【龍門亮劍】2011高三數(shù)學(xué)一輪課時(shí) 第十三章 第一節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用精練 理（全國版）

1、【龍門亮劍】2011高三數(shù)學(xué)一輪課時(shí) 第十三章 第一節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用精練 理（全國版）(本欄目內(nèi)容，學(xué)生用書中以活頁形式單獨(dú)裝訂成冊！)一、選擇題(每小題6分，共36分)1對于不等式n1(nN*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，11，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，不等式成立，即k1，則當(dāng)nk1時(shí)，(k1)1當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立，則上述證法()A過程全部正確Bn1驗(yàn)得不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確【解析】在nk1時(shí)，沒有應(yīng)用nk時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法【答案】D2用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假使

2、n2k1時(shí)正確，再推n2k3正確(kN*)B假使n2k1時(shí)正確，再推n2k1正確(kN*)C假使nk時(shí)正確，再推nk1正確(kN*)D假使nk(k1)時(shí)正確，再推nk2時(shí)正確(kN*)【解析】因?yàn)閚為正奇數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟，第二步應(yīng)先假設(shè)第k個正奇數(shù)也成立，本題即假設(shè)n2k1正確，再推第k1個正奇數(shù)，即n2k1正確【答案】B3某個命題與自然數(shù)n有關(guān)，若nk(kN*)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時(shí)該命題也成立現(xiàn)已知當(dāng)n5時(shí)，該命題不成立，那么可推得()A當(dāng)n6時(shí)，該命題不成立B當(dāng)n6時(shí)，該命題成立C當(dāng)n4時(shí)，該命題不成立D當(dāng)n4時(shí)，該命題成立【解析】因?yàn)楫?dāng)nk時(shí)，命題成立可推出nk1

3、時(shí)成立，所以n5時(shí)命題不成立，則n4時(shí)命題也一定不成立【答案】C4用數(shù)學(xué)歸納法證明等式135(2n1)n2(nN*)的過程中，第二步假設(shè)nk時(shí)等式成立，則當(dāng)nk1時(shí)應(yīng)得到()A135(2k1)k2B135(2k1)(k1)2C135(2k1)(k2)2D135(2k1)(k3)2【解析】nk1時(shí)，等式左邊135(2k1)(2k1)k2(2k1)(k1)2.故選B.【答案】B5已知12×33×324×33n×3n13n(nab)c對一切nN*都成立，則a、b、c的值為()Aa，bc BabcCa0，bc D不存在這樣的a、b、c【解析】等式對一切nN*均成

4、立，n1,2,3時(shí)等式成立，即，整理得解得a，bc.【答案】A6在數(shù)列an中，a1，且Snn(2n1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式為()A. B.C. D.【解析】由a1，Snn(2n1)an，得S22(2×21)a2，即a1a26a2，a2，S33(2×31)a3，即a315a3.a3，a4.故選C.【答案】C二、填空題(每小題6分，共18分)7若f(n)122232(2n)2，則f(k1)與f(k)的遞推關(guān)系式是_【解析】f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2，f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.【答案

5、】f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)28如圖，第n個圖形是由正n2邊形“擴(kuò)展”而來(n1,2,3，)，則第n2(n3，nN*)個圖形中共有_個頂點(diǎn)【解析】當(dāng)n1時(shí)，頂點(diǎn)共有123×4(個)，n2時(shí)，頂點(diǎn)共有204×5(個)，n3時(shí)，頂點(diǎn)共有305×6(個)，n4時(shí)，頂點(diǎn)共有426×7(個)，故第n個圖形共有頂點(diǎn)(n2)(n3)個，第n2個圖形共有頂點(diǎn)n(n1)個【答案】n(n1)9下面三個判斷中，正確的是()f(n)1kk2kn(nN*)，當(dāng)n1時(shí)，f(n)1；f(n)1(nN*)，當(dāng)n1時(shí)，f(n)1；f(n)(nN*)，則f(k1)f(k).【

6、解析】中n1時(shí)，f(n)f(1)1k不一定等于1，故不正確；中n1時(shí)，f(1)1，故正確；中f(k1)f(k)，故不正確【答案】三、解答題(10,11每題15分，12題16分，共46分)10(2010年平頂山模擬)已知數(shù)列an中，a1，an1sin(an)(nN*)證明：0anan11.【證明】n1時(shí)，a1，a2sin(a1)sin.0a1a21，故結(jié)論成立假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即0akak11，則0akak1.0sin(ak)sin(ak1)1，即0ak1ak21，也就是說nk1時(shí)，結(jié)論也成立由可知，對一切nN*均有0anan11.11數(shù)列an滿足an0，Sn(an)，求S1，S2，猜想Sn，

7、并用數(shù)學(xué)歸納法證明【解析】an0，Sn0，由S1(a1)，變形整理得S1，取正根得S11.由S2(a2)及a2S2S1S21得S2(S21)，變形整理得S2，取正根得S2.同理可求得S3.由此猜想Sn.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，上面已求出S11，結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，結(jié)論成立，即Sk.那么，當(dāng)nk1時(shí)，Sk1(ak1)(Sk1Sk)(Sk1)整理得Sk1，取正根得Sk1.故當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立由、可知，對一切nN*，Sn成立12平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都交于兩點(diǎn)，且無三個圓交于一點(diǎn)，求證：這n個圓將平面分成n2n2個部分【證明】(1)n1時(shí)，1個圓將平面分成2部分，顯然命題成立(2)假設(shè)nk(kN*)時(shí)，k個圓將平面分成k2k2個部分當(dāng)nk1時(shí)，第k1個圓Ck1 交前面k個圓于2k個點(diǎn)，這2k個點(diǎn)將圓Ck1分成2k段，每段將各自所在區(qū)域一分為二，于是增加了2k個區(qū)域，所以這k1個圓將