第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法那么函數(shù)的求導(dǎo)法那么一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么么二、反函數(shù)的求導(dǎo)法那么二、反函數(shù)的求導(dǎo)法那么三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么四、根本求導(dǎo)法那么與導(dǎo)數(shù)公式四、根本求導(dǎo)法那么與導(dǎo)數(shù)公式一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么定理定理并并且且可可導(dǎo)導(dǎo), ,處處也也( (分分母母不不為為零零) )在在點(diǎn)點(diǎn)們們的的和和、差差、積積、商商則則它它處處可可導(dǎo)導(dǎo), ,在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果函函數(shù)數(shù)xxxvxu)(),().0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2(

2、);()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu證證 xxvxxvxxuxxuxxvxuxxvxxuxvxuxxx )()(lim)()(lim)()()()(lim )()(000于是法那么于是法那么(1)(1)獲得證明獲得證明. . 法那么法那么(1)(1)可簡單地表可簡單地表示為示為vuvu )()()()()()()(lim)()(lim)()(lim)()()()()()(lim)()()()(lim )()(00000 xvxuxvxuxxvxxvxuxxvxxuxxuxxvxxvxuxxvxxuxxuxxvxuxxvxxux

3、vxuxxxxx 證證(2)(2)于是法那么于是法那么(2)(2)獲得證明獲得證明. . 法那么法那么(2)(2)可簡單地表可簡單地表示為示為vuvuuv )()()()()()()()()()()()()()(lim)()()()()()()()()(lim)()()()()()(lim)()()()(lim)()(20000 xvxvxuxvxuxvxxvxxvxxvxuxvxxuxxuxuxxvxxvxvxxvxuxvxuxxuxxvxxvxxvxuxvxxuxxvxuxxvxxuxvxuxxxx 證證(3)(3)于是法那么于是法那么(3)(3)獲得證明獲得證明. . 法那么法那么(3)

4、(3)可簡單地表可簡單地表示為示為.2vvuvuvu 在法那么在法那么(2)(2)中中, ,當(dāng)當(dāng)cxv )(C 為常數(shù)為常數(shù)) )時時, ,有有CuCu )(例例1 1.9sin22323的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求 xxxy解解)cos(2492xxxy 例例2 2 求求 及及,2sincos4)(3xxxxf )2()( fxf 解解443)2(sin43)(22 fxxxf例例3 3 求求 ),cos(sinxxeyx y 解解xexxexxexxexxeyxxxxxcos2)sin(cos)cos)(sin()cos(sin)cos(sin)( 例例4 4.tan的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy 解解)cos

5、sin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例5 5.sec的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy 解解)cos1()(sec xxyxxx2cos)(cos1cos)1( xx2cos)sin( xxtansec .tansec)(secxxx 即即.cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得二、反函數(shù)的求導(dǎo)法那么二、反函數(shù)的求導(dǎo)法那么,)(1 )(),()(0)()(11yfxfIyyfxxIxfyyfIyfxyxy 且有且有, ,內(nèi)也可導(dǎo)

6、內(nèi)也可導(dǎo)在區(qū)間在區(qū)間那末它的反函數(shù)那末它的反函數(shù), ,且且內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在某區(qū)間在某區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)定理定理或或dydxdxdy1 即即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù). .于是有于是有,1yxxy 連連續(xù)續(xù), ,)(1xfy , 0lim0 yxxyxfx 01lim )(.)(11lim0yfyxy ,xIx 任任取取xx 以以增增量量給給的的單單調(diào)調(diào)性性可可知知由由)(1xfy , 0 y), 0(xIxxx 證證例例6 6.arcsin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解,)2,2(sin內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在 yIyx, 0co

7、s)(sin yy且且內(nèi)內(nèi)有有在在)1 , 1( xI.11)(arccos2xx 同理可得同理可得)(sin1 yycos1 y2sin11 .112x )(arcsin x;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc, 0ln)( aaayy且且內(nèi)內(nèi)有有, ,在在), 0( xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 特別地特別地.1)(lnxx 的導(dǎo)數(shù).的導(dǎo)數(shù).求函數(shù)求函數(shù)xyalog 例例7 7, ,內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)在在),( yyIax解解三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么定理定理).()()()()()(0000000 xufdxd

8、yxxfyxuufyxxuxx 且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo),可導(dǎo),在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù), ,可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)而而, ,可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù)即即 因變量對自變量求導(dǎo)因變量對自變量求導(dǎo), ,等于因變量對中間變量求導(dǎo)等于因變量對中間變量求導(dǎo), ,乘以中間變量對自變量求導(dǎo)乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(.(鏈?zhǔn)椒敲存準(zhǔn)椒敲? )證證,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0則則xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)( ).()(00 xuf 推行推行)

9、,(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(xfy 例例8 8.sinln的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot .dxdvdvdududydxdy 例例9 9 求求,12sin2xxy dxdy解解212sinxxy 可看作由可看作由 復(fù)合而成，復(fù)合而成，212,sinxxuuy 2222222222212cos)1()1(2)1()1(2)1()2()1(2cosxxxxdxdyxxxxxdxduududy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy22222222

10、22121xaaxaxxa .22xa 例例1010. .的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)axaxaxyarcsin22222 )0( a例例1111的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). .求求函函數(shù)數(shù))2(11ln32 xxxy解解),1ln(31)1ln(212 xxy)1(31211212 xxxy)1(3112 xxx例例1212的導(dǎo)數(shù).的導(dǎo)數(shù).求函數(shù)求函數(shù)xey1sin 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 例例13 13 求求 ),cos(lnxey dxdy解解)tan()()cos()sin( )cos()cos(1 )cos(lnxxxxxxxx

11、eeeeeeeedxdy 四、根本求導(dǎo)法那么與導(dǎo)數(shù)公式四、根本求導(dǎo)法那么與導(dǎo)數(shù)公式1.1.常數(shù)和根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)和根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么么設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 都可導(dǎo)，那么

12、都可導(dǎo)，那么1 vuvu )(, 2uccu )(3vuvuuv )(, 4)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常數(shù)是常數(shù)) )C 3.3.反函數(shù)的求導(dǎo)法那么反函數(shù)的求導(dǎo)法那么,)(1 )(),()(0)()(11yfxfIyyfxxIxfyyfIyfxyxy 且且有有, ,內(nèi)內(nèi)也也可可導(dǎo)導(dǎo)在在區(qū)區(qū)間間那那末末它它的的反反函函數(shù)數(shù), ,且且內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)在在某某區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)或或dydxdxdy1 4.4.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么么).()()()()()()(),(xgufxydxdududydxdyxgfyxgufxguufy 或或的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)都可導(dǎo),都可導(dǎo),及及且且而而設(shè)設(shè)雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)的求公式雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)的求公式shxy )(21)( xxeeshxy)(21xxee .chx chxshxthx xchxshxchthx222)( chxshx )(于是于是shxchx )(同理可得同理可得xchthx21)( 即即)1ln(2xxarshx )11(1122xxxx 211x 221)1()(xxxxarshx 同理同理112 x)( archx211x )( arthx解解)(tanhtanh112 xxyxx22cosh1tanh11 xxx222cosh1cosh