(統(tǒng)計量與抽樣分布)

1、 6.2 統(tǒng)計量與抽樣分布統(tǒng)計量與抽樣分布 在利用樣本推斷總體的性質(zhì)時，往往不能直接在利用樣本推斷總體的性質(zhì)時，往往不能直接利用樣本，而需要對它進行一定的加工，這樣才利用樣本，而需要對它進行一定的加工，這樣才能有效地利用其中的信息，否則，樣本只是呈現(xiàn)能有效地利用其中的信息，否則，樣本只是呈現(xiàn)為一堆為一堆“雜亂無章雜亂無章”的數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)第第6章章 數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)【例【例6.3】從某地區(qū)隨機抽取從某地區(qū)隨機抽取50戶農(nóng)民，調(diào)查其人戶農(nóng)民，調(diào)查其人均年收入情況，得到數(shù)據(jù)（單位均年收入情況，得到數(shù)據(jù)（單位:元）如下：元）如下：試對該地區(qū)農(nóng)民收入的水平和貧富懸殊程度做試對該地區(qū)農(nóng)民收入的水平和

2、貧富懸殊程度做個大致分析個大致分析92492480080091691670470487087010401040 82482469069057457449049097297298898812661266 68468476476494094040840880480461061085285260260275475478878896296270470471271285485488888876876884884888288211921192 82082087887861461484684674674682882879279287287269669664464492692680880810101010 7

3、28728742742850850864864738738 6.26.2 統(tǒng)計量與抽樣分布統(tǒng)計量與抽樣分布解解：顯然，如果不進行加工，面對這一大堆大小顯然，如果不進行加工，面對這一大堆大小參差不齊的數(shù)據(jù)，很難得出什么印象但是可以參差不齊的數(shù)據(jù)，很難得出什么印象但是可以對這些數(shù)據(jù)稍事加工，如記各農(nóng)戶的人均年收入對這些數(shù)據(jù)稍事加工，如記各農(nóng)戶的人均年收入分別為分別為x1，x2，.，x50，計算得到，計算得到 這樣，就可以了解到該地區(qū)農(nóng)民的平均收入和這樣，就可以了解到該地區(qū)農(nóng)民的平均收入和該地區(qū)農(nóng)民貧富懸殊的大致情況：農(nóng)民的年人均該地區(qū)農(nóng)民貧富懸殊的大致情況：農(nóng)民的年人均平均收入大約為平均收入大約為

4、809.52元，標(biāo)準(zhǔn)差約為元，標(biāo)準(zhǔn)差約為155.85元，元，貧富懸殊不算很大貧富懸殊不算很大 6.26.2 統(tǒng)計量與抽樣分布統(tǒng)計量與抽樣分布,52.809501501 iixx85.155)(15015012 iixxs 由此可見對樣本的加工是十分重要的對樣本由此可見對樣本的加工是十分重要的對樣本加工，主要就是構(gòu)造統(tǒng)計量加工，主要就是構(gòu)造統(tǒng)計量6.2.1 6.2.1 統(tǒng)計量統(tǒng)計量定義定義6.2 設(shè)設(shè)X1，X2，Xn為來自總體為來自總體X的樣本，的樣本，稱稱不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù)不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù)g(X1，X2，Xn)為為統(tǒng)計量統(tǒng)計量若若x1，x2，.，xn為樣本觀測值，則稱為樣本觀測值

5、，則稱g(x1，x2，.，xn)為統(tǒng)計量為統(tǒng)計量g(X1，X2，Xn)的觀的觀測值測值. 統(tǒng)計量是處理、分析數(shù)據(jù)的主要工具對統(tǒng)計統(tǒng)計量是處理、分析數(shù)據(jù)的主要工具對統(tǒng)計量的一個最基本的要求就是可以將樣本觀測值代量的一個最基本的要求就是可以將樣本觀測值代入進行計算，因而不能含有任何未知的參數(shù)入進行計算，因而不能含有任何未知的參數(shù) 6.26.2 統(tǒng)計量與抽樣分布統(tǒng)計量與抽樣分布【例【例6.4】設(shè)設(shè)X1，X2，Xn是來自總體是來自總體X的樣本，的樣本，XN( ， 2)，其中，其中 、 2為未知參數(shù)，則為未知參數(shù)，則 X1， min X1，X2，Xn 均為統(tǒng)計量，均為統(tǒng)計量， 但諸如但諸如 等均不是統(tǒng)計

6、量，因它含有未知參數(shù)等均不是統(tǒng)計量，因它含有未知參數(shù) 或或 下面下面介紹常用的統(tǒng)計量：介紹常用的統(tǒng)計量： 6.2.1 6.2.1 統(tǒng)計量統(tǒng)計量,312121XX ,)(112 niiXn 1X1. 有關(guān)一維總體的統(tǒng)計量有關(guān)一維總體的統(tǒng)計量 設(shè)設(shè)X1，X2，Xn為總體為總體X的樣本，的樣本，x1，x2，.，xn為樣本觀測值，為樣本觀測值， (1) 樣本均值樣本均值 常用來作為總體期望（均值）的估計量，其觀測常用來作為總體期望（均值）的估計量，其觀測值為值為 .1 統(tǒng)計量統(tǒng)計量 niiXnX11 niixnx11 (2) 樣本方差樣本方差 (3) 樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差 樣本方差和樣

7、本標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了樣本數(shù)據(jù)的分散樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了樣本數(shù)據(jù)的分散程度，常用來作為總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的估計量程度，常用來作為總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的估計量.觀測值分別為觀測值分別為 .1 統(tǒng)計量統(tǒng)計量 niiXXnS122)(11,)(11122 niixxns2SS niixxnss122)(11 niiXnXn12211 (4) 樣本樣本k階原點矩（簡稱樣本階原點矩（簡稱樣本k階矩）階矩） ，(k = 1，2，) (5) 樣本樣本k階中心矩階中心矩 ，(k = 2，3，)顯然顯然Ak和和Bk的觀測值分別記為的觀測值分別記為 .1 統(tǒng)計量統(tǒng)計量 nikikXnA11

8、 nikikXXnB1)(1,1XA niiXXnB122)(1,11 nikikxna nikikxxnb1)(1定理定理6.1 設(shè)總體設(shè)總體X的期望的期望E(X) = ,方差方差D(X) = 2，X1，X2，Xn為總體為總體X的樣本，的樣本， ，S2分別為樣分別為樣本均值和樣本方差，則本均值和樣本方差，則 .1 統(tǒng)計量統(tǒng)計量)()(XEXEnnXDXD2)()(22)()(XDSE )(2SE niiXXnE12)(11 niiXnXnE12211 niiXnEXEn122)()(11 ninnn12222)(11 2 X由辛欽大數(shù)定理和依概率收斂的性質(zhì)可以證明由辛欽大數(shù)定

9、理和依概率收斂的性質(zhì)可以證明定理定理6.2 設(shè)總體設(shè)總體X的的k階原點矩階原點矩E(X k) = k存在（存在（k = 1，2，n），），X1，X2，Xn為總體為總體X的樣本，的樣本，g(t1，t2，tn)是是n元連續(xù)函數(shù)，則元連續(xù)函數(shù)，則特別有特別有 .1 統(tǒng)計量統(tǒng)計量),.,2 , 1,()(11mknXEXnAkkniPkik )(),.,(),.,(2121 ngAAAgnPn ),(XEXP212212122)(1)(1AAXnXnXXnBniinii ).(212XDP 2. 有關(guān)二維總體的統(tǒng)計量有關(guān)二維總體的統(tǒng)計量 設(shè)設(shè)(X1，Y1)，(X2，Y2)，(Xn，Yn

10、)為二維總為二維總體體(X，Y)的樣本，其觀測值為的樣本，其觀測值為(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，則下列各量為統(tǒng)計量：，則下列各量為統(tǒng)計量： (1) 樣本協(xié)方差樣本協(xié)方差 (2) 樣本相關(guān)系數(shù)樣本相關(guān)系數(shù)其中其中SXY和和RXY常分別用來作為總體常分別用來作為總體X和和Y的協(xié)方差的協(xié)方差Cov(X，Y)與相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù) XY的估計量的估計量 .1 統(tǒng)計量統(tǒng)計量 niiiXYYYXXnS1)(11YXXYXYSSSR ,)(11122 niiXXXnS niiYYYnS122)(11 6.2 統(tǒng)計量與抽樣分布統(tǒng)計量與抽樣分布6.2.2 6.2.2 抽樣分布抽

11、樣分布 統(tǒng)計量的分布稱為統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布抽樣分布為了研究抽樣分為了研究抽樣分布，先研究數(shù)理統(tǒng)計中三種重要的分布布，先研究數(shù)理統(tǒng)計中三種重要的分布 1. 2分布分布 定義定義6.3 設(shè)設(shè)X1，X2，Xn為相互獨立的隨機為相互獨立的隨機變量，它們都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，它們都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)N(0，1)分布，則稱隨分布，則稱隨機變量機變量服從服從自由度自由度為為n的的 2分布分布，記為，記為 2 2(n) 此處自由度指此處自由度指 2中包含獨立變量的個數(shù)中包含獨立變量的個數(shù)可以證明，可以證明， 2(n)的概率密度為的概率密度為其中其中 ( )稱為伽馬函數(shù)，稱為伽馬函數(shù)， niiX122 6.2.2

12、 抽樣分布抽樣分布 0, 00,)(21)(212222xxexxfxnnn 0,)(01 dxexx 2分布概率密度分布概率密度 圖圖6-9 2(n)分布的概率密度曲線分布的概率密度曲線可以看出，隨著可以看出，隨著n的增大，的圖形趨于的增大，的圖形趨于“平緩平緩”，其圖形下區(qū)域的重心亦逐漸往右下移動其圖形下區(qū)域的重心亦逐漸往右下移動 6.2.2 抽樣分布抽樣分布 0, 00,)(21)(212222xxexxfxnnn 2分布具有下面性質(zhì)：分布具有下面性質(zhì)： (1) (可加性可加性) 設(shè)設(shè) 是兩個相互獨立的隨機變量，是兩個相互獨立的隨機變量，且且 (2) 設(shè)設(shè) 證明證明 (1) 由由 2分布

13、的定義易得證明分布的定義易得證明 (2) 因為因為 存在相互獨立、同分布于存在相互獨立、同分布于N(0，1)的隨機變量的隨機變量X1，X2，Xn，使，使則則 6.2.2 抽樣分布抽樣分布2221, )(),(),(212222122221221nnnn 則則 niiX122 )()(122 niiXEE .2)(,),(2222nDnEn ）（則則),(22n niiXE12)( niinXD1)(由于由于Xi獨立，且注意到獨立，且注意到N(0，1)的四階矩為的四階矩為3，可得，可得 英國統(tǒng)計學(xué)家費歇（英國統(tǒng)計學(xué)家費歇（R.A.Fisher）曾證明，當(dāng)）曾證明，當(dāng)n較較大時，大時， 近似服從近

14、似服從 6.2.2 抽樣分布抽樣分布 niiXDD122)()( )(22n ).1, 12( nN niiiXEXE1224)()( nin12)13(2. t分布分布定義定義6.4 設(shè)設(shè)X N(0，1)，Y 2(n)，X與與Y獨立，獨立，則稱隨機變量則稱隨機變量 服從自由度為的服從自由度為的t分布分布，又稱為學(xué)生氏分布又稱為學(xué)生氏分布(Student distribution)，記為記為T t(n)可以證明可以證明t(n)的概率密度為的概率密度為 圖圖6-10 t分布的概率密度曲線分布的概率密度曲線 6.2.2 抽樣分布抽樣分布nYXT xnxnnnxfnt,1221)(212 圖圖6-1

15、0 t分布的概率密度曲線分布的概率密度曲線 顯然顯然t分布的概率密度分布的概率密度是是x的偶函數(shù)，圖的偶函數(shù)，圖6-10描繪描繪了了n = 1，3，7時時t(n)的概率密度曲線作為比較，的概率密度曲線作為比較，還描繪了還描繪了N(0，1)的概率密度曲線的概率密度曲線 6.2.2 抽樣分布抽樣分布 xnxnnnxfnt,1221)(212 可看出，隨著可看出，隨著n的增大，的增大，t(n)的概率密度曲線與的概率密度曲線與N(0，1)的概率密度曲線越來的概率密度曲線越來越接近越接近可以證明可以證明t分布具有下面性質(zhì)：分布具有下面性質(zhì)：即當(dāng)即當(dāng)n趨向無窮時趨向無窮時,t(n)近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布近似于

16、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1) 一般地，若一般地，若n 30，就可認為，就可認為t(n)基本與基本與N(0，1)相相差無幾了差無幾了 6.2.2 抽樣分布抽樣分布 nexfxt,21)(22 3. F分布分布定義定義6.5 設(shè)設(shè)X 2(n1)，Y 2(n2)，且，且X與與Y獨立，獨立，稱隨機變量稱隨機變量 服從自由度為服從自由度為(n1，n2)的的F分布分布，記為記為FF(n1，n2)可以證明的概率密度函數(shù)為可以證明的概率密度函數(shù)為 6.2.2 抽樣分布抽樣分布21nYnXF 0, 00,1222)(2212112221212111xxxnnnnxnnnnxfnnnnF .2 抽樣分

17、布抽樣分布 圖圖6-11 F分布的概率密度曲線分布的概率密度曲線 由由F分布的定義分布的定義容易看出，容易看出， 若若F F(n1，n2)，則，則1/F F(n2，n1)21nYnXF 4. 正態(tài)總體的抽樣分布定理正態(tài)總體的抽樣分布定理 在數(shù)理統(tǒng)計問題中，正態(tài)分布占據(jù)著十分重要在數(shù)理統(tǒng)計問題中，正態(tài)分布占據(jù)著十分重要的位置，一方面因為在應(yīng)用中，許多隨機變量的的位置，一方面因為在應(yīng)用中，許多隨機變量的分布或者是正態(tài)分布，或者接近于正態(tài)分布；另分布或者是正態(tài)分布，或者接近于正態(tài)分布；另一方面，正態(tài)分布有許多優(yōu)良性質(zhì)，便于進行較一方面，正態(tài)分布有許多優(yōu)良性質(zhì)，便于進行較深入的理論研究因此，我們著重討

18、論正態(tài)總體深入的理論研究因此，我們著重討論正態(tài)總體下的抽樣分布，給出有關(guān)最重要的統(tǒng)計量樣本均下的抽樣分布，給出有關(guān)最重要的統(tǒng)計量樣本均值和樣本方差值和樣本方差S2的抽樣分布定理的抽樣分布定理 .2 抽樣分布抽樣分布定理定理6.3 設(shè)設(shè)X1，X2，Xn為來自總體為來自總體N( ， 2)的樣本，的樣本， ，S 2分別為樣本均值和樣本方差，則有分別為樣本均值和樣本方差，則有 (1) (2) (3) 與與S 2相互獨立；相互獨立； (4)證明：證明：下面僅證明下面僅證明4. .2 抽樣分布抽樣分布X);,(2nNX ;1)1(222）（ nSn X)1(/ ntnSX

19、證明證明(4):由由(1)知知 ，從而，從而 由由(2)(3)知知 根據(jù)根據(jù)t分布的定義分布的定義 .2 抽樣分布抽樣分布);,()1(2nNX ;1)1()2(222）（ nSn ,2相相互互獨獨立立與與SX)1(/)4( ntnSX ),(2nNX ,1)1(222）（ nSn )1, 0(/NnX )1(/)1()1(/22 ntnSXnSnnX 相相互互獨獨立立；與與2)3(SX【例【例6.5】某廠生產(chǎn)的燈泡壽命近似服從正態(tài)分布某廠生產(chǎn)的燈泡壽命近似服從正態(tài)分布N(800，402)，抽取，抽取16個燈泡的樣本，求平均壽命個燈泡的樣本，求平均壽命小于小于775小時的概率小

20、時的概率. 解：解：設(shè)燈泡壽命總體為設(shè)燈泡壽命總體為X， 因為因為XN(800,402),n=16, 所以樣本均值所以樣本均值 故故 .2 抽樣分布抽樣分布),1640,800(2NX)100,800( NX即即 1080077510800775XPXP0062. 0)5 . 2(15 . 210800 XP【例【例6.6】設(shè)總體設(shè)總體XN( ，102)，抽取容量為，抽取容量為n的樣本，的樣本，樣本均值記為樣本均值記為 欲使欲使 與與 的偏差小于的偏差小于5的概率大于的概率大于0.95，樣本容量，樣本容量n至少應(yīng)該取多大？至少應(yīng)該取多大？解：解：依題令依題令 ,即即因為總體因為

21、總體 ，從而，從而所以所以即即查表知查表知 ，由于，由于 單調(diào)不減，應(yīng)有單調(diào)不減，應(yīng)有 故故n至少應(yīng)該取為至少應(yīng)該取為16 6.2.2 6.2.2 抽樣分布抽樣分布XX95. 05XP95. 055XP)10,(2 NX)1 , 0(10NnX 95. 010510105 nnXnP ,95. 022 nn,95. 0122 n975. 02 n 975. 096. 1 )(x ,96. 12 n.48.15 n【例【例6.7】設(shè)設(shè)X1，X2，Xn為總體為總體X N ( ， 2)的樣本，求樣本方差的樣本，求樣本方差的均值和方差的均值和方差 解：解：本題可以通過本題可以通過 2分布的均值和方差簡

22、單求分布的均值和方差簡單求出由定理出由定理6.3,所以有所以有 于是于是 .2 抽樣分布抽樣分布 niiXXnS122)(11）（1)1(222 nSn , 1)1(22 nSnE )1(2)1(22 nSnD ,22 SE .1242 nSD 6.2.3 6.2.3 分位數(shù)分位數(shù) 設(shè)設(shè)X為一隨機變量，對于給定的實數(shù)為一隨機變量，對于給定的實數(shù)x，PX x是事件是事件X x的概率在統(tǒng)計中，我們常常需要對的概率在統(tǒng)計中，我們常常需要對給定事件給定事件X x的概率，由此確定的概率，由此確定x取值的一個臨界取值的一個臨界點點,稱為分位數(shù)稱為分位數(shù)(點點),有如下定義：有如下定義： 定

23、義定義6.6 設(shè)設(shè)X為隨機變量，若對給定的為隨機變量，若對給定的 (0，1)，存在，存在x 滿足滿足 PX x = ，則稱則稱x 為為X的的上上 分分位數(shù)位數(shù)(點點) 6.2 統(tǒng)計量與抽樣分布統(tǒng)計量與抽樣分布 若若X具有密度具有密度f(x)，PX x = 說明分位數(shù)說明分位數(shù)x 右邊的一塊陰影面積為右邊的一塊陰影面積為 ，即即 容易看出，容易看出，X的上的上 分位數(shù)分位數(shù)x 是是關(guān)于關(guān)于 的減函數(shù)，即的減函數(shù)，即 增大時增大時x 減少減少.下面給出幾種常用分布的上下面給出幾種常用分布的上 分位數(shù)的求法：分位數(shù)的求法： 6.2.3 分位數(shù)分位數(shù) dttfx)(1. 設(shè)設(shè)Z N(0，1)，記，記N

24、(0，1)的上的上 分位數(shù)為分位數(shù)為z ，即有即有PZ z = . 由于由于 (z ) = PZ z = 1 PZ z =1 ，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表（附表由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表（附表2）反過來查，即可）反過來查，即可以得到以得到z 的值的值. 為使用方便，表為使用方便，表6-1列出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的幾個列出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的幾個常用分位數(shù)常用分位數(shù)z 的值的值表表6-1 常用的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)常用的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù) 0.0010.0010.0050.0050.010.010.0250.0250.050.050.100.10z z 3.0903.0902.5762.5762.3262.3261

25、.9601.9601.6451.6451.2821.282 6.2.3 分位數(shù)分位數(shù)由由N(0，1)的概率密度的對稱性（見圖的概率密度的對稱性（見圖6-13）可知）可知所以所以 z1- = z 圖圖6-13 z1- 與與z 6.2.3 分位數(shù)分位數(shù) 11zZPzZPzZP2. 設(shè)設(shè) 2 2(n)，記，記 2(n)的上的上 分位數(shù)為分位數(shù)為 2(n)，即，即有有P 2 2(n) = . 附表附表3中給出了時中給出了時 2(n)的值，當(dāng)?shù)闹?，?dāng)n40時，由時，由 2(n)的漸近性質(zhì)，有的漸近性質(zhì)，有 6.2.3 分位數(shù)分位數(shù)22)12(21)( nzn 3.設(shè)設(shè)T t(n)，記，記t(n)的上的上

26、 分位數(shù)為分位數(shù)為t (n)，即有，即有PT t (n) = ；由由t(n)的概率密度的對稱性的概率密度的對稱性t1- (n) = t (n) 圖圖6-14 t1- (n)與與t (n) 附表附表4中給出了中給出了 時時t (n)的值，當(dāng)?shù)闹担?dāng)n40 時，由于時，由于t(n)近似近似N(0，1),所以所以t (n) z 6.2.3 分位數(shù)分位數(shù)40 n4. 設(shè)設(shè)F F(n1，n2)，記，記F(n1，n2)的上的上 分位數(shù)為分位數(shù)為F (n1，n2)，即有，即有 PF F (n1，n2) = 附表附表5中給出部分中給出部分F (n1，n2)的值的值. 另外，由于另外，由于FF(n1,n2)時時

27、, 1/F F(n2,n1)，所以所以故故 6.2.3 分位數(shù)分位數(shù) ),(112nnFFP ),(1),(12211nnFnnF ),(112nnFFP ),(1112nnFFP 1【例【例6.8】求下列分位數(shù)：求下列分位數(shù)： (1) z0.025； 20.5 (20)；t0.1(25)；F0.05(10，15)； (2) t0.975(4)； (3) t0.05(55)； (4) F0.9(14，10)； (5) 20.975(200). 解：解：(1) 查表查表6-1知知z0.025 = 1.96也可由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表（附表也可由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表（附表2），對函數(shù)值），對函數(shù)值 (z

28、0.025) = 1 0.025 = 0.975反查表得反查表得z0.025 =1.96 6.2.3 分位數(shù)分位數(shù) 分別查附表分別查附表3、附表、附表4、附表、附表5得到得到 20.5(20)=31.4104、t0.1(25)=1.3164、 F0.05(10，15)=2.54; (2) 在附表在附表4中沒有中沒有 = 0.975，可先查出，可先查出t0.025(4) = 2.7764，利用對稱性得到，利用對稱性得到t0.975(4) = t0.025(4) = 2.7764 (3) 在附表在附表4中查不到中查不到t0.05(55)，用近似公式，用近似公式t0.05(55) z0.05 = 1

29、.645 6.2.3 分位數(shù)分位數(shù)(4) 在附表在附表5中，查不到中，查不到F0.9(14，10)，但可查出，但可查出F0.1(10，14) = 2.10，故故(5) 在附表在附表3表中查不到表中查不到 20.975(200)，先查出，先查出z0.975 = z0.025 = 1.96，再作如下近似計算再作如下近似計算27.162)1200296. 1(21)12002(21)200(22975. 02975. 0 z 6.2.3 分位數(shù)分位數(shù).476. 010. 21)14,10(1)10,14(1 . 09 . 0FF【例【例6.9】設(shè)設(shè)X1，X2是總體是總體X N(1，2)的樣本，試的樣

30、本，試求概率求概率P(X1 X2)2 20.08 解法解法一：一：因為因為X N(1，2)，所以，所以Xi N(1，2)，i=1,2，從而，從而記記 ，所以，所以查表知查表知 ，即，即 所以所以 .3 分位數(shù)分位數(shù)),1 , 0(221NXX )1(22221 XX22122 XX 02. 508.20)(2221 PXXP02. 512 P02. 5)1(2025. 0 ,025. 002. 52 P975. 0025. 0108.20)(221 XXP【例【例6.9】設(shè)設(shè)X1，X2是總體是總體X N(1，2)的樣本，試的樣本，試求概率求概率P(X1 X2)2 20.08 解

31、法解法二：二：因因X N(1，2)，所以，所以從而從而 .3 分位數(shù)分位數(shù))1 , 0(221NXX 02. 5208.20)(21221XXPXXP975. 019875. 021)241. 2(2 由定理由定理6.3容易證明下述有關(guān)兩個總體的抽樣分容易證明下述有關(guān)兩個總體的抽樣分布定理布定理定理定理6.4 設(shè)設(shè) ， 分別為來自分別為來自N( 1, 12)和和N( 2, 22)的樣本，且它們相互獨立，的樣本，且它們相互獨立，設(shè)設(shè) ，S12， ，S22，分別為相應(yīng)樣本的樣本均值和，分別為相應(yīng)樣本的樣本均值和樣本方差，則樣本方差，則 (1) (2) 1,21nXXX2,21nYY

32、YXY)1, 0()(22212121NnnYX )1, 1(/2122222121 nnFSS 6.2.3 分位數(shù)分位數(shù) (3) 當(dāng)當(dāng) 時，時，其中其中22221 )2(11)()(212121 nntnnSYXw 2212222112,2)1()1(wwwSSnnSnSnS 6.2.3 分位數(shù)分位數(shù) 證：證：(1) 由于由于 , ，又又 與與 獨立，故由正態(tài)分布的性質(zhì)知獨立，故由正態(tài)分布的性質(zhì)知所以所以 )/,(1211nNX )/,(2222nNY XY),(22212121nnNYX )1, 0()(22212121NnnYX 6.2.3 分位數(shù)分位數(shù) 證：證： (2) 由定理由定理6

33、.3， 且來自兩個總體的樣本是獨立的，由且來自兩個總體的樣本是獨立的，由F分布的定分布的定義知義知 ),1()1(1221211 nSn )1()1(2222222 nSn )1, 1(1)1(1)1(2122222121222222121211 nnFSSnSnnSn 6.2.3 分位數(shù)分位數(shù) (3) 根據(jù)根據(jù)(1)知，知，所以所以根據(jù)根據(jù)(2)，由由 2分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)由于由于U與與V相互獨立，按相互獨立，按t分布的定義分布的定義設(shè)設(shè) ，則結(jié)論成立，則結(jié)論成立.),(221221nnNYX ），（ 1011)()( 2121NnnYXU )1()1(),1()1(22222212221

34、1 nSnnSn )2()1()1(21222222211 nnSnSnV )2/(21 nnVU212122221121112)1()1()()(nnnnSnSnYX ).2(21 nnt2)1()1(212222112 nnSnSnSw 6.2.3 分位數(shù)分位數(shù)【例【例6.10】設(shè)設(shè)X1，X2，X25，Y1，Y2，Y25分別為來自兩個獨立總體分別為來自兩個獨立總體N(0，16)和和N(1，9)的樣的樣本，本， 和和 分別表示相應(yīng)的樣本均值，求分別表示相應(yīng)的樣本均值，求 解：解：因為因為 ，且相互獨，且相互獨立，所以立，所以故故 =1 0.8413 = 0.1587XYYXP 2591251

35、60，NYNX 1 , 12592516, 1 NNYXYXP )1(111)1(1010 YXPYXPYXP 6.2.3 分位數(shù)分位數(shù))11, 7(22222121FSSF 【例【例6.11】若從方差相等的兩個正態(tài)總體中分別抽出若從方差相等的兩個正態(tài)總體中分別抽出n1 = 8和和n2 = 12的獨立樣本，樣本方差分別為的獨立樣本，樣本方差分別為S12和和S22，求求 解：解：由于由于 , n1 = 8，n2 = 12，所以所以因此因此 查表知查表知F0.01(7，11) = 4.89，即，即PF 4.89 = 0.01，故故89. 4/2221 SSP)11, 7(2221FSS89. 41

36、89. 489. 42221 FPFPSSP99. 001. 0189. 42221 SSP 6.2.3 分位數(shù)分位數(shù)2221 【質(zhì)量控制問題解答【質(zhì)量控制問題解答】 某食鹽廠用包裝機包裝的食鹽，每袋重量某食鹽廠用包裝機包裝的食鹽，每袋重量500g，通常在，通常在包裝機正常的情況下，袋裝食鹽的重量包裝機正常的情況下，袋裝食鹽的重量X服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，均值為均值為500g，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為25g為進行生產(chǎn)質(zhì)量控制，他們?yōu)檫M行生產(chǎn)質(zhì)量控制，他們每天從當(dāng)天的產(chǎn)品中隨機抽出每天從當(dāng)天的產(chǎn)品中隨機抽出30袋進行嚴(yán)格稱重，以檢驗袋進行嚴(yán)格稱重，以檢驗包裝機工作是否正常某日，該廠隨機抽取包裝機工作是否正常某日，該廠隨機抽取30袋鹽的重量袋鹽的重量分別為：分別為： 從這些數(shù)據(jù)看，包裝機的工作正常嗎？從這些數(shù)據(jù)看，包裝機的工作正常嗎？4754755005004854854544545045044394394924925015014634634614614644644944945125124514514344345115115135134904905215215145144494494674674994994