ch4-控制系統(tǒng)優(yōu)化設計和仿真

1、最優(yōu)化問題提出背景最優(yōu)化問題提出背景: :l當被控對象的數(shù)學模型以及對控制系統(tǒng)的技術要求給定之后，為了確定控制器的結構和參數(shù)，需要進行大量的計算。l通常的工作步驟是：設計者根據(jù)對實際系統(tǒng)的了解，先假設控制器參數(shù)的一組初始值，通過仿真或者直接在實際系統(tǒng)上做試驗，求出系統(tǒng)對典型輸入的響應特性；l然后設計者分析所得結果，并依據(jù)理論分析和以往的經(jīng)驗修改控制器參數(shù)；l接著再進行仿真計算（或試驗）；l再分析比較，再修改參數(shù)l 當被控對象比較簡單時以上做法可行。對于具有若干個輸入的多回路的復雜系統(tǒng)，即使花費了大量的時間和精力，也不見得能夠找到滿足工程要求的最佳控制器結構以及相應的參數(shù)。為了獲得最佳的設計效果

2、，出現(xiàn)了最優(yōu)化技術最優(yōu)化技術。為此，提出兩類優(yōu)化問題。上一頁下一頁返回4.1.1 兩類優(yōu)化問題兩類優(yōu)化問題4.1.2 問題的提法及專用名詞問題的提法及專用名詞4.1.3 尋優(yōu)途徑及優(yōu)化方法的評價尋優(yōu)途徑及優(yōu)化方法的評價4.1.4 控制系統(tǒng)優(yōu)化設計中目標函數(shù)的構成控制系統(tǒng)優(yōu)化設計中目標函數(shù)的構成4.1.5 數(shù)字仿真在優(yōu)化設計中的作用數(shù)字仿真在優(yōu)化設計中的作用上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回函數(shù)優(yōu)化問題函數(shù)優(yōu)化問題參數(shù)優(yōu)化問題參數(shù)優(yōu)化問題 1函數(shù)優(yōu)化問題函數(shù)優(yōu)化問題上一頁下一頁返回函數(shù)優(yōu)化問題也稱為動態(tài)優(yōu)化問題。對于控制器設計問題來說，相當于控制器的結構并不知道，需要設計出滿足某種優(yōu)化條件的控制器

3、。 例如：應該選擇例如：應該選擇PI控制器，控制器， 還是還是PID控制器？控制器？ 2 2參數(shù)優(yōu)化問題參數(shù)優(yōu)化問題 參數(shù)優(yōu)化問題也稱為靜態(tài)優(yōu)化問題。在這類問題中，控制器的結構、形式已經(jīng)確定，而需要調(diào)整或?qū)ふ铱刂破鞯膮?shù)，使得系統(tǒng)性能在某種指標意義下達到最優(yōu)?！纠?.2】對于如圖4.2所示的PID控制系統(tǒng)，要求尋找理想的控制器參數(shù)，使系統(tǒng)性能指標為最優(yōu)。圖4.2上一頁下一頁返回 在該例中，被控對象數(shù)學模型G(s)已知，PID控制器的類型和形式已確定，為 式中，Kp ,Ti , Td ,為控制器參數(shù)。在某個給定信號r(t)作用下，測量系統(tǒng)輸入量r(t)與輸出量之間y(t)的偏差e(t) 。顯然，

4、 e(t)是Kp ,Ti , Td的函數(shù)。選擇作為指標函數(shù)。式中，tf為系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間。sTsTKsGdiPc1)(ftdiptteTTKQ02d)(),(上一頁下一頁返回 問題提法是：如何選擇合適的參數(shù)值 ， ， ，使得目標函數(shù)Q為最小，即有 本章討論參數(shù)優(yōu)化問題。ftdipdiptteTTKQTTKQ02*d)(min),(min),(*pK*iT*dT上一頁下一頁返回 1.控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化問題的一般提法 當被控對象已知，控制器的結構形式也已確定，需要調(diào)整或?qū)ふ铱刂破鞯哪承﹨?shù)，使系統(tǒng)性能在某種指標意義下達到最優(yōu)。如果目標函數(shù)用Q()表示，需要優(yōu)化的一組參數(shù)用向量表示，則對于數(shù)學模型為 （4

5、.1）的控制系統(tǒng)（式中，t為時間，x為n維狀態(tài)向量，F(xiàn)為n維系統(tǒng)運動方程的結構向量， 為m維尋優(yōu)參數(shù)構成的向量），要求在滿足 ),(x,FxtTm), 2,(1上一頁下一頁返回不等式約束 hi()0,i=1,2,q （4.2）等式約束 gj()=0,j=1,2,p （4.3）等式終端約束 Sk(, tf)=0,k=1,2,l （4.4）（式中，tf為終止時間）的情況下，尋找一組參數(shù)=*，使目標函數(shù)滿足 （4.5）稱*為極小值點，對應的目標函數(shù)值Q(*)為極小值。 )(min)(*QQ上一頁下一頁返回 2.優(yōu)化設計專用名詞 （1 1）尋優(yōu)參數(shù)）尋優(yōu)參數(shù) 為m維尋優(yōu)參數(shù)向量，也稱之為設計變量（或設

6、計參數(shù)）。 （2 2）約束條件）約束條件 在優(yōu)化過程中，尋優(yōu)參數(shù)的某些組合情況，可能會產(chǎn)生一些明顯不合理的設計，超出了某些允許范圍。在數(shù)學上可以化為約束條件。例如，在PID控制器的設計中，三個參數(shù)應滿足約束條件 Kp0,Ti0, Td0 在許多工程問題中，約束條件往往不能寫成尋優(yōu)參數(shù)的顯函數(shù)形式，只要是“可計算”的函數(shù)就可以了。例如，在PID控制系統(tǒng)中，超調(diào)量%是控制器參數(shù)Kp ,Ti , Td的函數(shù)，但是不一定能具體寫出來。 上一頁下一頁返回 （3 3）目標函數(shù)）目標函數(shù) 在控制器的所有可行設計中，有些設計方案比另一些“要好些”。好的設計比差的設計肯定具有更好的某種（或某些）性質(zhì)。如果這種性

7、質(zhì)可以表示為尋優(yōu)參數(shù)的一個可計算的函數(shù)，那么只需要尋求這個函數(shù)的極值，就可以得到“最優(yōu)”的設計。這個用來使設計得以優(yōu)化的函數(shù)就稱為目標函數(shù)，為了強調(diào)它對尋優(yōu)參數(shù)的依賴性，將其寫成Q() 。同樣，在工程問題中， Q()不一定能寫成顯函數(shù)形式，只要求是“可計算”的函數(shù)。上一頁下一頁返回使目標函數(shù)為極大時,如何處理?此時只需要將目標函數(shù)變成-Q()即可。因為當-Q()達到極小時，Q()就達到了極大。 （4 4）約束優(yōu)化問題的無約束處理）約束優(yōu)化問題的無約束處理 在工程問題中，尋優(yōu)參數(shù)的取值范圍總是要受到限制的，即要在一定的約束條件下來求目標函數(shù)的最優(yōu)解。若約束對于尋優(yōu)參數(shù)的限制是很寬的，以至于可以確

8、信在*附近約束都能滿足的話，則把它看成是無約束優(yōu)化問題來處理。若在*附近約束條件可能被破壞，就需要將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成無約束優(yōu)化問題來處理。例如,取 （4.6）式中，Q0()不考慮約束條件時的目標函數(shù)；gi()=0,i=1,2,p是p個等式約束條件；Ci正數(shù)權因子，表示第i個約束條件的重要性；Ci gi2()第i個約束條件不滿足時的罰函數(shù)。 )()()(120piiigCQQ上一頁下一頁返回常見的最優(yōu)化問題分類常見的最優(yōu)化問題分類:最優(yōu)化問題最優(yōu)化問題線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃問題非線性規(guī)劃問題非線性規(guī)劃問題整數(shù)規(guī)劃問題整數(shù)規(guī)劃問題動態(tài)規(guī)劃問題動態(tài)規(guī)劃問題多目標規(guī)劃問題多目標規(guī)劃問題njmixxxx

9、gtsxxxfjnin,2, 1,2, 100),(.),(min(max):2121最優(yōu)化問題描述線性規(guī)劃線性規(guī)劃(Linear programming)問題舉例問題舉例:某人有一筆某人有一筆50萬的資金可用于長期投資萬的資金可用于長期投資,可供選擇的投資機會包可供選擇的投資機會包括購買國庫券、購買公司債券、投資房地產(chǎn)、購買股票和銀行儲括購買國庫券、購買公司債券、投資房地產(chǎn)、購買股票和銀行儲蓄等。各種投資方式的參數(shù)見下表蓄等。各種投資方式的參數(shù)見下表投資方式投資方式年限年限收益收益(%)風險系數(shù)風險系數(shù)增長潛力（增長潛力（%）1國庫券35102公司債券10103153房地產(chǎn)6258304股票

10、2206205定期存款13156長期儲蓄552107現(xiàn)金存款0200投資者希望投資組合的平均年限不超過投資者希望投資組合的平均年限不超過5年，平均期年，平均期望收益率不低于望收益率不低于13%，風險系數(shù)不超過，風險系數(shù)不超過4，增長潛力，增長潛力不低于不低于10%。問在上述前提下如何選擇才能使平均。問在上述前提下如何選擇才能使平均年收益率最高？年收益率最高？求解過程：求解過程：建立線性規(guī)劃模型。設建立線性規(guī)劃模型。設xi為第為第i種投資方式在總投資額種投資方式在總投資額中所占的比例，中所占的比例，015526103. .2532025105max76543216543217654321ixxx

11、xxxxxxxxxxxtsxxxxxxx使用使用Matlab的線性規(guī)劃求解函數(shù)的線性規(guī)劃求解函數(shù)linprog( )解得解得x=0.5575, 0.0195, 0.4230, 0, 0, 0, 0原料設備甲乙可供資源數(shù)量 A（噸）116 B（千克）5945 每臺單位利潤（萬元）56 某廠在一計劃期內(nèi)擬生產(chǎn)甲、乙兩種大型設備某廠在一計劃期內(nèi)擬生產(chǎn)甲、乙兩種大型設備. 該廠有該廠有充分的充分的生產(chǎn)能力生產(chǎn)能力來加工制造這兩種設備的全部零件，所來加工制造這兩種設備的全部零件，所需需原材料原材料和能源也可滿足供應，但和能源也可滿足供應，但A、B兩種緊缺物資兩種緊缺物資的供應受到嚴格限制，每臺設備所需原

12、材料如下的供應受到嚴格限制，每臺設備所需原材料如下 表所表所示示. 問該廠在本計劃期內(nèi)應安排生產(chǎn)甲、乙設備多少臺問該廠在本計劃期內(nèi)應安排生產(chǎn)甲、乙設備多少臺，才能使利潤達到最大？，才能使利潤達到最大？整數(shù)規(guī)劃問題舉例：非線性規(guī)劃（非線性規(guī)劃（nonlinear programming) 問題舉例問題舉例:f(x) = x1 + x2 x1 0 x2 0 x12 + x22 1 x12 + x22 2 s. t.多目標規(guī)劃（多目標規(guī)劃（Multi-objective optimization ) 問題舉例問題舉例:求解最優(yōu)化問題的方法求解最優(yōu)化問題的方法:線性規(guī)劃線性規(guī)劃: 單純形法、大單純形法

13、、大M法法無約束非線性規(guī)劃：無約束非線性規(guī)劃： 牛頓法、黃金分割法牛頓法、黃金分割法有約束非線性規(guī)劃：有約束非線性規(guī)劃： 懲罰函數(shù)法、二次規(guī)劃懲罰函數(shù)法、二次規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃：分支定界法、隱枚舉法整數(shù)規(guī)劃：分支定界法、隱枚舉法智能優(yōu)化算法：智能優(yōu)化算法： 模擬退火算法、遺傳算法、蟻群模擬退火算法、遺傳算法、蟻群 算法、微粒群優(yōu)化算法、差分算法、微粒群優(yōu)化算法、差分進化算法進化算法 3優(yōu)化方法的評價評價一種優(yōu)化方法的優(yōu)劣，主要考慮下列因素。（1）收斂性收斂性 尋優(yōu)過程就是逐步搜索滿足Q(*)=minQ()的值的迭代過程。迭代過程的收斂性好壞，表示某種優(yōu)化方法適用范圍的大小。（2）收斂速度收斂速度 為

14、了求出同樣精度的極小值點，不同的優(yōu)化方法所需要的迭代次數(shù)不同。上一頁下一頁返回 (3）每步迭代所需的計算量每步迭代所需的計算量 01. 01)(21MxsssrsrDttwttwQ 控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化設計中的目標函數(shù)一般可分為兩大類：加權性能指標型目標函數(shù)和誤差積分型目標函數(shù)。 1加權性能指標型目標函數(shù) 這一類目標函數(shù)是根據(jù)經(jīng)典控制理論設計系統(tǒng)的性能指標建立起來的，如系統(tǒng)在階躍信號作用下的上升時間、調(diào)整時間、超調(diào)量以及振蕩次數(shù)等。對這些性能指標的要求往往存在矛盾性，此時可以采用加權的方法建立目標函數(shù)。例如， 02wMxD時當時當%0sssMxDsst%s式中， 、 為加權系數(shù)，滿足 表示超調(diào)量在

15、目標函數(shù)中的成份，其具體取值為 （4.12） 、 和 分別為系統(tǒng)上升時間、調(diào)整時間和超調(diào)量的期望值。1w2w121 ww01wrst 2誤差積分型目標函數(shù)對于一般隨動系統(tǒng)，誤差e(t)定義為輸入信號r(t)和系統(tǒng)輸出c(t)之差，即 e(t)=r(t)-c(t) （4.13） 上一頁下一頁返回0d)()(tteQ 02d)()(tteQ ttetQd)()(0ttteQ02d)()(ttetQd)()(02022d)()(ttetQ 常用的目標函數(shù)有如下幾種：誤差絕對值的積分（IAE） 誤差平方的積分（ISE） 時間乘以誤差絕對值積分（ITAE） 時間乘以誤差平方的積分（ITSE） 時間平方乘

16、以誤差絕對值的積分（ISTAE） 時間平方乘以誤差平方的積分（ISTSE） 上一頁下一頁返回4.2.1 單純形法原理單純形法原理4.2.2 單純形的構成單純形的構成4.2.3 改進單純形法改進單純形法 上一頁下一頁返回l 單純形法的基本思路 預先計算出在若干個點處的目標函數(shù)值，然后根據(jù)它們之間的大小關系，可以看出Q()變化的大致趨勢，為尋求Q()的下降方向提供參考信息。l 單純形法的尋優(yōu)過程(二維情況，見圖4.4) 尋優(yōu)參數(shù)為1和2，圖中的實線為Q()=C（C為常數(shù)）的等高線族。先取1、2、3點并計算這3點處的目標函數(shù)值，對它們的大小進行比較，C1最大，故將1點拋棄，在1點的對面取一點4，構成

17、一個新的三角形。計算4點處的目標函數(shù)值，再比較三點處的函數(shù)值的大小，C2最大，上一頁下一頁返回將2點拋棄，在2點的對面取一點5，3、4、5點又構成一個新的三角形。如此不斷重復上述過程，直至最后找到極小值點。圖4.4上一頁下一頁返回l 在一切幾何圖形（或超幾何圖形）中以單純形（參數(shù)空間內(nèi)簡單的規(guī)則形體）的頂點為最少，所以尋優(yōu)所用的幾何圖形以單純形為最合適，在m維空間中，其頂點個數(shù)為m+1。l 求出正規(guī)單純形各頂點的坐標的方法 若已選定(0)和任意兩點之間的距離a（即正規(guī)單純形的邊長），于是（m+1）個點的坐標為上一頁下一頁返回miaqmpi, 2 , 1) 1(2222)() 0(mjijiaq

18、pji, 2 , 1,)( 2222)()(ammq211ammmp211 顯然，(0)-(1)，(0)-(2)，(0)-(m)為m個線性無關的向量。TmmmTmiiiiTmTmpqqqqqpqqqqqqp),(),(),(),()0()0(1)0(2)0(1)()0()0(1)0()0(1)0(2)0(1)()0()0(3)0(2)0(1)1()0()0(2)0(1)0(（4.20）（4.21） （4.22）有上一頁下一頁返回改進單純形法的基本思想是：給定初始點(0)和步長a，產(chǎn)生初始單純形S0，通過反射、擴張、收縮和緊縮等一系列動作將單純形翻滾、變形，從而產(chǎn)生一系列的單純形S1，S2，S3

19、，,逐漸向極小值點靠攏。當滿足精度指標時，迭代停止，取當前單純形的“最好點”作為極小點的近似。上一頁下一頁返回 改進單純形法的迭代規(guī)則: 假設當前單純形為Sk ,對組成單純形的(m+1)個頂點，記L為“最好點”, H為“最壞點”, G為“次壞點”,即 首先，計算當前單純形的(m+1)個頂點中去掉最壞點H后的形心 (4.26) 判別是否滿足終止條件，即計算 (4.27) mjQQmjQQmjQQjHjGjHjL,1 ,0)(max)(,1 ,0)(max)(,1 ,0)(min)()()()(Hjjm)(1mjjQQm02)()()(11error上一頁下一頁返回如果error(為給定的精度指標

20、),則停止迭代,取當前單純形的“最好點”L作為所極小值點*的近似。否則,計算“最壞點”H關于形心 的反射點R （4.28）對二維單純形，如圖4.5所示。 圖4.5根據(jù)反射點的目標函數(shù)值的大小,共有四種可能：1 Q(R) Q(L) ,即R比“最好點”L還要好。2 Q(L)Q(R)Q(G),即R雖不優(yōu)于“最好點”L,但優(yōu)于“次壞點”G。HR 2 3 Q(G)Q(R)1為擴張因子。如圖4.6所示。 圖4.6)(RE上一頁下一頁返回 如果Q(E)Q(L) ，則擴張成功，以E作為新頂點，取代“最壞點”H，構成新單純形Sk+1,，如圖4.7所示。 圖4.7 反之，擴張失敗，以R作為新頂點，取代“最壞點”，

21、構成新單純形Sk+1，如圖4.8所示。 圖4.8上一頁下一頁返回 情況情況2 2 以R取代“最壞點”H，構成新單純形Sk+1，如圖4.8所示。 情況情況3 3 計算收縮點 （4.30）式中，01為收縮因子。如圖4.9所示。圖4.9)(RC上一頁下一頁返回 如果Q(C)Q(H)，以C作為新頂點，取代“最壞點”H，構成新單純形Sk+1，如圖4.10所示。 否則，將當前單純形的各個頂點向“最好點”L緊縮，即 (4.31)如圖4.11所示。LjmjLjLj；，, 1 , 0)(21)()(圖4.10圖4.11上一頁下一頁返回 情況情況4 4 計算收縮點C （4.32）式中，0main 后，顯示如圖4.

22、24所示的空白界面。點擊選擇文件欄，選擇系統(tǒng)模型名稱：ccontroller。在系統(tǒng)模型參數(shù)欄中填入對應的參數(shù)，控制器名稱：corrector；待調(diào)參數(shù)個數(shù)：2；待調(diào)參數(shù)名稱：T1，T2；待調(diào)參數(shù)初始值：5 5；仿真時間：1.5；目標函數(shù)：ISE。選擇精度指標：0.0000001。點擊“開始仿真”按鈕，經(jīng)過一段時間的運行后得到如圖4.29所示的仿真尋優(yōu)結果。 上一頁下一頁返回圖4.29上一頁下一頁返回 3運行結果分析 一般而言，如果將任意選定的參數(shù)初始值的控制器直接加入到系統(tǒng)中，該系統(tǒng)都不穩(wěn)定。例如，當T1(0)=15， T2(0)=10時，系統(tǒng)的階躍響應如圖4.30所示。圖4.30 （T1=

23、15，T2=10）上一頁下一頁返回 給定三組不同的參數(shù)初始值，經(jīng)過參數(shù)尋優(yōu)后，得到了三組不同的優(yōu)化參數(shù)及相應的目標函數(shù)值： T1(0)=15, T2(0)=10, T1*=1.9535, T2*=0.41391, Q(T1*, T2*)=0.054648 T1(0)=5, T2(0)=5, T1*=1.9454, T2*=0.41220, Q(T1*, T2*)=0.054648 T1(0)=10, T2(0)=15, T1*=1.9553, T2*=0.41449, Q(T1*, T2*)=0.054648 仿真結果表明，3組優(yōu)化參數(shù)的階躍響應曲線比較相似，沒有本質(zhì)上的差異。上一頁下一頁返回

24、圖4.31所示為第一組優(yōu)化參數(shù)的單位階躍響應曲線。圖4.31（T1=1.9535，T2=0.41391） 從仿真結果中可以看出，系統(tǒng)的阻尼比太小，超調(diào)量偏大。上一頁下一頁返回 三種不同的優(yōu)化參數(shù)均表明，采用誤差積分型目標函數(shù)進行參數(shù)尋優(yōu)存在兩個問題： 尋優(yōu)結果不可預斷。因為誤差積分型目標函數(shù)是系統(tǒng)整個過渡過程的一個綜合性指標，它反映不出系統(tǒng)性能指標的具體要求（例如，超調(diào)量，上升時間等性能指標），人們不能確信優(yōu)化結果結果在實際中是否有意義； 當優(yōu)化結果不滿足要求時，對目標函數(shù)無法進行調(diào)整。 由此可見，在許多場合下利用誤差積分型目標函數(shù)進行參數(shù)尋優(yōu)的效果不一定好。上一頁下一頁返回 4采用參考模型法目標函數(shù)的運行結果及分析 采用圖4.18的目標函數(shù)模型(controller.mdl)，同樣給定三組不同的參數(shù)初始值，經(jīng)過參數(shù)尋優(yōu)后，得到了三組不同的優(yōu)化參數(shù)及相應的目標函數(shù)值： T1(0)=15, T2(0)=10, T1*=2.188,