高考數(shù)學平面解析幾何時直線的方程更多資料關(guān)注微博高中學習資料庫

1、第九章 平面解析幾何第2課時直線的方程考情分析考點新知掌握直線方程的幾種形式(點斜式、斜截式、兩點式、截距式及一般式)的特點與適用范圍；能根據(jù)問題的具體條件選擇恰當?shù)男问角笾本€的方程；了解直線方程的斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系 在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.1. 把直線方程AxByC0(ABC0)化成斜截式為_，化成截距式為_答案：yx1解析：因為ABC0，即A0，B0，C0，按斜截式、截距式的形式要求變形即可斜截式為yx，截距式為1.2. (必修2P88習題13改編

2、)過點(3，6)作直線l，使l在x軸，y軸上截距相等，則滿足條件的直線方程為_答案：xy90，y2x解析：設(shè)該直線方程為1(a0)，則1，所以a 9，則該直線方程為xy90；又若過原點，則該直線方程為y2x.3. 下列四個命題：過點P(1，2)的直線可設(shè)為y2k(x1)；若直線在兩軸上的截距相等，則其方程可設(shè)為1(a0)；經(jīng)過兩點P(a，2)，Q(b，1)的直線的斜率k；如果AC<0，BC>0，那么直線AxByC0不通過第二象限其中正確的是_(填序號)答案：4. (必修2P82第1題改編)已知直線l過點P(2，5)，且斜率為，則直線l的方程為_答案：3x4y140解析：由y5(x2

3、)，得3x4y140.5. 經(jīng)過兩點(1，8)和(4，2)的直線的兩點式方程是_，截距式方程是_，一般式方程是_答案：12xy601. 直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式不含直線xx0斜截式y(tǒng)y0k(xx0)不含垂直于x軸的直線兩點式不含直線xx1(x1x2)和直線yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式AxByC0(A，B不同時為0)平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用2. 過P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程(1) 若x1x2，且y1y2時，直線垂直于x軸，方程為xx1(2) 若x1x2，且y1y2時，直線垂直于y軸，方程為yy1(3) 若x1x20，且y

4、1y2時，直線即為y軸，方程為x0(4) 若x1x2，且y1y20時，直線即為x軸，方程為y03. 線段的中點坐標公式若點P1，P2的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，且線段P1P2的中點M的坐標為(x，y)，則此公式為線段P1P2的中點坐標公式.題型1直線方程例1求經(jīng)過點A(2，m)和B(n，3)的直線方程解：(解法1)利用直線的兩點式方程直線過點A(2，m)和B(n，3)當m3時，點A的坐標是A(2，3)，與點B(n，3)的縱坐標相等，則直線AB的方程是y3.當n2時，點B的坐標是B(2，3)，與點A(2，m)的橫坐標相等，則直線AB的方程是x2.當m3，n2時，由直線的兩點式方程

5、得.(解法2)利用直線的點斜式方程當n2時，點A、B的橫坐標相同，直線AB垂直于x軸，則直線AB的方程為x2.當n2時，過點A，B的直線的斜率是k.又 過點A(2，m)，由直線的點斜式方程yy1k(xx1)，得過點A，B的直線的方程是ym(x2)過點P(1，4)引一條直線，使它在兩條坐標軸上的截距為正值，且它們的和最小，求這條直線的方程解：(解法1)設(shè)所求的直線方程為y4k(x1)顯見，上述直線在x軸、y軸上的截距分別為1、4k.由于1>0且4k>0可得，k<0.直線在兩坐標軸上的截距之和為S(4k)5(k)549，當且僅當k，即k2時，S有最小值9.故所求直線方程為y42(

6、x1)，即2xy60.(解法2)設(shè)所求的直線方程為1(a>0，b>0)據(jù)題設(shè)有1，令Sab.×，有S(ab)5549.當且僅當時，即2ab，且1，也即a3，b6時，取等號故所求的直線方程為1，即2xy60.例2求過點A(5，2)，且在坐標軸上截距互為相反數(shù)的直線l的方程解：截距不為0時，設(shè)直線l的方程為1. l過A(5，2)，1. a3. l的方程為xy30.截距為0時，l的方程為2x5y0.綜上可得直線l的方程是xy30或2x5y0.直線l經(jīng)過點(3，2)，且在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程解：解法1：(借助點斜式求解)由于直線l在兩軸上有截距，因此直線不與x、y

7、軸垂直，斜率存在，且k0.設(shè)直線方程為y2k(x3)，令x0，則y3k2；令y0，則x3.由題設(shè)可得3k23，解得k1或k.故l的方程為y2(x3)或y2(x3)即直線l的方程為xy50或2x3y0.解法2：(利用截距式求解)由題設(shè)，設(shè)直線l在x、y軸的截距均為a.若a0，則l過點(0，0)又過點(3，2)，l的方程為yx，即l：2x3y0.若a0，則設(shè)l為1.由l過點(3，2)，知1，故a5.l的方程為xy50.綜上可知，直線l的方程為2x3y0或xy50.題型2直線方程的形式例3求經(jīng)過點A(2，2)且在第二象限與兩個坐標軸圍成的三角形面積最小時的直線的方程解：(解法1)設(shè)所求直線方程為1(

8、a<0，b>0)，1， a.又a<0， b>2.Sab·(b2)4248. 當且僅當b2，即b4時S最小此時a4，b4，故xy40為所求直線方程(解法2)設(shè)所求直線方程為y2k(x2)，顯然k>0，由題意，S|2k2|·42(k)8.當且僅當k1時取等號，故xy40為所求直線方程直線l過點M(2，1)，且分別交x軸、y軸的正半軸于點A、B.點O是坐標原點(1) 當ABO的面積最小時，求直線l的方程；(2) 當最小時，求直線l的方程解：(1) 如圖，設(shè)a，b，ABO的面積為S，則Sab，并且直線l的截距式方程是1，由直線通過點(2，1)，得1，所

9、以.因為A點和B點在x軸、y軸的正半軸上，所以上式右端的分母b1>0.由此得S×b×bb1b12224.當且僅當b1，即b2時，面積S取最小值4，這時a4，直線的方程為1.即直線l的方程為x2y40.(2) 如上圖，設(shè)BAO，則，所以·，當45°時，有最小值4，此時直線斜率為1，直線l的方程為xy30.題型3待定系數(shù)法求直線方程例4過點M(0，1)作一條直線，使它被兩條直線l1：x3y100，l2：2xy80所截得的線段恰好被M點平分求此直線方程解：(解法1)由于過點M(0，1)且與x軸垂直的直線顯然不合題意，故可設(shè)所求直線方程為ykx1，與已知兩

10、條直線l1、l2分別交于A、B兩點，聯(lián)立方程組xA，xB.點M平分線段AB， xAxB2xM，即有0，解得k.故所求的直線方程為x4y40.(解法2)設(shè)所求的直線與已知兩條直線l1、l2分別交于A、B兩點，點B在直線l2：2xy80上，設(shè)B(t，82t)，由于M(0，1)是線段AB的中點，根據(jù)中點坐標公式得A(t，2t6)，而A點在直線l1：x3y100上，(t)3(2t6)100，解之得t4， B(4，0)故所求直線方程為x4y40.已知直線l：xy43m0.(1) 求證：不論m為何實數(shù)，直線l恒過一定點M；(2) 過定點M作一條直線l1，使夾在兩坐標軸之間的線段被M點平分，求直線l1的方程

11、(1) 證明：m2xy40，由題意得直線l恒過定點M.(2) 解：設(shè)所求直線l1的方程為y2k(x1)，直線l1與x軸、y軸交于A、B兩點，則A，B(0，k2)AB的中點為M，解得k2.所求直線l1的方程為2xy40.1. 已知直線的點斜式方程為y1(x2)，則該直線另外三種特殊形式的方程為_，_，_答案：yx1解析：將y1(x2)移項、展開括號后合并，即得斜截式方程yx.因為點(2，1)、均滿足方程y1(x2)，故它們?yōu)橹本€上的兩點由兩點式方程得，即.由yx知，直線在y軸上的截距b，又令y0，得x.故直線的截距式方程為1.2. 將直線y3x繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移1個單位

12、，所得到的直線方程為_答案：yx解析：將直線y3x繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到直線yx，再向右平移1個單位，所得到的直線方程為y(x1)，即yx.3. 直線l經(jīng)過點P(5，4)，且與兩坐標軸圍成的三角形面積為5，則直線l的方程為_答案：8x5y200或2x5y100解析：設(shè)所求直線l的方程為1，直線l過點P(5，4)，1，即4a5bab.又由已知有|a|b|5，即|ab|10，解方程組得或故所求直線l的方程為1或1.即8x5y200或2x5y100.4. 若點P(1，1)為圓(x3)2y29的弦MN的中點，則弦MN所在直線的方程為_答案：2xy10解析：由題意得，×kMN1，

13、所以kMN2，故弦MN所在直線的方程為y12(x1)，即2xy10.5. 已知ABC中，A(1，4)，B(6，6)，C(2，0)求：(1) ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的一般式方程和截距式方程；(2) BC邊的中線所在直線的一般式方程，并化為截距式方程解：(1) 平行于BC邊的中位線就是AB、AC中點的連線因為線段AB、AC中點坐標分別為，所以這條直線的方程為，整理得一般式方程為6x8y130，截距式方程為1.(2) 因為BC邊上的中點為(2，3)，所以BC邊上的中線所在直線的方程為，即一般式方程為7xy110，截距式方程為1.6. 設(shè)直線l的方程為(a1)xy2a0(aR)(1) 若

14、l在兩坐標軸上截距相等，求l的方程；(2) 若l不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍解：(1) 當直線過原點時，該直線在x軸和y軸上的截距均為零， a2，即方程為3xy0符合題意當直線不過原點時，由截距存在且均不為0，a2，即a11， a0，即方程為xy20.(2) (解法1)將l的方程化為y(a1)xa2，或 a1.綜上可知a的取值范圍是a1.(解法2)將l的方程化為(xy2)a(x1)0(aR)它表示過l1：xy20與l2：x10交點(1，3)的直線系(不包括x1)由圖象可知l的斜率(a1)0，即a1時，直線l不經(jīng)過第二象限1. 直線xa2ya0(a>0，a是常數(shù))，當此直線在x、y軸

15、上的截距和最小時，a_答案：1解析：方程可化為1，因為a>0，所以截距之和ta2，當且僅當a，即a1時取等號2. 已知直線l1的方向向量為a(1，3)，直線l2的方向向量為b(1，k)，若直線l2經(jīng)過點(0，5)且l1l2，則直線l2的方程為_答案：x3y150解析： kl13，kl2k，l1l2， k，l2的方程為yx5，即x3y150.3. 當過點P(1，2)的直線l被圓C：(x2)2(y1)25截得的弦最短時，直線l的方程為_答案：xy10解析：易知圓心C的坐標為(2，1)，由圓的幾何性質(zhì)可知，當圓心C與點P的連線與直線l垂直時，直線l被圓C截得的弦最短由C(2，1)，P(1，2)

16、可知直線PC的斜率為1，設(shè)直線l的斜率為k，則k×(1)1，得k1，又直線l過點P，所以直線l的方程為xy10.4. 不論m取何值，直線(m1)xy2m10恒過定點_答案：(2，3)解析：把直線方程(m1)xy2m10，整理得(x2)m(xy1)0，則得5. 已知兩點A(1，2)、B(m，3)(1) 求直線AB的方程；(2) 已知實數(shù)m，求直線AB的傾斜角的取值范圍解：(1) 當m1時，直線AB的方程為x1，當m1時，直線AB的方程為y2(x1)(2) 當m1時，；當m1時，m1(0，k(，.綜合，直線AB的傾斜角.6. 已知直線l：kxy12k0.(1) 求證：直線l過定點；(2) 若直線l交x軸負半軸于點A，交y正半軸于點B，AOB的面積為S，試求S的最小值并求出此時直線l的方程(1) 證明：由已知得k(x2)(1y)0，無論k取何值，直線過定點(2，1)(2) 解：令y0得A點坐標為，令x0得B點