立體幾何第二章練習題

1、 2.1空間點、直線、平面之間的位置關系21.1平面1平面的概念、畫法及表示概念幾何里所說的“平面”是從生活中的一些物體中抽象出來的，是無限延展的畫法常常把水平的平面畫成一個平行四邊形，并且其銳角畫成45°， 且橫邊長等于鄰邊長的2倍，為了增強立體感，被遮擋部分用虛線畫出來表示方法 一個希臘字母：如、等；兩個大寫英文字母：表示平面的平行四邊形的相對的兩個頂點；四個大寫英文字母：表示平面的平行四邊形的四個頂點2.點、線、面之間的位置關系及符號表示(1)直線在平面內的概念：如果直線l上的所有點都在平面內，就說直線l在平面內，或者說平面經過直線l.(2)一些文字語言、數學符號與圖形的對應關

2、系：數學符號表示文字語言表達圖形語言表達Al點A在直線l上Al點A在直線l外A點A在平面內A點A在平面外l直線l在平面內l直線l在平面外lmA直線l，m相交于點Al平面、相交于直線l3.平面的基本性質公理文字語言圖形語言符號語言公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內l公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線存在唯一的平面使A，B，C公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P，且Pl，且Pl1下列三個說法正確嗎？一個平面長2 m，寬1 m；一個平面的面積是25 cm2；一條直線的長度比一個平面的長度大提示：根據

3、平面的概念知，以上三個說法均不正確2一個平面把空間分成幾部分？兩個平面把空間分成幾部分？提示：因為平面是無限延展的，一個平面把空間分成兩部分，而兩個平面相交時，把空間分成四部分，平行時，把空間分成三部分3“線段AB在平面內，直線AB不全在平面內”這一說法是否正確？為什么？提示：不正確線段AB在平面內，線段AB上的所有點都在平面內，線段AB上的A、B兩點一定在平面內，直線AB在平面內(公理1)考點一三種語言的轉換根據下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關系，并畫出相應的圖形(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)Pl，P，Ql，Q.自主解答(1)點A在平面內，點B不在平面內；(2)直線

4、l在平面內，直線m與平面相交于點A，且點A不在直線l上；(3)直線l經過平面外一點P和平面內一點Q.圖形分別如下圖所示：點、線、面間的位置關系三種語言的轉換方法：(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形，有幾個平面且位置關系如何，有幾條直線且位置關系如何，圖中的直線和平面的位置關系如何，有幾點且在哪條直線或哪個平面上，試著用文字語言表示，再用符號語言表示(2)由符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別1用文字語言和符號語言表示所示圖解：文字語言：平面內兩直線m和n相交于點A.符號語言：m，n，且mnA.考點二平面?zhèn)€數的確定及共面問題(1)空間兩兩相交的三條直線

5、，可以確定的平面數是()A1 B2 C3 D1或3(2)已知：abc，laA，lbB，lcC.求證：直線a，b，c，l共面自主解答(1)兩兩相交且共點的三條直線若在一個平面內，可確定一個平面，若不在一個平面內，每兩條直線確定一個平面，共可確定3個平面答案D(2)證明：ab，a和b確定一個平面.laA，lbB，A，B.故l.又ac，a和c確定一個平面.同理l.即l和a既在內又在內，且l與a相交，故、重合，即直線a，b，c，l共面1公理2的推論：推論1：經過一條直線和直線外的一點有且只有一個平面推論2：經過兩條相交直線有且只有一個平面推論3：經過兩條平行直線有且只有一個平面2確定平面的問題要利用公

6、理2及其推論，要想確定的平面最多，那么條件中每一組能確定平面的元素都要利用起來3證明點線共面的主要依據是公理1、公理2及其推論，常用的方法有：(1)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內(2)輔助平面法：先證明有關點、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明，重合(3)反證法：先假設點線不共面，再由已知推出矛盾，得出點、線共面2已知：AB，BC，AC是ABC三邊所在的直線求證：直線AB，BC，AC共面證明：法一：如圖所示由已知ABBCB，所以過直線AB，BC有且只有一個平面，ABACA，BCACC，A，C，故AC，即直線AB，BC，AC共面法二：ABBCB，過直線AB，BC

7、有且只有一個平面，又ABACA，過直線AB，AC有且只有一個平面.C，C，AB，AB，又A，B，C為三角形的頂點，C直線AB.平面與重合，即直線AB，BC，AC共面考點三點共線與線共點問題 如圖所示，ABP，CDP，A，D與B，C分別在平面的兩側，ACQ，BDR.求證：P，Q，R三點共線自主解答ABP，CDP，ABCDP.AB，CD可確定一個平面，設為.AAB，CCD，BAB，DCD，A，C，B，D.AC，BD，平面，相交ABP，ACQ，BDR，P，Q，R三點是平面與平面的公共點P，Q，R都在與的交線上，故P，Q，R三點共線1證明多點共線的方法是利用公理3，只需說明這些點都是兩個平面的公共點，

8、則必在這兩個面的交線上2證明三線共點常用的方法是：(1)先說明兩條直線共面且交于一點，然后說明這個點在兩個平面內，于是該點在這兩個平面的交線上，從而得到三線共點(2)先說明a，b相交于一點A，b與c相交于一點B，再說明A，B是同一點，從而得到a，b，c三線共點3.如圖，l，梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD.求證：AB、CD、l共點(相交于一點)證明：如圖，在梯形ABCD中，設ABCDE.AB，CD，E，E.又l，El，即AB、CD、l共點(相交于一點)【解題高手】【易錯題】一條直線和直線外三個點最多能確定的平面?zhèn)€數是()A4B6 C7 D10錯解選D在已知直線上任取兩點，這樣共5個點構成

9、了一個四棱錐，四棱錐的4個側面，2個對角面，再加上底面共有7個，誤選C；或者是認為這5個點中任取3個點可確定一個平面，一共有10種取法，誤選D.錯因都是把題中的條件作了轉換，由原來的一條直線轉換成兩個點，那么錯解中確定的某些平面只包含這兩個點中的一個，這是不符合題意的正解根據題意最多確定平面分兩類一類是直線和直線外三點的一個共可確定3個平面第二類，當三個點不共線時可確定一個平面，所以共有314個平面答案A1用符號表示“點A在直線l上，l在平面外”，正確的是()AAl，lBAl，lCAl，l DAl，l解析：點與直線，直線與平面間的關系分別用“或”和“或”表示答案：B2如果直線a平面，直線b平面

10、，Ma，Nb，Ml，Nl，則()Al BlClM DlN解析：Ma，a，M，同理，N，又Ml，Nl，故l.答案：A3下列說法中正確的個數為()三角形一定是平面圖形若四邊形的兩對角線相交于一點，則該四邊形是平面圖形圓心和圓上兩點可確定一個平面三條平行線最多可確定三個平面A1 B2 C3 D4解析：根據題意知，正確，故C正確答案：C4若點A在直線b上，b在平面內，則A、b、之間的關系可記作_答案：Ab，b，A5有下列幾個說法：兩個相交平面有不在同一直線上的三個公共點；經過空間任意三點至少有一個平面；過兩平行直線有且只有一個平面；其中正確說法的序號是_解析：兩個相交平面的公共點都在一條直線上，故錯；

11、當三點在一條直線上時，過這三個點有無數個平面，當三點不共線時，過三點有且只有一個平面，故正確；根據公理2，正確答案：6如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，設A1C平面ABC1D1E.求證：B，E，D1三點共線證明：如圖，連接A1B、BD1、CD1，A1C平面ABC1D1E，EA1C，E平面ABC1D1.A1C平面A1BCD1，E平面A1BCD1.平面A1BCD1平面ABC1D1BD1，EBD1，B，E，D1三點共線一、選擇題1下列說法：(1)鋪得很平的一張白紙是一個平面；(2)平面是矩形或平行四邊形的形狀；(3)兩個平面疊在一起比一個平面厚其中正確的個數為()A0 B1 C2 D3解析：

12、由平面的概念可知，它是平滑、無厚度、寬窄無限延展的，是一個抽象概念，(1)、(2)、(3)都不符合平面的概念，所以都不正確答案：A2已知空間中四點，如果其中任意三點都不共線，則經過其中三個點的平面共有()A一個或兩個 B一個或三個C兩個或三個 D一個或四個解析：根據條件，這四點要么在同一平面上，要么每三點確定一個平面即共有四個平面答案：D3已知點A，直線a，平面，Aa，aA；Aa，aA；Aa，aA；Aa，aA.以上命題表達正確的個數是()A0 B1 C2 D3解析：中若a與相交，且交點為A，則結論不正確；中“a”符號不對；中A可以在內，也可以在外，故不正確；符號“A”錯誤答案：A4如圖，平面平

13、面l，A、B，C，Cl，直線ABlD，過A、B、C三點確定的平面為，則平面與的交線必過() A點A B點BC點C，但不過點D D點C和點D解析：根據基本性質判定點C和點D既在平面內又在平面內，故在與的交線上答案：D2、 填空題5如圖所示，平面ABEF記作平面，平面ABCD記作平面，根據圖形填寫：(1)A，B_，E_，C_，D_；(2)_；(3)A，B_，C_，D_，E_，F_；(4)AB_，AB_，CD_，CD_，BF_，BF_.答案：(1)(2)AB(3)(4)6點A，B，C，則平面ABC與平面的交點有_個解析：由公理3可知，平面ABC與平面相交，交點有無數個答案：無數7下列說法空間三條直線

14、兩兩平行，則三條直線在同一個平面內；空間三條直線兩兩相交，則三條直線在同一個平面內；空間四點E，F，G，H在同一平面內，則直線EF與GH可能平行，也可能相交其中正確的序號是_解析：三棱柱的三條側棱兩兩平行，但三條側棱所在直線不在同一平面內，故錯；若三條直線交于同一點，則三條直線可能不在同一平面內，故錯；同一平面內的兩條直線不平行，就相交，故正確答案：8空間三條直線，如果其中一條直線和其他兩條直線都相交，那么這三條直線能確定的平面?zhèn)€數是_解析：如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中AA1ABA，AA1A1B1A1，直線AB，A1B1與AA1可以確定一個平面(平面ABB1A1)AA1ABA，AA

15、1A1D1A1，直線AB，AA1與A1D1可以確定兩個平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1)三條直線AB，AD，AA1交于一點A，它們可以確定三個平面(平面ABCD，平面ABB1A1和平面ADD1A1)答案：1或2或3三、解答題9將下面符號語言表示的關系用文字語言予以敘述，并且用圖形語言予以表示l，Al，AB，AC.解：文字語言敘述為：點A在平面與平面的交線l上，AB、AC分別在平面，內如圖：10如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AB的中點，F為A1A的中點求證：(1)E、F、D1、C四點共面；(2)CE、D1F、DA三線共點證明：(1)分別連接EF，A1B，D1C.E，F分別

16、是AB和AA1的中點，EF綊A1B.又A1D1綊B1C1綊BC，四邊形A1D1CB為平行四邊形A1BCD1，EFCD1.EF與CD1確定一個平面，E，F，D1，C四點共面(2)由(1)可得EF綊CD1，直線D1F和CE必相交，設D1FCEP.D1F平面AA1D1D，PD1F，P平面AA1D1D.又CE平面ABCD，PEC，P平面ABCD.P是平面ABCD與平面AA1D1D的公共點又平面ABCD平面AA1D1DAD，PAD.CE，D1F，DA三線共點21.2空間中直線與直線之間的位置關系1異面直線(1)定義：把不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線(2)畫法：(通常用平面襯托)2空間中兩條直

17、線的位置關系3平行公理(公理4)與等角定理(1)平行公理：文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行這一性質叫做空間平行線的傳遞性符號表述：ac.(2)等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補4異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O作直線aa，bb，我們把a與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)(2)范圍：0°90°.(3)當90°時，a與b互相垂直，記作ab.1能否將異面直線理解為分別在兩個平面內的直線或平面內的一條直線與平面外的一條直線？提示：不可以2異面直線與平行直線有什么異同

18、點？提示：其相同點是都沒有公共點，不同點在于平行直線可以確定一個平面，而異面直線不同在任何一個平面內3. 在異面直線所成角的定義中，角的大小與點O的位置有關系嗎？提示：根據等角定理可知，a與b所成角的大小與點O的位置無關，但是為了簡便，點O常取在兩條異面直線中的一條上，特別是這一直線上的某些特殊點(如線段的端點、中點等)考點一空間中兩條直線位置關系的判定在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AA1、AB的中點，試判斷下列各對線段所在直線的位置關系：(1)AB與CC1；(2)A1B1與DC；(3)A1C與D1B；(4)DC與BD1；(5)D1E與CF.自主解答(1)C平面ABCD，AB

19、平面ABCD，又CAB，C1平面ABCD，AB與CC1異面(2)A1B1AB，ABDC，A1B1DC.(3)A1D1BC且A1D1BC，則A1，B，C，D1在同一平面內，A1C與D1B相交(4)B平面ABCD，DC平面ABCD，又BDC，D1平面ABCD，DC與BD1異面(5)設CF與DA的延長線交于G，連接D1G，AFDC，F為AB中點，A為DG的中點又AEDD1，GD1過AA1的中點E，直線D1E與CF相交1判斷兩直線是異面直線的方法：(1)定義法：依據定義判斷兩直線不可能在同一個平面內(2)定理法：過平面外一點與平面內一點的直線和平面內不經過該點的直線為異面直線(此結論可作為定理使用)(

20、3)反證法：即假設這兩條直線不是異面直線，那么它們是共面直線(即假設兩條直線相交或平行)，結合原題中的條件，經正確地推理，得出矛盾，從而斷定假設“兩條直線不是異面直線”是錯誤的，進而得出結論：這兩條直線是異面直線2判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用公理4判斷1若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是()Aac Ba和c異面Ca和c相交 Da和c平行、相交或異面解析：如圖，在長方體ABCDABCD中，令AD所在直線為a，AB所在直線為b，由題意，a和b是異面直線，b和c是異面直線若令BC所在直線為c，則a和c平行若令CC所在直線為c，則a和c

21、異面若令DD所在直線為c，則a和c相交答案：D考點二公理4、等角定理的應用如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點(1)求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形；(2)求證：BMCB1M1C1.自主解答(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分別為AD，A1D1的中點，MM1綊AA1，又AA1綊BB1，MM1BB1，且MM1BB1，四邊形BB1M1M為平行四邊形(2)法一：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，B1M1BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，C1M1CM.由平面幾何知識可知，BMC和B1M1C1都是銳角由等角定理得BMCB1M1C1.法

22、二：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形B1M1BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形C1M1CM，又B1C1BC，BCMB1C1M1.BMCB1M1C1.在本例中，若N1是D1C1的中點，求證四邊形M1N1CA是梯形證明：如圖所示，連結A1C1，M1，N1分別是A1D1，D1C1的中點，M1N1A1C1且M1N1A1C1，由正方體的性質可知：A1C1AC，且A1C1AC，M1N1AC，且M1N1AC，四邊形M1N1CA是梯形 1判斷兩直線是平行直線的方法：(1)定義法：兩直線平行須滿足：兩直線在同一個平面內；兩直線沒有公共點(2)公理法(利用公理4)：要證兩條直線平行，只須找到第三

23、條直線與這兩條直線都平行即可即要證ab，只須證ac，bc，就可得ab.2在運用“等角定理”判定兩個角是相等還是互補的途徑有二：一是判定兩個角的方向是否相同，若相同則必相等，若相反則必互補；二是判定這兩個角是否均為銳角或均為鈍角，若均是則相等，若不均是則互補2如圖，四面體ABCD的四個面分別為ABC、ACD、ADB和BCD，E、F、G分別是線段AB，AC，AD上的點，且滿足AEABAFACAGAD.求證：EFGBCD.證明：在ABD中，AEABAGAD，EGBD.同理GFDC，EFBC.又GEF與DBC方向相同，GEFDBC.同理EGFBDC，EFGBCD.考點三求異面直線所成的角如圖，在正方體

24、ABCDA1B1C1D1中，求下列異面直線所成的角(1)AA1與BC；(2)A1B與AC.自主解答(1)AA1BB1，B1BC是異面直線A1A與BC所成的角又B1BC90°，異面直線AA1與BC所成的角為90°.(2)連接A1C1，AA1C1C為平行四邊形，ACA1C1，BA1C1是異面直線A1B與AC所成的角連接BC1，A1BC1是正三角形，BA1C160°，異面直線A1B與AC所成的角為60°.求異面直線所成角的基本步驟：(1)作即據定義作平行線，作出異面直線所成的角，作平行線時，若遇題設中有中點，?？紤]中位線；若異面直線依附于某幾何體，且直接對異面

25、直線平移有困難時，可利用該幾何體的特殊點，使異面直線轉化為相交直線(2)證證明這個角或其補角即為所求的角(3)求轉化為求一個三角形的內角，通過解三角形，求出所找的角3在空間四邊形ABCD中，ADBC2，E、F分別是AB、CD的中點，若EF，求異面直線AD，BC所成角的大小解：如圖，取BD的中點M，連接EM，FM.因為E，F分別是AB，CD的中點，所以EM綊AD，FM綊BC，則EMF或其補角就是異面直線AD，BC所成的角因為ADBC2，所以EMMF1，在等腰MEF中， 過點M，作MHEF于H，在RtMHE中，EM1，EHEF，則sinEMH，于是EMH60°，則EMF2EMH120&#

26、176;.所以異面直線AD，BC所成的角為EMF的補角，即異面直線AD，BC所成的角為60°.【解題高手】【易錯題】分別和兩條異面直線相交的兩條直線的位置關系是()A相交B異面 C平行 D相交或異面錯解根據條件可知兩條直線的位置關系如圖所示，故選B.錯因本題中沒有限制交點的個數，解答時只考慮到有四個交點的情形，沒有想象到有三個交點的情形，如圖示正解如圖(1)(2)也可以利用長方體模型：如圖(3)長方體ABCDABCD中，畫出面對角線BA和體對角線BD，BB和AD異面，直線BA和BD都與這兩條異面直線相交，顯然BA和BD相交；直線AB和BD都與這兩條異面直線相交，而AB和BD異面答案D

27、1如果直線a與b沒有公共點，那么直線a與b的位置關系是()A異面B平行 C相交 D平行或異面解析：由空間中兩條直線的位置關系可知，直線a與b的位置關系是平行或異面答案：D2正方體ABCDA1B1C1D1中，與對角線AC1異面的棱有()A3條 B4條 C6條 D8條答案：C3下列命題中，正確的結論有()如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補；如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行A1個 B2個 C3個 D4個解析

28、：由公理4及等角定理知，只有正確，故選B.答案：B4在正方體ABCDA1B1C1D1中，AD1與BC所成的角是_解析：如圖，因為BCAD，所以D1AD即為所求， D1AD45°.答案：45°5在長方體ABCDA1B1C1D1中，與棱AA1垂直且異面的棱有_ 解析：如圖，與棱AA1垂直且異面的棱有DC，BC，D1C1，B1C1.答案：DC，BC，D1C1，B1C16如圖所示，AB是圓O的直徑，點C是弧AB的中點，D，E分別是VB，VC的中點， 求異面直線DE與AB所成的角解：因為D，E分別是VB，VC的中點，所以BCDE，因此ABC是異面直線DE與AB所成的角，又因為AB是圓

29、O的直徑，點C是弧AB的中點，所以ABC是以ACB為直角的等腰直角三角形，于是ABC45°，故異面直線DE與AB所成的角為45°.一、選擇題1分別在兩個平面內的兩條直線的位置關系是()A異面B平行C相交 D以上都有可能解析：如圖以正方體為例，在正方體的上下底面中，ADA1D1，AD與D1C1異面；AD平面ABCD，AA1 平面ABB1A1，AD與AA1相交，故分別在兩個平面內的兩條直線可能平行，相交或異面答案：D2下面三個說法：若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面；若ab，則a、b與c所成的角相等；若ab，bc，則ac.其中正確的個數為()A0 B3 C2 D1解析：

30、中當ac，且a，b異面，b，c異面時，a與c共面，故錯，正確；中a與c還可能相交或異面，故錯答案：D3在三棱錐ABCD中，E、F、G分別是AB、AC、BD的中點，若AD與BC所成的角為60°，那么FEG為()A30° B60° C120° D60°或120°解析：FEG即為兩異面直線AD與BC所成的角或其補角答案：D4(重慶高考)設四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1，和a，且長為a的棱與長為的棱異面，則a的取值范圍是()A(0，) B(0，) C(1，) D(1，)解析：利用三角形存在的條件求解根據已知條件畫出圖形，如圖所示，AB

31、，CDa，設點E為AB的中點，則EDAB，ECAB，則ED，同理EC，由構成三角形的條件知0<a<EDEC，0<a<.答案：A二、填空題5四棱錐PABCD中，各棱所在的直線互相異面的有_對解析：由異面直線的定義可知有8對答案：86角和角的兩邊分別平行，則當72°時，_.解析：由等角定理知，72°或108°.答案：72°或108°7. 如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中， E、F分別是棱BC、CC1的中點，則異面直線EF與B1D1所成的角為_解析：連接BC1，AD1，AB1，則EF為BCC1的中位線，EFBC1.又

32、AB綊CD綊C1D1，四邊形ABC1D1為平行四邊形BC1AD1.EFAD1.AD1B1為異面直線EF和B1D1所成的角或其補角在AB1D1中，易知AB1B1D1AD1，AB1D1為正三角形，AD1B160°.EF與B1D1所成的角為60°.答案：60°8如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點，有以下四個結論：直線AM與CC1是相交直線；直線AM與BN是平行直線；直線BN與MB1是異面直線；直線AM與DD1是異面直線其中正確的結論為_(注：把你認為正確結論的序號都填上)解析：由異面直線的定義知正確答案：三、解答題9長方體A

33、BCDA1B1C1D1中，E，F分別為棱AA1，CC1的中點(1)求證：D1EBF；(2)求證：B1BFD1EA1.證明：(1)取BB1的中點M，連接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM綊A1B1，A1B1綊C1D1，EM綊C1D1，四邊形EMC1D1為平行四邊形，D1EC1M.在矩形BCC1B1中，易得MB綊C1F，BF綊C1M.D1EBF.(2)ED1BF，BMEA1，又B1BF與D1EA1的對應邊方向相同，B1BFD1EA1.10. 如圖，三棱錐ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，(1)求證：E，F，G，H四點共面；(2)若四邊形EFGH是矩形，求證：A

34、CBD.證明：(1)如題圖，在ABD中，E，H分別是AB，AD的中點，EHBD.同理FGBD，EHFG.E，F，G，H四點共面(2)若四邊形EFGH是矩形，則EHGH.由(1)知EHBD，同理ACGH.ACBD.2.1.3 & 2.1.4空間中直線與平面之間的位置關系 平面與平面之間的位置關系1直線和平面的位置關系位置關系直線a在平面內直線a在平面外直線a與平面相交直線a與平面平行公共點有無數個公共點有且只有一個公共點無公共點符號表示aaAa圖形表示2.兩個平面的位置關系位置關系圖示表示法公共點個數兩平面平行無兩平面相交a無數個(在一條直線上)1直線a與平面平行，直線b，則a與b有怎樣

35、的位置關系？提示：a與b平行或異面，如圖所示2如果平面與平面平行，直線a，直線b，那么a與b的位置關系是什么？提示：a與b平行或異面，如圖所示：考點一直線與平面的位置關系的判定下列說法中，正確的個數是()如果兩條平行直線中的一條和一個平面相交，那么另一條直線也和這個平面相交；一條直線和另一條直線平行，它就和經過另一條直線的任何平面都平行；經過兩條異面直線中的一條，存在一個平面與另一條直線平行A0B1 C2 D3自主解答根據直線、平面相互之間的位置關系的定義逐一判斷：正確；兩條直線平行，則它們共面，所以錯誤；正確答案C對于直線和平面位置關系的這類判斷問題，常用分類討論的方法即考察交點個數的方法解

36、決另外，借助模型(如正方體、長方體等)也是解決這類問題的有效方法1下列說法若直線l平行于平面內的無數條直線，則l；若直線a在平面外，則a；若直線ab，直線b，則a；若直線ab，b，那么直線a就平行于平面內的無數條直線其中正確的個數為()A1B2C3D4解析：對，當l時，內存在無數直線與l平行，所以不正確；對，直線在平面外包括直線與平面平行和直線與平面相交兩種情況，所以不正確；對，若ab，b，則有a或a，所以不正確；對，若ab，b，則不管a在平面內或平面外，都有結論成立，故正確答案：A考點二平面與平面位置關系的判定與應用如果在兩個平面內分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關系一

37、定是()A平行B相交 C平行或相交 D不能確定自主解答根據條件，畫出圖形，如圖所示，由圖形可以判定，這兩個平面可能相交也可能平行答案C平面內有無數條直線與平面平行，那么是否正確？說明理由解：不正確如圖，設l，則在內與l平行的直線可以有無數條，如a1，a2，an，它們是一組平行線，這時a1，a2，an與平面平行，但此時與不平行，l. 判斷平面與平面的位置關系要抓住兩種位置關系的特征，即有無公共點要有畫圖的意識，結合空間想象能力做出判斷，有時也可借助公理3說明兩平面相交2若直線a平面，直線b平面，a，b是異面直線，則，的位置關系是_解析：在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB平面ABCD，BC平

38、面A1B1C1D1，B1C1平面BCC1B1，但平面ABCD平面A1B1C1D1，平面ABCD與平面BCC1B1相交答案：平行或相交【解題高手】【妙解題】如果兩個平面內分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關系是()A平行 B相交 C平行或相交 D不確定巧思根據兩個平面中的兩直線的位置關系，確定兩個平面的位置關系，可借助正方體中的線面、面面位置關系幫助理解妙解如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB平面ABCD，C1D1平面A1B1C1D1，C1D1平面CDD1C1，ABC1D1，但平面ABCD平面A1B1C1D1，平面ABCD與平面CDD1C1相交答案C1棱柱的任意兩個

39、側面的位置關系是()A相交B平行 C平行或異面 D平行或相交答案：D2若直線a不平行于平面，則下列結論成立的是()A內的所有直線均與a異面B內不存在與a平行的直線C內直線均與a相交D直線a與平面有公共點解析：由于直線a不平行于平面，則a在內或a與相交，故A錯；當a時，在平面內存在與a平行的直線，故B錯；因為內的直線也可能與a平行或異面，故C錯；由線面平行的定義知D正確答案：D3如果直線a平面，那么直線a與平面內的()A一條直線不相交 B兩條相交直線不相交C無數條直線不相交 D任意一條直線都不相交解析：根據直線與平面平行的定義知，直線與平面內的直線均無公共點答案：D4若Al，A，Bl，B，則直線

40、l與平面的位置關系是_解析：如圖，直線l與平面相交答案：相交5與兩個相交平面的交線平行的直線和這兩個平面的位置關系是_解析：以長方體為模型觀察，這條直線可能和這兩個平面都平行；也可能在一個平面內且與另一個平面平行答案：至少與一個平面平行6已知直線l平面A，直線m，畫圖表示直線l和m的位置關系解：直線l和m的位置關系有異面和相交兩種情況l和m異面，如圖a所示 ；l和m相交，如圖b所示一、選擇題1三棱錐的四個面中，任兩個面的位置關系是()A相交B平行 C異面 D不確定答案：A2若平面平面，a，b是直線，則()A內有無窮多條直線與平行B若a，則aCa，b，則abDa，b，則a，b是異面直線解析：根據

41、線面平行的定義可知A正確，B錯，因為可能有a，C，D均錯，因為a與b可能平行，也可能異面答案：A3與同一個平面都相交的兩條直線的位置關系是()A平行 B相交C異面 D以上都有可能解析：如圖所示故相交、平行、異面都有可能答案：D4如果一條直線與兩個平行平面中的一個平行，那么這條直線與另一個平面的位置關系為()A平行 B相交C直線在平面內 D平行或直線在平面內解析：由面面平行的定義可知，若一條直線在兩個平行平面中的一個平面內，則這條直線與另一個平面無公共點，所以與另一個平面平行由此可知，本題中這條直線可能在平面內否則過此直線作第三個平面與已知兩平面相交，用面面平行的性質定理、公理4及線面平行的判定

42、定理可證此直線與另一個平面平行答案：D二、填空題5過平面外一點M，作直線l，則這樣的直線l有_條解析：由線面平行的定義知，可作無數條答案：無數6直線a平面，平面平面b，ab，則a與的位置關系是_解析：ab，故a與b無公共點，又a，且與的公共點都在直線b上，所以a與無公共點，故a與平行答案：平行7正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是正方形ABCD和A1B1C1D1的中心，則與EF平行的正方體的面共有_個解析：正方體中除了平面ABCD和平面A1B1C1D1外，其余的4個面都與EF平行答案：48設有不同的直線a，b和不同的平面，給出下列三個命題：若a，b，則ab；若a，a，則；若，則.其中

43、命題正確的序號是_解析：錯，a與b也可能異面；錯，與也可能相交；對可類比平行線的傳遞性答案：三、解答題9如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是A1B1和BB1的中點，試判斷：(1)AM所在的直線與平面ABCD的位置關系；(2)CN所在的直線與平面ABCD的位置關系；(3)AM所在的直線與平面CDD1C1的位置關系；(4)CN所在的直線與平面CDD1C1的位置關系；解：(1)AM所在的直線與平面ABCD相交(2)CN所在的直線與平面ABCD相交(3)AM所在的直線與平面CDD1C1平行(4)CN所在的直線與平面CDD1C1相交10如圖，已知平面l，點A，點B，點C，且Al，B

44、l，直線AB與l不平行，那么平面ABC與平面的交線與l有什么關系？證明你的結論解：平面ABC與的交線與l相交證明：AB與l不平行，且AB，l，AB與l一定相交，設ABlP，則PAB，Pl.又AB平面ABC，l，P平面ABC，P.點P是平面ABC與的一個公共點，而點C也是平面ABC與的一個公共點，且P，C是不同的兩點，直線PC就是平面ABC與的交線即平面ABCPC，而PClP，平面ABC與的交線與l相交2.2直線、平面平行的判定及其性質22.1 & 2.2.2直線與平面平行的判定平面與平面平行的判定直線與平面、平面與平面平行的判定定理 定理表示線面平行的判定定理面面平行的判定定理文字敘述

45、平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行圖形表示符號表示a1如果一條直線與平面內無數條直線平行，那么這條直線與這個平面平行嗎？提示：不一定平行，如一條直線在平面內，也可能會滿足條件，因此定理中強調“平面外的直線”2如果把面面平行的判定定理中的“相交”去掉，這兩個平面是否一定平行，為什么？提示：不一定如圖中，平面內的兩條直線a，b均平行于，而與卻相交3若平面內有無數條直線與平面平行，那么平面與平面平行嗎？提示：不一定兩平面的位置關系可能相交或平行. 考點一直線和平面平行的判定定理的應用如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，M為PD的中點，證明：PB平面ACM.自主解答連接BD，設BDACO，再連接MO，在平行四邊形ABCD中，因為O為BD的中點，又M為PD的中點，PBMO，又PB平面ACM，MO平面ACM，所以PB平面ACM.本例中，若N為PA的中點，求證：MN平面PBC.證明：在PAD中，M，N分別是PD，PA的中點MNAD，又四邊形ABCD為平行四邊形ADBC，MNBC.又MN平面PBC，BC平面PBC.MN平面PBC. 用直線與平面平行的判定定理證明線面平行：(1)基本步驟：(2)上面的第一步是證題的關鍵