期末考試復(fù)習(xí)題

1、例例4 設(shè)設(shè)X和和Y的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 f (x,y),求求Z=X+Y的密度的密度 解解: Z=X+Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)Ddxdyyxf),(這里積分區(qū)域這里積分區(qū)域D=(x, y): x+y z是直線(xiàn)是直線(xiàn)x+y =z 左下方的半平面左下方的半平面.（一）、連續(xù)型分布的情形一、隨機(jī)變量和一、隨機(jī)變量和的分布：的分布：Z = X + YZ = X + Y 化成累次積分化成累次積分,得得zyxZdxdyyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()( yzdxdyyxf),(dyyyzfzFzfZZ),()()(由由X和和Y的對(duì)稱(chēng)性

2、的對(duì)稱(chēng)性, fZ (z)又可寫(xiě)成又可寫(xiě)成 dxxzxfzFzfZZ),()()(以上兩式是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式以上兩式是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式. 特別，當(dāng)特別，當(dāng)X和和Y獨(dú)立，設(shè)獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于關(guān)于X,Y的邊緣密的邊緣密度分別為度分別為fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為則上述兩式化為: dyyfyzfzfYXZ)()()(這兩個(gè)公式稱(chēng)為這兩個(gè)公式稱(chēng)為卷積公式卷積公式 .dxxzfxfzfYXZ)()()(（二）、離散型分布的情形例例1 若若X、Y獨(dú)立，獨(dú)立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, , 求求Z

3、=X+Y的概率函數(shù)的概率函數(shù).解解: )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由獨(dú)立性由獨(dú)立性此即離散此即離散卷積公式卷積公式r=0,1,2, 離散卷積計(jì)算舉例 定義：設(shè)序列x(n),h(n),它們的卷積和y(n)定義為 運(yùn)算：翻褶、移位、相乘、相加 mmnhmxnhnxny)()()()()(mmnhmxnhnxnynnnhnnnnx)()()()()(, 020, 1)(, 031,21)(則其他其他01231/213/2nx(n)012n1h(n)01231/213/2mx(m)在亞變量坐標(biāo)m上作出x(m),h(m)0

4、12m1h(m)h(-m)1.翻褶翻褶：h(-m)2.移位移位：h(0-m)3.相乘相乘：1乘乘04.相加相加：y(0)=0+0+ +0 =02.移位移位：h(1-m)3.相乘相乘：1乘乘0；1乘乘1/24.相加相加：y(1)=0+1/2 =1/2h(1-m)h(2-m)2.移位移位：h(2-m)3.相乘相乘：1乘乘0；1乘乘1/2; 1乘乘14.相加相加：y(1)=0+1/2+1 =3/20m-2-1123mmnhmxnhnxny)()()()()(01231/213/2mx(m)23123)5(251012311021)4(312311121) 3(2311121)2(21121) 1 (

5、0)0(yyyyyy-1 0 1234 5y(n)n1/23/235/23/2Matlab離散信號(hào)的卷積 我們?cè)嚺e一例來(lái)看conv的功能，已知序列f1(k)和f2(k)如下所示： f1(k)=1,(0k2) f2(k)=k,(0k3) 則調(diào)用conv( )函數(shù)求上述兩序列的卷積和的MATLAB命令為： f1=ones(1,3); f2=0:3; f=conv(f1,f2) 運(yùn)行結(jié)果為：f0 13 6 5 3 考題類(lèi)型： 南方某海域的網(wǎng)箱養(yǎng)殖業(yè)者憑多年經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，甲品種一年齡鮑魚(yú)體重滿(mǎn)足下列的分布律：養(yǎng)成3頭及以下的概率為0，4頭概率為a4， 5頭概率為a5， 6頭概率為a6， 7頭概率為a7，

6、8頭概率為a8， 9頭概率為a9， 10頭概率為a10， 11頭概率為a11， 12頭概率為a12， 13頭概率為a13， 14頭概率為a14， 15頭及以上的概率為0。乙品種一年齡鮑魚(yú)體重滿(mǎn)足下列的分布律：養(yǎng)成4頭及以下的概率為0，5頭概率為b5， 6頭概率為b6， 7頭概率為b7， 8頭概率為b8， 9頭概率為b9， 10頭概率為b10， 11頭概率為b11， 12頭概率為b12， 13頭概率為b13， 14頭及以上的概率為0。試問(wèn)：（1）甲、乙品種各一只鮑魚(yú)體重之和的分布律； （2）隨機(jī)稱(chēng)取甲、乙品種各一斤鮑魚(yú)，總計(jì)恰好有20只的概率。二、周期信號(hào)的頻譜計(jì)算二、周期信號(hào)的頻譜計(jì)算 因?yàn)橹?/p>

7、期信號(hào)不滿(mǎn)足序列傅里葉變換絕對(duì)可和的條件，即不滿(mǎn)足：|( )|f t dt 因此，周期信號(hào)不能直接不能直接進(jìn)行傅里葉變換。 問(wèn)題：是不是周期信號(hào)就不存在傅里葉變換呢？ 回答：存在，但不能直接進(jìn)行傅里葉變換。（一）、正、余弦函數(shù)的傅里葉變換 在學(xué)習(xí)周期信號(hào)的傅里葉變換之前，先看個(gè)幾個(gè)重要函數(shù)的傅里葉變換。0cos()?Ft0sin()?Ft000000000000000012( )( )( ()2()2()cos() ()()2sin() ()()2jtjtjtjtjtjtjtFF ef tf jF eF eeeFtFeeFtFjj 解:單位直流信號(hào)的傅立葉變換根據(jù)頻移性質(zhì)有：根據(jù)歐拉公式()F

8、 j()X j0000余弦信號(hào)的頻譜圖正弦信號(hào)的頻譜圖一般步驟：1、 將周期信號(hào)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)的疊加；2、對(duì)展開(kāi)的傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行傅里葉變換；3、根據(jù)傅里葉變換的線(xiàn)性性質(zhì)，周期信號(hào) 的傅里葉變換就是其傅里葉級(jí)數(shù)的傅里 葉變換的疊加。（二）、常見(jiàn)周期信號(hào)的傅里葉變換0T1T2T2( )cos()2( )1( )012nnnjn tnnTjn tTnAftAn tftF eFft edtnT 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi) 三角形式： 指數(shù)形式： ， ， ，. 請(qǐng)問(wèn)：我們到底該展開(kāi)成哪種形式？1、周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)2()jntjntjntnnnnnnnnFF eF FeFF eFn 2、傅里葉級(jí)數(shù)

9、的傅里葉變換 根據(jù)傅里葉變換的線(xiàn)性性質(zhì)，周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)（指數(shù)形式）的傅里葉變換：3、周期信號(hào)的傅里葉變換 根據(jù)傅里葉變換的線(xiàn)性性質(zhì)，周期信號(hào)的傅 里葉變換就是其傅里葉級(jí)數(shù)的傅里葉變換的 疊加。T( )2()jn tnnnnF ftFF eFn 所以：最后的結(jié)論 周期信號(hào)的傅里葉變換由無(wú)窮多個(gè)沖激函數(shù)組成，這些沖激函數(shù)位于信號(hào)的各次諧波 處，其強(qiáng)度為對(duì)應(yīng)幅度 的 倍。 nF2n 22n22224.6-1111F( )2|sin()sin()2220, 1,2,2TTjn tjn tTTjn tf t edtedtTTeTjnnnnnTnTT例周期性矩形脈沖信號(hào)p (t),其周期為T(mén)，脈沖寬度

10、為 ，幅度為 ，試求其頻譜函數(shù)。2()sin()22()22T2sin()2()nnnnFFnnnnTnFnn TTp (t)又p (t) 二、 周期矩形脈沖的頻譜對(duì)稱(chēng)的周期性矩形脈沖12 2 0TT T2 tPTt小結(jié)2 ,2sin()2nnn 周期矩形脈沖信號(hào)的傅立葉變換由位于 =0,等處的沖激函數(shù)組成，其在處的強(qiáng)度為。 由上面的結(jié)論，可以得到周期信號(hào)的頻譜密度是離散的。比較周期信號(hào)傅立葉系數(shù)和傅立葉變換 對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)得到的傅立葉系數(shù)。 對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行傅立葉變換得到是頻譜密度函數(shù) 頻譜圖上看兩者相似，但表達(dá)的含義不同*4、傅里葉系數(shù)與傅里葉變換的一般聯(lián)系 周期信號(hào)有傅里葉級(jí)

11、數(shù)展開(kāi)和傅里葉變換兩種形式。 我們看看這兩種方式到底有什么關(guān)系? 卷積存在下面的一個(gè)公式：T0T0T( )( )*( )( )( )ftf ttf tft其中為截取周期信號(hào)的第一個(gè)周期后得到的信號(hào)。T0T0T0T0( )( )*( )( )( )()()( )()()nnF ftf ttF f tFtFjnF ftFjnn 時(shí)域卷積定理沖激函數(shù)的取樣根據(jù) 根據(jù) 性質(zhì)00TT000( )2()( )()12()()()2T()|T:1(nnnnnnnF ftFnF ftFjnnFFjnFFjnFjnFFj 比較上面的兩個(gè)式子，得到：或者01()|TnnFFj 周期信號(hào)的傅里葉系數(shù)等于其在第一個(gè)周

12、期的信號(hào)的傅里葉變換 在頻率為 處的值乘以 。n1T0()Fj結(jié) 論考題類(lèi)型： 不對(duì)稱(chēng)的周期性矩形脈沖信號(hào) 其周期為T(mén)，脈沖的寬度為 ，幅度值為E。 試求：（1）將其以傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式表示；（2）計(jì)算其中三個(gè)復(fù)數(shù)系數(shù)C0，C-1，C+1；（3）求其頻譜函數(shù)； tTP第33頁(yè) 課本圖示的 串聯(lián)電路, 若外加電動(dòng)勢(shì)為正弦交流電壓 ,求開(kāi)關(guān)閉合后, 回路中電流 及電容器兩端電壓 。 e esinmtUt i t CutRC e eRCuut 根據(jù)irchhoff定律，有 ,.CRuuRi ti tCt d dd d其中第34頁(yè) sinCCmuRCutUtt d de ed d 00Cutt CC

13、RCsUsUse t L得對(duì)方程的兩邊取Laplace變換,得設(shè) ,CCutUs L 且 sincoscossinme tUtt LL第35頁(yè) 22cossinmUss 22cossinmCCURCsUsUsss 得2222cossinmmUU sss cossin.1mCUsUsRC sssRC jjjj1231,.sssRC j jj j CUs的一階極點(diǎn)即第36頁(yè) 1cossin11tmRCCURCutRCRCRC e ejjjj.,.得 cossincossin1122ttRCRC j jj jj jj je ee ej jj jj jj j化簡(jiǎn)得 2222221cossin11tmR

14、CCURCutCRRCC e e第37頁(yè), 2222ttmURCRCRC jjjjeeeejjjj22222222211cossin111tmRCURCCRRRCCC e e 22222222211cossin111mURCttCRRRCCC 第38頁(yè)1,zRC j j2221,zRC ,mmUIz ., coscossinsintmRCCIutC e e coscossinsinmIttC coscostmmRCIItCC e e令則第39頁(yè) Cuti tCt d dd d 1costmRCIi tCCRC e e sinmItC cossintmRCmIItR C e e因?yàn)檫^(guò)渡電流，所以

15、考題類(lèi)型： 課本圖示的RC串聯(lián)電路，電阻大小為R（），電容大小為C（F），外加電動(dòng)勢(shì)為余弦交流電壓 （V）。 試求：（1）開(kāi)關(guān)t=0閉合，回路中電流 ； （2）開(kāi)關(guān)t=0閉合，電容器兩端電壓 ；（3）t=3秒時(shí)，回路中電流值，電容器電壓； 0.25100cos2202tte ti tu第41頁(yè) 22222000000lim,0 xuuaxttxuutt tutu x tx ，=0=0利用Laplace變換求解定解問(wèn)題:二、偏微分的Laplace變換解法第42頁(yè)對(duì)方程的兩邊關(guān)于t取Laplace變換,設(shè) ,.u x tU x st s LL得 2222,0,0uus U x ssu xs U x

16、 stt t L d de ed de ed d2222222200,ststuutu x ttU x sxxxdx L第43頁(yè) 0,0,utUs s L lim,0 xU x s 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的邊值問(wèn)題: 2222,00, lim,0 xsU x sU x sxaUs sU x s d dd d第44頁(yè) 12,ssxxaaU x scc e ee e 12,0csc 得方程的通解為:代入邊界條件得得 ,sxaUx s s e e第45頁(yè) -1,u x tU x s L e e-1sxa s L0,xtaxxttaa 對(duì)上式取Laplace逆變換, 得求如圖所示的單個(gè)半正弦波 的Laplace變換. f tEOt2T f t 1ft 2ftEOtOtE2T2TTT 由前圖可知由前圖可知, , 所以所以 12f tftft12