指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(二)

1、全國名校高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案、專題匯編(附詳解)指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算(二)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.學(xué)會根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕之間的相互轉(zhuǎn)化2掌握用有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值 3了解無理數(shù)指數(shù)幕的意義.知識點(diǎn)一分?jǐn)?shù)指數(shù)幕思考 根據(jù)n次方根的定義和數(shù)的運(yùn)算，得出以下式子，你能從中總結(jié)出怎樣的規(guī)律?10Ta10 = a2 5 = a2 = a5 (a0);晶=7(04)2= a4= a2(a0);124Va12 = 4(a 4 = a3 = a4 (a0).答案 當(dāng)a0時(shí)，根式可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式，其分?jǐn)?shù)指數(shù)等于根式的被開方數(shù)的指數(shù)除以根指數(shù).梳理分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的定義:(1)規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是:man

2、 = Vam(a0, m, n N*，且n1);(2)規(guī)定正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是:1 * a n (a0, m, n N，且n1)； (3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義.知識點(diǎn)二 有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì) 整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)幕，即:全國名校高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案、專題匯編(附詳解)(1)aras= ar+s(a0, r, s Q)；(ar)s= ars(a0, r, s Q);(ab)r = arbr(a0, b0, r Q).知識點(diǎn)三無理數(shù)指數(shù)幕 一般地，無理數(shù)指數(shù)幕aa(a0, a是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).有理 數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指

3、數(shù)幕.631. (-2)4 =(2)2.(X )1 1 12. (_2)M3)2 =(2)2(3)2.(X ) 3.當(dāng) a0 時(shí)，(ar)s= (as)r.( V )4. 2珅坯 R.(V )類型一根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕之間的相互轉(zhuǎn)化 命題角度1分?jǐn)?shù)指數(shù)幕化根式 例1用根式的形式表示下列各式(x0).25(1)x5；x3考點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化 題點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化2解(1) X5 =引X2.反思與感悟?qū)崝?shù)指數(shù)幕的化簡與計(jì)算中，分?jǐn)?shù)指數(shù)幕形式在應(yīng)用上全國名校高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案、專題匯編（附詳解）比較方便.而在求函數(shù)的定義域中，根式形式較容易觀察出各式的取 值范圍，故分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與根式的互化是學(xué)習(xí)

4、的重點(diǎn)內(nèi)容， 要切實(shí)掌握.1 2跟蹤訓(xùn)練1用根式表示xy3（x0, y0）.考點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化 題點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化12 2解a 命題角度2根式化分?jǐn)?shù)指數(shù)幕例2把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式，其中a0, b0.隔唏;（3）PP； （4）U （-a）6考點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化 題點(diǎn)根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕 解（1）5了 =a5.1 1 -2存十13 _2J 3=|3苛=a 匚a4., _ 6 J(-a)6=&3.反思與感悟 指數(shù)的概念從整數(shù)指數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)后，當(dāng) a0.當(dāng)被開方數(shù)中有負(fù)數(shù)時(shí)，幕指數(shù)不能隨意約分.跟蹤訓(xùn)練2把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕:(1)頃2 (2) VO尿0); (3

5、)b3; (4)1考點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化 題點(diǎn)根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕./7 17解(1)=623 去=(22)6 =2 j 1f33 13(2)/aX = Va a2 =Va=(a2)5 =a4;2 11(3)b3 帝3 b3 =b3;, 1 1（）賦硏& ,（x5）2仃痣X X19(X5)13X5類型二運(yùn)用指數(shù)幕運(yùn)算公式化簡求值 例3計(jì)算下列各式（式中字母都是正數(shù)）:217 P ()11113 屮解 原式=83 咒1+(23)4咒24 +(23)6 x(32)6 = 2 + 24 4 + 22 + 3 =112.2 15x2y2f 5 1J 4 6 丿化簡：71,I 1 J 2 I x y2

6、 ,I 4 y 人 6考點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化題點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的乘除運(yùn)算全國名校高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案、專題匯編(附詳解)2 1M5x 飛y2解1I- x-y2 II 4 A W = 5x(_4)x (_6 LI 5丿1 一2yX1 _31k1 1= 24x0y6 =24y6.X +1(3)已知=5,求的值.入考點(diǎn)有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì) 題點(diǎn)附加條件的幕的求值1 1解 由x2+xP=5,兩邊同時(shí)平方得X + 2 + X-1 = 25,整理，得X+ X-1x2 + 1=23,則有= 23.類型三運(yùn)用指數(shù)幕運(yùn)算公式解方程已知 a0, b0,且 ab= ba, b= 9a,求 a 的值.考占P八、有

7、理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)題點(diǎn)附加條件的幕的求值解 方法一 V a0, b0，又 ab= ba,11a1(ab)b =(ba)b= a=bb= a = (9a)9,8 1 a9 =99= a8 =32= a =目3.方法二ab = ba, b= 9a, a9a = (9a)a,即(a9)a= (9a)a，二 a9= 9a, a8= 9, a=帖.反思與感悟 指數(shù)取值范圍由整數(shù)擴(kuò)展到有理數(shù)乃至實(shí)數(shù)，給運(yùn)算帶 來了方便，我們可以借助指數(shù)運(yùn)算法則輕松對指數(shù)變形，以達(dá)到代入、全國名校高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案、專題匯編（附詳解）消元等目的.34跟蹤訓(xùn)練4 已知67x= 27,603y= 81,求3 4的值.考點(diǎn)有理數(shù)

8、指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)題點(diǎn)附加條件的幕的求值3解 由 67x= 33,得67=3x,由 603y = 81,考點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化題點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化答案12 . 25刁等于()A . 25 B.25 C . 5 D.|考點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化題點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化答案3.下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化正確的是（）1A . 7X= (-x)2(x0)1y3(y)(x0)3C . x：_|D. X 3 = -Vx(x H0)達(dá)標(biāo)檢測 2 .化簡83的值為（）B. 4 C. 6 D. 8考點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕題點(diǎn)4考點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化題點(diǎn)根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕答案a2

9、5 .計(jì)算獷芝屮H2、2的結(jié)果是考占P八、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化題點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的乘除運(yùn)算答案16-規(guī)律與方法1.指數(shù)幕的一般運(yùn)算步驟是：有括號先算括號里面的；無括號先做指數(shù)運(yùn)算.負(fù)指數(shù)幕化為正指數(shù)幕的倒數(shù).底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號, 底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后 要盡可能用幕的形式表示，便于用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì).2.指數(shù)幕的運(yùn)算一般先轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕， 然后再利用有理數(shù)指數(shù)幕 的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算.在將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的過程中，一般采用 由內(nèi)到外逐層變換為指數(shù)的方法，然后運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)準(zhǔn)確求解.、選擇題11 .化簡式子（-問2廠的結(jié)果是（）A.V3B .羽C.爭D.

10、雪考點(diǎn)P八、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化題點(diǎn)根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕答案解析2.化簡苦a儲的結(jié)果為（根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化Ava ca/a 考點(diǎn)題點(diǎn)根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕答案解析顯然a0.111J1/. 6a=_ _ n*-a3 a6= a3 6二-a2=Ta.3.百你等于（）5A. a121157B . a12 C . a6 D . a考點(diǎn)P八、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化題點(diǎn)根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕答案解析34. （3 2x） r中X的取值范圍是（）A . (-O ,+O )B./OOX3), /32丿U0+o丿C.OD.j| ,+Oj考點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化題點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化答案解析(32X)343(3-

11、2x)4=J 13,要使該式有意義，需3-2x0，即Q（3 -2x）33 x2.5.122,33,66這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為（）1 1 166 33 22C.1 1 122 33 661 1 13 2 1, b0, + a b = 2/2,則 ab a b等于（）A.V6C. 2考占P八、有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)題點(diǎn)附加條件的幕的求值答案解析設(shè) ab ab = t.T a1, b0,ab1, a b0,則 t2 = (ab-a-b)2 = (ab+ a-b)2-4= (2磁)2 4 = 4,二 t= 2.二、填空題9. 計(jì)算：佇答案2解析原式=33 X 1 + 24 X 210. 若 a0,且 a

12、x= 3, ay= 5,則 a考點(diǎn)有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)題點(diǎn)附加條件的幕的求值答案9/5解析2xa 2考占P八、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化題點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的四則混合運(yùn)算1 1= (ax)2 (ay)2 =32 59亦.11. (V3+ &)2 015 X(V3-問2 016答案解析(+ V2)2 015 X 心3 - V2)2 016 =b/3 +問住-問2 015X(V3-問 =12 015 X &3-/2)=/3-返4112. 化簡： 呂ia(a0).答案a1 2解析原式=1 13(a3)3-(2b3)31a1 1 11(a3)2 +a3 (2b3)+(2b3)211a3 -21?+1a2

13、(a22 1(沖十3a3)51-2b3)5a2咒X -a .a3 -2b3 a64b3 +27ab + a3 I三、解答題13. 計(jì)算:131(2) 0.0081 蔦一3Q01I 18丿110咒 0.027?考點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化題點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的四則混合運(yùn)算(1)23317X 3卜10丿14(31)r宀3、L_|110咒(0.33滬a:丄110 丿3 13 3 丿丄f 1丄2戸101-+_ (-10咒0.3 = -3 = 0.33四、探究與拓展14. 已知 2a 3b = 2c 3d= 6,求證：(a- 1)(d 1) = (b 1) (c 1).考點(diǎn)P八、有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)題點(diǎn)

14、附加條件的幕的求值證明 (2a1 3b - 1)d-1 = 1,/2a 3b=6= 2X3, 2a1 3b1= 1.即 2(a 1)(d 1) 3(b 1)(d 1)= 1又 2c 3d = 6 = 2X3,二 2c 1 3d1 = 1. (2c-1 3d - 1)b -1= 1,即 2(c 1)(b 1) 3(d1)(b 1)= 1由知 2(a-1)(d-1) = 2(c-1)(b-1) (a 1)(d 1) = (b 1)(c 1).1x3 + X 351 1315. 已知函數(shù) f(x) = , g(x) =5(1)求證：f(x)在(0,+乂)上是增函數(shù)；(已知y= x3在R上是增函數(shù))分別計(jì)算f(4) 5f(2)g(2)和f(9) 5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函 數(shù)f(x)和g(x)對所有不等于零的實(shí)數(shù)x都成立的一個(gè)等式，并加以證明.考點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化 題點(diǎn) 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的四則混合運(yùn)算1(1)證明設(shè)X1X20, T y= x3在R上是增函數(shù),_2又 T (x1x2 )0,11111411