PM AB， PCM ACB， QM AC， BMQ BCA；（ 3）當(dāng)點 M中 BC的中點時，四邊形 APMQ是菱形，點 M是 BC的中點， AB MP， QM AC， QM，PM是三角形 ABC的中位線 AB=AC， QM=PM=AB= AC又由（ 1）知四邊形APMQ是平行四邊形，平行四邊形APMQ是菱形12已知： P 是正方形 ABCD的邊 BC上的點，且BP=3PC， M是 CD的中點，試說明： ADM MCP解答： 證明：正方形ABCD， M為 CD中點， CM=MD=AD BP=3PC， PC= BC= AD= CM PCM=ADM=90°， MCP

28、 ADM13如圖，已知梯形ABCD中， AD BC，AD=2， AB=BC=8， CD=10（ 1）求梯形 ABCD的面積 S；（ 2）動點 P 從點 B 出發(fā)，以 1cm/s 的速度，沿 B? A? D? C方向，向點 C 運動；動點Q從點 C 出發(fā)，以 1cm/s 的速度，沿 C? D? A 方向，向點 A 運動，過點 Q作 QE BC 于點 E若 P、 Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達目的地時整個運動隨之結(jié)束，設(shè)運動時間為 t 秒問：當(dāng)點 P 在 B? A 上運動時，是否存在這樣的t ，使得直線PQ將梯形 ABCD的周長平分？若存在，請求出t 的值；若不存在，請說明理由；在運動過程中， 是

29、否存在這樣的t ，使得以 P、A、D為頂點的三角形與CQE相似？若存在，請求出所有符合條件的t 的值；若不存在，請說明理由；在運動過程中，是否存在這樣的t ，使得以P、 D、 Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在， 請求出所有符合條件的 t 的值； 若不存在， 請說明理由解答：解：（ 1）過 D 作 DHAB 交 BC于 H 點，AD BH，DH AB，四邊形ABHD是平行四邊形DH=AB=8； BH=AD=2 CH=8 2=6 CD=10，222DH+CH=CD DHC=90° B=DHC=90°梯形 ABCD是直角梯形精品文檔精品文檔 SABCD= （

30、 AD+BC） AB= ×（ 2+8）× 8=40（ 2） BP=CQ=t， AP=8 t ， DQ=10t ， AP+AD+DQ=PB+BC+CQ， 8 t+2+10 t=t+8+t t=3 8當(dāng) t=3 秒時， PQ將梯形 ABCD周長平分第一種情況： 0 t 8 若 PAD QEC則 ADP= C tan ADP=tan C= =解得： t=， t= 8（不合題意舍去） t=第二種情況： 8 t 10 時 DP=DQ=10t 當(dāng) 8 t 10 時，以 DQ為腰的等腰DPQ恒成立第三種情況： 10 t 12 時 DP=DQ=t 10當(dāng) 10 t 12 時，以 DQ為腰的

31、等腰 DPQ恒成立=， t=綜上所述， t=或 8t 10 或 10 t 12 時，以 DQ為腰的等腰若 PAD CEQ則 APD= C tan APD=tan C= = ，= t=第二種情況： 8 t 10， P、 A、 D三點不能組成三角形；第三種情況： 10 t 12 ADP為鈍角三角形與Rt CQE不相似； t=或 t=時， PAD與 CQE相似第一種情況：當(dāng)0t 8 時過 Q點作 QE BC，QH AB，垂足為E、 H AP=8 t ，AD=2，PD= CE= t ， QE= t ， QH=BE=8t ，BH=QE= t PH=tt=t PQ=，DQ=10 t ： DQ=DP，10

32、t=，解得 t=8 秒： DQ=PQ，10 t=，化簡得： 3t 2 52t+180=0DPQ成立14已知矩形 ABCD，長 BC=12cm，寬 AB=8cm，P、Q分別是 AB、BC上運動的兩點若 P 自點 A 出發(fā)，以 1cm/s 的速度沿 AB方向運動， 同時， Q自點 B 出發(fā)以 2cm/s 的速度沿 BC方向運動，問經(jīng)過幾秒，以 P、 B、Q為頂點的三角形與 BDC相似？精品文檔精品文檔解答： 解：設(shè)經(jīng)x 秒后， PBQ BCD，由于 PBQ= BCD=90°，（ 1）當(dāng) 1=2 時，有：，即；（ 2）當(dāng) 1=3 時，有：，即，經(jīng)過秒或 2 秒， PBQ BCD15如圖，在

33、 ABC中， AB=10cm，BC=20cm，點 P 從點 A 開始沿 AB 邊向 B 點以 2cm/s 的速度移動， 點 Q從點 B 開始沿 BC邊向點 C 以 4cm/s 的速度移動， 如果 P、Q分別從A、 B 同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘， PBQ與 ABC相似設(shè)經(jīng)解過秒后 t 秒后， PBQ與 ABC相似，則有 AP=2t ， BQ=4t， BP=10 2t ，答 當(dāng) PBQ ABC時，有 BP：AB=BQ： BC，：即（ 10 2t ）： 10=4t ： 20，解得 t=2.5 （ s）（ 6 分）當(dāng) QBP ABC時，有 BQ：AB=BP： BC，即 4t ： 10=（ 10 2t ）

34、： 20，解得 t=1 所以，經(jīng)過2.5s 或 1s 時， PBQ與 ABC相似（ 10 分）解法二：設(shè) ts 后， PBQ與 ABC相似，則有， AP=2t ，BQ=4t， BP=10 2t 分兩種情況：（ 1）當(dāng) BP與 AB對應(yīng)時，有=，即=，解得 t=2.5s（ 2）當(dāng) BP與 BC對應(yīng)時，有=，即=，解得 t=1s所以經(jīng)過1s 或 2.5s 時，以 P、B、 Q三點為頂點的三角形與ABC相似16如圖， ACB= ADC=90°， AC= ， AD=2問當(dāng) AB的長為多少時，這兩個直角三角形相似解答： 解： AC=， AD=2，CD=要使這兩個直角三角形相似，有兩種情況：1）

35、當(dāng) Rt ABC Rt ACD時，2）有=， AB=3；3）當(dāng) Rt ACB Rt CDA時，4）有=，AB=3故當(dāng) AB 的長為 3 或 3時，這兩個直角三角形相似17已知，如圖，在邊長為a 的正方形ABCD中， M是 AD的中點，能否在邊AB上找一點 N（不含 A、B），使得 CDM與 MAN相似？若能，請給出證明，若不能，請說明理由解答： 證明：分兩種情況討論：若 CDM MAN，則=邊長為 a， M是 AD的中點， AN= a若 CDM NAM，則邊長為 a， M是 AD的中點，AN=a，即 N點與 B 重合，不合題意所以，能在邊 AB 上找一點N（不含 A、B），使得 CDM與 MA

36、N相似當(dāng) AN= a時， N 點的位置滿足條件18如圖在 ABC中，C=90°，BC=8cm，AC=6cm，點 Q從 B 出發(fā)，沿 BC方向以 2cm/s 的速度移動， 點 P 從 C出發(fā)，沿 CA方向以 1cm/s 的速度移動 若 Q、P 分別同時從 B、C 出發(fā)，試探究經(jīng)過多少秒后，以點C、P、 Q為頂點的三角形與CBA相似？精品文檔精品文檔解答：解：設(shè)經(jīng)過 x 秒后，兩三角形相似，則 CQ=（ 8 2x） cm， CP=xcm，（ 1 分） C= C=90°，當(dāng)或時，兩三角形相似 （ 3 分）（ 1）當(dāng)時， x=；（4 分）（ 2）當(dāng)時， x=（5 分）所以，經(jīng)過秒或

37、秒后，兩三角形相似 （6 分）點評： 本題綜合考查了路程問題，相似三角形的性質(zhì)及一元一次方程的解法19如圖所示，梯形 ABCD中， AD BC， A=90°， AB=7， AD=2， BC=3，試在腰 AB 上確定點 P 的位置，使得以 P，A，D為頂點的三角形與以 P，B，C為頂點的三角形相似解答： 解：（ 1）若點 A， P， D 分別與點B， C， P 對應(yīng)，即 APD BCP， = ， = ， AP27AP+6=0， AP=1或 AP=6，檢測：當(dāng)AP=1時，由 BC=3， AD=2， BP=6， = ，又 A= B=90°， APD BCP當(dāng) AP=6時，由 BC

38、=3， AD=2， BP=1，又 A= B=90°， APD BCP（ 2）若點 A， P， D 分別與點 B，P， C 對應(yīng)，即 APD BPC=，= ，AP=檢驗：當(dāng)AP=時，由 BP=， AD=2， BC=3，=，又 A= B=90°， APD BPC因此，點 P 的位置有三處，即在線段AB距離點 A 的 1、 6 處20 ABC和 DEF是兩個等腰直角三角形， A= D=90°， DEF的頂點 E 位于邊BC的中點上（ 1）如圖 1，設(shè) DE與 AB 交于點 M， EF 與 AC交于點 N，求證： BEM CNE；（ 2）如圖 2，將 DEF繞點 E 旋轉(zhuǎn)

39、，使得 DE與 BA的延長線交于點 M，EF 與 AC交于點 N，于是，除（ 1）中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形并證明你的結(jié)論解答： 證明：（ 1） ABC是等腰直角三角形， MBE=45°， BME+ MEB=135°又 DEF是等腰直角三角形，DEF=45° NEC+MEB=135° BEM= NEC，（4 分）而 MBE=ECN=45°， BEM CNE（ 6 分）（2）與（ 1）同理 BEM CNE，（ 8 分）又 BE=EC，（ 10 分）則 ECN與 MEN中有，又 ECN= MEN=45°， ECN ME

40、N（ 12 分）21如圖， 在矩形 ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，點 P 沿 AB邊從點 A 開始向 B 以 2cm/s 的速度移動； 點 Q沿 DA邊從點 D 開始向點 A 以 1cm/s 的速度移動 如果 P、Q同時出發(fā)，用 t （秒）表示移動的時間，那么當(dāng) t 為何值時，以點 Q、A、P 為頂點的三角形與 ABC相似精品文檔精品文檔解答：解：以點 Q、 A、 P 為頂點的三角形與 ABC相似，所以 ABC PAQ或 ABC QAP，當(dāng) ABC PAQ時，所以，解得： t=6 ；當(dāng) ABC QAP時，所以，解得： t=；當(dāng) AQP BAC時，=，即=，所以 t= ；當(dāng) AQP

41、 BCA時，=，即=，所以 t=30 （舍去）故當(dāng) t=6 或 t=時，以點Q、A、 P 為頂點的三角形與ABC相似22如圖，路燈（P 點）距地面8 米，身高 1.6 米的小明從距路燈的底部（O點） 20米的 A 點，沿 OA所在的直線行走14 米到 B 點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？解答： 解： MAC=MOP=90°， AMC= OMP， MAC MOP，即，解得， MA=5米；同理，由 NBD NOP，可求得NB=1.5 米，小明的身影變短了51.5=3.5米23陽光明媚的一天， 數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?nèi)y量一棵樹的高度 （這棵樹底部可以到達，頂部不易到

42、達） ，他們帶了以下測量工具：皮尺，標(biāo)桿，一副三角尺，小平面鏡請你在他們提供的測量工具中選出所需工具，設(shè)計一種測量方案（ 1）所需的測量工具是：；（ 2）請在下圖中畫出測量示意圖；（ 3）設(shè)樹高 AB的長度為 x，請用所測數(shù)據(jù)（用小寫字母表示）求出x解答： 解：（ 1）皮尺，標(biāo)桿；（ 2）測量示意圖如圖所示；（ 3）如圖，測得標(biāo)桿 DE=a，樹和標(biāo)桿的影長分別為 AC=b， EF=c， DEF BAC，（7 分）24問題背景在某次活動課中，甲、 乙、丙三個學(xué)習(xí)小組于同一時刻在陽光下對校園中一些物體進行了測量下面是他們通過測量得到的一些信息：甲組：如圖1，測得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的

43、影長為60cm乙組：如圖2，測得學(xué)校旗桿的影長為900cm丙組：如圖 3，測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計）的高度為 200cm，影長為 156cm任務(wù)要求：（ 1）請根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計算出學(xué)校旗桿的高度；（ 2）如圖 3，設(shè)太陽光線 NH與 O相切于點 M請根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑 （友情提示：如圖 3，景燈的影長等于線段 NG的影長；需要時可采用等式 1562+2082=2602）解答： 解：（ 1）由題意可知： BAC= EDF=90°， BCA= EFD ABC DEF，即，（2 分） DE=1200（cm）所以，學(xué)校旗桿的高

44、度是 12m（ 3 分）精品文檔精品文檔（ 2）解法一：與類似得：，即， GN=208（ 4 分）在 Rt NGH中，根據(jù)勾股定理得：2222NH=156 +208 =260， NH=260（ 5 分）設(shè) O的半徑為 rcm，連接 OM， NH切 O于 M， OMNH（ 6 分）則 OMN= HGN=90°，又 ONM= HNG， OMN HGN，（7 分），又 ON=OK+KN=OK+（GN GK） =r+8 ，解得： r=12 景燈燈罩的半徑是12cm（ 8 分）解法二：與類似得：，即， GN=208（ 4 分）設(shè) O的半徑為 rcm，連接 OM， NH切 O于 M， OMNH（ 5 分）則 OMN= HGN=90°，又 ONM= HNG， OMN HGN，即，（6分）MN= r ，又 ON=OK+KN=