微積分基礎(chǔ)(國(guó)家開(kāi)放大學(xué))---第2章---第1節(jié)---導(dǎo)數(shù)的概念

1、第第 2 章章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)公式與求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù)公式與求導(dǎo)法則高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)引入導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)例引入導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)例1234導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義微分的定義微分的定義函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系5微積分學(xué)的創(chuàng)始人微積分學(xué)的創(chuàng)始人: 德國(guó)數(shù)學(xué)家德國(guó)數(shù)學(xué)家 Leibniz 微分學(xué)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢描述函數(shù)變化快慢微分微分描述函數(shù)變化程度描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具 (從微觀上研究函數(shù)從微觀上研究函數(shù))導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó)導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家 Ferma 在研究在研究極值問(wèn)題中提出極值問(wèn)

2、題中提出.英國(guó)數(shù)學(xué)家英國(guó)數(shù)學(xué)家 Newton變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度曲線在某點(diǎn)處的變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度曲線在某點(diǎn)處的切線斜率切線斜率在古代就引起了數(shù)學(xué)家們的興趣。在古代就引起了數(shù)學(xué)家們的興趣。早在早在1717世紀(jì)前期，意大利物理學(xué)家世紀(jì)前期，意大利物理學(xué)家伽利略伽利略就對(duì)自由就對(duì)自由落體中的瞬時(shí)速度進(jìn)行了研究落體中的瞬時(shí)速度進(jìn)行了研究1717世紀(jì)后，世紀(jì)后，牛頓牛頓在研究天體運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)系統(tǒng)地在研究天體運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)系統(tǒng)地解決了變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題。解決了變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)概念的產(chǎn)生源于求導(dǎo)數(shù)概念的產(chǎn)生源于求:1 1變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度 設(shè)一物體作變速

3、直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)一物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，s s表示物體從某個(gè)時(shí)表示物體從某個(gè)時(shí)刻開(kāi)始到時(shí)刻刻開(kāi)始到時(shí)刻t t作直線運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程作直線運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程s s，則，則s s是是時(shí)間的函數(shù)，現(xiàn)在我們求物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度。時(shí)間的函數(shù)，現(xiàn)在我們求物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度。 假設(shè)物體在時(shí)刻假設(shè)物體在時(shí)刻 0t的位置為的位置為 0,s t 00tsttss在在 0tt 時(shí)刻的位置時(shí)刻的位置 0,s tt 于是在于是在 0t到到 0tt 這段時(shí)間內(nèi)這段時(shí)間內(nèi), ,物體走過(guò)的路物體走過(guò)的路程為程為 平均速度平均速度 ttsttstsv00令令0,t 如果這個(gè)極限存在，就定義為物體在如果這個(gè)極限存在，就定義為物體在

4、時(shí)刻時(shí)刻 0t的瞬時(shí)的瞬時(shí)速度，速度，即即 ttsttsvtvtt)()(limlim000002 2切線問(wèn)題切線問(wèn)題1717世紀(jì)前期，人們就對(duì)帶有特殊性質(zhì)的曲線的切線進(jìn)世紀(jì)前期，人們就對(duì)帶有特殊性質(zhì)的曲線的切線進(jìn)行了研究，如行了研究，如古希臘數(shù)學(xué)家古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德阿基米德（Archimedes）對(duì)螺旋切線的研究。對(duì)螺旋切線的研究。到到1717世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲萊布尼茲在前人的研究基礎(chǔ)上在前人的研究基礎(chǔ)上系統(tǒng)的研究了曲線切線的斜率問(wèn)題。系統(tǒng)的研究了曲線切線的斜率問(wèn)題。如圖所示，設(shè)點(diǎn)如圖所示，設(shè)點(diǎn) )(,(000 xfxM上一定點(diǎn)，上一定點(diǎn)， 為曲線為曲線 )(xfy 取取

5、 )(,(xfxM為曲線上為曲線上 0M附近的一動(dòng)點(diǎn)，作割線附近的一動(dòng)點(diǎn)，作割線 MM0T Ty=f(x)x x 0 x0 0 xy y0MM 00tanxxxfxf設(shè)其傾角為設(shè)其傾角為 , 則割線則割線 MM0的斜率為的斜率為 T Ty=f(x)x x 0 x0 0 xy y0MM時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 0 xx 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) M將沿曲線趨于定點(diǎn)將沿曲線趨于定點(diǎn) 0,M從而割線從而割線 也隨之變動(dòng)而趨向于極限位置也隨之變動(dòng)而趨向于極限位置 直線直線 0.M T稱此稱此直線為直線為曲線在定曲線在定 點(diǎn)點(diǎn) 處的切線。處的切線。 0M割線的極限位置切線位置播放播放割線割線 的斜率的極限：的斜率的極限：MM0 0

6、00limxxxfxfkxx則稱則稱K K為切線為切線 的斜率。的斜率。0.M Ttan ,k 其中其中 是切線是切線 0M T的的傾角傾角。 于是曲線于是曲線 )(xfy 在在 ),(000yxM處的切線方程為處的切線方程為)()(00 xxkxfy00()(),yf xxf x 0000()()limlimxxf xxf xykxx 0=xxx 如果令如果令 是自變量增量，則函數(shù)增量為是自變量增量，則函數(shù)增量為這時(shí)這時(shí)即：切線的斜率是函數(shù)增量與自變量增量之比的極限即：切線的斜率是函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 . .兩個(gè)問(wèn)題的共性兩個(gè)問(wèn)題的共性: :瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度 0ttv lim切線斜

7、率切線斜率 lim0 xxk所求量為所求量為函數(shù)增量與自變量增量函數(shù)增量與自變量增量之比的極限之比的極限 . .)()(0tftf0tt )()(0 xfxf0 xx 類似問(wèn)題還有類似問(wèn)題還有: :加速度：加速度：角速度：角速度：線密度：線密度：電流強(qiáng)度：電流強(qiáng)度：速度增量速度增量與與時(shí)間增量時(shí)間增量之比的極限之比的極限轉(zhuǎn)角增量轉(zhuǎn)角增量與與時(shí)間增量時(shí)間增量之比的極限之比的極限質(zhì)量增量質(zhì)量增量與與長(zhǎng)度增量長(zhǎng)度增量之比的極限之比的極限電量增量電量增量與與時(shí)間增量時(shí)間增量之比的極限之比的極限變化率問(wèn)題變化率問(wèn)題設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 的鄰域的鄰域 0U()x內(nèi)有定義，內(nèi)有定義， 當(dāng)自變量當(dāng)自變量x在在0

8、0()xxU x 0 x時(shí)時(shí), ,有函數(shù)增量有函數(shù)增量 如果如果00()(),yf xxf x 0000()()limlimxxf xxf xyxx )(xfy 存在，則稱函數(shù)存在，則稱函數(shù) 在在 0 x)(xfy 處可導(dǎo)處可導(dǎo), ,記作記作0()fx000( )|,x xx xx xdydf xydxdx或0 x0 x 處有增量處有增量 且且 并稱這個(gè)極限值為并稱這個(gè)極限值為在在 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù), , 函數(shù)函數(shù))(xfy 0 x定義定義2.1 1 1）若）若 0lim,xyx 處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 則說(shuō)函數(shù)則說(shuō)函數(shù)0 x3 3）導(dǎo)數(shù)定義的幾種等價(jià)形式。）導(dǎo)數(shù)定義的幾種等價(jià)形式。 xxfxx

9、fxfx)()(lim)(0000 xxfxxfxfx)()(lim)(0000hxfhxfxfh)()(lim)( 0000在在 x 2 2）)( 0 xf在在 就是函數(shù)就是函數(shù))(xfy 0 x處的變化率。處的變化率。)(xfy 0 x處隨自變量處隨自變量它反映了函數(shù)它反映了函數(shù)的變化快慢程度。的變化快慢程度。 為了加深對(duì)導(dǎo)數(shù)定義的理解，觀察下面極限：為了加深對(duì)導(dǎo)數(shù)定義的理解，觀察下面極限： 存在，求存在，求)( 0 xf已知已知 hxfhxfh)()3(lim000hxfhxfh)()3(lim000hxfhxfh3)()3(lim) 3(000)( 30 xf例例1解解000)()(l

10、im)( 0 xxxfxfxfxxxfxffx)0()(lim)0( 0 已知已知 3) 1 ( f存在，求存在，求 xfxfx2) 1 ()1 (lim0 已知已知 存在，求存在，求)( 0 xfhhxfhxfh2)()(lim000 由導(dǎo)數(shù)的意義可知由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是的基本方法是:);()()1(00 xfxxfy 求求函函數(shù)數(shù)的的增增量量;)()()2(00 xxfxxfxy 求求平平均均變變化化率率.lim)()3(00 xyxfx 取取極極限限，得得導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)注意注意:這里的增量不是一般意義上的增量這里的增量不是一般意義上

11、的增量,它可正也可負(fù)它可正也可負(fù). 自變量的增量自變量的增量x的形式是多樣的的形式是多樣的,但不論但不論x選擇選擇 哪種形式哪種形式, y也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式.一差、二比、三極限一差、二比、三極限例例1:(1)求函數(shù)求函數(shù)y=x2在在x=1處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù); (2)求函數(shù)求函數(shù)y=x+1/x在在x=2處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).,)(21)1 () 1 (222xxxy 解解：,2)(22xxxxxy . 2|, 2)2(limlim100 xxxyxxy,)2( 2)212(21)2() 2(xxxxxy ,)2( 211)2( 2xxxxxxy .43|,43411)

12、2( 211 limlim200 xxxyxxy.,21| ,:2000的的值值求求且且處處附附近近有有定定義義在在已已知知函函數(shù)數(shù)例例xyxxxyxx ,:00 xxxy 解解.1)()(0000000000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxy ,211limlim00000 xxxxxyxx . 1,2121,21| 000 xxyxx得得由由.yxy已知，求1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 練習(xí)練習(xí):xyxxxxxxDD=+ D-=+ D+解：小結(jié)： 1 1求物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度：求物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度：（1 1）求位移增量）求位移增量s=s(t+t)-s(t)s

13、=s(t+t)-s(t) (2) (2)求平均速度求平均速度（3 3）求極限）求極限;svt00()( ).limlimxxss tts ttt 2由導(dǎo)數(shù)的定義可得求導(dǎo)數(shù)的一般步驟：由導(dǎo)數(shù)的定義可得求導(dǎo)數(shù)的一般步驟：（1）求函數(shù)的增量）求函數(shù)的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2) 求平均變化率求平均變化率（3）求極限）求極限yx00()limxyfxx hxfhxfh)()(lim000和和 hxfhxfh)()(lim000分別被稱為函數(shù)分別被稱為函數(shù) 在在 0 x點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，即即 hxfhxfxfh)()(lim)(0000hxfhxfxfh)()(lim

14、)(0000)(xfy )(0 xf和和 )(0 xf記作記作 )( 0 xf存在的充分必要條件是存在的充分必要條件是 )(0 xf和和 )(0 xf都存在并且都存在并且相等。相等。 討論討論 xxf)(在分段點(diǎn)在分段點(diǎn) 0 x處的可導(dǎo)性。處的可導(dǎo)性。 時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng) 0 x0)0(f，由左、右導(dǎo)數(shù)定義，由左、右導(dǎo)數(shù)定義 ) 0(/fxfxfx)0()(lim010lim0 xxx)0(/f10lim0 xxx)0(/f)0(/f，故函數(shù)在點(diǎn)，故函數(shù)在點(diǎn) 0 x不可導(dǎo)。不可導(dǎo)。 左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。例例3 3解解 定理若函數(shù)若函數(shù) )(xfy 在區(qū)間在區(qū)

15、間 ),(ba內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，)(xfy 在在 ),(ba內(nèi)可導(dǎo)。內(nèi)可導(dǎo)。,( ),dyyfxdx( )df xdx或或 記作記作 )(xfy 在在 ),(ba內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且 )(af和和 )(bf都都存在，存在， 則稱則稱 )(xfy 在在 ,ba上可導(dǎo)。上可導(dǎo)。若若則稱則稱 當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù) )(xf 在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間I I內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,這時(shí)，這時(shí)， Ix都有一個(gè)都有一個(gè)確定的導(dǎo)確定的導(dǎo)數(shù)值數(shù)值 )( xf與之對(duì)應(yīng)，這樣就產(chǎn)生了在區(qū)間與之對(duì)應(yīng)，這樣就產(chǎn)生了在區(qū)間)( xf稱這個(gè)函數(shù)為稱這個(gè)函數(shù)為 )(xf（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)）（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)）上定義的函數(shù)上定義的函數(shù) 的的導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函

16、數(shù),區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)其表達(dá)式為其表達(dá)式為00y()( )( )limlimxxf xxf xfxxx 顯然，顯然， )( 0 xf就是導(dǎo)函數(shù)就是導(dǎo)函數(shù) )( xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x處的函數(shù)值，即處的函數(shù)值，即0| )( )( 0 xxxfxf按導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)舉例。按導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)舉例。 求函數(shù)求函數(shù) CCxf()(為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。 0lim)()(lim)( 00hCChxfhxfxfhh即即 0)(C 求函數(shù)求函數(shù) 3)(xxf的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。 xxxxxxfxxfxfxx3300)(lim)()(lim)( 22203)()(limxxxxxxxx即即 2

17、33)(xx例例4解解例例5解解請(qǐng)驗(yàn)證以下常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)請(qǐng)驗(yàn)證以下常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 21)1(xx1)1(nnxnx練習(xí)：練習(xí)： ?)1(4x?)1(100 x xx21)( nnmnmxnmx)(練習(xí)練習(xí)： ?)(23x?)(99100 x一般地，對(duì)于冪函數(shù)一般地，對(duì)于冪函數(shù) (xy 為常數(shù)），有為常數(shù)），有 1)(xx求函數(shù)求函數(shù) 353xxxy 的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。 化簡(jiǎn)得：化簡(jiǎn)得： 65353xxxxy6616516565)(xxxy求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)51xy 100 xy 324xxy 53xxxy 例例6解解求函數(shù)求函數(shù) xxfsin)(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)hxhxhxfhxfxf

18、hhsin)sin(lim)()(lim)( 002sin)2cos(21lim0hhxhh,cos22sin)2cos(lim0 xhhhxh即即 xxcos)(sin類似可得類似可得 xxsin)(cos例例8解解求函數(shù)求函數(shù) ) 1, 0()(aaaxfx的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。 haahxfhxfxfxhxhh00lim)()(lim)( haahhx1lim0aaxln即即 aaaxxln)(特殊地，特殊地， xxee)(例例9解解 ?)(sin4xx ?)(cos4xx ?)(0 xxe ?)4(sin0 x由導(dǎo)數(shù)的定義可知：函數(shù)由導(dǎo)數(shù)的定義可知：函數(shù) )(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)

19、數(shù) )( 0 xf在幾在幾何上表示曲線何上表示曲線 )(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) )(,(00 xfxM處的切線的斜率處的切線的斜率axftan)( 0其中其中a是切線的傾角。是切線的傾角。oxy)(xfy T0 xM即即)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) )(,(00 xfxM處的切線方程為處的切線方程為 )(000 xxxfyy過(guò)曲線過(guò)曲線 )(xfy 上的點(diǎn)上的點(diǎn) ),(00yxM而與切線垂直的直線稱為而與切線垂直的直線稱為曲線在該點(diǎn)的法線。曲線在該點(diǎn)的法線。 )(xf在點(diǎn)在點(diǎn) ),(00yxM處的法線方程為處的法線方程為)()(1000 xxxfyy求拋物線求拋物線 342xxy在點(diǎn)在點(diǎn) 處的切線方程處的切

20、線方程3 , 0和法線方程。和法線方程。 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，所求切線的斜率為根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，所求切線的斜率為 0| xyk由于由于 42xy，于是，于是 4k從而所求切線的斜率為從而所求切線的斜率為 043xy即即 即即 34 xy于是所求法線方程為于是所求法線方程為 0413xy341xy例例9解解曲線曲線 3xy 在哪一點(diǎn)處的切線與直線在哪一點(diǎn)處的切線與直線 131xy平行平行 ?寫(xiě)出其切線方程。寫(xiě)出其切線方程。)(3xy32131x解得：解得： ,1x 相應(yīng)相應(yīng) 1y則在點(diǎn)則在點(diǎn)(1,1) , (1,1) 處與直線處與直線 131xy平行的切線方程分別為平行的切線方程分別為

21、) 1(311xy) 1(311xy即即 023 yx和和例例10解解 求等邊雙曲線求等邊雙曲線 xy1在點(diǎn)在點(diǎn) 2 ,21處的切線的斜率，處的切線的斜率，并寫(xiě)出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程。并寫(xiě)出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程。 求曲線求曲線 23xy 的通過(guò)點(diǎn)的通過(guò)點(diǎn) )4, 0( 的切線方程。的切線方程。 若函數(shù)若函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可導(dǎo)，則必在點(diǎn)處可導(dǎo)，則必在點(diǎn) 處連續(xù)。處連續(xù)。 0 x 由已知由已知 )(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，即即 000)()(lim)( 0 xxxfxfxfxx存在存在00)()(xxxfxf)()( 0 xxf其中其中 0lim( )0,xxx 因此因

22、此 即即 )()(lim00 xfxfxx)(xfy 故函數(shù)故函數(shù) 0 x)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 處連續(xù)。處連續(xù)。 )()( )()(000 xxxxxfxfxf0 x從而從而 定理2.1證證可導(dǎo)可導(dǎo)連續(xù)連續(xù)不連續(xù)不連續(xù)不可導(dǎo)不可導(dǎo)可導(dǎo)可導(dǎo)連續(xù)連續(xù)不一定不一定2 2）函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)是指在該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值有限）函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)是指在該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值有限, ,導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大和導(dǎo)數(shù)不存在都稱為不可導(dǎo)，但函導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大和導(dǎo)數(shù)不存在都稱為不可導(dǎo)，但函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大時(shí)，該點(diǎn)處的切線是數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大時(shí)，該點(diǎn)處的切線是存在的。存在的。 1）例如，函數(shù)例如，函數(shù) 3)(xxf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x處連續(xù)但不

23、可導(dǎo)。處連續(xù)但不可導(dǎo)。 3/203001lim0lim)0()0(limhhhhfhfhhh即導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大，在圖形中表現(xiàn)為曲線即導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大，在圖形中表現(xiàn)為曲線 3)(xxf在原點(diǎn)在原點(diǎn) O具有垂直于具有垂直于 x軸的切線軸的切線 0.x 3 3）判斷函數(shù)在特殊點(diǎn)的連續(xù)性與可導(dǎo)性，主要用定義）判斷函數(shù)在特殊點(diǎn)的連續(xù)性與可導(dǎo)性，主要用定義及定義推導(dǎo)出的充要條件：及定義推導(dǎo)出的充要條件： .)(0處連續(xù)在xxf)()(lim00 xfxfxx )0(0 xf)0(0 xf)(0 xf處可導(dǎo)在0)(xxf010( )()limxf xf xxx 存存在在)(0 xf0()fx 存存在在討論討論 00

24、01sin)(fxxxxx在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x處的連續(xù)性與可導(dǎo)性處的連續(xù)性與可導(dǎo)性. . (1) (1) 連續(xù)性：連續(xù)性： f(0)0 ，)(lim0 xfx01lim sin0 xxx ，(2) (2) 可導(dǎo)性：可導(dǎo)性： xxxxfxffxx1sinlim)0()(lim)0(00 xx1sinlim0不存在不存在, , 所以所以不可導(dǎo)不可導(dǎo). ) ( x f0 x例例11解解0 x ( )f x 在在 連續(xù)連續(xù) 討論函數(shù)討論函數(shù) 0,0,)(2xxxxxf在在 0 x處的連續(xù)性和可導(dǎo)性處的連續(xù)性和可導(dǎo)性 討論討論 0001sin)(f2xxxxx處的連續(xù)性和可導(dǎo)性處的連續(xù)性和可導(dǎo)性 在在 0

25、x1 1. . 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì): : 增量比的極限增量比的極限; ;.)()(lim)(0000hxfhxfxfh .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxxxxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000 xxfxxfyxxx )()(lim00002. 2. 導(dǎo)數(shù)的幾種等價(jià)形式導(dǎo)數(shù)的幾種等價(jià)形式4. 4. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義: : 切線的斜率切線的斜率; ;5. 5. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo); ;6. 6. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: : 由定義求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù). .7. 7. 判斷可導(dǎo)性判斷可導(dǎo)

26、性不連續(xù)不連續(xù), ,一定不可導(dǎo)一定不可導(dǎo). .連續(xù)連續(xù)直接用定義直接用定義; ;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等. .思考題思考題思考題解答思考題解答求求在在已知已知 1.1. ( )f x1x連續(xù)，且連續(xù)，且 1( )lim2,1xf xx ) 1 (f 解解 1111( )( )(1)lim( )lim(1)lim(1) lim011xxxxf xf xff xxxxx 1( )(1)(1)lim1xf xffx 1( )lim21xf xx 2. 2. 設(shè)設(shè) 0)1ln(0sin)(xbxxaxxf)(xfba,，問(wèn)當(dāng)，問(wèn)當(dāng) 為何值時(shí)，為何值時(shí)， 為可導(dǎo)函數(shù)？為可導(dǎo)函數(shù)？ 備用題備用題1 1填空題填空題)(xf0)0(f設(shè)設(shè)可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且，則，則_)()(lim000hhxfxfh_)()(lim000hhxfxfh_)(lim0ttft_)()(lim000hhxfhxfh(1)(2) (3) (4) 21, 11ff11lim221xxfx2 2設(shè)設(shè)，求，求- - ,1 xy,3xy ,322xxxyxxy233 3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). . )9()2)(1()(xxxxxf 0f4 4 ，則，則)(