【電動(dòng)力學(xué)課件】5-2-3推遲勢(shì)-電偶極輻射_圖文.

1、 5.2推遲勢(shì)推遲勢(shì)就是達(dá)朗貝爾方程的解。寫出達(dá)朗貝爾方程:一、先求標(biāo)勢(shì)方程的解達(dá)朗貝爾方程是線性方程，反映電磁場(chǎng)的疊加性?？梢韵瓤?慮某一體元內(nèi)的變化電荷所激發(fā)的勢(shì)，然后對(duì)電荷分布區(qū)域積 分，即得到總的標(biāo)勢(shì).我們先分析解的形式，然后提出試探 解，最后證明試探解滿足達(dá)朗貝爾方程及洛倫茲條件。1先分析解的形式設(shè)原點(diǎn)處有一假想變化電荷a”,其電荷密度為:P(x,/) = 0(/)5(x)這電荷輻射的勢(shì)滿足達(dá)朗貝爾方程：Q（p-ry =Q（r）“x）c dt由球?qū)ΨQ性.0只依賴于/V,與方位角無(wú)關(guān)。用球坐標(biāo)表示為埠燈）一舞“耳沁）八撐）除原點(diǎn)之外，0滿足波動(dòng)方程(心0)式(2)解是球面波.考慮到當(dāng)廣

2、增大時(shí)勢(shì)減弱，做如下代換:u(rJ)這個(gè)方程形式上是一維空間的波動(dòng)方程，其通解為(r,/) = /(/-r/c) + g(/ + c)其中/和g是兩個(gè)任意函數(shù)。所以，除原點(diǎn)以外，0的解為1rr(r,r) = -/(r一一) +g(r十 一)( (4) )rcc向外發(fā)射的球面波向內(nèi)收斂的球面波式(2)變?yōu)?d2u1d2u/和g的具體形式由物理?xiàng)l件決定。研究輻射問(wèn)題時(shí)電磁場(chǎng)是由原點(diǎn)處的電荷發(fā)出的，它必然 是向外發(fā)射的波。因此在輻射問(wèn)題中應(yīng)取廣(),而函數(shù)/的 形式應(yīng)由原點(diǎn)處的電荷變化形式?jīng)Q定。2.提出試探解在靜電情形，電荷0激發(fā)的電勢(shì)（p =所以我們猜想方程的解為：證：當(dāng)r#）時(shí)，式顯然是方程的解

3、，因而也是方程（1）的解。而心0是式（5）的奇點(diǎn)，所以只有在點(diǎn)上才可能不等于零，可能有6函數(shù)形式的 奇異性作一半徑為的小球包圍原點(diǎn)，在小球內(nèi)積分r4-dr（Vj-4）Q（/r/C）Jocdt4兀勺廠當(dāng)才占）時(shí),積分的第二項(xiàng)正比于礦而趨于零，所以，當(dāng)7-M）時(shí)上式變?yōu)椋篞eo吶）右。TCV2- = -46(x)其中用到8如果電荷不在原點(diǎn)上，而是在X點(diǎn)上令/為*點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)X的距 離，有由場(chǎng)的疊加性，對(duì)于一般變化電荷分布“( (FJ) )所激發(fā)的標(biāo) 勢(shì)為二、矢勢(shì)的解由于矢勢(shì)4所滿足的方程形式上與標(biāo)勢(shì)的達(dá)朗貝爾方程 一致，所以一般變化電流分布丿(疋異)所激發(fā)的矢勢(shì)為A(x,t)=-JJ(x，f-r/cd

4、V注意：某點(diǎn)X在某時(shí)刻f的場(chǎng)值，不依賴于同一時(shí)刻f的電荷電 流分布，而是決定于較早時(shí)刻“皿、的電荷電流分布.而且源的位置不同，所提前的時(shí)間也不同。即X點(diǎn)7時(shí)刻 的勢(shì)，是由不同地點(diǎn)的源在不同時(shí)刻激發(fā)的。另一種等價(jià)的說(shuō)法是：場(chǎng)點(diǎn)X的勢(shì)，時(shí)間上總是落后于激發(fā) 它的源，因而叫做推遲勢(shì)。由碣數(shù)定義， 得到:c dt4龍壞廠10推遲勢(shì)的物理意義：推遲勢(shì)說(shuō)明電荷產(chǎn)生的物理作用不能立刻傳至場(chǎng)點(diǎn),而是在 較晚的時(shí)刻才傳到場(chǎng)點(diǎn)，所推遲的時(shí)間承正是電磁作用從 源點(diǎn)X傳至場(chǎng)點(diǎn)*所需的時(shí)間，是電磁作用的傳播速度 推遲勢(shì)說(shuō)明電磁作用具有一定的傳播速度。根據(jù)推遲勢(shì)，當(dāng)和丿給定以后，可由B = VxA和E = -P(p-牛求

5、出任意一點(diǎn)的電磁場(chǎng)。當(dāng)然，電磁場(chǎng)本身反過(guò)來(lái)也對(duì)電荷 電流發(fā)生相互作用，因而激發(fā)區(qū)內(nèi)的電荷電流分布是不能任 意規(guī)定的。以后在研究天線輻射問(wèn)題時(shí)再作具體討論。三、推遲勢(shì)滿足洛倫茲條件 證明：令/* = /-,對(duì)/的函數(shù)，Wv =-vrV.A(xj) = V.Vr=J(-V J+J vl)dV*4” J rrr-丄烏Vrc dtC Ct+ 鬻耳V-W J()dW+制夕高斯公式，/電流分布 有限區(qū)域4兀訂另外，空=丄（丄空d心丄卩空空ciWdt 4疋0 I r dt4兀氏I r dt9dt所以,由電荷守恒定律rVr-J(xrr)f=ConsI+17 = 0得dt 5 3電偶極輻射電磁波是交變運(yùn)動(dòng)的電荷

6、系統(tǒng)輻射出來(lái)的，在宏觀情形電磁波由載有交變 電流的天線輻射出來(lái)；在微觀情形，變 速運(yùn)動(dòng)的帶電粒子導(dǎo)致電磁波的輻射。本節(jié)研究宏觀電荷系統(tǒng)在其線度遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)情形下的輻射問(wèn)題。一、計(jì)算輻射場(chǎng)的一般公式當(dāng)電流分布丿給定時(shí)，計(jì)算輻射場(chǎng)的基礎(chǔ)是 推遲勢(shì)：4（兀,/）=4 f去衛(wèi)）dW4龍ir若電流丿（*）是一定頻率的交變電流，有= J(x)e式中k = co/c為波數(shù)因此心）416如果令A(yù)(x,t)= A(x)e-則有 心小二厶宀)嚴(yán)龍47Tr式中因子申是推遲作用因子，它表示電磁波傳到場(chǎng) 點(diǎn)時(shí)有相位滯后好。由電荷守恒定律，在一定頻率的交變電流情形中有可見(jiàn)，只要電流密度給定，則電荷密度也自然確定, 標(biāo)勢(shì)也隨

7、之確定。r)爭(zhēng)(x,/) = - WJ 4碼廠由此可見(jiàn)，由矢勢(shì)公式就可以完全確定電磁場(chǎng)。磁場(chǎng)B = Vx/l電場(chǎng)(在電荷分布區(qū)域外面)E = -VxBk二、矢勢(shì) A 的展開(kāi)式1.小區(qū)域內(nèi)的電流所產(chǎn)生的輻射的特點(diǎn)： 對(duì)于矢勢(shì)心)=糾丿 X)口dW4譏r注意到其中三個(gè)線度問(wèn)題：1S第一，電荷分布區(qū)域的線度/,它決定積分區(qū)域 內(nèi)I*啲大??；卄第三，電荷到場(chǎng)點(diǎn)的距離 r我們研究分布于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)的電流所產(chǎn)生的輻 射。所謂小區(qū)域是指：l）. I1對(duì)于7和久的關(guān)系，可分為三種情況：a）近區(qū)（似穩(wěn)區(qū)）r2 ,但仍滿足rl17在近區(qū)內(nèi)，kr1,推遲因子曲,因而場(chǎng)保持 穩(wěn)恒場(chǎng)的主要特點(diǎn)， 即電場(chǎng)具有靜電場(chǎng)的縱向

8、形式, 磁場(chǎng)也和穩(wěn)恒場(chǎng)相似。b）遠(yuǎn)區(qū)（輻射區(qū)）/；.,而且也保UErZo在此區(qū)域中場(chǎng)強(qiáng)E和均可略去的高次項(xiàng)，K X該區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)主要是橫向電磁場(chǎng)。C）感應(yīng)區(qū)（過(guò)渡區(qū)），Tf但滿足/仁 這個(gè)區(qū)域是一個(gè)過(guò)渡區(qū)域。它介于似穩(wěn)區(qū)和輻射區(qū) 的過(guò)渡區(qū)域中。202輻射場(chǎng)的矢勢(shì)展開(kāi)式（遠(yuǎn)區(qū)）選坐標(biāo)原點(diǎn)在電流分布區(qū)域內(nèi)，則|斗與？同數(shù)由圖可知:量級(jí)，/? =|x|, r = x x，。21=|x-xr|2=|x|2+|xf - 2x. xr=R+2-2RHXx12/?2等高次項(xiàng)）由此A(x) =“。卩(F)嚴(yán)4龍!R-nxfdVr由二項(xiàng)式r /? -y22因此，在計(jì)算輻射場(chǎng)時(shí)只須保留1/R的最低次項(xiàng)。而R r,

9、rxf9所以分母中可以去掉II X9項(xiàng)。但分子不能去掉項(xiàng)，這是因?yàn)檫@項(xiàng)貢獻(xiàn) 個(gè)相因子：-ihi-xe = e所以涉及的是小參數(shù)*/久而不是*/?,相位差2701-x9/Z一般是不能忽略的，因此兀7久要保留,把相因子對(duì)衍x展開(kāi)，得eh, x= 1 _ikn xf+ x* )2+ 2!從而得到矢勢(shì)4的展開(kāi)式為：xr) -ikn-xr(ikn-xr)2- HV根據(jù)小區(qū)域的意義/ | | 2/|x|所以,A(x) =rj(xf)edVr21*)=恰23展開(kāi)式的各項(xiàng)對(duì)應(yīng)于各級(jí)電磁多極輻射。三、電偶極輻射展開(kāi)式的 _ikRikR4(X)=_ f J(xr)dVr4兀R I廣ikRikR由于卩 g,所以宀）

10、務(wù)可見(jiàn)4表示振蕩電偶極矩產(chǎn)生的輻射，簡(jiǎn)稱為電偶極輻射。由于討論遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)時(shí)，只保留1/?的最低次項(xiàng)，因而 算符不需作用到分母上，而僅需作用到相因子 孑航上即可達(dá)到要求。23作用結(jié)果相當(dāng)于代換：J ikn,2-一沏5/由此得到，輻射場(chǎng)為fB= Vx A =ikn xA=0e,kRnxp4加？4兀泰R = 4兀和芒pxn_ ic _ic= VxB =k=ikn xB = cBxn ke (pxn)xn26磁力線是圍繞極軸的圓周，總是橫向的;電場(chǎng)線是經(jīng)面上 的閉合曲線，由于在空間中V.E = O , E線必須閉合。因此E不 可能完全橫向，只有當(dāng)略去1他的高次項(xiàng)后，才近似為橫向電偶極輻射是空間中的橫磁波(

11、 (TMW)。25術(shù)fit個(gè)帶電系統(tǒng)輻射性能的參數(shù)，是它的輻射功率和輻射 角分布，這些問(wèn)題都可以通過(guò)能流密度求得答案。1.輻射場(chǎng)的能流密度在波動(dòng)區(qū)域中，電磁場(chǎng)能流密度的平均值為(S = S=Re(E* xB) = ReL(Bxn)* xfil2“。如果取球坐標(biāo)，原點(diǎn)在電荷電流分布 區(qū)域內(nèi)，并以P方向?yàn)闃O軸，則由上 式可知： 沿緯線上結(jié)E_14ikRP|sip= icop = ico(ico)p()(x)e1O),= -co2p0(x)e14戸=丄遽4兀3c五、短天線的輻射輻射電阻當(dāng)天線的長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于輻 射波長(zhǎng)時(shí)， 它的輻射就 是電偶極輻射。饋電點(diǎn)處電流有最大值/0在天線兩段電流為 零。若天線長(zhǎng)度/VV 九， 則沿天線上的電流分布近似為線性形式229電偶極矩變化率1 = J1 z血S 1 01 p-打2 2 1/2短天線的輻射功率：12 0212 Ti p 0 212-P-1048KC 12 0 X這個(gè)式子適用于l入情形。若保持天線電流10不變,則短天線的輻射功率正比于（1/入。2思考：是否隨著I的增加，P