恒成立問題和存在性問題

1、恒成立問題和存在性問題1若函數(shù) f (x)2x22axa1 的定義域?yàn)?R，則 a 的取值范圍是。答： 1， 02設(shè)函數(shù) y12xa4x ，若函數(shù)在 (,1 上有意義，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。答：a3。43若關(guān)于 x 的不等式 x29x23xkx 在 1,5 上恒成立，則實(shí)數(shù)k 的范圍為.答： k64若曲線f (x) ax3ln x存在垂直于y 軸的切線，則實(shí)數(shù)a 取值范圍是 _. 答： a05若 f ( x)1 x2b ln( x2)在 (-1,+) 上是減函數(shù)， 則 b 的取值范圍是。答：(, 126 已 知 函 數(shù) f ( x)3ax (a1).若 f (x) 在 區(qū) 間0,1上 是 減

2、函 數(shù) ， 則 實(shí) 數(shù) a的取值范圍a1是.答：,01,37已知函數(shù) f ( x)log a (2ax) 在 0， 1上是減函數(shù)，則 a 的取值范圍是。答：（ 1， 2）8函數(shù) ylog 1 ( x 22mx3)在(,1) 上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是.答： 1m229函數(shù) yloga x(a0且a1) 在2,) 上恒有 | y | 1，則 a 的取值范圍是。答： (1 ,1)(1,2)210若關(guān)于 x 的方程a(1lg m)a1 01 ）有解，則 m 的取值范圍是。2 xx（ a 0 ，且 a答： 0m10 311設(shè) f (x)3ax2a1, a 為常數(shù)，若存在x0 (0,1)，使得

3、f ( x0 )0 ，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是。答： (,1)( 1 ,) 。212如果關(guān)于 x 的方程 (2 |x|2)2a2 0有實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)a 的取值范圍是。答： 1,2)13已知函數(shù) f ( x) 的值域 0, 4( x2,2) ，函數(shù) g( x)ax1, x 2,2，x1 2,2,x0 2,2使得g (x0 )f (x1)成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(, ,)。答：552214已知函數(shù) f ( x)=x2 ,( x 2,2) ， g( x)a2 sin(2 x)3a, x 0, ，62x1 2,2 ， 總 x00, 使得 g (x0 )f ( x1 ) 成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范

4、圍是2答： (,46,)15已知函數(shù)f ( x)lg(5 x4m) 的值域?yàn)?R，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是。答： m4 。5x第1頁(yè)（共 7頁(yè)）16若函數(shù)圍是17已知命題f (x)(x1)log 32 a6x log3 ax 1(a 0, a1)在 0 ， 1上恒為正值，則實(shí)數(shù)a 的取值范。答： (1,33)3p :"x1,2, 1 x2ln x a0" 與命題 q :"xR, x22ax 8 6a 0" 都是真命題 ,則2實(shí)數(shù) a 的取值范圍是.答： a | a2或 a118已知命題 p: fxlgx2ax1 的定義域?yàn)?R，命題 q：關(guān)于 x的不等式

5、 xx2a>1 的解集為R，若“ p 或 q”為真，“ p 且 q”為假，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 .解： p 為真命題時(shí)，a2402a2P為真命題時(shí)，令gxxx2a2x2a, x2ag x 小2a2a, x2ax| x2a |1 的解集為 R2a1即 a12又“ p 或 q 為真”，“p 且 q”為假P， q 中一真一假2a2a或a221 或 a 2a1或a12a222a 的取值范圍是2a1 或 a22,3 ，19 已 知 實(shí) 數(shù) a0，且滿足以下條件：、xR ， | sin x |a 有 解 ； 、x44sin 2 xa sin x10；求實(shí)數(shù) a 的取值范圍解：由于實(shí)數(shù)a0，由得：0a

6、1；由得： x4,3 時(shí)， sin x 2,1 ，則由 sin 2xasin x1 0得：42a1sin x ，令 tsin x ，則 t2 ,1 ，函數(shù) f (t )1t 在區(qū)間 (0,) 上為減函數(shù)，sin x2t則當(dāng) t2 ,1 時(shí)， f (t )1tf (2 )2，2t22要使 a1sin x 在 x, 3 上恒成立，則 a2；由上可知，2a1sin x442220設(shè)函數(shù) f (x)1(x0且 x1)。（）求函數(shù)f ( x) 的單調(diào)區(qū)間；xln x1xa 對(duì)任意 x（）已知 2x(0,1) 成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。第2頁(yè)（共 7頁(yè)）解 (1)'ln x1f'( x

7、)0,則 x1f ( x)x2ln2, 若e列表如下x111(0,1)(1,)x)e(eef ' (x)+0-f (x)單調(diào)增極大值1單調(diào)減單調(diào)減f ( )e11 ln 2a1(2) 在2 xxa 兩邊取對(duì)數(shù) , 得a ln x ,由于 0x 1, 所以(1)xln 2x ln x由(1) 的結(jié)果可知 ,當(dāng) x(0,1) 時(shí) ,f ( x)f ( 1)e ,e為使 (1) 式對(duì)所有 x(0,1) 成立 ,當(dāng)且僅當(dāng)ae,即 aeln 2ln 221設(shè)函數(shù) f x1 x3x2m2 1 xxR，其中 m 0（ 1）當(dāng) m1時(shí)，求曲線 y fx 在點(diǎn)31, f 1處的切線的斜率（2）求函數(shù) f

8、x的單調(diào)區(qū)間與極值（3）已知函數(shù) fx有三個(gè)互不相同的零點(diǎn) 0, x , x，且 xx ，若對(duì)任意的xx , x, fxf 1 恒成立，求 m 的取值范圍121212【答案】（ 1）1（ 2） f (x) 在 (,1m) 和 (1m,) 內(nèi)減函數(shù)，在 (1m,1m) 內(nèi)增函數(shù)。函數(shù)f ( x) 在x 1 m 處取得極大值 f (1 m) ，且 f (1m) =2 m3m3函數(shù) f ( x) 在 x 1 m處取得極小值 f (1m) ，且 f (1m)2 13=2 m3m2133【解析】解：當(dāng)m 1時(shí)， f ( x)13x2 ,f/ (x)x22 ,故 f' (1)1xx3所以曲線 yf

9、 ( x)在點(diǎn)（1，f（1）處的切線斜率為1.（ 2）解：f'(x)x22x m21，令f'( x)0，得到 x1m, x1 m因?yàn)?m0, 所以1m1m當(dāng) x 變化時(shí)，f(),f'( ) 的變化情況如下表：xxx(,1m)1m(1m,1m)1m(1 m, )f ' ( x)+0-0+f (x)極小值極大值f (x) 在 (,1m) 和 (1m,) 內(nèi)減函數(shù)，在(1m,1m) 內(nèi)增函數(shù)。第3頁(yè)（共 7頁(yè)）函數(shù) f ( x) 在函數(shù) f ( x) 在x1m 處取得極大值f (1m) ，且 f (1m) = 2 m3m2133x1m處取得極小值f (1m) ，且 f

10、 (1m) =2m3m21333f ( x)x(12xm21)1(x1)(x x2)（ ）解：由題設(shè)，x3x x3所以方程1 x2xm2 1 =0由兩個(gè)相異的實(shí)根x1 , x2 ，故 x1x23 ，且14 (m21) 0，解33得 m1 (舍 )， m122因?yàn)?x1x2 ,所以 2x2x1x23,故 x23121 (1若x11x2 ,則f (1)x1)(1x2)0，而 f ( x )0，不合題意31若 1x1x2 , 則對(duì)任意的 x x1, x2 有 xx10, xx20,則 f (x)1 x( xx1 )( xx2 )0又 f ( x1 )0 ，所以函數(shù)f (x) 在 x x1 , x2

11、的最小值為0，于是對(duì)3任意的 x x1 , x2 ， f ( x)f (1)恒成立的充要條件是f (1)m21,解得3303m33綜上， m 的取值范圍是 ( 1 ,3 )2312-ax+(a-1)ln x ， a1 。（ 1）討論函數(shù)f (x) 的單調(diào)性；22已知函數(shù) f(x)=x2（ 2）證明：若 a5 ，則對(duì)任意 x 1 ， x 2(0,) ，x 1x 2 ，有 f (x1)f (x2 )1。x1x2解： (1) f ( x) 的定義域?yàn)?(0,) 。 f ' (x)xaa 1x2axa 1(x1)(x1 a)xxx（ i ）若 a11即 a2 ,則 f ' ( x)(

12、x1)2故 f ( x) 在 (0,) 單調(diào)增加。x(ii) 若 a11,而 a1,故 1a2 ,則當(dāng) x(a1,1)時(shí)， f '(x)0 ;當(dāng) x(0, a1) 及 x(1,) 時(shí)， f ' ( x)0 故f ( x) 在 (a1,1)單調(diào)減少，在 (0, a1),(1,) 單調(diào)增加。(iii) 若 a11,即 a2 ,同理可得 f ( x) 在 (1,a1) 單調(diào)減少，在 (0,1),( a1,) 單調(diào)增加 .(II) 考慮函數(shù)g( x)f ( x)x1 x2ax(a1) ln xx2則 g ( x)x(a1)a12xga1(a1)1(a 11)2xx第4頁(yè)（共 7頁(yè)）由于

13、 1<a<5,故 g (x)0 ，即 g(x) 在(4, + )單調(diào)增加，從而當(dāng) x1x20 時(shí)有 g ( x1 )g( x2 )0 ，即 f (x1) f (x2 ) x1x20 ，故 f ( x1 )f ( x2 )1，當(dāng) 0x1 x2時(shí)，有 f (x2 )f ( x1 )1x1x2x2x123已知函數(shù)f ( x)(a1) ln xax21。（ I）討論函數(shù) f (x) 的單調(diào)性； （ II ）設(shè) a1 .如果對(duì)任意x1 , x2 (0,) ， | f ( x1 )f ( x2 ) |4 | x1x2 |，求 a 的取值范圍。解：（） f (x) 的定義域?yàn)椋?0， +） .f

14、 '(x)a 1 2ax2ax2a 1.xx當(dāng) a 0 時(shí)， f '(x) 0，故 f (x) 在（ 0， +）單調(diào)增加；當(dāng) a 1時(shí)， f '( x) 0，故 f (x) 在（ 0， +）單調(diào)減少；當(dāng) -1 a 0 時(shí)，令 f '(x) =0，解得 xa1.2a則當(dāng) x (0,a1) 時(shí)， f '(x) 0； x(a1,) 時(shí)， f'( x) 0.2a2a故 f ( x) 在 (0,a1) 單調(diào)增加，在 (a1) 單調(diào)減少 .2a,2a（）不妨假設(shè)x1x2 ，而 a -1，由（）知在（0， +）單調(diào)減少，從而x1, x2(0,) ， f ( x

15、1 )f ( x2 )4 x1x2等價(jià)于x1, x2(0,) ， f ( x2 )4x2f (x1)4x1令 g( x)f ( x)4x ，則 g '( x)a 12ax4x等價(jià)于 g ( x) 在（ 0， +）單調(diào)減少，即a140 .2axx從而 a4x1(2x 1)24 x22(2x1)2212x212x212x2故 a 的取值范圍為（ -， -2.24已知函數(shù) f ( x)ln xax 1 a1 (aR) .x( ) 當(dāng) a1時(shí)，討論 f ( x) 的單調(diào)性；（）設(shè) g( x)x22bx 4.當(dāng) a1時(shí)，若對(duì)任意 x1(0,2) ，24存在 x21,2 ，使 f (x )g (x

16、) ，求實(shí)數(shù) b 取值范圍 .12第5頁(yè)（共 7頁(yè)）解析： ( ) f (x)ln xax1a1(x0) ， f ( x)laa 1ax2xa 1xxx2x2(x 0)令 h( x)ax2x1 a(x0)（1）當(dāng)a0 時(shí) ， h( x)x1(x0) ， 當(dāng) x(0,1), h( x)0, f( x)0, 函 數(shù) f (x) 單 調(diào) 遞 減 ； 當(dāng)x(1,), h( x)0, f( x)0 ，函數(shù) f ( x) 單調(diào)遞增 .(2) 當(dāng) a0 時(shí)，由 f ( x)0 ，即 ax2x1 a0 ，解得 x11, x211.a當(dāng) a1 時(shí) x1x2 ， h( x)0 恒成立，此時(shí)f ( x)0 ，函數(shù)

17、f ( x) 單調(diào)遞減；2當(dāng) 0a1時(shí)，1110 ， x(0,1) 時(shí) h( x)0, f (x)0 ，函數(shù) f ( x) 單調(diào)遞減；(1,12ax1) 時(shí)， h( x)0, f ( x)0 ，函數(shù) f (x) 單調(diào)遞增；ax11,) 時(shí)， h(x)0, f(x)0，函數(shù) f ( x) 單調(diào)遞減 .(a時(shí) 1當(dāng) a010 ，當(dāng) x(0,1), h(x)0, f ( x)0, 函數(shù) f (x) 單調(diào)遞減；a當(dāng) x(1,), h(x)0, f ( x)0 ，函數(shù) f ( x) 單調(diào)遞增 .綜上所述：當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f ( x) 在(0,1)單調(diào)遞減， (1,) 單調(diào)遞增；當(dāng) a1 時(shí) x1x2 ，

18、h( x)0恒成立，此時(shí)f ( x)0，函數(shù) f ( x) 在 (0,) 單調(diào)遞減；2111當(dāng) 0a時(shí)，函數(shù) f (x) 在(0,1)單調(diào)遞減， (1,1) 單調(diào)遞增， (1,) 單調(diào)遞減 .2aa1（）當(dāng) a時(shí)， f ( x) 在（ 0， 1）上是減函數(shù)，在（ 1， 2）上是增函數(shù)，所以對(duì)任意 x1 (0, 2) ， 4有 f (x1)f (1)- 1，2又已知存在 x21,2，使 f ( x1 )g( x2 ) ，所以11,2 ，（）g (x2 ) ， x22又 g( x)(xb)24b2 , x 1,2當(dāng) b1時(shí)， g(x)ming(1) 52b0 與（）矛盾；當(dāng) b1,2 時(shí)， g (x)min g(1)4b20 也與（）矛盾；當(dāng) b2 時(shí)， g( x) ming (2) 84b1 , b17.28綜上，實(shí)數(shù) b 的取值范圍是 17 ,) .8第6頁(yè)（共 7頁(yè)）25（ 2010 全國(guó)新）設(shè)函數(shù)f ( x)x ex1ax2（）若 a1，求 f ( x) 的單調(diào)區(qū)間；（）若當(dāng) x 0 時(shí) f ( x) 0，求 a 的取值范圍2解：（） a1時(shí)， f ( x)x(ex1)1 x2 ， f '(x) ex 1 xexx( ex 1)(x 1)。當(dāng) x,122時(shí) f '( x);當(dāng) x1,0