統(tǒng)計(jì)學(xué)第五章參數(shù)估計(jì)

1、第5章 參數(shù)估計(jì)1第一章第一章 緒論緒論第二章第二章 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的描述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的描述第四章第四章 抽樣與抽樣分布抽樣與抽樣分布第五章第五章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)第六章第六章 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)第八章第八章 相關(guān)與回歸分析相關(guān)與回歸分析第九章第九章 時(shí)間序列分析時(shí)間序列分析第十章第十章 統(tǒng)計(jì)指數(shù)統(tǒng)計(jì)指數(shù) 第十一章第十一章 統(tǒng)計(jì)決策統(tǒng)計(jì)決策第5章 參數(shù)估計(jì)2案例：食品的包裝質(zhì)量檢查案例：食品的包裝質(zhì)量檢查 某食品公司生產(chǎn)的某規(guī)格袋裝食品，產(chǎn)量基本保持穩(wěn)定，規(guī)定每袋食品合格重量不低于100g。為對(duì)產(chǎn)品包裝質(zhì)量進(jìn)行檢測(cè)，該公司質(zhì)檢部門采用抽樣技術(shù)：每天抽取一定數(shù)量的食品，檢測(cè)袋裝重量是否符合要求?，F(xiàn)某一天生產(chǎn)

2、的一批8000袋食品中采用不重復(fù)抽樣，隨機(jī)抽取了25袋檢查。 通過樣本觀測(cè)分析發(fā)現(xiàn)，平均每袋重量105.36g，檢測(cè)人員以95%的把握程度確信，該整批食品重量在101.45109.27g之間，且估計(jì)誤差不超過4g。 第5章 參數(shù)估計(jì)3學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)要求：學(xué)習(xí)要求：理解參數(shù)估計(jì)的兩種方法 2類抽樣誤差的實(shí)質(zhì)及計(jì)量掌握參數(shù)估計(jì)的優(yōu)良評(píng)判標(biāo)準(zhǔn) 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)方法 樣本容量的確定學(xué)習(xí)重點(diǎn)：學(xué)習(xí)重點(diǎn)：估計(jì)量的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)學(xué)習(xí)難點(diǎn)：學(xué)習(xí)難點(diǎn)：?jiǎn)我豢傮w參數(shù)的區(qū)間估計(jì)第5章 參數(shù)估計(jì)4第五章 參數(shù)估計(jì) (Parameter estimation）第二節(jié) 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)第三節(jié) 樣

3、本容量的確定第一節(jié) 參數(shù)估計(jì)的一般問題第5章 參數(shù)估計(jì)5第一節(jié) 參數(shù)估計(jì)的一般問題二、參數(shù)估計(jì)的兩種方法一、估計(jì)量與估計(jì)值第5章 參數(shù)估計(jì)6一、估計(jì)量與估計(jì)值1 1、估計(jì)量、估計(jì)量( (estimatorestimator) )：用來估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量。估計(jì)量：總體參數(shù)：2、估計(jì)值（estimated value）：根據(jù)某一樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出的指定估計(jì)量的具體數(shù)值。隨機(jī)變量隨機(jī)變量，具有自己的分布第5章 參數(shù)估計(jì)7二、參數(shù)估計(jì)的兩種方法（一）總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)（point estimation）（二）總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（interval estimation）第5章 參數(shù)估計(jì)8（一）總體參數(shù)的點(diǎn)估

4、計(jì)（一）總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)（point estimationpoint estimation）1 1、含義：、含義：利用樣本計(jì)算的估計(jì)值直接作為直接作為對(duì)應(yīng)總體參數(shù)的取值。例如: 用樣本均值或中位數(shù)作為總體均值的估計(jì)值，用樣本比率作為總體比率的估計(jì)值，用修正樣本方差作為總體方差的估計(jì)值。2、實(shí)質(zhì)：抽樣分布曲線上的一個(gè)確定數(shù)值（點(diǎn)）該估計(jì)值能不能直接作為真實(shí)的總體參數(shù)使用該估計(jì)值能不能直接作為真實(shí)的總體參數(shù)使用? ?第5章 參數(shù)估計(jì)93 3、估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則（點(diǎn)估計(jì)）、估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則（點(diǎn)估計(jì)）（1 1）無偏性（）無偏性（unbiasednessunbiasedness）：）：估計(jì)量抽樣分布的

5、數(shù)學(xué)期望（均值）數(shù)學(xué)期望（均值）等于被估計(jì)的總體參數(shù)。即：E() 可以證明，樣本均值、樣本比率、修正樣本方差分別是總體均值、總體比率、總體方差的無偏點(diǎn)估計(jì)。無偏無偏有偏有偏( )P第5章 參數(shù)估計(jì)10樣本均值的分布樣本均值的分布樣本中位數(shù)的分布樣本中位數(shù)的分布例：與正態(tài)分布的中位數(shù)相比，樣本均值是有效估計(jì)量（2 2）有效性（）有效性（efficiencyefficiency）基于相同樣本容量相同樣本容量計(jì)算的兩個(gè)無偏無偏估計(jì)量來說，方差方差較小較小的那個(gè)為有效估計(jì)量。即：若兩個(gè)無偏估計(jì)量，存在12Var() Var()，則前者為有效估計(jì)量。 ( )P第5章 參數(shù)估計(jì)11（3 3）相合性（一致性

6、）（）相合性（一致性）（consistencyconsistency）樣本容量越大，估計(jì)值越接近被估計(jì)的參數(shù)。AB小樣本容量小樣本容量大樣本容量大樣本容量 P(X )X第5章 參數(shù)估計(jì)12優(yōu)點(diǎn)： 參數(shù)與估計(jì)量結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)一致 計(jì)算簡(jiǎn)單，直接缺點(diǎn)： 沒有刻畫參數(shù)與對(duì)應(yīng)估計(jì)值之間的誤差 沒有給出樣本與總體之間估計(jì)的把握水平（置信度） 4、點(diǎn)估計(jì)的特點(diǎn)：第5章 參數(shù)估計(jì)13（二）總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（二）總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（interval estimationinterval estimation）1 1、含義：、含義：在對(duì)參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，以一定的置信一定的置信度度估計(jì)出包含估計(jì)量與參數(shù)

7、二者誤差信息的區(qū)間區(qū)間。3、實(shí)質(zhì)： 2 2、置信度（、置信度（confidence levelconfidence level）：）：表明估計(jì)量和總體參數(shù)的誤差不超過一定范圍的概率概率，記為1-。顯著性水平顯著性水平形式：估計(jì)值-允許出現(xiàn)的誤差，估計(jì)值+允許出現(xiàn)的誤差樣本隨機(jī)性估計(jì)量：隨機(jī)變量估計(jì)量：隨機(jī)變量（抽樣分布）（抽樣分布）估計(jì)誤差：估計(jì)誤差：隨機(jī)變量隨機(jī)變量第5章 參數(shù)估計(jì)144、原理：在一定概率下估計(jì)出包含參數(shù)在內(nèi)的某一抽樣分布的區(qū)間均值的抽樣分布均值的抽樣分布xx-Ex+Ex理論上進(jìn)行多次抽樣，估計(jì)參數(shù)時(shí)會(huì)有多大的概率使給出的估計(jì)區(qū)間包含真實(shí)參數(shù)在內(nèi)？02/Z常用Z與置信水平的對(duì)

8、應(yīng)關(guān)系（雙邊顯著性水平）Z=1， P =0.6827; Z=1.64， P=0.9；Z=1.96，P=0.95; Z=2，P=0.9545; Z=2.58，P=0.99; Z=3，P=0.9973/xZn/2xZn1-既定Z12/2/2/-Z68.27%x+x-x+2x-295.45%x第5章 參數(shù)估計(jì)175、區(qū)間估計(jì)的基本思路：思路：利用實(shí)際抽樣資料，計(jì)算出待估總體參數(shù)值在給定置信水平下的上限和下限，即參數(shù)可能存在的區(qū)間范圍。 對(duì)于總體參數(shù)，計(jì)算出樣本的兩個(gè)估計(jì)值1和2，使被估計(jì)指標(biāo) 落在區(qū)間1，2內(nèi)的概率為1-，即P（ 1 2 )=1一。則稱區(qū)間1，2為總體指標(biāo)的置信區(qū)間，其估計(jì)置信水平為

9、1一，稱為顯著性水平，1是置信下限， 2是置信上限。第5章 參數(shù)估計(jì)18第二節(jié) 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、抽樣誤差二、單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)第5章 參數(shù)估計(jì)19一、抽樣誤差（Sampling error）（一）有關(guān)誤差的概念1、抽樣誤差：是指由于隨機(jī)抽樣的偶然因素使抽樣估計(jì)值與總體參數(shù)之間存在的偏差。2、分類：l抽樣平均誤差：反映抽樣誤差一般水平的指標(biāo)。 實(shí)質(zhì)：估計(jì)量抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差l抽樣允許誤差：極限誤差，抽樣允許的最大誤差 實(shí)質(zhì)：估計(jì)區(qū)間的半徑第5章 參數(shù)估計(jì)20（二）抽樣平均誤差（二）抽樣平均誤差(Mean sampling error)不重復(fù)抽樣下，樣本均值的抽樣平均誤差和總體離散程度

10、、樣本容量、總體容量有關(guān)：重復(fù)抽樣下，樣本均值的抽樣平均誤差與總體離散程度以及樣本容量大小兩個(gè)因素有關(guān)：1、樣本均值x的抽樣平均誤差第5章 參數(shù)估計(jì)212、樣本比率p的抽樣平均誤差在不重復(fù)抽樣的條件下，樣本比率的抽樣平均誤差和總體離散程度、樣本容量、總體容量有關(guān)：在重復(fù)抽樣的條件下，樣本比率的抽樣平均誤差與總體的離散程度以及樣本容量大小兩個(gè)因素有關(guān) ：第5章 參數(shù)估計(jì)223、抽樣平均誤差所反映的內(nèi)容可通過調(diào)整樣本單位數(shù)來控制抽樣平均誤差。 重復(fù)抽樣條件下，樣本均值（比率）分布的平均誤差僅為總體標(biāo)準(zhǔn)差的 1n，不重復(fù)抽樣時(shí)誤差更小。4、影響抽樣誤差大小的因素：1）總體離散程度2）樣本容量n3）抽

11、樣方法4）抽樣調(diào)查的組織形式第5章 參數(shù)估計(jì)23例例1 1：假定重復(fù)抽樣方法下，樣本容量增加：假定重復(fù)抽樣方法下，樣本容量增加 2 2 倍、倍、0.50.5倍時(shí)，抽樣平均誤差怎樣變化？倍時(shí)，抽樣平均誤差怎樣變化？解解：抽樣單位數(shù)增加：抽樣單位數(shù)增加 2 倍，即為原來的倍，即為原來的 3 倍倍則：則：抽樣單位數(shù)增加抽樣單位數(shù)增加 0.5倍，即為原來的倍，即為原來的 1.5倍倍則：則：10 57733xxx.n即：即：當(dāng)樣本單位數(shù)增加當(dāng)樣本單位數(shù)增加2 2倍時(shí)，抽樣平均誤差為原來的倍時(shí)，抽樣平均誤差為原來的0.5770.577倍倍。即：即：當(dāng)樣本單位數(shù)增加當(dāng)樣本單位數(shù)增加0.50.5倍時(shí)，抽樣平均

12、誤差為原來的倍時(shí)，抽樣平均誤差為原來的0.81650.8165倍倍。10 81651 51 5xxx. n.第5章 參數(shù)估計(jì)24（三）抽樣允許誤差（三）抽樣允許誤差(Ultimate sampling error)(Ultimate sampling error)1、含義：進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，對(duì)應(yīng)于一定置信水平下允許出現(xiàn)的最大誤差允許出現(xiàn)的最大誤差范圍。 稱為總體均值的估計(jì)區(qū)間或置信區(qū)間。 稱為總體比率的估計(jì)區(qū)間或置信區(qū)間。2、抽樣允許誤差的表示：xEpE第5章 參數(shù)估計(jì)25（四）抽樣抽樣誤差與抽樣平均誤差的關(guān)系（四）抽樣抽樣誤差與抽樣平均誤差的關(guān)系以重復(fù)抽樣為例，樣本均值正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)化后，滿足：/2

13、/xxxEEZn10/2Z/2Z22第5章 參數(shù)估計(jì)26二、單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（一）總體均值或比率的區(qū)間估計(jì)（大樣本下）（一）總體均值或比率的區(qū)間估計(jì)（大樣本下）大樣本條件下，無論總體服從何種分布，根據(jù)大樣本條件下，無論總體服從何種分布，根據(jù)CLTCLT，都可以構(gòu)造都可以構(gòu)造正態(tài)分布正態(tài)分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì)?？傮w標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行參數(shù)估計(jì)?？傮w標(biāo)準(zhǔn)差如果未知，則用樣本修正方差進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)。如果未知，則用樣本修正方差進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)。(0,1)xxZN(0,1)ppZN第5章 參數(shù)估計(jì)271 1、已知抽樣允許誤差，估計(jì)給定誤差下的區(qū)間、已知抽樣允許誤差，估計(jì)給定誤差下的區(qū)間抽取樣本，計(jì)算樣本估計(jì)量計(jì)算樣本估計(jì)量

14、（如均值或比率），作為相應(yīng)總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值。若總體標(biāo)準(zhǔn)差已知，進(jìn)入下一步。否則， 計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差以推算抽樣平均誤差計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差以推算抽樣平均誤差。根據(jù)給定的抽樣極限誤差，估計(jì)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)參數(shù)的區(qū)間下限和上限，給出估計(jì)區(qū)間。將抽樣極限誤差除以抽樣平均誤差求求Z Z值值，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率表求出相應(yīng)的置信水平置信水平。給出結(jié)論結(jié)論。 第5章 參數(shù)估計(jì)28例2：對(duì)某型號(hào)電子元件進(jìn)行耐用性能檢查，抽查的資料分組列表如下，要求耐用時(shí)數(shù)的允許誤差為10.5小時(shí)，試估計(jì)該批電子元件的平均耐用時(shí)數(shù)?？傮w均值的區(qū)間估計(jì)（已知抽樣允許誤差）12251175112510751025 975 925 875組中

15、值x100合計(jì) 11200以上 31150-1200 91100-1150 431050-1100 351000-1050 6950-1000 2900-950 1900以下 元件數(shù)f耐用時(shí)間（小時(shí)）105550 1225 3525 10125 46225 35875 5850 1850 875xf269475.0028730.2542840.7543472.2516350.7532558.7538881.5034060.5032580.25（x-x）2f第5章 參數(shù)估計(jì)29解：依據(jù)已知計(jì)算樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差作為總體均值和標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)值： 因此可以作如下估計(jì)，即以概率為95.45%的保證程度，

16、估計(jì)該批電子元件的耐用時(shí)數(shù)在1045-1066小時(shí)之間。根據(jù)給定的抽樣允許誤差，構(gòu)造總體均值的估計(jì)區(qū)間：計(jì)算z值：計(jì)算樣本均值的抽樣平均誤差：下限為上限為對(duì)應(yīng)置信水平為0.9545。第5章 參數(shù)估計(jì)30抽取樣本，計(jì)算樣本估計(jì)量計(jì)算樣本估計(jì)量（均值或比率），作為相應(yīng)總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值。若總體標(biāo)準(zhǔn)差已知，進(jìn)入下一步。否則， 計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差以推算抽樣平均誤差計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差以推算抽樣平均誤差。根據(jù)給定的置信水平,反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率表得到Z Z值值。用抽樣平均誤差乘Z值計(jì)算抽樣極限誤差計(jì)算抽樣極限誤差，估計(jì)參估計(jì)參數(shù)的區(qū)間數(shù)的區(qū)間下限和上限，給出估計(jì)區(qū)間。得出結(jié)論結(jié)論。2、已知置信水平，估計(jì)給定概率下

17、的區(qū)間、已知置信水平，估計(jì)給定概率下的區(qū)間例3：某紗廠某時(shí)期內(nèi)生產(chǎn)10萬(wàn)個(gè)單位的紗，按隨機(jī)不重復(fù)抽樣方式抽取2000個(gè)單位檢驗(yàn)，結(jié)果合格率為95%。試以95%的把握程度，估計(jì)該批紗合格品率及合格品數(shù)量的區(qū)間范圍。解：已知100000N2000n95p% %51 p110 950 052000120001000000 48pppNnnN.().%21 960 480 94p/pEZ.%.%合格率區(qū)間下限：0 9 50 0 0 9 49 4 0 6ppE.%合格率區(qū)間上限：0 9 50 0 0 9 49 5 9 4ppE.%因此以95%的置信水平估計(jì)該批紗合格率在94.06%和95.94%之間，合

18、格品數(shù)量在9406095940個(gè)之間。合格品數(shù)量上限：個(gè)）(94060%06.94100000 x個(gè)）(95940%94.95100000 x合格品數(shù)量下限：樣本比率的抽樣平均誤差：195% 由得Z/2=1.96第5章 參數(shù)估計(jì)32（二）總體均值的區(qū)間估計(jì)（小樣本下）（二）總體均值的區(qū)間估計(jì)（小樣本下）小樣本條件下，總體若服從正態(tài)分布，但標(biāo)準(zhǔn)差未小樣本條件下，總體若服從正態(tài)分布，但標(biāo)準(zhǔn)差未知，則構(gòu)造估計(jì)量的知，則構(gòu)造估計(jì)量的t t分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。 (1)/xtt nsn1 0/ 2t/ 2t22第5章 參數(shù)估計(jì)33正態(tài)分布的小樣本條件下，均值區(qū)間估計(jì)步驟：正態(tài)分布的小樣本條

19、件下，均值區(qū)間估計(jì)步驟：抽取樣本，計(jì)算樣本估計(jì)量計(jì)算樣本估計(jì)量（如均值或比率），作為相應(yīng)總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值。計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)給定的置信水平和自由度，反查t分布概率表，確定t值。估計(jì)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)參數(shù)的區(qū)間下限和上限，給出估計(jì)區(qū)間。給出結(jié)論結(jié)論。應(yīng)用：P140第5章 參數(shù)估計(jì)34根據(jù)置信水平和自由度，根據(jù)置信水平和自由度，推算推算 分位數(shù)分位數(shù)。（三）總體方差的區(qū)間估計(jì)（三）總體方差的區(qū)間估計(jì)抽取樣本，抽取樣本，計(jì)算修正樣本方差計(jì)算修正樣本方差，作為總體方差的，作為總體方差的點(diǎn)估計(jì)值。點(diǎn)估計(jì)值。2給出給出估計(jì)區(qū)間估計(jì)區(qū)間222210 21給出給出結(jié)論結(jié)論。22222122(1)(1),(1)(1)nsnsxnxn解：依