球面平均法和泊松公式精編版

1、§ 7.2球面平均法和泊松公式一 本節(jié)主要思想（ 1）對三維波動方程的初值問題，先假設(shè)已知空間某一點M (x, y, z) 的振動 u( x, y, z, t) ，然后以 M 點為發(fā)射子波的波源，根據(jù)球面波的對稱性，可根據(jù)加權(quán)平均的思想來考察球面SrM 的平均振動 u(r ,t ) ，從而將問題歸結(jié)為兩個自變量的一維波動方程，最后采用極限的思想，令 r0 ，即可得到 M 點的振動 u( x, y, z, t) （ 2）對二維波動方程的初值問題，采用將其上升到三維空間的思想，根據(jù)已有的三維波動方程的泊松公式，獲得此問題的三維解，再采用降維法，最終獲得二維解二 三維波動方程的初值問題，泊

2、松公式三維波動方程初值問題解的泊松公式考察三維波動方程的初值問題：utta2ut 0 ,x , y , z( 1 )u t 0( x, y, z), utt 0( x, y, z)x, y, z( 2 )以M表示以點M ( x, y, z)為心，半徑為r 的球面，以d表示S1的面元，則Sr的面元rSdSr 2d注：dsind ddSr 2 ddSr 2 sin dd下面用加權(quán)平均的思想（即球面平均法）求函數(shù)u( x, y, z,t ) 在球面 SrM 上的平均值 u(r , t ) ：u(r, t)( , , ) SrM ,xr 1,1 sincos, 21M u( , , ,t )dS(3)

3、4 r2sry r 2 , z r 3 ,(4) sin sin , 3 cos (5)注：（ 4）、（ 5）實際上是球的參數(shù)方程的表達式（3）式也可寫成u(r ,t )1sM u( xr1, y r 2 , z r3 ,t)d ，4r注：由于 dSr 2 sind dr 2d不含 dr , 故可將 12放入積分號中 ，與 r 2 正好約掉r由此可知 uu( x, y, z,t ) ，所以，為了求u 可以先求 ur0下面就來討論如何求u ：注意到 r( x) 2( y)2(z)2，容易算得1uuru xxrxrr2 ur 2( x)2u ( x) 22 ux2r 3rr 2r 2同理，可求出2

4、 u 和2 u，將他們相加，得到y(tǒng) 2z22u2 u12urr2rr2 ( ru )r注：r(ru )ruur2(ruu)u2 ur2 (ru )r2r2rrr122u2 u所以，r 2 (ru )rrr 2r將方程（ 1）兩端取球面平均，即得utta2 ua22(ru )rr 2等式兩邊同乘以r 得t2 (ru )a22 (ru )0（6）r2注： r 與時間 t 無關(guān)，所以可將r放入算子2中t這是關(guān)于 ru 的一維波動方程，其通解為ruf1(rat) f2 (r at )（ 7）令 r0 ，得0f1( at )f2 (at )從而知 f1( )f 2 () ，故有ruf1( rat)f 2

5、 ( atr )（ 8）注：的取值范圍應(yīng)是(,0) 我們所關(guān)心的是ra t 0 的情況，因為此時表明振動已傳至所考察的球面，若2r at0 ，表明振動還未傳至所考察的球面，這樣就無法考察M 點的振動為求 u，將上式對 r 求導(dǎo)，得r0(ru ) u ruf 2' (rat )f 2' (at r )（9）rr令 r 0，即得u(x, y, z, t) ur2 f '2 (at )（ 10）0所以，為求 u ，只需求 f'2為此將（ 8）式再對 t 求導(dǎo)，得(ru )af2' (rat )f2' (atr ) （ 11）r由（ 9）、（11）兩式得(r u)1(r u)22'f(ra t).（ 12）rat在上式中令 t0，并注意到（3）式和初始條件（2）式，即得2 f2' (r)rru()1tru()at014 r= 14rSrMSrMu1ur dSa tSrM r dS t 0dS1dSra tSrMr注意到（ 10）式，在上式