力學競賽培訓1

1、2021/8/61首屆上海市大學生力學競賽首屆上海市大學生力學競賽理論力學理論力學第一講第一講同濟大學航空航天與力學學院同濟大學航空航天與力學學院王斌耀王斌耀2021/8/62掌握力學的要義掌握力學的要義: :1. 1. 力學建模力學建模: : 從實際問題抽象成力學模型從實際問題抽象成力學模型( (包括受力包括受力分析和運動分析分析和運動分析) )。2. 2. 解決的方法解決的方法: : 用什么定律、定理、公式去求解。用什么定律、定理、公式去求解。 3. 3. 結果分析結果分析: : 判斷所得結果的正確性（從基本概念、判斷所得結果的正確性（從基本概念、量綱等）。量綱等）。2021/8/63任意

2、力系簡化的一般結果任意力系簡化的一般結果F2A2AnFnzxy0zxy0M1F1F1A1FRM2F2FnMnzxy0M0附加力偶附加力偶主矢，主矩主矢主矢：,RiFF主矩主矩：),(iOiOFMMM（1 1） 空間任意力系的簡化空間任意力系的簡化點點O：簡化中心：簡化中心2021/8/64簡化結果討論簡化結果討論: :2RRFMFhO與簡化中心無關與簡化中心無關RFMORFFRFRFR2.0RF0OM平移距離平移距離：平移方向平移方向：OMFR的方向的方向0RFMO既0OM1.主矢主矢 而主矩而主矩 0RF3.0, 0ROMFOM（1）RFRFMhO2021/8/65右手力螺旋右手力螺旋左手力

3、螺旋左手力螺旋RFOM（2 2）力螺旋力螺旋M0FR方向一致方向一致OMF與R方向相反方向相反OMF與R2021/8/66OOMFMFR,0,0RRFMORFMO2MO1RFdRFRFMO1MO1RFRFMO12RRR1)(FFFMMOO2RRFMFhOOORsinFMhO2021/8/67RFrMMOOORRFpFrMMOOO)()(RRRRkFjFiFkzj yi xFrzyxOOzxyOzyzxOyxyzOxFyFxFMFxFzFMFzFyFMpRRRRRRRRR)()()(式中：式中：螺旋中心軸的參數(shù)方程：螺旋中心軸的參數(shù)方程：2021/8/68 邊長為邊長為b1、b2、b3的長方體頂

4、點的長方體頂點A、B處，分別作用有處，分別作用有大小均為大小均為F的力的力F1、F2。試求最終簡化結果。試求最終簡化結果。ABb1b2b3F1F2首先任選一點作為簡化中心（可選在首先任選一點作為簡化中心（可選在其中一個力的作用線上），并建立直其中一個力的作用線上），并建立直角坐標。角坐標。xyz將將 、 分別用基矢量表示為分別用基矢量表示為 1F2F2322321bbkbjbFF2322322bbkbjbFF兩力作用點兩力作用點A,B相對點相對點A的矢徑分別為的矢徑分別為01rjbibr2122021/8/69將兩力向簡化中心點將兩力向簡化中心點A簡化，得主矢與主矩分別為簡化，得主矢與主矩分別

5、為:2322321R2bbkFbFFii2322322121)(bbkbjbFjbibFrMiiiA2322213132bbkbbjbbibbFRFMA 以以 是否等于零來判斷簡化的最后結果。是否等于零來判斷簡化的最后結果。 因為因為0/223223212RbbbbbFFMARRFF所以這兩力必定簡化為一個左力螺旋，其中力螺旋的力所以這兩力必定簡化為一個左力螺旋，其中力螺旋的力 ，)(AM對應的力偶矩對應的力偶矩 的大小為：的大小為：232221RR)(bbbbFFFMMAA2021/8/610RFRF其矢量方位就是力其矢量方位就是力 的方位，負號表明指向與的方位，負號表明指向與 相反，即相反

6、，即kbbbbFFFMMAA232221RR)()(設力螺旋的中心軸通過點設力螺旋的中心軸通過點A，則點則點A相對點相對點A的矢徑為：的矢徑為： r)(21212RRjbibFMFrA即簡化的最后結果是一個中心軸位于即簡化的最后結果是一個中心軸位于Az1的左螺旋的左螺旋 ABb1b2b3jikA z1MFR2021/8/611載荷的處理及疊加法載荷的處理及疊加法ABq1q2 b已知：載荷已知：載荷q1與與q2，梁長為梁長為b，試求：支座試求：支座A、B處的力處的力。q1q1+q22021/8/612平衡問題平衡問題 剛體靜力學平衡問題的求解體系：剛體靜力學平衡問題的求解體系： 未知量（力、位置

7、等）必須不多于未知量（力、位置等）必須不多于獨立獨立平衡方程的個數(shù)。平衡方程的個數(shù)。 FEFDxFDy如圖所示支架中，桿如圖所示支架中，桿AB水平，桿水平，桿AD垂直，垂直，A，C，D處由光滑鉸鏈接，處由光滑鉸鏈接，B，E處為光滑接觸，各桿重力不計處為光滑接觸，各桿重力不計。已知：已知：F 、 ，試求桿試求桿AD的內力的內力。ABCED bhF x 解解: :取整體取整體 ( (含銷釘含銷釘) ) 為研究對象為研究對象 0 xF， Fsin - FDx = 0， 0)(FMEFsin h + Fcos (b-x)- FDy b= 0， 得得:FDx = Fsin得得: :FDy = F(hsi

8、n+bcos-xcos)/b2021/8/613取AB為研究對象： 0)(FMA，F(xiàn)B b - Fcos x = 0ABF x FBFAxFAy得:FB = Fxcos/b取BD (含銷釘D) 為研究對象： 0)(FMC- (FDA +FDy)b/2 + FDx h/2 - FB b/2 = 0BCDFBFDAFDxFDyFCxFCy得:FDA = -FcosPOABA1B1CDbbbhOABCFAA1FBB1FOFOFA1xFA1y在圖示構架中，已知：P，b，h，試求支座O、 A1處的力。解:桿OA 整體 可以得到O處力的方位如圖示0iOM031bPhFxA得:PhbFxA310ixF012

9、2xAOFhbbF得:PhhbFO2230iyF0122PFhbhFyAO得:PFyA412021/8/615帶摩擦的平衡問題 NsmaxFfFsmaxtanf 在帶摩擦的平衡問題中，平衡方程不會失效，但庫侖定在帶摩擦的平衡問題中，平衡方程不會失效，但庫侖定律不一定適用；同時還要考慮傾覆的可能。律不一定適用；同時還要考慮傾覆的可能。FBSFBNFASFANFAS = fs FAN ，F(xiàn)BS = fs FBN 0 xF， Fcos q = fs(FAN + FBN) 0)(FMA12Fcos q+ 25Fsin q + 20FBN - 12FBS - 10P = 0木材重力的大小木材重力的大小P

10、 = 100 kN， 與滑道與滑道A，B處的摩擦因數(shù)均為處的摩擦因數(shù)均為fs = ，尺寸如圖所示。試求能拉出木材的最小力，尺寸如圖所示。試求能拉出木材的最小力 的大小和方向。的大小和方向。F312021/8/616 0)(FMB，5Fsin q + 20FAN + 12FAS - 30P = 0 24sin53000NqFFA16)sin25cos12(1000NqqFFB當分母取極大值時有Fmin，故令：0d)sin85cos180d(qqq則18085tan 即 = 25.28時 最小，F(xiàn)min = 45.212 kN F48)sin85cos36(9000NNqqFFFBA由Fsin85

11、cos1809000得2021/8/617設桿轉動中心O離A距離x0 0)(FMO 0yFLfsLfs F - P(L - x0) + P x0= 0 F(L - x0) - - =0 00dxLSxxfLP00d xSxxfLPFFF 如圖所示一均質桿如圖所示一均質桿AB重力的大小為重力的大小為100 kN，長，長L = 1 m，平放在水平面上，桿與平面間摩擦因數(shù)平放在水平面上，桿與平面間摩擦因數(shù)fs = 0.5，今在桿一端，今在桿一端B處作用一垂直于處作用一垂直于AB的水平推力的水平推力 ，在力，在力 作用下桿作用下桿AB將在將在平面上轉動。試求：平面上轉動。試求： （1）桿）桿AB剛要開

12、始轉動的瞬時，其轉動中心剛要開始轉動的瞬時，其轉動中心O距桿端距桿端A的距離的距離x0； （2）能使桿）能使桿AB發(fā)生運動的力發(fā)生運動的力 的最小值應為多少。的最小值應為多少。2021/8/618LP21LP21F(L - x0) - fs(L - x0)2 - fs x02 = 0F = P fs(L 2x0)L1Fmin = 20.71 kN x0 = L21L ， 取 x0 = 0.292 9 m2021/8/619 如圖所示勻質桿如圖所示勻質桿AB長長L, , 重力為重力為P，A端與不計重力的滑端與不計重力的滑塊鉸接塊鉸接, , B端始終與半徑為端始終與半徑為L的圓弧面接觸。若的圓弧面

13、接觸。若A，B兩處的靜兩處的靜滑動摩擦因數(shù)相同，試求桿能在滑動摩擦因數(shù)相同，試求桿能在q q =60=60處靜止所需的最小靜處靜止所需的最小靜摩擦因數(shù)。摩擦因數(shù)。以桿和滑塊為研究對象：0)(FMA060cos21SPLLFBFNAFSAPFSBFNB0 xF060sin30sinNSNBBAFFF 0yF060sin30sinNSBBASFFPFBBBFfFFNsmaxSSAAASFfFFNsmax補充：得228. 039. 42s1sff，93. 41sf解以上方程得： 不合理，舍去。 0138s2sff228. 02sf 即為所求最小摩擦因數(shù)值。 2021/8/620FNAPFSBFNB

14、0yF060sin30sinNSBBFFP0)(FMA060cos21SPLLFB補充：BBBFfFFNsmaxSS得：247. 0sf2021/8/621解：取桿為研究對象：解：取桿為研究對象： ABDFAxFBSF1FAyFBN 0)(FMA02N1LFLFB1N21FFB得：得：取輪為研究對象：取輪為研究對象：設設 處先滑處先滑 B 0)(FMC02SRFFRBFFB21S欲滑動，應有欲滑動，應有BBBBFfFFNSSS121sFfFB，即即kN FBCPOF1ADLLF 已知如圖所示系統(tǒng)中：已知如圖所示系統(tǒng)中：L L=25cm=25cm，F(xiàn) F1 1=20kN=20kN， P P =20kN=20kN，B、C處的靜摩擦因數(shù)分別為處的靜摩擦因數(shù)分別為f fBs s=0.6=0.6與與f fCs s=0.3=0.3。試求欲拉動滾子。試求欲拉動滾子的力的力 應為多大？應為多大？FBCPOFBSFBNFCSFCN2021/8/622 0yF0NNBCFPFBBFFNN21NFPFC欲滑動，應有欲滑動，應有CCCFfFNsS18)21(21sFPfF，即即kN 0)(FMB021SRFRFC21SFFC若若 kN，既可拉動滾子。既可拉動滾子。 12FCBFN設設 處先滑，對桿處先滑，對桿 不變不變 以上兩個例子說明：對平衡問題平衡方程不會失效，以上