自動控制理論(華北電力保定研究生初試)2-6次課

1、第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（本章五次課）（本章五次課）第一節(jié)第一節(jié) 基本概念基本概念第二節(jié)第二節(jié) 微分方程的建立微分方程的建立第三節(jié)第三節(jié) 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)第四節(jié)第四節(jié) 動態(tài)結構圖動態(tài)結構圖（方框圖）（方框圖）第五節(jié)第五節(jié) 動態(tài)結構圖的等效變換求傳遞函數(shù)動態(tài)結構圖的等效變換求傳遞函數(shù)第六節(jié)第六節(jié) 信號流圖和梅遜增益公式信號流圖和梅遜增益公式第七節(jié)第七節(jié) 控制系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)第八節(jié)第八節(jié) 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)單元內(nèi)容總結單元內(nèi)容總結第一節(jié)第一節(jié) 基本概念基本概念一、控制系統(tǒng)數(shù)學模型的定義一、控制系統(tǒng)數(shù)學模型的定義 描述系統(tǒng)輸入與輸出

2、動態(tài)關系的數(shù)學表達式。二、建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的意義二、建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的意義 數(shù)學模型是進行控制系統(tǒng)性能分析的前提條件。三、建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的方法三、建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的方法 1、理論建模* 2、試驗建模 3、系統(tǒng)辨識四、控制系統(tǒng)數(shù)學模型的幾種形式四、控制系統(tǒng)數(shù)學模型的幾種形式 1、微分方程 2、傳遞函數(shù)* 3、頻率特性*第二節(jié)第二節(jié) 微分方程的建立微分方程的建立一、微分方程的建立1、無源電網(wǎng)絡模型實例2、機械位移實例3、機械旋轉(zhuǎn)實例4、直流電動機系統(tǒng)實例二、非線性模型的線性化1、線性模型的特征齊次性和疊加性2、非線性模型線性化問題的提出理論研究和工程應用的需要3、線性化的基本方法

3、靜態(tài)工作點附近線性化（級數(shù)展開）4、液位系統(tǒng)線性化模型求取應用實例三、控制系統(tǒng)數(shù)學模型特征1、微分方程的階數(shù)等于整個系統(tǒng)中蓄能元件的個數(shù)；2、同一個系統(tǒng)，選擇不同輸入或輸出信號，微分方程的形式則不同；3、數(shù)學模型存在的共性是系統(tǒng)性能仿真研究的理論依據(jù)。課后練習一無源電網(wǎng)絡模型實例p 解題步驟及求取過程解題步驟及求取過程p確定圖示無源的網(wǎng)絡的輸入確定圖示無源的網(wǎng)絡的輸入ur(t)和輸出和輸出uc(t) ；p依據(jù)回路電壓定律，設置中間變量回路電流依據(jù)回路電壓定律，設置中間變量回路電流i(t)，從輸入到輸出建立原從輸入到輸出建立原始微分方程組；始微分方程組；p代入消元，獲僅含輸入輸出變量的線性連續(xù)微

4、分方程。代入消元，獲僅含輸入輸出變量的線性連續(xù)微分方程。( (t t) )u ui i( (t t) )d dt tC C1 1( (t t) )u ui i( (t t) )d dt tC C1 1R Ri i( (t t) )d dt td di i( (t t) )L Lc cr r( (t t) )u u( (t t) )u ud dt t( (t t) )d du uR RC Cd dt t( (t t) )u ud dL LC Cr rc cc c2 2c c2 2 消除中間變量消除中間變量i(t)i(t)，化微分方程為規(guī)范結構形式化微分方程為規(guī)范結構形式機械位移實例p 解題依據(jù)解

5、題依據(jù)運動學定律：運動學定律： 作用力作用力=反作用力反作用力 ; F = m a。p 求取過程求取過程 輸入外力F(t)；輸出質(zhì)量模塊m的位移y(t)。)(tFm)(tyfkF F( (t t) )k ky y( (t t) )d dt td dy y( (t t) )f fd dt ty y( (t t) )d dmm2 22 2 ( (t t) )F F( (t t) )F FF F( (t t) )d dt ty y( (t t) )d dmmk kB B2 22 2d dt td dy y( (t t) )f f( (t t) )F FB Bk ky y( (t t) )( (t t

6、) )F Fk k機械旋轉(zhuǎn)實例p 解題依據(jù)解題依據(jù) 運動學定律：運動學定律： 作用力矩作用力矩=反作用力矩反作用力矩 ; M = J ap 求取過程求取過程 輸入動力矩輸入動力矩Mf；輸出物體旋轉(zhuǎn)角度輸出物體旋轉(zhuǎn)角度或角速度或角速度。d dt td df fM Md dt t( (t t) )d dJ Jf f2 22 2fMff f2 22 2MMd dt td d f fd dt t d d角角位位移移方方程程：J Jf fM Mf fdtdtd d角速度方程：J角速度方程：J直流電動機系統(tǒng)實例p 解題依據(jù)解題依據(jù)p基爾霍夫定律；基爾霍夫定律；p運動學定律；運動學定律；p直流發(fā)電機相關定律

7、。直流發(fā)電機相關定律。p 求取過程求取過程電網(wǎng)絡平衡方程電網(wǎng)絡平衡方程電動勢平衡方程電動勢平衡方程機械平衡方程機械平衡方程轉(zhuǎn)矩平衡方程轉(zhuǎn)矩平衡方程 （空載（空載Ml=0）aRaLaIaEaUfUfiaMaJLMa aa aa aa aa aa aU UE EI IR RdtdtdIdIL L K KE Ee ea aL La aa aMMMMd dt td d J Ja aC Ca aI IK KMMa ae eC Ca aa a2 22 2C Ca aa aU U K Kd dt td d K KR RJ Jd dt t d dK KL LJ J液位系統(tǒng)線性化模型求取應用實例p 求取過程求取

8、過程p確定系統(tǒng)的輸入和輸出確定系統(tǒng)的輸入和輸出p建立原始方程組建立原始方程組p非線性模型線性化非線性模型線性化p系統(tǒng)微分方程的求取系統(tǒng)微分方程的求取)(th)(2tq)(1tq( (t t) ); ;q q( (t t) )q qd dt td dh h( (t t) )C C2 21 1; ;h h( (t t) )( (t t) )q q2 2h h( (t t) )R R1 1( (t t) )q q( (t t) ) h h h h( (t t) )R R1 1( (t t) )q q( (t t) )q q( (t t) ) h hh h( (t t) ) d dt t( (t t)

9、 )d dq q( (t t) )q q( (t t) )q qh h( (t t) ) ( (t t) )q q2 20 02 20 02 20 0( (t t) )q q2 22 20 02 22 22 20 0( (t t) )R Rq qh h( (t t) )d dt td dh h( (t t) )R RC C1 1( (t t) )q q( (t t) )q qd dt t( (t t) )d dq qR RC C1 12 22 2課后練習一p 習題習題1 建立圖示電網(wǎng)絡輸入電壓和輸建立圖示電網(wǎng)絡輸入電壓和輸出電壓之間的微分方程。出電壓之間的微分方程。p 習題習題2 建立圖示初箱

10、輸入流量和末建立圖示初箱輸入流量和末箱水位之間的微分方程。（兩個箱水位之間的微分方程。（兩個水箱的橫截面積分別為水箱的橫截面積分別為C1和和C2）1hrqcq2h1R0q2R)()()()()()(112121tuRtuRtuLCRRtuLCRRrccc )()()()()(22212221122121tqRththCRCRCRthCCRRr 第三節(jié)第三節(jié) 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)p 問題的提出p 傳遞函數(shù)的定義及表示形式p零初始條件下輸出象函數(shù)與輸入象函數(shù)的比值。p有理真分式多項式p輸出響應象函數(shù)為： p 傳遞函數(shù)的特征及性質(zhì)p 傳遞函數(shù)的求取方法mm) )( (n nr r( (t t) )b b

11、( (t t) )r rb b( (t t) )r rb bc c( (t t) )a a( (t t) )c ca a( (t t) )c ca a0 01 1( (mm) )mm0 01 1( (n n) )n nMM( (s s) )N N( (s s) )a as sa as sa as sa ab bs sb bs sb bs sb bR R( (s s) )C C( (s s) )G G( (s s) )0 01 11 1n n1 1n nn nn n0 01 11 1mm1 1mmmmmmR(s)R(s)G(s)G(s)C(s)C(s)傳遞函數(shù)的特征及性質(zhì)1、傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)對

12、輸入信號的傳遞能力，是系統(tǒng)的、傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)對輸入信號的傳遞能力，是系統(tǒng)的 固有特性，與輸入信號類型及大小無關。固有特性，與輸入信號類型及大小無關。2、傳遞函數(shù)只適用于線性連續(xù)定常系統(tǒng)。、傳遞函數(shù)只適用于線性連續(xù)定常系統(tǒng)。3、傳遞函數(shù)僅描述系統(tǒng)的輸入、傳遞函數(shù)僅描述系統(tǒng)的輸入/輸出特性。不同的物理系統(tǒng)輸出特性。不同的物理系統(tǒng)可以有相同的傳遞函數(shù)。同一系統(tǒng)中，不同物理量之間對可以有相同的傳遞函數(shù)。同一系統(tǒng)中，不同物理量之間對應的傳遞函數(shù)也不相同。應的傳遞函數(shù)也不相同。4、初始條件為零時，系統(tǒng)單位脈沖響應的拉氏變換為系統(tǒng)、初始條件為零時，系統(tǒng)單位脈沖響應的拉氏變換為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。的傳遞函數(shù)。

13、 5、實際系統(tǒng)中有、實際系統(tǒng)中有nm，n稱為系統(tǒng)的階數(shù)；稱為系統(tǒng)的階數(shù)；6、傳遞函數(shù)是系統(tǒng)性能分析的最簡形式之一。、傳遞函數(shù)是系統(tǒng)性能分析的最簡形式之一。傳遞函數(shù)的求取方法及應用舉例方法一：依據(jù)系統(tǒng)微分方程求確定輸入方法一：依據(jù)系統(tǒng)微分方程求確定輸入/輸出間的傳遞函數(shù)輸出間的傳遞函數(shù)方法二：方法二：依據(jù)原始方程組代入消元求傳遞函數(shù)依據(jù)原始方程組代入消元求傳遞函數(shù)方法三：方法三：電網(wǎng)絡系統(tǒng)可利用復阻抗的直接求取傳遞函數(shù)電網(wǎng)絡系統(tǒng)可利用復阻抗的直接求取傳遞函數(shù)方法四方法四: 依據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出信號求傳遞函數(shù)依據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出信號求傳遞函數(shù)方法二舉例方法二舉例解題過程：解題過程：1hrqcq2h1R

14、0q2R2 22 2c c2 22 2c c0 01 12 21 10 01 11 10 0r r2 22 2c c2 22 20 01 12 21 10 01 11 10 0r rR R( (s s) )H H( (s s) )Q Q( (s s) )s sH Hc c( (s s) )Q Q( (s s) )Q QR R( (s s) )H H( (s s) )H H( (s s) )Q Q( (s s) )s sH Hc c( (s s) )Q Q( (s s) )Q QR R( (t t) )h h( (t t) )q q( (t t) )h hc cq qc c( (t t) )(

15、(t t) )q qR R( (t t) )h h( (t t) )h h( (t t) )q q( (t t) )h hc c( (t t) )q q( (t t) )q q1 1) )s sC CR RC CR RC C( (R Rs sC CC CR RR R1 1( (s s) )Q Q( (s s) )Q QG G( (s s) )1 12 22 22 21 11 12 22 21 12 21 1r rc c1 1) )s sC CR RC CR RC C( (R Rs sC CC CR RR RR R( (s s) )Q Q( (s s) )H HG G( (s s) )1 12

16、22 22 21 11 12 22 21 12 21 12 2r r2 2注意：注意：負載效應！負載效應！方法三舉例解題過程：解題過程：1 12 21 12 22 21 11 12 21 12 21 12 2r rc cR RL L) )s sC CR R( (R R) )L LC Cs sR R( (R RR Rc cs s1 1R Rc cs s1 1L Ls s) )/ / /R Rc cs s1 1( (R R) )/ / /R Rc cs s1 1( (R R( (s s) )U U( (s s) )U UG G( (s s) ) 應用復阻抗概念和分壓定理使應用復阻抗概念和分壓定理使

17、電網(wǎng)絡傳遞函數(shù)的求取過程大大簡化！電網(wǎng)絡傳遞函數(shù)的求取過程大大簡化！) )c cs sR R1 1( (1 1R RR RR RR Rc cs s1 1( (s s) )U U( (s s) )U UG G( (s s) )2 21 12 21 12 21 12 2方法四舉例方法四舉例系統(tǒng)單位階躍輸入及零初始條件下的輸出響應為：系統(tǒng)單位階躍輸入及零初始條件下的輸出響應為：求傳遞函數(shù)。求傳遞函數(shù)。2 2t tt te ee e1 1c c( (t t) )G(s)G(s)R(s)R(s)C(s)C(s)s s1 1R(s)R(s)r(t)r(t)2 2s s1 11 1s s1 1s s1 1C

18、(s)C(s)c(t)c(t)2 23 3s ss s2 22 2s ss sG G( (s s) )2 22 2第四節(jié)第四節(jié) 動態(tài)結構圖（方框圖）動態(tài)結構圖（方框圖）p 方框圖的組成方框圖的組成p信號線信號線p方框方框p引出點引出點p和點和點p 方框圖的特點方框圖的特點p系統(tǒng)結構直觀明了，且具有明確的物理意義和數(shù)量關系，是定量分析系統(tǒng)結構直觀明了，且具有明確的物理意義和數(shù)量關系，是定量分析系統(tǒng)性能最直觀的圖形表示方法；系統(tǒng)性能最直觀的圖形表示方法；p簡化復雜系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求取過程；簡化復雜系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求取過程；p便于在不同輸入或輸出情況下全面分析系統(tǒng)性能；便于在不同輸入或輸出情況下全面分析

19、系統(tǒng)性能；p便于進行控制系統(tǒng)的設計與改造。便于進行控制系統(tǒng)的設計與改造。p 方框圖的繪制方框圖的繪制方框圖的繪制方框圖的繪制p繪制依據(jù)：基于系統(tǒng)物理模型對應的原始方程組繪制依據(jù)：基于系統(tǒng)物理模型對應的原始方程組的象函數(shù)表達式，或基于電網(wǎng)絡的復阻抗表示形的象函數(shù)表達式，或基于電網(wǎng)絡的復阻抗表示形式。式。p繪制思路：從系統(tǒng)的輸入到輸出，按信號的傳遞繪制思路：從系統(tǒng)的輸入到輸出，按信號的傳遞方向和形式以及傳遞強度，分別用信號線、方框、方向和形式以及傳遞強度，分別用信號線、方框、和點或引出點依次表示成圖形的形式。和點或引出點依次表示成圖形的形式。p 應用舉例：應用舉例：p雙容水箱雙容水箱p無源網(wǎng)絡無源

20、網(wǎng)絡課后練習二雙容水箱2 22 2c c2 22 2c c0 01 12 21 10 01 11 10 0r rR R(s)(s)H H(s)(s)Q Q(s)(s)sHsHc c(s)(s)Q Q(s)(s)Q QR R(s)(s)H H(s)(s)H H(s)(s)Q Q(s)(s)sHsHc c(s)(s)Q Q(s)(s)Q Q依據(jù)原始模型依據(jù)原始模型無源網(wǎng)絡無源網(wǎng)絡無源網(wǎng)絡依據(jù)復阻無源網(wǎng)絡依據(jù)復阻抗概念直接繪制抗概念直接繪制課后練習二n習題習題1繪制圖示電網(wǎng)絡的方框圖。繪制圖示電網(wǎng)絡的方框圖。求輸出電壓與輸入電壓之間的傳遞函求輸出電壓與輸入電壓之間的傳遞函數(shù)。數(shù)。n習題習題2 繪制圖

21、示液位系統(tǒng)的方框圖。繪制圖示液位系統(tǒng)的方框圖。求初級水箱入口流量與末級水箱水位求初級水箱入口流量與末級水箱水位之間的傳遞函數(shù)。之間的傳遞函數(shù)。 第五節(jié)第五節(jié) 方框圖方框圖等效變換求傳遞函數(shù)等效變換求傳遞函數(shù)p方框圖的等效變換法則方框圖的等效變換法則p基本變換法則基本變換法則p串聯(lián)串聯(lián)p并聯(lián)并聯(lián)p反饋連接反饋連接p移動變換法則移動變換法則p和點互換和點互換p引出點互換引出點互換p和點與方框的互換和點與方框的互換p引出點和方框的互換引出點和方框的互換p等效變換應用舉例等效變換應用舉例 變換準則：變換準則：變換前后變換前后變換部分的變換部分的所有所有外部外部信信號等價！號等價！課后練習三課后練習三基

22、本變換法則串聯(lián)并聯(lián)負反饋聯(lián)結移動變換法則n和點互換和點互換n引出點互換引出點互換移動變換法則p和點與方框的互換和點與方框的互換p引出點和方框的互換引出點和方框的互換21GxGxx1Gxx 等效變換應用舉例132421513211)()()(GGGGGGGGGGsRsCsGXY 解開鉸鏈為獨立回路！方法：引出點往一起移動，或和點往一起移動。等效變換應用舉例21G2G3G)(sR)(sC1H2H21212112221321211211)()()(HHGGHGHGHGGGGHGGGGGsRsCsG化整為零！方法：消除獨立的串聯(lián)、并聯(lián)和反饋回路課后練習三N(s)N(s)E(s)E(s); ;N(s)N

23、(s)C(s)C(s); ;R(s)R(s)E(s)E(s); ;R(s)R(s)C(s)C(s)求傳遞函數(shù)求傳遞函數(shù)212132221212132132211)()(;21)()(GGGGGGGsRsEGGGGGGGGGGGsRsc32122332122332123223212323211)1 ()()(;1)1 ()()(11)()(;1)()(GGGGGGsNsEGGGGGGsNscGGGGGGGsRsEGGGGGGGGGsRsc第六節(jié)第六節(jié) 信號流圖和梅遜增益公式信號流圖和梅遜增益公式n信號流圖的組成信號流圖的組成節(jié)點：表示信號。節(jié)點分為三種：源節(jié)點節(jié)點：表示信號。節(jié)點分為三種：源節(jié)點

24、 、匯節(jié)點和混合節(jié)點。、匯節(jié)點和混合節(jié)點。支路：信號傳遞的方向和大小。支路：信號傳遞的方向和大小。n信號流圖與動態(tài)結構圖（方框圖）信號流圖與動態(tài)結構圖（方框圖） 對應關系：方框與支路；和點、引出點、信號線與節(jié)點。對應關系：方框與支路；和點、引出點、信號線與節(jié)點。由方框圖繪制信號流圖由方框圖繪制信號流圖由信號流圖繪制方框圖由信號流圖繪制方框圖n梅遜增益公式梅遜增益公式n利用梅遜增益公式求傳遞函數(shù)利用梅遜增益公式求傳遞函數(shù)由方框圖繪制信號流圖由方框圖繪制信號流圖梅遜增益公式梅遜增益公式n基本術語基本術語 前向通路； 前向通路增益；回路；回路增益；互不接觸回路。n梅遜公式梅遜公式輸入與輸出之間的傳遞

25、函數(shù)： knkkPsG11)(fedcballllll1特征式對應于第K條前向通路的余子式特征式前向通路條數(shù)第K條前向通路的增益利用梅遜增益公式求傳遞函數(shù)利用梅遜增益公式求傳遞函數(shù)n基于信號流圖n基于方框圖1G2G3G)(sR)(sC1H2H2 21 11 12 22 21 12 22 21 11 12 21 12 21 12 23 32 21 11 12 23 31 13 32 22 23 32 21 12 21 11 12 21 11 12 22 21 12 22 21 11 12 2H HG GH HG GH HG GH HG GG GH HG G1 1) )H HG G(1(1G GG

26、 GG GG GG GR(s)R(s)C(s)C(s)H HG G1 1 G GP P1 1 G GG GP P1 1 G GG GP PH HG GH HG GH HG GH HG GG GH HG G1 1 3 32 24 42 21 15 51 13 32 21 12 25 51 12 21 13 32 21 11 13 32 24 42 21 1G GG GG GG GG G1 1G GG GG GG GG GR(s)R(s)C(s)C(s)1 1 G GG GP P1 1 G GG GG GP PG GG GG GG GG G1 1 knkkPsG11)()(sR1G2G)(sE)(

27、sC_局部應用梅遜公式，局部應用梅遜公式，簡化求取過程！簡化求取過程！2 21 12 21 11 12 2G GG G1 1G G2 2G GG GG GE E( (s s) )C C( (s s) )2 21 11 12 22 21 11 12 22 21 12 21 11 12 22 21 12 21 11 12 2G G3 3G GG GG G1 1G G2 2G GG GG GG GG G1 1G G2 2G GG GG G1 1G GG G1 1G G2 2G GG GG GR R( (s s) )C C( (s s) )(1sG)(2sG)(sH)(sR)(sC)(sB)(sN-)

28、(sM)(sE第七節(jié)第七節(jié) 控制系統(tǒng)的控制系統(tǒng)的 典型數(shù)學模型典型數(shù)學模型n 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)n給定輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)給定輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)n擾動輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)擾動輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù) n給定輸入下的誤差傳遞函數(shù)給定輸入下的誤差傳遞函數(shù) n擾動輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)擾動輸入作用下的誤差傳遞函數(shù) n系統(tǒng)總輸出響應象函數(shù)：系統(tǒng)總輸出響應象函數(shù)：n系統(tǒng)總誤差響應象函數(shù)：系統(tǒng)總誤差響應象函數(shù)：n特征方程特征方程 (s)H(s)(s)H(s)(s)G(s)GG GE(s)E(s)B(s)B(s)(s)(s)G G2 21 1k k( (s s) )H H( (s s) )(

29、(s s) )G GG G1 1( (s s) )( (s s) )G GG GR R( (s s) )C C( (s s) )( (s s) )G G2 21 12 21 1c cr r(s)H(s)(s)H(s)(s)G(s)GG G1 1(s)(s)G GN(s)N(s)C(s)C(s)(s)(s)G G2 21 12 2cncn(s)H(s)(s)H(s)(s)G(s)GG G1 11 1R(s)R(s)E(s)E(s)(s)(s)G G2 21 1erer(s)H(s)(s)H(s)(s)G(s)GG G1 1(s)H(s)(s)H(s)G GN(s)N(s)E(s)E(s)(s)(

30、s)G G2 21 12 2enenN(s)N(s)(s)H(s)(s)H(s)(s)G(s)GG G1 1(s)(s)G GR(s)R(s)(s)H(s)(s)H(s)(s)G(s)GG G1 1(s)(s)(s)G(s)GG GC(s)C(s)2 21 12 22 21 12 21 1(s)H(s)(s)H(s)(s)G(s)GG G1 1) )(s)H(s)N(s(s)H(s)N(sG GR(s)R(s)E(s)E(s)2 21 12 2求求取取舉舉例例0 0( (s s) )H H( (s s) )( (s s) )G GG G1 1( (s s) )G G1 12 21 1k k)(

31、sR)(sN)(sC)(sE8s1s1s68 86 6s ss s8 8s s8 8s s6 61 1s s1 18 8R R( (s s) )C C( (s s) )2 22 22 28 86 6s ss ss ss s8 8s s6 61 1s s1 1N N( (s s) )C C( (s s) )2 22 28 86 6s ss s6 6s ss ss s8 8s s6 61 1) )s s6 6( (1 11 1R R( (s s) )E E( (s s) )2 22 22 20 08 86s6ss sN(s)N(s)8 86s6ss ss sR(s)R(s)8 86s6ss s6s6ss sE(s)E(s)N(s)N(s)8 86s6ss ss sR(s)R(s)8 86s6ss s