一元二次根的分布情況歸納

1、二次方程根的分布與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值歸納21、一元二次方程 ax2 bx c 0 根的分布情況設(shè)方程 ax2 bx c 0 a 0 的不等兩根為 x1,x2且 x1 x2 ，相應(yīng)的二次函數(shù)為 f x ax2 bx c 0，方程的根即為二次函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)，它們的分布情況見下面各表（每種情況對(duì)應(yīng)的均是充要條件）表一：（兩根與 0 的大小比較即根的正負(fù)情況）分布情況0于0根都 x2兩0負(fù)根 x10大于 0 都 x2 兩0 根 x102 于x 根小 0 一個(gè) x1 即0 根負(fù)于 根 一個(gè) 正一 一大致圖象0 （）得出的結(jié)論000b 2a 0 f000b 2a 0 f00f0 大致圖象（

2、 ）a得出的結(jié)論000b 2a 0f000b 2a 0f00f綜合結(jié)論（不討論a）000ba0b2fa000ba0b2fa00 f a表二：（兩根與 k 的大小比較）分布情況即kk于2小k1兩x即kk于2大 k,1兩x即k于個(gè)大 x2一，k k于 x1小根個(gè)一0 大致圖象（ ）ak kk得出的結(jié)論0 bk 2a f k 0k00b akb2kf0 k f0 大致圖象（ ）a得出的結(jié)論0 bk 2a f k 0k00b2akf0 k f綜合結(jié)論（不討論a）0 bk 2a a f k 00 k0b akb 2fa0 k f a表三：（根在區(qū)間上的分布）分布情況內(nèi) n m內(nèi) 種） n一 m 畫了 只

3、 在， 根況q p 在 根 另q內(nèi)pnm, n 在m 根， 一內(nèi)0 大致圖象（ ）a得出的結(jié)論n00ba0mnb2ffm0 n f m ff m 0f n 0 f m f n 0 或f p 0 f p f q 0f q 00 大致圖象（ ）a得出的結(jié)論n00ba0mnb2ffm0 n f m ff m 0f n 0 f m f n 0 或f p 0 f p f q 0f q 0綜合結(jié)論（不討論a）0 n f m f00 nq ff mp ff根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間 m,n 外，即在區(qū)間兩側(cè) x1 m, x2 n ，（圖形分別如下）需滿足的條件是f m 01) a 0時(shí)，；

4、f n 0f m 02) a 0 時(shí)，n0對(duì)以上的根的分布表中一些特殊情況作說明：1）兩根有且僅有一根在 m, n 內(nèi)有以下特殊情況：0 ，則此時(shí) f mgf n 0 不成立，但對(duì)于這種情況是知道了方程有一根為m或 n，可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間m, n 內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值。如方程mx2 m 2x 2 0在區(qū)間21,3 上有一根， 因?yàn)?f 1 0 ，所以 mx222x 1 mx 2 ，另一根為 ，由 1 mm即為所求；方程有且只有一根，且這個(gè)根在區(qū)間m, n 內(nèi)，即0 ，此時(shí)由0可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶入方程，求出相應(yīng)的根，檢驗(yàn)根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在

5、，舍去相應(yīng)的參數(shù)。如方程x 2 4mx2m 6 0 有且一根在區(qū)間3,0 內(nèi)，求m的取值范圍。分析：由 f 3 gf 0 0即14m15 m 3 0 得出3 m 15 ；14由0即 16m24 2m 6 0得出 m1或 m 3，當(dāng) m 1時(shí)，22 3,0 ，即 m1滿足題意；當(dāng)m3 時(shí)，根 x23,0 ，故 m23不滿足題意；綜上分析，得出15 或 m 114已知二次方程2mx22mx解：由 2m 1 gf2m例 2、已知方程 2x2m1解：由m12g200例 3、已知二次函數(shù)的取值范圍。解：由 m 2 gf根的分布練習(xí)題m 1 0 有一正根和一負(fù)根，求實(shí)數(shù)1 m 1 0 ，從而得m 0 有兩

6、個(gè)不等正實(shí)根，2m18m3 2 2 即為所求的范圍。2m 2 x22m 4 x0 即 m 2 g 2m 13m求實(shí)數(shù)的取值范圍。1 m 1 即為所求的范圍。2m 的取值范圍。m 3 2 2或 m 3 2 2m0與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)大于 1，一個(gè)小于1，求實(shí)數(shù) m2 m 1 即為所求的范圍。2例 4、已知二次方程 mx2 2m 3 x 4 0只有一個(gè)正根且這個(gè)根小于 1，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍。1 解：由題意有方程在區(qū)間 0,1 上只有一個(gè)正根， 則 f 0 gf 1 0 4g3m 1 0 m 即為所求范圍。3 (注：本題對(duì)于可能出現(xiàn)的特殊情況方程有且只有一根且這個(gè)根在 0,1 內(nèi)，由 0

7、 計(jì)算檢驗(yàn)，均不復(fù)合題意，計(jì)算量稍大)例 1、當(dāng)關(guān)于 x的方程的根滿足下列條件時(shí)，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍：(1)方程 x2 ax a2 7 0 的兩個(gè)根一個(gè)大于 2，另一個(gè)小于 2；(2)方程 7x2 (a 13)x a2 a 2 0的一個(gè)根在區(qū)間 (0,1) 上，另一根在區(qū)間 (1,2) 上；(3)方程 x2 ax 2 0 的兩根都小于 0； 變題：方程 x2 ax 2 0 的兩根都小于 1(4)方程 x2 (a 4)x 2a2 5a 3 0 的兩根都在區(qū)間 1,3 上；(5)方程 x2 ax 4 0 在區(qū)間( 1， 1)上有且只有一解； 例 2、已知方程 x2 mx 4 0 在區(qū)間 1，1

8、上有解，求實(shí)數(shù) m的取值范圍例 3、已知函數(shù) f (x) mx2 (m 3)x 1的圖像與 x 軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍檢測(cè)反饋：21 1若二次函數(shù) f(x) x2 (a 1)x 5在區(qū)間 ( 1 ,1)上是增函數(shù)，則 f (2)的取值范圍是 22若 、 是關(guān)于 x的方程 x2 2kx k 6 0的兩個(gè)實(shí)根 , 則 ( 1)2 ( 1) 2的最小值為3若關(guān)于 x 的方程 x2 (m 2)x 2m 1 0只有一根在 (0,1) 內(nèi)，則 m _ _ 2 4對(duì)于關(guān)于 x 的方程 x +(2m 1)x+4 2m=0 求滿足下列條件的 m的取值范圍：( 1)有兩個(gè)負(fù)根( 2) 兩

9、個(gè)根都小于 1( 3)一個(gè)根大于 2，一個(gè)根小于 2( 4) 兩個(gè)根都在( 0 ， 2)內(nèi)( 5)一個(gè)根在 ( 2，0) 內(nèi)，另一個(gè)根在 (1，3) 內(nèi)( 6)一個(gè)根小于 2，一個(gè)根大于 47) 在(0， 2)內(nèi) 有根8) 一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根且正根絕對(duì)值較大5已知函數(shù) f (x) mx2 x 1的圖像與 x 軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。2、二次函數(shù)在閉區(qū)間 m, n 上的最大、最小值問題探討 設(shè) f x ax2 bx c 0 a 0 ，則二次函數(shù)在閉區(qū)間 m, n 上的最大、最小值有如下的分布情況：mnb2amb2an即b2amn圖 象fx maxmaxf n, f m

10、fx maxfnfx minfb2afx minfm對(duì)于開口向下的情況，討論類似。其實(shí)無論開口向上還是向下，都只有以下兩種結(jié)論：（1）若，則 f x maxmax f m , fb, f n ， f x minmin f m , f b, f n ；max2a min 2a（2）若bbm,n ，則 f x max max f m,f n ， f x min min f m,f n2a另外，當(dāng)二次函數(shù)開口向上時(shí)，自變量的取值離開 x 軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大；反過來，當(dāng)二次函數(shù)開口向下 時(shí)，自變量的取值離開 x 軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小。二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值練習(xí)二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值，

11、討論的情況無非就是從三個(gè)方面入手：開口方向、對(duì)稱軸以及閉區(qū)間，以下三個(gè)例題各代表一種情況。例 1 、函數(shù) f x2ax2 2ax 2 b a 0 在 2,3 上有最大值 5 和最小值 2，求 a,b 的值。解：對(duì)稱軸x0 12,3，故函數(shù) fx 在區(qū)間 2,3 上單調(diào)。1）當(dāng) a0時(shí)，函數(shù) fx 在區(qū)間2,3 上是增函數(shù)，故maxf3min2）當(dāng) a0時(shí)，函數(shù) fx 在區(qū)間2,3 上是減函數(shù)，故maxmin f 33ab25a12b2b0b25a13ab22b3例 2 、求函數(shù) f x2ax 1, x1,3 的最小值。解：對(duì)稱軸 x0 a（1）當(dāng)a 1時(shí)，ymin f 1 2 2a（ 2）當(dāng)1

12、 a 3時(shí)，ymin f a 1 a2 ；（3）當(dāng)a 3時(shí)，ymin f 3 10 6a 改： 1本題若修改為求函數(shù)的最大值，過程又如何？解：（1）當(dāng) a 2時(shí)， f x max f 3 10 6a ；max（2）當(dāng) a 2時(shí)， f x max f 1 2 2a 。max解：（1）當(dāng)a1 時(shí)， fxmaxf3106a ， fx minf122a；（2）當(dāng)1a 2 時(shí)，fxmax f310 6afx minfa1 a2 ；（3）當(dāng)2a 3 時(shí)，fxmax f12 2a ，fxfa1 a2 ；maxmin（4）當(dāng)a3 時(shí)， fx max maxf122a ， fxminf3106a 。2 本題若修改為求函數(shù)的最值，討論又該怎樣進(jìn)行？例 3、求函數(shù) y x2 4x 3 在區(qū)間 t,t 1 上的最小值。解：對(duì)稱軸 x0 21）當(dāng) 2 t即 t 2時(shí)， ymint t2 4t 3 ；（ 2）當(dāng) t 2 t 1即1 t 2 時(shí)， ymint 1 t2 2t例 4 、討論函數(shù) fx2xxa1的最小值