用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

1、用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的極值例 求下列函數(shù)的極值：1；2；3分析：按照求極值的基本方法，首先從方程求出在函數(shù)定義域內(nèi)所有可能的極值點(diǎn)，然后按照函數(shù)極值的定義判斷在這些點(diǎn)處是否取得極值解：1函數(shù)定義域?yàn)镽令，得當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在和上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（2，2）上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值2函數(shù)定義域?yàn)镽令，得或當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在和上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0，2）上是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值3函數(shù)的定義域?yàn)镽令，得當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在和上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（1，1）上是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值說明：思維的周密性是解決問題的基礎(chǔ)，在解題過程中，

2、要全面、系統(tǒng)地考慮問題，注意各種條件 綜合運(yùn)用，方可實(shí)現(xiàn)解題的正確性解答本題時(shí)應(yīng)注意只是函數(shù)在處有極值的必要條件，如果再加之附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反，才能斷定函數(shù)在處取得極值反映在解題上，錯(cuò)誤判斷極值點(diǎn)或漏掉極值點(diǎn)是學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的失誤復(fù)雜函數(shù)的極值例 求下列函數(shù)的極值：1 ；2分析：利用求導(dǎo)的方法，先確定可能取到極值的點(diǎn)，然后依據(jù)極值的定義判定在函數(shù)的定義域內(nèi)尋求可能取到極值的“可疑點(diǎn)”，除了確定其導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)外，還必須確定函數(shù)定義域內(nèi)所有不可導(dǎo)的點(diǎn)這兩類點(diǎn)就是函數(shù)在定義內(nèi)可能取到極值的全部“可疑點(diǎn)”解：1令，解得，但也可能是極值點(diǎn)當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在和上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0，2）上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，函

3、數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值2令，得當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在和上是減函數(shù)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在和上是增函數(shù)當(dāng)和時(shí)，函數(shù)有極小值0，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值說明：在確定極值時(shí)，只討論滿足的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化情況，確定極值是不全面的在函數(shù)定義域內(nèi)不可導(dǎo)的點(diǎn)處也可能存在極值本題1中處，2中及處函數(shù)都不可導(dǎo)，但在這些點(diǎn)處左右兩側(cè)異號(hào)，根據(jù)極值的判定方法，函數(shù)在這些點(diǎn)處仍取得極值從定義分析，極值與可導(dǎo)無關(guān)根據(jù)函數(shù)的極值確定參數(shù)的值例 已知在時(shí)取得極值，且1試求常數(shù)a、b、c的值；2試判斷是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由分析：考察函數(shù)是實(shí)數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值點(diǎn)，再通過極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即極值

4、點(diǎn)必為的根建立起由極值點(diǎn)所確定的相關(guān)等式，運(yùn)用待定系數(shù)法求出參數(shù)a、b、c的值解：1解法一：是函數(shù)的極值點(diǎn)，是方程，即的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得又， （3）由（1）、（2）、（3）解得解法二：由得， （1） （2）又， （3）解（1）、（2）、（3）得2，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上是增函數(shù)，在（1，1）上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值說明：解題的成功要靠正確思路的選擇本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行逆向聯(lián)想，合理地實(shí)現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問題具體化，在轉(zhuǎn)化的過程中充分運(yùn)用了已知條件確定了解題的大方向可見出路在于“思想認(rèn)識(shí)”在求導(dǎo)之后，不會(huì)應(yīng)用的隱含條件，因而造成

5、了解決問題的最大思維障礙利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值例 求下列函數(shù)的極值：1；2；3分析：按照求極值的基本方法，首先從方程求出在函數(shù)定義域內(nèi)所有可能的極值點(diǎn)，然后按照函數(shù)極值的定義判斷在這些點(diǎn)處是否取得極值解：1函數(shù)定義域?yàn)镽令，得當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在和上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（2，2）上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值2函數(shù)定義域?yàn)镽令，得或當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在和上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0，2）上是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值3函數(shù)的定義域?yàn)镽令，得當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在和上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（1，1）上是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值說明：思維的周密性是解決問

6、題的基礎(chǔ)，在解題過程中，要全面、系統(tǒng)地考慮問題，注意各種條件 綜合運(yùn)用，方可實(shí)現(xiàn)解題的正確性解答本題時(shí)應(yīng)注意只是函數(shù)在處有極值的必要條件，如果再加之附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反，才能斷定函數(shù)在處取得極值反映在解題上，錯(cuò)誤判斷極值點(diǎn)或漏掉極值點(diǎn)是學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的失誤復(fù)雜函數(shù)的極值例 求下列函數(shù)的極值：1 ；2分析：利用求導(dǎo)的方法，先確定可能取到極值的點(diǎn)，然后依據(jù)極值的定義判定在函數(shù)的定義域內(nèi)尋求可能取到極值的“可疑點(diǎn)”，除了確定其導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)外，還必須確定函數(shù)定義域內(nèi)所有不可導(dǎo)的點(diǎn)這兩類點(diǎn)就是函數(shù)在定義內(nèi)可能取到極值的全部“可疑點(diǎn)”解：1令，解得，但也可能是極值點(diǎn)當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在和上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0

7、，2）上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值2令，得當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在和上是減函數(shù)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在和上是增函數(shù)當(dāng)和時(shí)，函數(shù)有極小值0，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值說明：在確定極值時(shí)，只討論滿足的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化情況，確定極值是不全面的在函數(shù)定義域內(nèi)不可導(dǎo)的點(diǎn)處也可能存在極值本題1中處，2中及處函數(shù)都不可導(dǎo)，但在這些點(diǎn)處左右兩側(cè)異號(hào)，根據(jù)極值的判定方法，函數(shù)在這些點(diǎn)處仍取得極值從定義分析，極值與可導(dǎo)無關(guān)根據(jù)函數(shù)的極值確定參數(shù)的值例 已知在時(shí)取得極值，且1試求常數(shù)a、b、c的值；2試判斷是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由分析：考察函數(shù)是實(shí)數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值點(diǎn)，再通過極

8、值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即極值點(diǎn)必為的根建立起由極值點(diǎn)所確定的相關(guān)等式，運(yùn)用待定系數(shù)法求出參數(shù)a、b、c的值解：1解法一：是函數(shù)的極值點(diǎn)，是方程，即的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得又， （3）由（1）、（2）、（3）解得解法二：由得， （1） （2）又， （3）解（1）、（2）、（3）得2，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上是增函數(shù)，在（1，1）上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值說明：解題的成功要靠正確思路的選擇本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行逆向聯(lián)想，合理地實(shí)現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問題具體化，在轉(zhuǎn)化的過程中充分運(yùn)用了已知條件確定了解題的大方向可見出路在于“思想認(rèn)識(shí)”在求導(dǎo)之后，不會(huì)

9、應(yīng)用的隱含條件，因而造成了解決問題的最大思維障礙利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性例 討論下列函數(shù)的單調(diào)性：1（且）；2（且）；3分析：利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性，一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)，通過判斷函數(shù)定義域被導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)所劃分的各區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，來確定函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性當(dāng)給定函數(shù)含有字母參數(shù)時(shí)，分類討論難于避免，不同的化歸方法和運(yùn)算程序往往使分類方法不同，應(yīng)注意分類討論的準(zhǔn)確性解： 1函數(shù)定義域?yàn)镽當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)2函數(shù)的定義域是或若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)3函數(shù)是奇函數(shù)，只需討論函數(shù)

10、在（0，1）上的單調(diào)性當(dāng)時(shí)， 若，則，函數(shù)在（0，1）上是減函數(shù)；若，則，函數(shù)在（0，1）上是增函數(shù)又函數(shù)是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（1，1）上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（1，1）上是增函數(shù)說明：分類討論是重要的數(shù)學(xué)解題方法它把數(shù)學(xué)問題劃分成若干個(gè)局部問題，在每一個(gè)局部問題中，原先的“不確定因素”不再影響問題的解決，當(dāng)這些局部問題都解決完時(shí)，整個(gè)問題也就解決了在判斷含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，不僅要考慮到參數(shù)的取值范圍，而且要結(jié)合函數(shù)的定義域來確定的符號(hào)，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤判斷 分類討論必須給予足夠的重視，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)解題思想作為聯(lián)系知識(shí)與能力中的作用，從而提高簡(jiǎn)化計(jì)

11、算能力利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：1；2；3分析：為了提高解題的準(zhǔn)確性，在利用求導(dǎo)的方法確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，也必須先求出函數(shù)的定義域，然后再求導(dǎo)判斷符號(hào)，以避免不該出現(xiàn)的失誤解：1函數(shù)的定義域?yàn)镽，令，得或函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，0）和；令，得或，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和（0，1）2函數(shù)定義域?yàn)榱?，得函?shù)的遞增區(qū)間為（0，1）；令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，2）3函數(shù)定義域?yàn)榱?，得或函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；令，得且，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和說明：依據(jù)導(dǎo)數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的符號(hào)來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，體現(xiàn)了形象思維的直觀性和運(yùn)動(dòng)性解決這類問題，如果利用函數(shù)單調(diào)性定義來確定函數(shù)

12、的單調(diào)區(qū)間，運(yùn)算顯得繁瑣，區(qū)間難以找準(zhǔn)學(xué)生易犯的錯(cuò)誤是將兩個(gè)以上各自獨(dú)立單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集的形式，如將例1函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間分別寫成 和 的錯(cuò)誤結(jié)果這里我們可以看出，除函數(shù)思想方法在本題中的重要作用之外，還要注意轉(zhuǎn)化的思想方法的應(yīng)用求解析式并根據(jù)單調(diào)性確定參數(shù)例 已知，且1設(shè)，求的解析式；2設(shè)，試問：是否存在實(shí)數(shù)，使在內(nèi)為減函數(shù)，且在（1，0）內(nèi)是增函數(shù)分析：根據(jù)題設(shè)條件可以求出的表達(dá)式，對(duì)于探索性問題，一般先對(duì)結(jié)論做肯定存在的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證，由推證結(jié)果是否出現(xiàn)矛盾來作出判斷解題的過程實(shí)質(zhì)是一種轉(zhuǎn)化的過程，由于函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，因此選

13、擇好解題的突破口，要充分利用函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造等價(jià)的不等式，確定適合條件的參數(shù)的取值范圍，使問題獲解解：1由題意得，2若滿足條件的存在，則函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即對(duì)于恒成立，解得又函數(shù)在（1，0）上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即對(duì)于恒成立，解得故當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在（1，0）上是增函數(shù)，即滿足條件的存在說明：函數(shù)思維實(shí)際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式，它包含著運(yùn)動(dòng)、變化，也就存在著量與量之間的相互依賴、相互制約的關(guān)系因此挖掘題目中的隱含條件則是打開解題思路的重要途徑，具體到解題的過程，學(xué)生很大的思維障礙是迷失方向，不知從何處入手去溝通已知與未知的關(guān)系，使分散的條件相對(duì)集中，促成問題的解決不善于應(yīng)用恒成立

14、和恒成立，究其原因是對(duì)函數(shù)的思想方法理解不深利用導(dǎo)數(shù)比較大小例 已知a、b為實(shí)數(shù)，且，其中e為自然對(duì)數(shù)的底，求證：分析：通過考察函數(shù)的單調(diào)性證明不等式也是常用的一種方法根據(jù)題目自身的特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)關(guān)系，在建立函數(shù)關(guān)系時(shí)，應(yīng)盡可能選擇求導(dǎo)和判斷導(dǎo)數(shù)都比較容易的函數(shù)，一般地，證明，可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明，如果，則函數(shù)在上是增函數(shù)，如果，由增函數(shù)的定義可知，當(dāng)時(shí)，有，即解：證法一：，要證，只要證，設(shè)，則，且，函數(shù)在上是增函數(shù)，即，證法二：要證，只要證，即證，設(shè)，則，函數(shù)在上是減函數(shù)又，即說明：“構(gòu)造”是一種重要而靈活的思維方式，應(yīng)用好構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵是：一要有明確的方向，即為什么目的而構(gòu)造；二是

15、要弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)，以便重新進(jìn)行邏輯組合解決這種問題常見的思維誤區(qū)是不善于構(gòu)造函數(shù)或求導(dǎo)之后得出的錯(cuò)誤結(jié)論判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性例 函數(shù)在區(qū)間上是（ ） A增函數(shù)，且 B減函數(shù)，且 C增函數(shù)，且 D減函數(shù)，且分析：此題要解決兩個(gè)問題：一是要判斷函數(shù)值y的大??；二是要判斷此函數(shù)的單調(diào)性解：解法一：令，且，則，排除A、B由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可知，u在 上為減函數(shù)又亦為減函數(shù)，故在 上為增函數(shù)，排除D，選C解法二：利用導(dǎo)數(shù)法（），故y在上是增函數(shù)由解法一知所以選C說明：求函數(shù)的值域，是中學(xué)教學(xué)中的難關(guān)一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質(zhì)求解，也可以用函數(shù)的單調(diào)性求出最大、最小值等（包括初等方法和

16、導(dǎo)數(shù)法）對(duì)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)是可以利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷，但是利用導(dǎo)數(shù)法判斷一些較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)還是有很大優(yōu)勢(shì)的利用公式2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1；2；3分析：根據(jù)所給問題的特征，恰當(dāng)?shù)剡x擇求導(dǎo)公式，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)施行調(diào)整函數(shù)和的形式，這樣，在形式上它們都滿足冪函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，可直接應(yīng)用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)解：123說明：對(duì)于簡(jiǎn)單函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化函數(shù)關(guān)系式為可以直接應(yīng)用公式的基本函數(shù)的模式，以免求導(dǎo)過程中出現(xiàn)指數(shù)或系數(shù)的運(yùn)算失誤運(yùn)算的準(zhǔn)確是數(shù)學(xué)能力高低的重要標(biāo)志，要從思想上提高認(rèn)識(shí)，養(yǎng)成思維嚴(yán)謹(jǐn)，步驟完整的解題習(xí)慣，要形成不僅會(huì)求，而且求對(duì)、求好

17、的解題標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)斜率求對(duì)應(yīng)曲線的切線方程例 求曲線的斜率等于4的切線方程分析：導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在某點(diǎn)處的變化率，它的幾何意義就是相應(yīng)曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，由于切線的斜率已知，只要確定切點(diǎn)的坐標(biāo)，先利用導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)切點(diǎn)在曲線上確定切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而可求出切線方程解：設(shè)切點(diǎn)為，則，即，當(dāng)時(shí)，故切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）所求切線方程為即說明：數(shù)學(xué)問題的解決，要充分考慮題設(shè)條件，捕捉隱含的各種因素，確定條件與結(jié)論的相應(yīng)關(guān)系，解答這類問題常見的錯(cuò)誤是忽略切點(diǎn)既在曲線上也在切線上這一關(guān)鍵條件，或受思維定勢(shì)的消極影響，先設(shè)出切線方程，再利用直線和拋物線相切的條件，使得解題的運(yùn)算量變大求直線方程例

18、 求過曲線上點(diǎn)且與過這點(diǎn)的切線垂直的直線方程分析：要求與切線垂直的直線方程，關(guān)鍵是確定切線的斜率，從已知條件分析，求切線的斜率是可行的途徑，可先通過求導(dǎo)確定曲線在點(diǎn)P處切線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求出與切線垂直的直線方程解：，曲線在點(diǎn)處的切線斜率是過點(diǎn)P且與切線垂直的直線的斜率為，所求的直線方程為，即說明：已知曲線上某點(diǎn)的切線這一條件具有雙重含義在確定與切線垂直的直線方程時(shí)，應(yīng)注意考察函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是否為零，當(dāng)時(shí)，切線平行于x軸，過切點(diǎn)P垂直于切線的直線斜率不存在求曲線方程的交點(diǎn)處切線的夾角例 設(shè)曲線和曲線在它們的交點(diǎn)處的兩切線的夾角為，求的值分析：要求兩切線的夾角，關(guān)鍵是確定在兩曲線交點(diǎn)處的

19、切線的斜率根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，只需先求出兩曲線在交點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，再應(yīng)用兩直線夾角公式求出夾角即可解：聯(lián)立兩曲線方程解得兩曲線交點(diǎn)為（1，1）設(shè)兩曲線在交點(diǎn)處的切線斜率分別為，則由兩直線夾角公式說明：探求正確結(jié)論的過程需要靈巧的構(gòu)思和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉\(yùn)算兩曲線交點(diǎn)是一個(gè)關(guān)鍵條件，函數(shù)在交點(diǎn)處是否要導(dǎo)也是一個(gè)不能忽視的問題，而準(zhǔn)確理解題設(shè)要求則是正確作出結(jié)論的前提求常函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例 設(shè)，則等于（ ） A B C0 D以上都不是分析：本題是對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)問題，直接利用公式即可解：因?yàn)槭浅?shù)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，所以選C根據(jù)條件確定函數(shù)的參數(shù)是否存在例 已知函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)a、b、c，使同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：（1）

20、定義域?yàn)镽的奇函數(shù)；（2）在上是增函數(shù)；（3）最大值是1若存在，求出a、b、c；若不存在，說明理由分析：本題是解決存在性的問題，首先假設(shè)三個(gè)參數(shù)a、b、c存在，然后用三個(gè)已給條件逐一確定a、b、c的值解：是奇函數(shù)又，即，或，但時(shí)，不合題意；故這時(shí)在上是增函數(shù)，且最大值是1設(shè)在上是增函數(shù)，且最大值是3，當(dāng)時(shí)，故；又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故，又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在是增函數(shù)，在（1，1）上是減函數(shù)又時(shí)，時(shí)最大值為3經(jīng)驗(yàn)證：時(shí)，符合題設(shè)條件，所以存在滿足條件的a、b、c，即說明：此題是綜合性較強(qiáng)的存在性問題，對(duì)于拓寬思路，開闊視野很有指導(dǎo)意義此題若用相等方法解決是十分繁雜的，甚至無技可施若用求導(dǎo)數(shù)的方法解決就

21、迎刃而解因此用導(dǎo)數(shù)法解決有關(guān)單調(diào)性和最值問題是很重要的數(shù)學(xué)方法切不可忘記供水站建在何處使水管費(fèi)最少例 有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最?。糠治觯焊鶕?jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當(dāng)選定變?cè)?，?gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過求導(dǎo)的方法或其他方法求出函數(shù)的最小值，可確定點(diǎn)C的位置解：解法一：根據(jù)題意知，只有點(diǎn)C在線段

22、AD上某一適當(dāng)位置，才能使總運(yùn)費(fèi)最省，設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)x km，則又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，依題意有令，解得在（0，50）上，y只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問題的意義，函數(shù)在（km）處取得最小值，此時(shí)（km）供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費(fèi)用最省解法二：設(shè)，則設(shè)總的水管費(fèi)用為，依題意，有 令，得根據(jù)問題的實(shí)際意義，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)（km），即供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費(fèi)用最省說明：解決實(shí)際應(yīng)用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題，再劃歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法

23、求解對(duì)于這類問題，學(xué)生往往忽視了數(shù)學(xué)語(yǔ)言和普通語(yǔ)言的理解與轉(zhuǎn)換，從而造成了解決應(yīng)用問題的最大思維障礙運(yùn)算不過關(guān)，得不到正確的答案，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法不理解或理解不透徹，則找不到正確的解題思路，在此正需要我們依據(jù)問題本身提供的信息，利用所謂的動(dòng)態(tài)思維，去尋求有利于問題解決的變換途徑和方法，并從中進(jìn)行一番選擇利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值 例 求下列函數(shù)的最值： 1； 2； 3 4分析：函數(shù)在給定區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)，必有最大值和最小值，因此，在求閉區(qū)間上函數(shù)的最值時(shí)，只需求出函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極值，然后與端點(diǎn)處函數(shù)值進(jìn)行比較即可解：1，令，得，又2，令，得，又3令，即，解得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值，也是最小值

24、為即4函數(shù)定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，令，解得，又，說明：對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果在相應(yīng)開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，求上最值可簡(jiǎn)化過程，即直接將極值點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值比較，即可判定最大（或最?。┑暮瘮?shù)值，就是最大（或最?。┲到鉀Q這類問題，運(yùn)算欠準(zhǔn)確是普遍存在的一個(gè)突出問題，反映出運(yùn)算能力上的差距運(yùn)算的準(zhǔn)確要依靠運(yùn)算方法的合理與簡(jiǎn)捷，需要有效的檢驗(yàn)手段，只有全方位的“綜合治理”才能在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上形成運(yùn)算能力，解決運(yùn)算不準(zhǔn)確的弊病求兩變量乘積的最大值例 已知為正實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式，求的最大值分析：題中有兩個(gè)變量x和y，首先應(yīng)選擇一個(gè)主要變量，將表示為某一變量（x或y或其它變量）的函數(shù)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，同時(shí)根據(jù)題設(shè)條件

25、確定變量的取值范圍，再利用導(dǎo)數(shù)（或均值不等式等）求函數(shù)的最大值解：解法一：，由解得設(shè)當(dāng)時(shí)， 令，得或（舍），又，函數(shù)的最大值為即的最大值為解法二：由得，設(shè)，設(shè)，則 令，得或，此時(shí)即當(dāng)時(shí)，說明：進(jìn)行一題多解訓(xùn)練，是一種打開思路，激發(fā)思維，鞏固基礎(chǔ)，溝通聯(lián)系的重要途徑，但要明確解決問題的策略、指向和思考方法，需要抓住問題的本質(zhì)，領(lǐng)悟真諦，巧施轉(zhuǎn)化，方可快捷地與熟悉的問題接軌，在實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的過程中，關(guān)鍵是要注意變量的取值范圍必須滿足題設(shè)條件，以免解題陷于困境，功虧一簣直接利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1； 23； 4分析：仔細(xì)觀察和分析各函數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律，緊扣求導(dǎo)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)

26、公式，不具備求導(dǎo)法則條件的可適當(dāng)進(jìn)行恒等變形，步步為營(yíng)，使解決問題水到渠成解：1 2 3解法一： 解法二：， 4解法一： 解法二：， 說明：理解和掌握求導(dǎo)法則和公式的結(jié)構(gòu)規(guī)律是靈活進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算的前提條件，運(yùn)算過程出現(xiàn)失誤，原因是不能正確理解求導(dǎo)法則，特別是商的求導(dǎo)法同求導(dǎo)過程中符號(hào)判斷不清，也是導(dǎo)致錯(cuò)誤的因素從本題可以看出，深刻理解和掌握導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，再結(jié)合給定函數(shù)本身的特點(diǎn)，才能準(zhǔn)確有效地進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，才能充分調(diào)動(dòng)思維的積極性，在解決新問題時(shí)舉一反三，觸類旁通，得心應(yīng)手化簡(jiǎn)函數(shù)解析式在求解例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1；2；3；4分析：對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)，如果直接套用求導(dǎo)法則，會(huì)使問題求解過程繁瑣冗

27、長(zhǎng)，且易出錯(cuò)可先對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行合理的恒等變換，轉(zhuǎn)化為易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式再求導(dǎo)數(shù)解：1，2 34，說明：對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)的基本原則求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先必須注意變換的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤根據(jù)點(diǎn)和切線確定拋物線的系數(shù)例 已知拋物線通過點(diǎn)，且在點(diǎn)處與直線相切，求實(shí)數(shù)a、b、c的值分析：解決問題，關(guān)鍵在于理解題意，轉(zhuǎn)化、溝通條件與結(jié)論，將二者統(tǒng)一起來題中涉及三個(gè)未知參數(shù)，題設(shè)中有三個(gè)獨(dú)立的條件，因此，通過解方程組來確定參數(shù)a、b、c的值是可行的途徑解：曲線過點(diǎn)，又曲線過點(diǎn)，聯(lián)立解、得說明：利用導(dǎo)數(shù)求切線斜

28、率是行之有效的方法，它適用于任何可導(dǎo)函數(shù)，解題時(shí)要充分運(yùn)用這一條件，才能使問題迎刃而解解答本題常見的失誤是不注意運(yùn)用點(diǎn)在曲線上這一關(guān)鍵的隱含條件利用導(dǎo)數(shù)求和例 利用導(dǎo)數(shù)求和12分析：?jiǎn)栴}分別可通過錯(cuò)位相減的方法及構(gòu)造二項(xiàng)式定理的方法來解決轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式，可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù)，因此可轉(zhuǎn)化求和，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可使問題解法更加簡(jiǎn)潔明快解：1當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得，即2兩邊都是關(guān)于x的可導(dǎo)函數(shù)，求導(dǎo)得，令，得，即說明：通過對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行聯(lián)想，合理運(yùn)用了逆向思維的方法，從而激發(fā)了思維的靈活性，使數(shù)列的求和問題獲得解決，其關(guān)鍵是抓住了數(shù)列通項(xiàng)的形式結(jié)構(gòu)學(xué)生易犯的錯(cuò)誤

29、是受思維定式的影響不善于聯(lián)想導(dǎo)數(shù)定義的利用例 若，則等于（ ） A B C D以上都不是分析：本題考查的是對(duì)導(dǎo)數(shù)定義的理解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接求解即可解：由于 ，應(yīng)選A求曲線方程的斜率和方程例 已知曲線上一點(diǎn)，用斜率定義求：（1）點(diǎn)A的切線的斜率（2）點(diǎn)A處的切線方程分析：求曲線在A處的斜率，即求解：（1）（2）切線方程為即說明：上述求導(dǎo)方法也是用定義求運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)刻處的瞬時(shí)速度的步驟判斷分段函數(shù)的在段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)例 已知函數(shù)，判斷在處是否可導(dǎo)？分析：對(duì)分段函數(shù)在“分界點(diǎn)”處的導(dǎo)數(shù)問題，要根據(jù)定義來判斷是否可導(dǎo)解：在處不可導(dǎo)說明：函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，是指一個(gè)極限值，即，當(dāng)；包括；，判定分段函數(shù)在“

30、分界處”的導(dǎo)數(shù)是否存在時(shí)，要驗(yàn)證其左、右極限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定這點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)，否則不存在導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)定義的求解 例 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，試求下列各極限的值1；23若，則等于（ ）A1 B2 C1 D分析：在導(dǎo)數(shù)的定義中，增量的形式是多種多樣的，但不論選擇哪種形式，也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式利用函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式班等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式解：1原式 2原式 3（含），故選A說明：概念是分析解決問題的重要依據(jù)，只有熟練掌握概念的本質(zhì)屬性，把握其內(nèi)涵與外延，才能靈活地應(yīng)用概念進(jìn)行解題，不能準(zhǔn)確分析和把握給定的極限式與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，盲目套用導(dǎo)數(shù)的定義是使思維受

31、阻的主要原因解決這類問題的關(guān)鍵就是等價(jià)變形，使問題轉(zhuǎn)化利用定義求導(dǎo)數(shù)例 1求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)； 2求函數(shù)（a、b為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，確定函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)有兩種方法，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義法和導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法解：1解法一（導(dǎo)數(shù)定義法）：，解法二（導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法）：，2 說明：求導(dǎo)其本質(zhì)是求極限，在求極限的過程中，力求使所求極限的結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為已知極限的形式，即導(dǎo)數(shù)的定義，這是能夠順利求導(dǎo)的關(guān)鍵，因此必須深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念證明函數(shù)的在一點(diǎn)處連續(xù)例 證明：若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)分析：從已知和要證明的問題中去尋求轉(zhuǎn)化的方法和策略，要證明在點(diǎn)處連續(xù)，必須證明

32、由于函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，因此，根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的定義，逐步實(shí)現(xiàn)兩個(gè)轉(zhuǎn)化，一個(gè)是趨向的轉(zhuǎn)化，另一個(gè)是形式（變?yōu)閷?dǎo)數(shù)定義形式）的轉(zhuǎn)化解：證法一：設(shè)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)證法二：函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，在點(diǎn)處有函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)說明：對(duì)于同一個(gè)問題，可以從不同角度去表述，關(guān)鍵是要透過現(xiàn)象看清問題的本質(zhì)，正確運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想來解決問題函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，有極限以及導(dǎo)數(shù)存在這三者之間的關(guān)系是：導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)有極限反之則不一定成立證題過程中不能合理實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，而直接理解為是使論證推理出現(xiàn)失誤的障礙求指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1；2；3； 4分析：對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)，除了利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式之外，還需要考

33、慮應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來進(jìn)行求導(dǎo)過程中，可以先適當(dāng)進(jìn)行變形化簡(jiǎn)，將對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)位置轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的形式后再求導(dǎo)數(shù)解：1解法一：可看成復(fù)合而成解法二： 解法三：，2解法一：設(shè)，則解法二： 3解法一：設(shè)，則解法二： 4 說明：深刻理解，掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)規(guī)律，是解決問題的關(guān)鍵，解答本題所使用的知識(shí)，方法都是最基本的，但解法的構(gòu)思是靈魂，有了它才能運(yùn)用知識(shí)為解題服務(wù)，在求導(dǎo)過程中，學(xué)生易犯漏掉符合或混淆系數(shù)的錯(cuò)誤，使解題走入困境解題時(shí)，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸，才能抓住問題的本質(zhì)，把解題思路放開變形函數(shù)解析式求導(dǎo)例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）；（3

34、）； （4）分析：先將函數(shù)適當(dāng)變形，化為更易于求導(dǎo)的形式，可減少計(jì)算量解：（1）（2），（3） （4）當(dāng)時(shí)不存在說明：求（其中為多項(xiàng)式）的導(dǎo)數(shù)時(shí)，若的次數(shù)不小于的次數(shù)，則由多項(xiàng)式除法可知，存在，使從而，這里均為多項(xiàng)式，且的次數(shù)小于的次數(shù)再求導(dǎo)可減少計(jì)算量對(duì)函數(shù)變形要注意定義域如，則定義域變?yōu)?，所以雖然的導(dǎo)數(shù)與的導(dǎo)數(shù)結(jié)果相同，但我們還是應(yīng)避免這種解法函數(shù)求導(dǎo)法則的綜合運(yùn)用例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1；2；3；4分析：式中所給函數(shù)是幾個(gè)因式積、商、冪、開方的關(guān)系對(duì)于這種結(jié)構(gòu)形式的函數(shù)，可通過兩邊取對(duì)數(shù)后再求導(dǎo)，就可以使問題簡(jiǎn)單化或使無法求導(dǎo)的問題得以解決但必須注意取尋數(shù)時(shí)需要滿足的條件是真數(shù)為正實(shí)數(shù)，否則將會(huì)出現(xiàn)運(yùn)算失誤解：1取y的絕對(duì)值，得，兩邊取尋數(shù)，得根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，兩端對(duì)x求導(dǎo)，得，2注意到，兩端取對(duì)數(shù)，得 3兩端取對(duì)數(shù)，得，兩端對(duì)x求導(dǎo)，得4兩端取對(duì)數(shù)，得，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得說明：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則實(shí)質(zhì)上是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的應(yīng)用從多角度分析和探索解