（整理版）專題四立體幾何專項訓練

1、專題四 立體幾何專項訓練一、選擇題1如圖，點e是正方體abcda1b1c1d1的棱dd1的中點，那么過點e且與直線ab、b1c1都相交的直線的條數(shù)是a0b1c2d無數(shù)條2p是正三棱錐pabc的側棱pc上一點側棱端點除外，那么apb的大小滿足 a b c d 的平行光線照射，其在水平面上的投影是一個長半軸為5m的橢圓，那么制作這個廣告氣球至少需要的面料是 a 100m2 b 100 m2 c 100 m2 d100 m2.4正四棱錐的底面邊長為x，側棱長為y，那么的取值范圍是 a b c d5.長方體的各頂點都在半徑為r的球面上，那么該長方體的最大體積是 abc d6.在水平橫梁上a、b兩點各掛

2、長為50cm的細線am，bn，|ab|=60cm，在mn處掛長為60cm的木條mn平行于橫梁，木條中點為o，假設木條繞其中點o水平方向旋轉，那么木條比原來升高了 a10cmb5cmcd7正方體abcda1b1c1d1的棱長為1，點m在棱ab上，且am=，點p是平面abcd內的動點，且點p到直線a1da的距離與點p到點m的距離的平方差等于1，那么點p的軌跡是 a拋物線 b雙曲線 c直線 d以上都不對8如圖，正方體上、下底面中心分別為，將正方體繞直線旋轉一周，其中由線段旋轉所得圖形是 二、填空題9在四棱錐pabcd中，pa平面abcd，底面abcd為平行四邊形，pa=a，ab2pa，Ða

3、bc60°，那么d到平面pbc的距離為_10設是異面直線，點a、b在上運動，點c、d在上運動，e、f、g、h分別是ad、bd、bc、ac四面體abcd的體積是常數(shù)；四邊形efgh的面積是常數(shù)；可能與平面aec都成900；四邊形efgh11如圖，正四棱錐vabcd的側棱長與底邊長相等，點e是棱va的中點，點o是底面中心，那么異面直線eo與bc所成的角是_12有一個正四棱錐，它的底面邊長和側棱長均為，現(xiàn)在要用一張正方形的包裝紙將它完全包住不能裁剪紙，但可以折疊那么包裝紙的最小邊長應為_ 三、解答題12cm的正方形鐵片，按圖將陰影局部裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形作側面，以它們的公

4、共頂點p為頂點，加工成一個四棱錐容器pabcdcdpabcdp1證明：四棱錐pabcd為正四棱錐；2求容器四棱錐pabcd容積的最大值；3在四棱錐pabcd的容積最大值時，如它的頂點都在一個球面上，求這個球的外表積14.直三棱柱中，為棱的中點1求異面直線與所成的角；2求平面與平面所成的角的大小15.四棱錐pabcd中，底面abcd是正方形，邊長為a，pd=a，pa=pc=求證：pd平面abcd求異面直線pb與ac所成的角求二面角apbd的大小在這個四棱錐中放入一個球，求球的最大半徑求四棱錐外接球的半徑16.如圖，在直四棱柱中，底面是梯形，且，是棱的中點1求證：；2求點到平面的距離；3求二面角的

5、大小專題四 立體幾何專項訓練參考答案一、選擇題dabb dabd8顯然在旋轉過程中，線段上任意一點到軸的中點為m，線段的中點為o，那么om是異面直線和n是線段上任意一點，n在軸上的射影為p，我們只需研究在靜止狀態(tài)下線段mn與pn的函數(shù)關系即可.如圖，以正方體的中心o為原點建立空間直角坐標系，不失一般性，設點n在線段mc1上.設正方體邊長為2，那么由異面直線和所成角為450知，故在rtopn中，由得：，即與滿足雙曲線關系，應選d.二、填空題9a; 10; 11;12三、解答題13證明：1因為余下的四個全等的等腰三角形，所以它們的底邊相等，即abbccdda，且它們的腰也相等，即papbpcpd由

6、abbccdda得，底面abcd為菱形，所以ÐabcÐcda由papbpcpd得，頂點p在平面abcd上的射影為四邊形abcd的外心，所以ÐabcÐcda180°，abcdpoq所以Ðabc90°，因此底面abcd為正方形且頂點p在平面abcd上的射影為正方形abcd的外心，即為正方形abcd的中心，故四棱錐pabcd為正四棱錐2設正四棱錐的高為h，又斜高為h¢6，那么h(0，6)且底面邊長為2，體積v(36h2)×hh348h，v¢4h2484(h2)(h2)，令h¢0得h2，當h2

7、 時v¢0，v為增函數(shù)，當h2時，v¢0，v為減函數(shù)，所以當h2時，v有極大值，又在(0，6)上v只有一個極大值，因此，這個極大值即為最大值當h2 時，vmax643如圖，設此球的球心為q，那么q必在棱錐的高po上，設球半徑為r，那么(r2)2(4)2r2Þr5，s300p14.解法一：1連結交于點，取中點，連結，那么直線與所成的角就是異面直線與所成的角設，那么 ， 中，直三棱柱中，那么，異面直線與所成的角為2直三棱柱中，平面 那么又，那么， 于是平面 又平面，平面平面故平面與平面所成的角為900.解法二：1建立如下圖的空間直角坐標系. 設，那么，于是，異面直線與

8、所成的角為2，. 那么平面 平面平面，故平面與平面所成的角為900.15.解析：1要證pd平面abcd，只需證pd垂直于平面abcd內的兩條相交線，而所給量都是數(shù)，故可考慮勾股定理的逆定理pd=a，ad=a，pa= pd2+da2=pa2同理pda=90°即pdda，pddcaodc=d pd平面abcd從圖形的特殊性，應先考慮pb與ac是否垂直，假設不垂直然后再轉化連結bd，abcd是正方形 bdacpd平面abcd pdacpdbd=d ac平面pdbpbÌ平面pdb acpbpb與ac所成的角為90°由于ac平面pbd，所以用垂線法作出二面角的平面角設acb

9、d=o，過a作aepb于e，連oe ao平面pbd oepb aeo為二面角 apbd的平面角pd平面abcd，adab paab 在rtpdb中， 在rtpab中， 在rtaoe中， aeo=60°， 二面角apbd的大小為60°r，最大的球應與四棱錐各個面都相切，設球心為s，連結sa、sb、sc、sd、sp，那么把此四棱錐分為五個棱錐，設它們的高均為r 球的最大半徑為四棱錐的外接球的球心到p、a、b、c、d五的距離均為半徑，只要找出球心的位置即可，在rtpdb中，斜邊pb的中點為f，那么pf=fb=fd不要證明fa=fc=fp即可設pb的中點為f,在rtpdb中：fp=

10、fb=fd,在rtpab中：fa=fp=fb,在rtpbc中：fp=fb=fc,fp=fb=fa=fc=fd,故f為四棱錐外接球的球心,fp為外接球的半徑fp=, 四棱錐外接球的半徑為【說明】此題主要考查棱錐的性質以及內切外接的相關知識點;“內切和“外接等有關問題，首先要弄清幾何體之間的相互關系，主要是指特殊的點、線、面之間關系，然后把相關的元素放到這些關系中解決問題，例如本例中球內切于四棱錐中時，球與四棱錐的五個面相切，即球心到五個面的距離相等;求體積或運用體和解決問題時，經常使用等積變形，即把一個幾何體割補成其它幾個幾何體的和或差. 4立體幾何的推理必須做到言必有據(jù)，論證嚴密.16.解析：此題考查多面體中的線面關系，求二面角，求點到平面的距離：考查多面體中的線面關系，求點到平面的距離、二面角.證明：連接，是正方形，又，平面，又，平面，2解：在平面中，過點作，垂足為，連接，又過點作，垂足為，那么為點到平面的距離，在中，有，在中，點到平面的距離為解法2：用等體積法，設點到平面的距離為， 在中，為直角三角形，由得， ，點到平面的距離為3解：取線段的中點，連接，那么，再取線段的中點，連接，是二面角的平面角，在中， ，取線段的中點，連接，那么，在中，由余弦定理知，二面角的大小為空