高考數(shù)學(xué)圓錐曲線綜合題型歸納解析

1、圓錐曲線綜合題型歸納解析【知識(shí)點(diǎn)精講】1、 定值問題解析幾何中定值問題的證明可運(yùn)用函數(shù)的思想方法來解決.證明過程可總結(jié)為“變量函數(shù)定值”，具體操作程序如下：（1） 變量選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?；?） 函數(shù)把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)；（3） 定值化簡(jiǎn)得到函數(shù)的解析式，消去變量得到定值。求定值問題常見的方法有兩種：（1） 從特殊情況入手，求出定值，在證明定值與變量無關(guān)；（2） 直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算過程中消去變量，從而得到定值。2、 求最值問題常用的兩種方法（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形的性質(zhì)來解決。（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建

2、立目標(biāo)函數(shù)，在求該函數(shù)的最值。求函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法、和三角換元等，這是代數(shù)法。三、求定值、最值等圓錐曲線綜合問題的“三重視”（1）重視定義在解題中的應(yīng)用（優(yōu)先考慮）；（2）重視曲線的幾何特征特別是平面幾何的性質(zhì)與方程的代數(shù)特征在解題中的作用；（3）重視根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）在解題中的應(yīng)用（涉及弦長、中點(diǎn)要用）。四、求參數(shù)的取值范圍根據(jù)已知條件及題目要求建立等量或不等量關(guān)系，再求參數(shù)的范圍。題型一、平面向量在解析幾何中的應(yīng)用【思路提示】解決平面向量在解析幾何中的應(yīng)用問題要把幾何特征轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，并把向量用坐標(biāo)表示。常見的應(yīng)用有如下兩個(gè)：（1） 用向量的數(shù)量

3、積解決有關(guān)角的問題：直角；鈍角；銳角。（2） 利用向量的坐標(biāo)表示解決共線、共面問題。1、 利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)夾角（銳角、直角、鈍角）的問題其步驟是：弦寫出向量的坐標(biāo)形式，再用向量積的計(jì)算公式?！纠?0.44】過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).求證：是鈍角三角形.【評(píng)注】若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則：（1） 直線在軸上的截距等于時(shí)，；（2） 直線在軸上的截距大于時(shí)，；（3） 直線在軸上的截距大于且小于時(shí)，。變式1 如題（20）圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在軸上，上頂點(diǎn)為,左、右焦點(diǎn)分別為,線段的中點(diǎn)分別為是面積為4的直角三角形（1）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程（2）過作直線交橢

4、圓于兩點(diǎn)，使,求直線的方程變式2 設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為直線上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓交于異于的點(diǎn).證明：點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)。變式3 已知m1，直線，橢圓，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).（）當(dāng)直線過右焦點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的重心分別為.若原點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【例10.45】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于，設(shè)點(diǎn)的軌跡為，直線與交于兩點(diǎn).（1）求的方程；（2）若，求的值.變式1 橢圓的左、右、上、下頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為過原點(diǎn)的直線，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，是否存在上述直線使成立，若存在，求出直線的

5、方程；若不存在，請(qǐng)說明理由。變式2 橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，為原點(diǎn)坐標(biāo)。設(shè)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若直線交繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍。二、利用向量的坐標(biāo)表示解決共線問題【例10.46】在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。（1）求的取值范圍；（2）設(shè)是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使共線？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。變式1 設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，離心率，直線，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。（1）若，求的值；（2）證明：當(dāng)取最小值時(shí)，共線?！纠?0.47】設(shè)是橢圓上的兩點(diǎn)，并且點(diǎn)滿足，當(dāng)時(shí)，求直線斜率的取值范圍。變式1 已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線過且垂直于橢

6、圓的長軸，動(dòng)直線垂直于直線，垂足為，線段的垂直平分線交于點(diǎn)。（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)作直線交于兩個(gè)不同點(diǎn)，設(shè)，若，求的取值范圍。變式2 過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，已知，求的值。題型二、定點(diǎn)問題【思路提示】（1）直線過定點(diǎn)，由對(duì)稱性知定點(diǎn)一般在坐標(biāo)軸上，如直線過定點(diǎn)；（2）一般曲線過定點(diǎn)，把曲線方程變?yōu)?，解方程組，即得定點(diǎn)。模型一：三大曲線的頂點(diǎn)直角三角形的斜邊所在的直線過定點(diǎn)。【例10.48】已知橢圓：，直線與橢圓交于兩點(diǎn)（非頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)。求證直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)?！驹u(píng)注】已知橢圓：，直線與橢圓交于兩點(diǎn)（非頂點(diǎn)），若以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)

7、，則直線過定點(diǎn)；若以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn)，則直線過定點(diǎn)；若以為直徑的圓過橢圓的上頂點(diǎn)，則直線過定點(diǎn)；若以為直徑的圓過橢圓的下頂點(diǎn)，則直線過定點(diǎn)；類比橢圓，對(duì)于雙曲線上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，若以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，則直線過定點(diǎn)類比橢圓，對(duì)于雙曲線上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，若以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn)，則直線過定點(diǎn)。變式1 已知橢圓的左頂點(diǎn)為，不過的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求的關(guān)系，并證明直線過定點(diǎn)。變式2 已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn)，且離心率為,為橢圓的左頂點(diǎn).（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).（）若直線垂直于軸，求的大小;（）若直線與軸不垂直，是否存在直線使得為等

8、腰三角形？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由.【例10.49】已知拋物線上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，滿足以為直徑的圓過頂點(diǎn).求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)。【評(píng)注】（1）將斜率存在的直線設(shè)為，將直線斜率不為的直線設(shè)為；拋物線中；對(duì)于過定點(diǎn)問題，必須引入?yún)?shù)，最后令參數(shù)的系數(shù)為。（2）拋物線上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，滿足，則直線過定點(diǎn)；拋物線上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，滿足，則直線過定點(diǎn)。變式1 如圖10-39所示，已知定點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作兩直線分別交拋物線于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過點(diǎn).求證：直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)。變式2 已知拋物線，過點(diǎn)作兩直線分別交拋物線于，兩點(diǎn)，且的斜率滿足。求證：直線過定

9、點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)。模型二：三點(diǎn)圓錐曲線中，若過焦點(diǎn)的弦為，則焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸上存在唯一定點(diǎn)，使得為定值。【例10.50】已知橢圓:的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓上.（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）已知?jiǎng)又本€過點(diǎn)，且與橢圓交于，兩點(diǎn).試問軸上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.變式1 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，過的動(dòng)直線與雙曲線交于，兩點(diǎn).在軸上是否存在定點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。題型三、定直線問題模型：已知橢圓外一點(diǎn)，當(dāng)過的動(dòng)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，時(shí)，在線段上取一點(diǎn)，滿足。求證：點(diǎn)總在某定直線上，并求出該直線的方程。證明：設(shè)，由題意知 設(shè)在

10、，之間，又在，之間，故，又因?yàn)?，所以。由得，解得。同理，由得解得。因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即同理，由點(diǎn)在橢圓上，可得由整理得所以點(diǎn)在定直線上。類比橢圓，對(duì)于雙曲線有點(diǎn)在定直線上。再由，的對(duì)等性知，當(dāng)在橢圓內(nèi)，上述結(jié)論仍成立，雙曲線亦同。 已知拋物線，定點(diǎn)不在拋物線上，過的動(dòng)直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)，滿足。求證：點(diǎn)總在某定直線上，并求出該直線的方程。證明：設(shè)，由題意知 設(shè)在，之間，又在，之間，故，又因?yàn)椋?。由得，解得。所以同理，由得解得。所以因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以即同理，由點(diǎn)在拋物線上可得由整理得所以點(diǎn)在直線上?！驹u(píng)注】三大圓錐曲線中，當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，相應(yīng)的定直線，均為在定點(diǎn)

11、處的切線。【例10.51】已知橢圓:過點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為。（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，時(shí)，在線段上取一點(diǎn)，滿足。求證：點(diǎn)總在某定直線上，并求出該直線的方程。題型四、定值問題【思路提示】求定值問題的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出其值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)。這符合一般與特殊的思維辯證關(guān)系。簡(jiǎn)稱為：特殊探路，一般論證。（2）直接推理，計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值。模型：在三大曲線中，曲線上的一定點(diǎn)與曲線上的兩動(dòng)點(diǎn)，滿足，則直線的斜率是定值。【例10.52】已知橢圓:，橢圓上的點(diǎn)，是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，若。求證：直線的斜率為定值，并求出該定值。變式

12、1 已知是長軸為4，焦點(diǎn)在軸上的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)是長軸的一個(gè)端點(diǎn)，過橢圓的中心，且。（1）求橢圓的方程；（2）如果橢圓上的兩點(diǎn)，使得的平分線垂直于，問是否存在實(shí)數(shù)使得？說明理由。變式2 如圖，過拋物線上一定點(diǎn)，作兩條直線分別交拋物線于。（I）求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離；（II）當(dāng)與的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù)。題型五、最值問題【思路提示】有兩種求解方法：一是幾何法，所求最值量具有明顯的幾何意義時(shí)，可利用幾何性質(zhì)結(jié)合圖形直觀求解；二是目標(biāo)函數(shù)法，即選取適當(dāng)?shù)淖兞?，建立目?biāo)函數(shù)，然后按照求函數(shù)最值的方法求解，同時(shí)要注意變量的范圍?！纠?0.53】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，求的最大值和最小值。【評(píng)注】這里利用橢圓定義三角形兩邊之差小于（共線反向時(shí)等于）第三邊，使與曲線有關(guān)的最值轉(zhuǎn)化為直線段的最值。應(yīng)明確此處不能用，因?yàn)榈忍?hào)取不到，若要取等號(hào)，則必須在線段上，但事實(shí)上不可能。變式1 如下圖所示，已知點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，