圓與方程知識點總結(jié)

1、圓與方程知識點總結(jié)1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 以點C(a,b)為圓心，r圓與方程知識點總結(jié)(x _a) , 2 (y _b)2二r2.特例：圓心在坐標(biāo)原點,半徑為r的圓的方程是：x2 y2=r2.2點與圓的位置關(guān)系:(1) .設(shè)點到圓心的距離為d,圓半徑為r:22 / 4a. 點在圓內(nèi)一d v r ；b. 點在圓上一d=r ；c. 點在圓外 一d> r(2). 給定點 M (x0,y0)及圓 C : (x -a)2 (y -b)2 =r2 . M 在圓 C 內(nèi)二(x0 -a)2 (y0 -b)2 :r2 M 在圓 C 上 u (x0 -a)2 (y 0 b)2 =r2 M 在圓 C 外=(x0

2、-a)2 (y0-b)2 r2(3)涉及最值: 圓外一點B ,圓上一動點P ,討論PB的最值陽斷=|BN| = |BC|_r|PB|max =|BM| =|BC| + rP,討論I PA|的最值PAmin Tan卜 r-|AC|IpA=|AM|=r+|ACi 1 max1思考：過此 A點作最短的弦？(此弦垂直 AC )3.圓的一般方程:x2 y2 Dx Ey F 0 .(1)D2 E2VF0時,方程表示一個圓,其中圓心C -D-2,半徑D2 E2 YFD2 £2十=0時,方程表示一個點D E I.2 2D E -4F0時,方程不表示任何圖形.B = 0且 A =C =0且 D2 E2

3、_4AF -0.注：方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F =0表示圓的充要條件是:4. 直線與圓的位置關(guān)系:直線 Ax By C 二0與圓(x _a)2 (y _b)2圓心到直線的距離k _1A叮Bb+C|JA2 +B21) d .r =直線與圓相離=無交點；2) d =r：=直線與圓相切：=只有一個交點；3) d :二直線與圓相交 二有兩個交點；弦長|AB| =2 . r2 -d2還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組'Ax + By + C = 0(X2 +y2 +Dx + Ey+ F =0求解,通過解的個數(shù)來判斷:5 / 4(1) 當(dāng)；0時，直線與圓有2個交點”直線與圓相交

4、；(2) 當(dāng)厶=0時，直線與圓只有1個交點，直線與圓相切;(3) 當(dāng).：:：:0時，直線與圓沒有交點，直線與圓相離；5. 兩圓的位置關(guān)系(1)設(shè)兩圓 G : (x -aj2 (y -bj2 =與圓 C?: (x a?)2 (y -b?)2 二 q2.圓心距 d =-a2)2(R -b2)2 d r1外離：=4條公切線； d=r1r 外切u3條公切線； 片-r2| : d : r亠r2 =相交：=2條公切線； d =|1 內(nèi)切二1條公切線；外離0 : d 計口(2) 兩圓公共弦所在直線方程2 2圓C1: x + y十。必+巳丫 +丘=0,圓 C2: x y D2x E2y F2 = 0,則Di

5、-D2 x 巳-E2 y Fi-F2 =0為兩相交圓公共弦方程補充說明： 若Ci與C2相切,則表示其中一條公切線方程； 若Ci與C2相離,則表示連心線的中垂線方程(3) 圓系問題2 2 2 2過兩圓Ci :xy DiXEiyF 0和C? : x y - D?x - E?yF 0交點的 圓系方程為2 2 2 2x y Ux£yF|：x yD2x E2y F2 =0(謚-1)補充： 上述圓系不包括C2 ； 2)當(dāng)- -1時,表示過兩圓交點的直線方程(公共弦) 過直線 A x B y0二與圓x2 y2 Dx Ey 0交點的圓系方程為x2 y2 Dx Ey F 亠；.I Ax By C =0

6、6. 過一點作圓的切線的方程:(1)過圓外一點的切線： k不存在，驗證是否成立 k存在,設(shè)點斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑,即yi y0=k(xi -x°) b y1 -k(a X1R2 1R =求解k,得到切線方程【一定兩解】例1.經(jīng)過點P(1, 2)點作圓(x+1)2+(y2)2=4的切線，則切線方程為 . . . . 2 2 2 . .(2)過圓上一點的切線 方程：圓(Xa) +(yb) =r ,圓上一點為(X0,y。)，則過此點的切線方程為(X0a)( xa) +(y0 b)( yb) = r 2特別地，過圓x2 y2=r2上一點P(x°,y°)的切線

7、方程為 X0X y°y A2 . 2 2例2.經(jīng)過點P( 4, 8)點作圓(X+7) +(y+8) =9的切線，則切線方程為 7. 切點弦AB所在直線 過O C： (x-a)2(y-b)2二r2外一點P(Xo,y。)作O C的兩條切線，切點分別為A、B ,則切點弦 方程為：(x0 -a)(x-a) (y0-b)(y -b) = r28. 切線長：若圓的方程為(x_a)2 (y_b) 2=r2,則過圓外一點P(xo, yo)的切線長為d= &0 _a)2 + (y0b)2 _r2 .9. 圓心的三個重要幾何性質(zhì)： 圓心在過切點且與切線垂直的直線上； 圓心在某一條弦的中垂線上； 兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線。10. 兩