初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程含例題練習(xí)及答案⑻

1、初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座第8講列方程解應(yīng)用題在小學(xué)數(shù)學(xué)中介紹了應(yīng)用題的算術(shù)解法及常見的典型應(yīng)用題。然而算術(shù)解 法往往局限于從已知條件出發(fā)推出結(jié)論，不允許未知數(shù)參加計(jì)算，這樣，對(duì)于 較復(fù)雜的應(yīng)用題，使用算術(shù)方法常常比較困難。而用列方程的方法，未知數(shù)與 已知數(shù)同樣都是運(yùn)算的對(duì)象，通過找出“未知”與“已知”之間的相等關(guān)系， 即列出方程（或方程組），使問題得以解決。所以對(duì)于應(yīng)用題，列方程的方法 往往比算術(shù)解法易于思考，易于求解。列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：審題，設(shè)未知數(shù)，找出相等關(guān)系，列方 程，解方程，檢驗(yàn)作答。其中列方程是關(guān)鍵的一步，其實(shí)質(zhì)是將同一個(gè)量或等 量用兩種方式表達(dá)出來，而要建立這種相等關(guān)系必須對(duì)題

2、目作細(xì)致分析，有些 相等關(guān)系比較隱蔽，必要時(shí)要應(yīng)用圖表或圖形進(jìn)行直觀分析。一、列簡(jiǎn)易方程解應(yīng)用題例1設(shè)有六位數(shù)labcde,乘以3后，變?yōu)閍bcdeL求這個(gè)六位數(shù)0分析：欲求這個(gè)六位數(shù)，只要求出五位數(shù) abcde=x就可以了。按題意，這 個(gè)六位數(shù)的3倍等于abcdel。解：設(shè)五位數(shù)abcd圮，則六位數(shù)labcde = 105 + x ,六位數(shù)abcdel =10x +1 , 從而有3 （105+x） =10x+1,x = 42857。答：這個(gè)六位數(shù)為142857。說明：這一解法的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：抓住相等關(guān)系：六位數(shù)1abcde的3倍等于六位數(shù)abcde1 ；設(shè)未知數(shù)x：將六位數(shù)1abcde與六位數(shù)

3、abcde1用含x的數(shù)學(xué)式子表示出 來，這里根據(jù)題目的特點(diǎn)，采用“整體”設(shè)元的方法很有特色。（1）是善于分析問題中的已知數(shù)與未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系；（2）是一般語言與數(shù)學(xué)的形式語言之間的相互關(guān)系轉(zhuǎn)化。因此，要提高列方程解應(yīng)用題的 能力，就應(yīng)在這兩方面下功夫。例2有一隊(duì)伍以1.4M/秒的速度行軍，末尾有一通訊員因事要通知排頭， 于是以2.6M/秒的速度從末尾趕到排頭并立即返回排尾，共用了 10分50秒。 問：隊(duì)伍有多長？分析：這是一道“追及又相遇”的問題，通訊員從末尾到排頭是追及問 題，他與排頭所行路程差為隊(duì)伍長；通訊員從排頭返回排尾是相遇問題，他與 排尾所行路程和為隊(duì)伍長。如果設(shè)通訊員從末尾到排

4、頭用了x秒，那么通訊員從排頭返回排尾用了（ 650-x）秒，于是不難列方程。解：設(shè)通訊員從末尾趕到排頭用了 x秒，依題意得2.6x-1.4x=2.6(650-x) +1.4 (650-x)。解彳4x = 500。推知隊(duì)伍長為：(2.6-1.4 ) X 500=600 (M 。答：隊(duì)伍長為600M說明：在設(shè)未知數(shù)時(shí)，有兩種辦法：一種是設(shè)直接未知數(shù)，求什么、設(shè)什 么；另一種設(shè)間接未知數(shù)，當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)不易列出方程時(shí)，就設(shè)與要求相關(guān) 的間接未知數(shù)。對(duì)于較難的應(yīng)用題，恰當(dāng)選擇未知數(shù)，往往可以使列方程變得 容易些。例3鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上，有一行人與騎車人同時(shí)向南行 進(jìn)，行人速度為3.6千M/

5、時(shí)，騎車人速度為10.8千M/時(shí)，這時(shí)有一列火車從 他們背后開過來，火車通過行人用 22秒，通過騎車人用26秒，這列火車的車 身總長是多少？分析：本題屬于追及問題，行人的速度為3.6千M/時(shí)=1M啰，騎車人的速度為10.8千M/時(shí)=3M啰。火車的車身長度既等于火車車尾與行人的路程差， 也等于火車車尾與騎車人的路程差。如果設(shè)火車的速度為xM/秒，那么火車的車身長度可表示為(x-1 ) X22或(x-3) X 26,由此不難列出方程。解：設(shè)這列火車的速度是xM/秒，依題意列方程，得(x-1 ) X 22= (x-3) X 26。解彳4x=14。所以火車的車身長為：(14-1 ) X 22=286

6、( M 。答：這列火車白車身總長為286M又例4如圖，沿著邊長為90M的正方形，按逆時(shí)針方向，甲 甲|從A出發(fā)，每分鐘走65M乙從B出發(fā)，每分鐘走72M當(dāng)乙 第一次追上甲時(shí)在正方形的哪一條邊上？分析：這是環(huán)形追及問題，這類問題可以先看成“直線”追及問題，求出乙追上甲所需要的時(shí)間，再回到“環(huán)行”追及問題， 乙_* % 根據(jù)乙在這段時(shí)間內(nèi)所走路程，推算出乙應(yīng)在正方形哪一條邊上。解：設(shè)追上甲時(shí)乙走了 x分，則甲在乙前方3X90=270 (M)。依題意故有：72x=65x+270在這段時(shí)間內(nèi)乙走了:2701/ .72 M=2777 (M)77由于正方形邊長為90M共四條邊，故由2777； = 30x9

7、0+77；= (42)x90+7了3可以推算出這時(shí)甲和乙應(yīng)在正方形的 DA邊上。答：當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)在正方形的 DA邊上。例5 一條船往返于甲、乙兩港之間，由甲至乙是順?biāo)旭偅梢抑良资悄?水行駛。已知船在靜水中的速度為 8千M/時(shí)，平時(shí)逆行與順行所用的時(shí)間比為 2 ： 1。某天恰逢暴雨，水流速度為原來的2倍，這條船往返共用 9時(shí)。問:甲、乙兩港相距多少千M?分析：這是流水中的行程問題：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度，逆水速度=1水速度-水流速度。解答本題的關(guān)鍵是要先求出水流速度。解：設(shè)甲、乙兩港相距x千M,原來水流速度為a千M/時(shí)根據(jù)題意可知, 逆水速度與順?biāo)俣鹊谋葹? ： 1,即（8-a

8、） : （8+a） = 1 ： 2,于是有8+且=2（8-a）,解得軟=|口再根據(jù)暴雨天水流速度變?yōu)?a千M/時(shí)，則有XX - + - = 98 + 2及 8 - 2a把 = ?代入，得8+2x- 8-2- 33解彳導(dǎo)x=20o答：甲、乙兩港相距20千ML例6某校組織150名師生到外地旅游，這些人 5時(shí)才能出發(fā)，為了趕火 車，6時(shí)55分必須到火車站。他們僅有一輛可乘 50人的客車，車速為36千M/ 時(shí)，學(xué)校離火車站21千M,顯然全部路程都乘車，因需客車多次往返，故時(shí)間 來不及，只能乘車與步行同時(shí)進(jìn)行。如果步行每小時(shí)能走4千M,那么應(yīng)如何23 一.，二一（時(shí)）內(nèi)12x時(shí)，乘安排，才能使所有人都按

9、時(shí)趕到火車站？分析：把150人分三批，每批50人，均要在115分鐘即11560趕到火車站，每人步行時(shí)間應(yīng)該相同，乘車時(shí)間也相同。設(shè)每人步行2 23 .車（3x）時(shí)。列出方程，解出X,便容易安排了，不過要計(jì)算一下客車能否在12115分鐘完成。解：把150人分三批，每批50人，步行速度為4千M/時(shí)，車速為36千M/ 時(shí)。設(shè)每批師生步行用x時(shí)，則234x + 36X （k） - 2L12解彳3x=1.5 （時(shí)），即每人步行90分，乘車25分。三批人5時(shí)同時(shí)出 發(fā)，第一批人乘25分鐘車到達(dá)A點(diǎn)，下車步行；客車從 A立即返回，在B點(diǎn)遇 上步行的第二批人，乘25分鐘車，第二批人下車步行，客車再立即返回，又

10、在 C點(diǎn)遇到步行而來的第三批人，然后把他們直接送到火車站。如此安排第一、二批人按時(shí)到火車站是沒問題的，第三批人是否正巧可乘 25分鐘車呢？必須計(jì)算。25第一批人到 A點(diǎn)，客車已行36M 5=15 （千 刈，第二批人已步行 4X60255、54025 = 5 （千M）,這時(shí)客車返回與第二批人步行共同行完15、=絲（千6033340M）,需一二1 （時(shí)），客車與第二批人相遇，就是說客車第一次返回的時(shí)36 4 3間是20分，同樣可計(jì)算客車第二次返回的時(shí)間也應(yīng)是20分，所以當(dāng)客車與第 三批人相遇時(shí)，客車已用 25X 2+20X2=90 （分），還有115-90=25 （分），正 好可把第三批人按時(shí)送到

11、。因此可以按上述方法安排。說明：列方程，解出需步行 90分、乘車25分后，可以安排了，但驗(yàn)算不 能省掉，因?yàn)檫@關(guān)系到第三批人是否可以按時(shí)到車站的問題。通過計(jì)算知第三 批人正巧可乘車25分，按時(shí)到達(dá)。但如果人數(shù)增加，或者車速減慢，雖然方程 可以類似地列出，卻不能保證人員都按時(shí)到達(dá)目的地。二、引入?yún)?shù)列方程解應(yīng)用題對(duì)于數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜或已知條件較少的應(yīng)用題，列方程時(shí)，除了應(yīng)設(shè)的 未知數(shù)外，還需要增設(shè)一些“設(shè)而不求”的參數(shù)，便于把用自然語言描述的數(shù) 量關(guān)系翻譯成代數(shù)語言，以便溝通數(shù)量關(guān)系，為列方程創(chuàng)造條件。例7某人在公路上行走，往返公共汽車每隔4分就有一輛與此人迎面相遇，每隔6分就有一輛從背后超過此

12、人。如果人與汽車均為勻速運(yùn)動(dòng)，那么汽 車站每隔幾分發(fā)一班車？分析：此題看起來似乎不易找到相等關(guān)系，注意到某人在公路上行走與迎面開來的車相遇，是相遇問題，人與汽車 4分所行的路程之和恰是兩輛相繼同 向行駛的公共汽車的距離；每隔 6分就有一輛車從背后超過此人是追及問題， 車與人6分所行的路程差恰是兩車的距離，再引進(jìn)速度這一未知常量作參數(shù)， 問題就解決了。解：設(shè)汽車站每隔x分發(fā)一班車，某人的速度是v1,汽車的速度為v2,依 題意得4（% 十%）二一（1）由，得4（巧 +%）=6（v2 -Vj）1力=弓叫西將代入，得4解得c=4于 智工汽車站每隔4 g分發(fā)一班車.說明：此題引入v1, v2兩個(gè)未知量作

13、參數(shù)，計(jì)算時(shí)這兩個(gè)參數(shù)被消去，即 問題的答案與參數(shù)的選擇無關(guān)。本題的解法很多，可參考本叢書五年級(jí)數(shù)學(xué) 活動(dòng)課第26講。例8整片牧場(chǎng)上的草長得一樣密，一樣地快。已知 70頭牛在24天里把草 吃完，而30頭牛就得60天。如果要在96天內(nèi)把牧場(chǎng)的草吃完，那么有多少頭 牛？分析：本題中牧場(chǎng)原有草量是多少？每天能生長草量多少？每頭牛一天吃 草量多少？若這三個(gè)量用參數(shù) a, b, c表示，再設(shè)所求牛的頭數(shù)為 x,則可列 出三個(gè)方程。若能消去a, b, c,便可解決問題。解：設(shè)整片牧場(chǎng)的原有草量為a,每天生長的草量為b,每頭牛一天吃草量 為c, x頭牛在96天內(nèi)能把牧場(chǎng)上的草吃完，則有，24X70c = a

14、 + 2b160X30c = a + 60b196 X xc = a + 96b口 -，得36b=120C -，得96xc=1800c+36b。將代入，得96xc=1800c+120c。解彳3x=20o答：有20頭牛。例9從甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，沒有平路。一輛汽車上坡時(shí)每小時(shí)行駛20千M,下坡時(shí)每小時(shí)行駛35千M車從甲地開往乙地需 91時(shí)，從乙地到甲地需71時(shí)。問：甲、乙兩地間的公路有多少千M?從甲地到乙2地須行駛多少千M的上坡路？解：從甲地到乙地的上坡路，就是從乙地到甲地的下坡路；從甲地到乙地 下坡路，就是從乙地到甲地的上坡路。設(shè)從甲地到乙地的上坡路為x千M,下坡路為y千M,

15、依題意得(1)又y十 92035my1+ 7 35202+，得將y=210 x代入式，得x 210 -x 八.+- 92035解彳# x=140。答：甲、乙兩地間的公路有 210千M從甲地到乙地須行駛140千M的上 坡路。三、列不定方程解應(yīng)用題有些應(yīng)用題，用代數(shù)方程求解，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)所設(shè)未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于所列方 程的個(gè)數(shù)，這種情況下的方程稱為不定方程。這時(shí)方程的解有多個(gè)，即解不是 唯一確定的。但注意到題目對(duì)解的要求，有時(shí)，只需要其中一些或個(gè)別解。例10六（1）班舉行一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，采用 5級(jí)計(jì)分制（5分最高，4分次 之，以此類推）。男生的平均成績(jī)?yōu)?4分，女生的平均成績(jī)?yōu)?.25分，而全班 的平均成

16、績(jī)?yōu)?.6分。如果該班的人數(shù)多于 30人，少于50人，那么有多少男 生和多少女生參加了測(cè)驗(yàn)？解：設(shè)I班有x個(gè)男生和y個(gè)女生，于是有：4x+3.25y=3.6 （x+y）815化簡(jiǎn)后得8x=7y。從而全班共有學(xué)生：x + 8 x = 15 x7715在大于30小于50的自然數(shù)中，只有45可被15整除，所以5x = 457推知 x = 21, y=240答：該班有21個(gè)男生和24個(gè)女生。例11小明玩套圈游戲，套中小雞一次得 9分，套中小猴得5分，套中小狗 得2分。小明共套了 10次，每次都套中了，每個(gè)小玩具都至少被套中一次，小 明套10次共得61分。問：小明至多套中小雞幾次？解：設(shè)套中小雞x次，套

17、中小猴y次，則套中小狗（10-x-y ）次。根據(jù)得 61 分可列方程：9x+5y+2 （10-x-y ） =61,化簡(jiǎn)后得7x=41-3y0顯然y越小，x越大。將y=1代入得7x=38,無整數(shù)解；若y=2, 7x=35, 解得x=5o答：小明至多套中小雞5次。例12某縫紉社有甲、乙、丙、丁 4個(gè)小組，甲組每天能縫制 8件上衣或 10條褲子；乙組每天能縫制9件上衣或12條褲子；丙組每天能縫制7件上衣 或11條褲子；丁組每天能縫制6件上衣或7條褲子。現(xiàn)在上衣和褲子要配套縫 制（每套為一件上衣和一條褲子）。問：7天中這4個(gè)小組最多可縫制多少套 衣服？分析：不能僅按生產(chǎn)上衣或褲子的數(shù)量來安排生產(chǎn)，應(yīng)該

18、考慮各組生產(chǎn)上 衣、褲子的效率高低，在配套下安排生產(chǎn)。我們首先要說明安排做上衣效率高的多做上衣，做褲子效率高的多做褲 子，才能使所做衣服套數(shù)最多。般情況，設(shè)A組每天能縫制a1件上衣或b1條褲子，它們的比為更；類 bi似的，B組每天縫制上衣與褲子數(shù)量的比為 包。若電a2,則應(yīng)在安排 A組 b2b1 b2盡量多做上衣、B組盡量多做褲子的情況下，安排配套生產(chǎn)。這是因?yàn)?，若安排A組做m條褲子，則在這段時(shí)間內(nèi)可做 曳m件上衣；這些上衣若安排 B組 b1由于做，要用am天時(shí)間。在這段時(shí)間內(nèi)B組可做amb2條褲子， b1a2b1a2a網(wǎng)b2 =d m ,因此A組盡量多做上衣，B組盡量多做褲子。b1a2電b2

19、89解：甲、乙、丙、丁 4組每天縫制上衣或褲子數(shù)量之比分別為,10127, 6,由于6 897,所以丁組生產(chǎn)上衣和丙組生產(chǎn)褲子的效率1177101211高，故這7天全安排這兩組生產(chǎn)單一產(chǎn)品。設(shè)甲組生產(chǎn)上衣x大，生產(chǎn)褲子（7-x）天,乙組生產(chǎn)上衣y大，生產(chǎn)褲子 （7-y）天,則4個(gè)組分別共生產(chǎn)上衣、褲子各為 6X7+8x+9y （件）和11X7 + 10 （7-x） + 12 （7-y）（條）。依題意，得 42+8x+9y= 77+ 70-10x + 84-12y ,枇簡(jiǎn)得y = 9 .黑令 u=42+8x+9y, WJ/6 、u = 42 + 2x + 9 （ 9 z）72=123 + yx（

20、0漢7）c顯然x越大，u越大。故當(dāng)x=7時(shí)，u取最大值125,此時(shí)y的值為3。答：安排甲、丁組7天都生產(chǎn)上衣，丙組 7天全做褲子，乙組3天做上衣，4天做褲子，這樣生產(chǎn)的套數(shù)最多，共計(jì) 125套。說明：本題仍為兩個(gè)未知數(shù)，一個(gè)方程，不能有確定解。本題求套數(shù)最 多，實(shí)質(zhì)上是化為“一元函數(shù)”在一定范圍內(nèi)的最值，注意說明取得最值的理 由。練習(xí)81 .甲用40秒可繞一環(huán)形跑道跑一圈，乙反方向跑，每隔15秒與甲相遇一次。問：乙跑完一圈用多少秒？2 .小明在360M長的環(huán)形跑道上跑了一圈，已知他前一半時(shí)間每秒跑5M,后一半時(shí)間每秒跑4M,那么小明后一半路程跑多少秒？3 .如右圖，甲、乙兩人分別位于周長為 4

21、00M的正方形水池相 鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上，同時(shí)開始沿逆時(shí)針方向沿池邊行走。甲每分鐘走 50M乙每分鐘走44M求甲、乙兩人出發(fā)后幾分鐘才能第一次 走在正方形的同一條邊上（不含甲、乙兩人在正方形相鄰頂點(diǎn)的情,形）。丁4.農(nóng)忙假，一組學(xué)生下鄉(xiāng)幫郊區(qū)農(nóng)民收割水稻，他們被分配到甲、乙兩塊稻田 去，甲稻田面積是乙稻田面積的 2倍。前半小時(shí)，全隊(duì)在甲田；后半小時(shí)一半人在甲田，一半人在乙田。割了 1時(shí)，割完了甲田的水稻，乙田還剩下一小塊 未割，剩下的這一小塊需要一個(gè)人割 1時(shí)才能割完。問：這組學(xué)生有幾人？5 .若貨價(jià)降低8%,而售出價(jià)不變，則利潤(按進(jìn)貨價(jià)而定)可由目前的P%增加到(P+ 10) %,求P。6 .

22、甲、乙二人做同一個(gè)數(shù)的帶余除法，甲將其除以8,乙將其除以9,甲所得的商數(shù)與乙所得的余數(shù)之和為13。試求甲所得的余數(shù)。7 .某公共汽車線路中間有10個(gè)站。車有快車及慢車兩種，快車的車速是慢車 車速的1.2倍。慢車每站都停，快車則只?？恐虚g 1個(gè)站。每站停留時(shí)間都是 3分鐘。當(dāng)某次慢車發(fā)出40分鐘后，快車從同一始發(fā)站開出，兩車恰好同時(shí)到 達(dá)終點(diǎn)。問：快車從起點(diǎn)到終點(diǎn)共需用多少時(shí)間？8 .甲車以160千M/時(shí)的速度，乙車以20千M/時(shí)的速度，在長為210千M的環(huán)形公路上同時(shí)、同地、同向出發(fā)。每當(dāng)甲車追上乙車1次，甲車減速而乙車3則增速1。問：在兩車的速度恰好相等的時(shí)刻，它們分別行駛了多少千M?3練習(xí)8答案1. 24 秒。解,設(shè)乙跑完一圈甩秒，則占+=上 解出k = 24, 40 x 152. 44秒。解工設(shè)小明所用總時(shí)間為x秒，WJ5X 1 = 360,解出笈=30。推知小明前40秒跑了 5X 40=200 (M),后40秒跑了 4X40=160 (M)。因 為小明后180M中有20M是以5M秒的速度行進(jìn)的，其余160M是以4M秒的速度 行進(jìn)的，所以，小明后一半路程共用 20+5+160+4 = 44 (秒)。3. 34分。提示：仿例4。4. 8人。解