條件充分性判斷解題方法

1、3充分性判斷題解題技巧【充分條件基本概念】1.定義 對兩個命題 A A 和 B B 而言，若由命題 A A 成立，肯定可以推出命題 B B 也成立(即An B為真命題)，則稱命題 A A 是命題 B B 成立的充分條件。2.條件與結(jié)論 兩個數(shù)學(xué)命題中，通常會有“條件”與“結(jié)論”之分，若由“條件命題”的成立，肯定可以推出“結(jié)論命題”也成立，則稱“條件”充分.若由“條件命題”不一定能推出(或不能推出)“結(jié)論命題”成立，則稱“條件”不充分.例如：不等式x2-5x-60能成立. 1 ：x ：3x 7(3) x = 5(4)x ： 6(5) -1 ：x :：: 6此例中，題干“x2-5x-6 0能成立”

2、，這個命題是“結(jié)論”，下面分別給出了 5 個命 題都是不同的“條件”.現(xiàn)在我們可以把它們按充分與否分為兩類：條件(1)、(3)、(5)充分.條件、不充分.3.知識點(diǎn)評述1.充分條件的判斷：從給定的條件出發(fā)去分析，在此條件下，結(jié)論是否一定成立，若是，則條件充分，若否，則條件不充分.我們在做充分性判斷的試題時，不可從“結(jié)論”入手去求解！那樣只能得出“條件”對“結(jié)論”的“必要性”，而與充分性判斷相背x25x60能成立，可解得一1x6.這只證明條件(5)2是必要的.事實上，條件(5)是結(jié)論x -5x-6 0能成立的充分必要條件，才“歪打正著”被 你找到了一個充分條件.【充分性判斷基本概念】本書中，所有

3、充分性判斷題的 A、8 C、以 E 五個選項所規(guī)定的含義，均以下列呈述為準(zhǔn)， 即：(A) 條件充分，但條件 不充分；(B) 條件充分，但條件 不充分；(C) 條件(1)和(2)充分單獨(dú)都不充分，但條件(1)和(2)聯(lián)合起來充分；(D) 條件 充分，條件也充分；(E) 條件(1)和(2)單獨(dú)都不充分，條件(1)和(2)聯(lián)合起來也不充分.上述 5 個選項，把條件(1)和(2)以及兩條件聯(lián)立起來(同時都滿足即)的充分性的所K2)有情況都包括了，但其中“聯(lián)合”不是數(shù)學(xué)名詞，沒有準(zhǔn)確的定義，改為“聯(lián)立”與原題意比 較貼切.比如：不等式x(6x +5) 4成立.(1)x-1離.如:在此例中，由結(jié)論命題3分

4、析由題干x(6x+5) 42解上述不等式，得 4x132顯然(1)、(2)單獨(dú)都不滿足1聯(lián)立和(2)得出1 x ,從而原不等式成立.因此,答案是 C.3常用的求解方法有以下幾種：解法一 直接法(即由 A A 推導(dǎo) B.B.)若由 A A 可推導(dǎo)出出 B,B,貝 U UA是 B B 的充分條件;若由 A A 推導(dǎo)出與 B B 矛盾的結(jié)論，則 A A 不是 B B 的充分條件.解法一是解“條件充分性判斷”型題的最基本的解法，應(yīng)熟練掌握.例 1 要保持某種貨幣的幣值不變.(1) 貶值 10 垢又升值 10%;(2) 貶值 20 垢又升值 25%;分析設(shè)該種貨幣原幣值為a元(a , 0).由條件(1)

5、經(jīng)過一次貶值又一次升值后的幣值為：a(1 -10%) (1 10%) =a 0.9 1.1 = 0.99a.顯然與題干結(jié)論矛盾.所以條件不充分.由條件(2)經(jīng)過一次貶值又一次升值后的幣值為：c,C,4 5a(1 -20%) (1 25%) = a - = a5 4即 題干中的結(jié)論成立，所以條件(2)充分，故應(yīng)選擇 B.例 2 等差數(shù)列aj 中可以確定a2 a?a3a98 W99=10 a2a5a97a8=10解據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)有由條件(1)a. 400=2 a9 =a3a8= 2M-. 10二S100=M勺00 =勺00 =250.條件 充分.4由條件(2)a2 a98=2a50,a5 ,a97

6、-2a51a50a51aa00 = a50a51S100此不等式化為：x1,或*2,T*x1,或2x2,2,(3i 3100)5S1001 100 =100 =25022所以條件也充分.故應(yīng)選擇 D.解法二定性分析法(由題意分析，得出正確的選擇 .)當(dāng)所給題目比較簡單明了 ，又無定量的結(jié)論時，可以分析當(dāng)條件成立時，有無結(jié)論成立的可能性，從而得出正確選擇，而無需推導(dǎo)和演算.例 3 對于一項工程，丙的工作效率比甲的工作效率高.(1) 甲、乙兩人合作，需 10 天完成該項工程；(2) 乙、丙兩人合作，需 7 天完成該項工程；解 條件(1)中無甲與丙間的關(guān)系，條件 中亦無甲與丙間的關(guān)系，故條件(1)和

7、顯然單獨(dú)均不充分.將兩條件聯(lián)合起來分析：在完成相同工作量的前提下，甲與乙合作所需時間比乙與丙合作所需時間多，故甲的工作效率當(dāng)然比丙的工作效率低，題干結(jié)論成立，所以條件(1)和聯(lián)合起來充分.故應(yīng)選擇 C.例 4 在一個宴會上，每個客人都免費(fèi)獲得一份冰淇淋或一份水果沙拉，但不能同時獲得二者，可以確定有多少客人能獲得水果沙拉.(1) 在該宴會上，60%的客人都獲得了冰淇淋；(2) 在該宴會上，免費(fèi)提供的冰淇淋和水果沙拉共120 份.解 由于條件(1)中不知客人總數(shù)，所以無法確定獲得水果沙拉的客人的人數(shù).而由于條件(2)中只給出客人總數(shù)，所以仍無法確定獲得水果沙拉的客人的人數(shù)，故條件(1)和(2)單獨(dú)

8、顯然均不充分.由條件(2)知客人總數(shù)，由條件(1)可獲得水果沙拉的客人點(diǎn)總客人數(shù)的百分比，必可確定獲水果沙拉的客人的人數(shù)，所以條件(1)和(2)聯(lián)合起來充分.故應(yīng)選擇 C.解法三 逆推法(由條件中變元的特殊值或條件的特殊情況入手，推導(dǎo)出與題干矛盾的結(jié)論，從而得出條件不充分的選擇.)注意此種方法絕對不能用在條件具有充分性的肯定性的判斷上例 5 要使不等式1 x +|1 +xa的解集為 R R(1)a 3(2)23 ：3.解 由條件(1)a3,取a=4，原式即1x+1 + x4，,左”，x 1，z T x 1j x T，此不等式化為： 或或24，ZxX，-24，所以x 2或乂己二或x ： -2.所

9、以不等式的解為x2，所解集為 R R 矛盾.所以條件不充分.由條件(2)，2 a 3,取a =2,不等式化為1x +|1 + x2,所以X1或XW?；騒 -1.所以不等式的解為X1與解集為 R 矛盾.所以條件(2)也不充分.條件和聯(lián)合，得、3,3所以aw，顯然條件(1)和(2)聯(lián)合起來也不充分.故應(yīng)選擇 E.注意 條件(1)的充分性，是用解法一判斷的，只有當(dāng)條件不充分時，才可用解法三，如對條 件(2)不充分的判斷.解法四一般分析法(尋找題干結(jié)論的充分必要條件.)即:要判斷 A 是否是 B 的充分條件，可找出 B 的充要條件 C，再判斷 A 是否是 C 的充分條 件.(af例 6 6 要使 X+

10、=i 的展開式中的常數(shù)項為60.X)(1)a=1(2)a=2(a*解設(shè)X+展開式的常數(shù)項為T因為XJCr 6旦_Crar 6須v-6X2 -6a XX所以所以題干中結(jié)論的充要條件是a=2.所以條件a =1不充分；條件(2)a = 2充分.故應(yīng)選擇 B.此題用解法一需要將a =1和a = 2代入，推算兩次，而用此種方法只推算一次得出a =坦即可.例 7 7 要使關(guān)于X的一元方程x-2x2+k = 0有四個相異的實根。一一.1(1) 0 k ；(2) 1 k 2。2解 方程x0，t20,所以1所以因為6 -3r =0, r =2.C：a2=60，15a2=60，a = 2.0，2=20，仕20，%

11、4k A0,即 30，k cl.所以 ，0k0,所以題干中結(jié)論的充要條件是0 ： k ：1,所以條件（1）充分，條件（2）不充分故應(yīng)選擇 A.一道條件充分性判斷試題有時可以用多種方法求解，如上面的例 2 也可求解如下【條件充分性判斷題的解題技巧】解題技巧之一：直接檢驗法將滿足條件(1)和(2)分別代入結(jié)論 C 中檢驗，根據(jù)檢驗結(jié)果來判別. 也可以抽幾個樣本 試算.代入檢驗法，是直接檢驗法中最簡單的一種，還有樣本檢驗法無法直接從條件出發(fā)代 人，而是從滿足條件的集合中抽取有代表性的樣本，再代入題干檢驗.應(yīng)該說明的是，樣本檢驗屬于不完全檢驗，不能嚴(yán)格證明，考生應(yīng)作為輔助辦法使用， 或?qū)嵲跊]轍了可以試

12、一試.解題技巧之二：直接邏輯推理法有時條件(1), 及結(jié)論 C 都是描述性的判斷， 實際上該類題屬于純邏輯題，可能會有點(diǎn)繞，但比起 MB/W 考正宗的邏輯題目來說，也是“小巫見大巫” 了.因此考生在復(fù)習(xí)邏輯 時要認(rèn)真準(zhǔn)備，因為數(shù)學(xué)部分的充分性判斷題本身就非常需要考生加強(qiáng)在邏輯方面的知識和 素養(yǎng).例 8 小李比小張年齡大.(1)小張的哥哥今年剛滿 18 歲，可以參加選舉了(2)小李昨天剛度過了自己的30 歲生日題干中涉及到小李和小張的年齡比較問題，而條件(1)完全不涉及小李，條件(2)完全不涉及小張，因此單獨(dú)使用(1)或(2)都不能獨(dú)立推出結(jié)論.根據(jù)條件(1)的表述，我們可以由小張年齡。、張哥哥

13、年齡=18 歲推出小張年齡18 歲，根據(jù)條件(2)的表述，得到小李年齡=30 歲；這兩個判斷聯(lián)在一起，由小張年齡18 歲30 歲=小李年齡可以得到小李年齡比小張年齡大.即此題應(yīng)選 C.解題技巧之三：化繁就簡法有時或者是條件(1)、(2),或者是結(jié)論 G 可能表述或形式上比較復(fù)雜，不容易看清楚，這時候應(yīng)該考慮用一些辦法化繁就簡，更易于比較和推理.事實上，化簡以后，題目答案甚 至一目了然了.注注蘭=2成立.x -6x11x -6(1)x2x =20 x3-3x2-4x 12 = x2(x -3) -4(x -3) x3-6x211x -6x3- 6x25x 6x - 62_(x24)(x3)x(x

14、2-6x 5) 6(x -1)(x 2)(x-2)(x-3)一x(x -1)(x一5) 6(x -1)(x 2)(x2)(x3)一(x 1)(x2-5x 6)(x 2)(x-2)(x-3)一(x1)(x2)(x3)x 2=1由題目看出，這幾個式子都比較繁雜,難以看出彼此關(guān)系，通過化簡將=2(其中x = 3,x=2且x = 1),進(jìn)一步得 x=4.對條件(1)化簡為x2+ x -20 = 0, (x -4)(x + 5) = 0,得x = 4或x = -5.對條件(2)化簡為2x2+2x4 = 3x23x(其中x#0且x#1),進(jìn)一步得(x 1)(x 4) =0,由于x#1,所以x = 4,則不

15、充分,(2)充分.解題技巧之四：直觀畫圖法有些題目涉及到集合的相互關(guān)系，涉及到空間關(guān)系，還有彼此之間循環(huán)的邏輯關(guān)系等，這類題通常都比較繞，光在腦子里想著想著就亂了，又得重來，實際上這類題的難度并不大，要養(yǎng)成在紙上畫圖的習(xí)慣，把邏輯關(guān)系、空間關(guān)系等各種紛繁復(fù)雜的關(guān)系畫出來，就可清楚地找出規(guī)律來了 .例 10 設(shè) A、B 為隨機(jī)事件，A A = B B 成立.(1)P(AB) = 0(2)P(AB) =0本題如果用計算或推理都很難下手，我們考慮作圖.先考慮條件(1),陰影部分為A,而P(AB) =0即指A與 B 不相交，則 B 只能躲藏于 A 的內(nèi)部，這樣可以得到B w A.同理根據(jù) 條件(2)可以得到AW B.顯然由AWB且BWA,可以得到 A =B,即可選 C.這就是畫圖的妙用.腦子里很難想 明白的關(guān)系，紙上一畫圖，有豁然開朗的感覺，考生們不妨一試.解題技巧之五：證偽排除法數(shù)學(xué)上的證偽就是舉反例.比如證明條件(1)充分需要數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的證明，但如果我們能 找出某個例子滿足條件(1),但不滿足結(jié)論，就可以說條件(1)充分是錯