三垂線法求二面角專題

1、文檔編制序號(hào)：KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688（精 品） 三垂線法求二面角專題1、（本小題滿分13分）如圖，已知DA，平面ABE,為2的正方形，在4ABE中，AE=1, BE=指。（I ）證明：平面ADE_L平面BCE；（II ）求二面角BACE的大??；解：（I ） DA_L 平面 ABE, A DA ±BE四邊形ABCD是邊長ABE 中，AE=1 BE=G AB二2ABE±EABE 1平面A" 8石u平面BCE=平面ADE_L平面BCE（注：此題也可證明AEL面BCE, AEu面ADE,從而平面ADE_L平面BCE)（II ）

2、過點(diǎn)E作EF_LAB與FDA_L平面ABE,平面ABCD_L平面ABE，EF，平面ABCD過F作FG±AC與G,連EG,則EG±AC（三垂線定 理）/. ZEGF為二面角BACE的平面角。F f 在 RtAEFG 中 tan ZEGF = =ZEGF = arc tan J6GF（注：此題答案還可寫成arcsin區(qū)或者是寫成arccos且） 772、（本小題滿分12分）如圖，A8C。為直角梯形，ADAB=ZABC=90a , AB=BC=f AD=2f PA_L平面A8CO, 24=1。、求點(diǎn)。到8的距離；（2）、求證：平面PAC_L平面PC。；(3)、求平面248與平面尸

3、8所成二面角的大小。解：取AO的中點(diǎn)尸，連結(jié)b。易證四邊形A8b是正方形，/. CF = A3 = 1 又丁 AD=2：.CF = -AD = , :. CF = AF = FD 2/. ZACD = 90BE|J AC±CDPA _L 平面 ABC。, PC VCDP到CO的距離為PC,PC = V3(2)證明：V AC .LCD f尸 C_LC£) 且 ACc 尸 C=C,，CO _L平面 PAC又丁 CO u平面尸8，平面pAC_L平面尸CO解：延長。C交A8的延長線于G,連結(jié)PG。，平面PA8c平面PCD=PG,易證D4_L平面PA8過A作A”_LPG,垂足為“，連

4、結(jié)。H,得到Z4"。為所求二面角的平面角AH = -4s, tan ZA/7£>= = <55AH：.ZAHD = arctan，平面PA8與平面PCD所成二面角為airtan、月（注：此題答案還可寫成arcsin叵或者是寫成arccos包，并且也可用射影 66面積法求解）3、（12分）如圖：已知四棱錐尸-48C。中，底面四邊形為正方形，側(cè) 面PDC為正三角形，且平面PDC_L底面板D, E為PC中點(diǎn)。（1）求證：平面ED反L平面P反;（2）求二面角8-OE-C的平面角的正切值?！窘馕觥浚?）要證兩個(gè)平面互相垂直，常規(guī)的想法是：證明其中一 個(gè)平面過另一個(gè)平面的一

5、條垂線。首先觀察圖中已有的直線，不難發(fā)現(xiàn)，由于側(cè)面PDC為正三角形， 所以，DE工PC,那么我們自然想到：是否有面尸8c這樣的想法一 經(jīng)產(chǎn)生，證明它并不是一件困難的事情。面PDC_L底面值D,交線為DC, DE在平面月反D內(nèi)的射影就是DC。在正方形月反D中，DC±C5, . DE±C5o又 PCcBC = C, PC、BCu 面PBC, DEJP吟又DEu面ED8 平面ED反L平面P及。（2）由（1）的證明可知：DEL面P8C。所以，N8EC就是二面角 3 OE C的平面角。 面PDC_L底面極D,交線為DC,又平面ASCD內(nèi)的直線C6_L DCo/. C反L面 PDC。又

6、 PCu 面 PDC, . C5±PCo在 RtAECB 中,CE4、（12分）一副三角板拼成一個(gè)四邊形月662如圖，然后將它沿 折成直二面角.(i)求證：平面月區(qū)ll平面力a?； (2)求二面角z一被一。的大小.解析：(1)證明：取8。中點(diǎn)區(qū)連結(jié)AE, '： AB-AC, ：.AEVBC 平面平面BCD, 4£_1平面BCD, ：BCLCD,由三垂線定理知力反L3又月反LNG46J_平面 ： A6u平面力區(qū)Z，平面 板_L平面ACD.(2)解：Z£_L面比。過£作用_1劭于G,連結(jié)月G,由三垂線定理知4G_L6， NNG£為二面角力一切一。的平面角&