函數(shù)及其性質(zhì)高等數(shù)學(xué)專業(yè)課件

1、 強(qiáng)烈建議用強(qiáng)烈建議用全屏顯示全屏顯示播放本電子教案播放本電子教案.全屏顯示全屏顯示可以通過可以通過“瀏覽瀏覽”菜單或者點(diǎn)擊菜單或者點(diǎn)擊鼠標(biāo)右鍵找到鼠標(biāo)右鍵找到.歡迎使用高等數(shù)學(xué)電子教案歡迎使用高等數(shù)學(xué)電子教案第一章第一章 函函 數(shù)數(shù) 第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì) 第二節(jié)第二節(jié) 初等函數(shù)初等函數(shù) 第三節(jié)第三節(jié) 數(shù)學(xué)模型方法簡述數(shù)學(xué)模型方法簡述一、一、 函數(shù)的概念函數(shù)的概念二、二、 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性三、三、 反函數(shù)反函數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì) 第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì) 1 1函數(shù)的定義函數(shù)的定義 定義定義 1 1 設(shè)有兩個(gè)變量設(shè)有兩個(gè)變量 x和

2、和 y， 若當(dāng)變量， 若當(dāng)變量 x在實(shí)數(shù)在實(shí)數(shù)的某一范圍的某一范圍 D 內(nèi)，任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，變內(nèi)，任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，變量量 y按照一按照一定的規(guī)律定的規(guī)律f，有惟一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱，有惟一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱 y是是 x 的的函數(shù)函數(shù), ,記作記作y= =)(xf， xD，其中變量，其中變量 x稱為自變量，變稱為自變量，變量量 y稱為函數(shù)（或因變量） 自變量的取值范圍稱為函數(shù)（或因變量） 自變量的取值范圍 D 稱為稱為函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域 一、一、 函數(shù)的概念函數(shù)的概念若若對(duì)對(duì)于于確確定定的的Dx 0，通通過過對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)規(guī)規(guī)律律f，函函數(shù)數(shù)y有有惟惟一一確確定定的的值值0y相相

3、對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)，則則稱稱 0y為為 )(xfy 在在 0 x處處的的函函數(shù)數(shù)值值，記記作作)(000 xfyyxx. . 函函數(shù)數(shù)值值的的集集合合，稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的值值域域，記記作作 M. . 2.2.函數(shù)的兩個(gè)要素函數(shù)的兩個(gè)要素 函數(shù)的對(duì)應(yīng)規(guī)律和定義域稱為函數(shù)的兩個(gè)要素函數(shù)的對(duì)應(yīng)規(guī)律和定義域稱為函數(shù)的兩個(gè)要素. . （）對(duì)應(yīng)規(guī)律）對(duì)應(yīng)規(guī)律 例例 1 1 )(xf=2 =2 x2 2+3+3 1x 就是一個(gè)特定的函數(shù)，就是一個(gè)特定的函數(shù)，f確定的對(duì)應(yīng)規(guī)律為：確定的對(duì)應(yīng)規(guī)律為： f（ ）=2( )2+3( )1 . 例例 2 2 設(shè)y=)(xf=x1sinx1，求 f( 2) 解解 .2)2sin

4、(2)2(2fyx 例例 3 3 設(shè)設(shè)f( (x+1)=+1)= x2 2- -3 3 x，求求)(xf. . 解解 令令tx1，則則, 1 tx 所所以以 , 45) 1(3) 1()(22tttttf 所所以以 )(xf= =. 452 xx （）定義域（）定義域例例 4 4 求函數(shù)求函數(shù)y= =62xx+ +arcsinarcsin712 x定義域定義域 解解 這是兩個(gè)函數(shù)之和的定義域，先分別求出每個(gè)函這是兩個(gè)函數(shù)之和的定義域，先分別求出每個(gè)函數(shù)的定義域數(shù)的定義域, , 然后求其公共部分即可然后求其公共部分即可 使使 62 xx有定義有定義, ,必須滿足必須滿足 2x x6 60 0，即

5、，即 0)2)(3(xx ， 解解得得 x3 3 或或 x2 2 ，即即62 xx的的定定義義域域?yàn)闉?, 23,) ; ; 而而使使arcsin 712 x有有定定義義, ,必必須須滿滿足足712 x1 1，即即 于是，所求函數(shù)的定義域是于是，所求函數(shù)的定義域是 3 3，2 2 3 3，4 4 . . 7 72 2x1 17 7 ， 解得解得 3 3 x4 4 ， 即即21arcsin7x的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?3,4. . 例例5 5 下列函數(shù)是否相同下列函數(shù)是否相同, ,為什么為什么? ? (1) (1) y= = 2lnx與與y= = 2 2ln x; ; (2)(2) = =u與與y=

6、 =x 3. 3. 函數(shù)的表示法：表格法、圖像法及公式法函數(shù)的表示法：表格法、圖像法及公式法 函數(shù)可以用至少三種不同的方法來表示：表格法、圖函數(shù)可以用至少三種不同的方法來表示：表格法、圖像法和公式法像法和公式法 解解 (1) y= = 2lnx與與y= = 2 2ln x不不是是相相同同的的函函數(shù)數(shù),因因?yàn)闉槎ǘx義域域不不同同. (2) = =u與與y= =x是是相相同同的的函函數(shù)數(shù),因因?yàn)闉閷?duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)規(guī)規(guī)律律與與定定義義域域均均相相同同. 例例 6 6 中中央央電電視視臺(tái)臺(tái)每每天天都都播播放放天天氣氣預(yù)預(yù)報(bào)報(bào)， 經(jīng)經(jīng)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)， 某某地地 1 19 99 99 9 年年9 9 月月 1 19

7、9 日日2 29 9 日日每每天天的的最最高高氣氣溫溫如如下下表表所所示示 這個(gè)表格確實(shí)表達(dá)了溫度是日期的函數(shù)，這里不存這個(gè)表格確實(shí)表達(dá)了溫度是日期的函數(shù)，這里不存在任何計(jì)算溫度的公式（否則就不需要?dú)庀缶至耍?，但在任何計(jì)算溫度的公式（否則就不需要?dú)庀缶至耍?，但是每一天都會(huì)產(chǎn)生出一個(gè)惟一的最高氣溫，對(duì)每個(gè)日期是每一天都會(huì)產(chǎn)生出一個(gè)惟一的最高氣溫，對(duì)每個(gè)日期 t，都有惟一個(gè)與，都有惟一個(gè)與 t 相應(yīng)的惟一最高氣溫相應(yīng)的惟一最高氣溫 N 日期日期(9月月)1920212223242526272829最高氣溫最高氣溫/2828272524262725232221 例例 7 王先生到郊外去觀景，他勻

8、速前進(jìn)，離家不久，王先生到郊外去觀景，他勻速前進(jìn)，離家不久，他發(fā)現(xiàn)一騎車人的自行車壞了，他幫助這個(gè)人把自行車修他發(fā)現(xiàn)一騎車人的自行車壞了，他幫助這個(gè)人把自行車修好，隨后又上路了請(qǐng)把王先生離家的距離關(guān)于時(shí)間的函數(shù)好，隨后又上路了請(qǐng)把王先生離家的距離關(guān)于時(shí)間的函數(shù)用圖形描述出來用圖形描述出來 解解 王王先先生生離離家家的的距距離離關(guān)關(guān)于于時(shí)時(shí)間間的的函函數(shù)數(shù)圖圖形形見見左左下下圖圖 離家距離 時(shí) 間 O 時(shí)間 O 離家距離 3 1 2 3 4 5 6 9 如如果果給給上上頁頁左左圖圖標(biāo)標(biāo)明明具具體體的的數(shù)數(shù)值值如如上上頁頁右右圖圖， 則則可可由由解解析析表表達(dá)達(dá)式式表表示示為為 5.3, 63,

9、31, 3, 10,3xxxxx)(xf該函數(shù)該函數(shù)f( ( x) )的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?D= =0 0，5 5 ，但它在定義域內(nèi) ，但它在定義域內(nèi)不同的區(qū)間上是用不同解析式來表示的，這樣的函數(shù)稱為不同的區(qū)間上是用不同解析式來表示的，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)分段函數(shù)是定義域上的一個(gè)函數(shù)分段函數(shù)分段函數(shù)是定義域上的一個(gè)函數(shù), ,不要理解為多不要理解為多個(gè)函數(shù)，分段函數(shù)個(gè)函數(shù)，分段函數(shù)需要分段求值，分段作圖需要分段求值，分段作圖 例例 8 8 作出下面分段函數(shù)的圖形：作出下面分段函數(shù)的圖形： ,3, 0)(2xxxf. 21, 10, 01xxx 解解 該分段函數(shù)的圖形如上圖所示該分段函數(shù)的圖形如

10、上圖所示 -1 1 2 1 2 f(x) x O D M f 定義定義 2 2 設(shè)設(shè)D與與M分別是兩個(gè)數(shù)集，存在對(duì)應(yīng)律分別是兩個(gè)數(shù)集，存在對(duì)應(yīng)律 f , ,若若對(duì)對(duì)D中的每一個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù) x，通過對(duì)應(yīng)規(guī)律，通過對(duì)應(yīng)規(guī)律 f，集合，集合 M中都有中都有惟惟一一確定的數(shù)確定的數(shù) y 與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng), ,則稱則稱 y為從為從 D到到 M的函數(shù)（也的函數(shù)（也稱為映射）稱為映射）, ,記作記作 MDf:, ,其中其中 D稱為函數(shù)稱為函數(shù) f 的定義的定義域域, , D中的每一個(gè)中的每一個(gè) x 根據(jù)對(duì)應(yīng)規(guī)律根據(jù)對(duì)應(yīng)規(guī)律 f對(duì)應(yīng)于一個(gè)對(duì)應(yīng)于一個(gè) y， 記記作作 y= =)(xf, , 稱為函數(shù)稱為函數(shù)

11、 f在在 x的函數(shù)值，全體函數(shù)值的集的函數(shù)值，全體函數(shù)值的集合合 MDxxfyyw),( 稱為函數(shù)稱為函數(shù)f的值域，的值域，x 稱為稱為 f的自變量，的自變量，y 稱為因變量，稱為因變量， 如右圖所示如右圖所示 有界性有界性 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在某某區(qū)區(qū)間間 I上上有有定定義義，若若存存在在正正數(shù)數(shù) M，使使得得Mxf)(，則則稱稱)(xf在在 I上上有有界界. . 單調(diào)性單調(diào)性 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在某區(qū)間在某區(qū)間 I上有定義， 對(duì)于區(qū)間上有定義， 對(duì)于區(qū)間 I內(nèi)任內(nèi)任意兩點(diǎn)意兩點(diǎn)x1 1，x2 2，當(dāng)當(dāng) 21xx 時(shí)，有時(shí)，有)()(21xfxf，則，則稱稱)(xf在在I上單調(diào)增加，區(qū)

12、間上單調(diào)增加，區(qū)間 I稱為單調(diào)增區(qū)間；稱為單調(diào)增區(qū)間；若若 )()(21xfxf則稱則稱)(xf在在 I上單調(diào)減少，區(qū)間上單調(diào)減少，區(qū)間 I稱為單調(diào)減區(qū)間稱為單調(diào)減區(qū)間. . 奇偶性奇偶性 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在某區(qū)間在某區(qū)間 I上有定義，上有定義，I為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，若對(duì)于任意稱的區(qū)間，若對(duì)于任意 Ix，都有都有 )( xf = =)(xf，則稱則稱f( (x) )為偶函數(shù)； 若為偶函數(shù)； 若f( (- - x) )= = - -)(xf， 則稱則稱 )(xf為奇函數(shù)為奇函數(shù). . 二、二、 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性周期性周期性 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在某某區(qū)區(qū)間間 I上

13、上有有定定義義， 若若存存在在不不為為零零的的數(shù)數(shù) T, ,使使得得對(duì)對(duì)于于任任意意Ix, ,都都有有)()(xfTxf，則則稱稱 )(xf為為周周期期函函數(shù)數(shù)，通通常常所所說說的的周周期期函函數(shù)數(shù)的的周周期期是是指指它它的的最最小小正正周周期期 定定義義 3 3 設(shè)設(shè)給給定定y是是 x的的函函數(shù)數(shù)y= =)(xf， 如如果果把把y當(dāng)當(dāng)作作自自變變量量，x當(dāng)當(dāng)作作函函數(shù)數(shù)，則則由由關(guān)關(guān)系系式式 y= =)(xf所所確確定定的的函函數(shù)數(shù) )(yx稱稱為為函函數(shù)數(shù)y= =)(xf的的反反函函數(shù)數(shù)而而 y= =)(xf稱稱為為直直接接函函數(shù)數(shù) 習(xí)慣上總是用習(xí)慣上總是用 x表示自變量，而用表示自變量，

14、而用 y表示函數(shù)，因此，表示函數(shù)，因此，往往把往往把 x= =( (y) )改寫成改寫成 y= = ( ( x) )，稱為，稱為y= =)(xf的矯形反的矯形反函數(shù)，記作函數(shù)，記作)(1xfy. .稱函數(shù)稱函數(shù))(xfy 的反函數(shù)的反函數(shù) )(yx為為直接反函數(shù)直接反函數(shù) 三、反函數(shù)三、反函數(shù)思考題思考題 1.1.確定一個(gè)函數(shù)需要哪幾個(gè)因素確定一個(gè)函數(shù)需要哪幾個(gè)因素? ? 2.2.思考函數(shù)的幾種特性的幾何意義思考函數(shù)的幾種特性的幾何意義? ? 3 3. .直直接接函函數(shù)數(shù) y= =)(xf，其其直直接接反反函函數(shù)數(shù)為為 )(yx，其其矯矯 形形反反函函數(shù)數(shù)為為)()(1xxfy x= =( (

15、y) )與與 y= = ( ( x) )是否為同一函數(shù)？是否為同一函數(shù)？ y= =)(xf、x= = ( (y) )、y= = f- -1 1( ( x) ) 在在同同一一坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中 的的幾幾何何表表現(xiàn)現(xiàn)是是什什么么？ 一、一、基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)二、二、復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)三、三、初等函數(shù)初等函數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 初等函數(shù)初等函數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 初等函數(shù)初等函數(shù) 函數(shù)表達(dá)式 反三角函數(shù)反三角函數(shù) 三角函數(shù)三角函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 冪函數(shù)冪函數(shù) 常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù) 函數(shù)名稱函數(shù)名稱y=C ( (C為為常常數(shù)數(shù)) ) xy ( (為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)) ) xay ( (a0 0, ,

16、a1 1, ,a為為常常數(shù)數(shù)) ) y= =xalog ( (a0 0, ,a1 1, ,a為為常常數(shù)數(shù)) ) y=xsin, y=cos x, y=tan x, y=cot x y=secx, y=cscx y=arcsin x , xyarccos, xyarctan xyarccot 一、基本初等函數(shù)一、基本初等函數(shù) 這六種函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)，這些函數(shù)的性質(zhì)、這六種函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)，這些函數(shù)的性質(zhì)、圖形必須熟悉圖形必須熟悉 設(shè)設(shè))(ufy , ,其中其中 )(xu, ,且且 )(x的值全部或部分落的值全部或部分落在在)(uf的定義域內(nèi)， 則稱的定義域內(nèi)， 則稱)(xfy為為 x

17、的復(fù)合函數(shù)， 而的復(fù)合函數(shù)， 而 u稱為中間變量稱為中間變量 例例 1 1 （1 1）函數(shù)）函數(shù)xy2sin是由是由2uy , , xusin 復(fù)合而復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其定義域?yàn)槌傻膹?fù)合函數(shù)，其定義域?yàn)?,(，它也是，它也是 xusin的定的定義域義域. . （2 2） 函函數(shù)數(shù)21 xy, ,是是由由uy ，21xu復(fù)復(fù)合合而而成成的的，其其定定義義域域?yàn)闉? -1 1，1 1 ，它它是是 21xu的的定定義義域域的的一一部部分分. . （3 3）y= =uarcsin, ,u=2+=2+x2 2是不能復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的是不能復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的 二、復(fù)合函數(shù)二、復(fù)合函數(shù) 例例2 2 分析下列復(fù)

18、合函數(shù)的結(jié)構(gòu)分析下列復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)： y=2cotx ; .e1sin2xy 解解 y= =u, , vucot, , 2xv . . y= ue, vusin, tv , 12 xt. 例例 3 3 設(shè)設(shè)2)(xxf , , xxg2)(, , 求求,)(xgf )(xfg. . 解解 fg(x)=g(x)2=( x2)2= x4 , gf(x) = )(2xf= 22x. 由由基基本本初初等等函函數(shù)數(shù)經(jīng)經(jīng)過過有有限限次次四四則則運(yùn)運(yùn)算算及及有有限限次次復(fù)復(fù)合合步步驟驟所所構(gòu)構(gòu)成成， 且且用用一一個(gè)個(gè)解解析析式式表表示示的的函函數(shù)數(shù)， 叫叫做做初初等等函函數(shù)數(shù)，否否則則就就是是非非初初等等函

19、函數(shù)數(shù) 三、初等函數(shù)三、初等函數(shù)思考題思考題 1. 1. 任意兩個(gè)函數(shù)是否都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)？任意兩個(gè)函數(shù)是否都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)？你是否可以用例子說明？你是否可以用例子說明？ 2 2. . 設(shè)設(shè))(xf的的定定義義域域?yàn)闉椋? 0，1 1） ，求求)(tan xf的的定定義義域域 3. 3. 設(shè)設(shè)xxf11)(, 求求)(xff，)(xfff 一、一、數(shù)學(xué)模型的含義數(shù)學(xué)模型的含義二、二、數(shù)學(xué)模型的建立過程數(shù)學(xué)模型的建立過程三、三、函數(shù)模型的建立函數(shù)模型的建立第三節(jié) 數(shù)學(xué)模型方法簡述數(shù)學(xué)模型方法簡述 * 第三節(jié) 數(shù)學(xué)模型方法簡述數(shù)學(xué)模型方法簡述 函數(shù)關(guān)系可以說是一種變量相依關(guān)系的數(shù)學(xué)

20、模型 數(shù)學(xué)模函數(shù)關(guān)系可以說是一種變量相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型方法是處理科學(xué)理論問題的一種經(jīng)典方法， 也是處理各類實(shí)型方法是處理科學(xué)理論問題的一種經(jīng)典方法， 也是處理各類實(shí)際問題的一般方法掌握數(shù)學(xué)模型方法是非常必要的在此，際問題的一般方法掌握數(shù)學(xué)模型方法是非常必要的在此，對(duì)數(shù)學(xué)模型方法作一簡述對(duì)數(shù)學(xué)模型方法作一簡述 數(shù)學(xué)模型方法 （數(shù)學(xué)模型方法 （Mathematical Modeling)Mathematical Modeling)稱為稱為 MMMM 方法 它方法 它是針對(duì)所考察的問題構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型， 通過對(duì)數(shù)學(xué)模型是針對(duì)所考察的問題構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型， 通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究，使問

21、題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法的研究，使問題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法 數(shù)學(xué)模型是針對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對(duì)象，為了一數(shù)學(xué)模型是針對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對(duì)象，為了一個(gè)特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出必要的簡化和個(gè)特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出必要的簡化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，采用形式化語言，概括或近假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，采用形式化語言，概括或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)它或者能解釋特定對(duì)象的似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)它或者能解釋特定對(duì)象的現(xiàn)實(shí)性態(tài)，或者能預(yù)測(cè)對(duì)象的未來狀態(tài)，或者能提供處理現(xiàn)實(shí)性態(tài)，或者能預(yù)測(cè)對(duì)象的未來狀態(tài)，或者能提供處理對(duì)象的最優(yōu)決策或控制數(shù)學(xué)模型既源于現(xiàn)實(shí)又高于現(xiàn)實(shí)，

22、對(duì)象的最優(yōu)決策或控制數(shù)學(xué)模型既源于現(xiàn)實(shí)又高于現(xiàn)實(shí)，不是實(shí)際原形，而是一種模擬，在數(shù)值上可以作為公式應(yīng)不是實(shí)際原形，而是一種模擬，在數(shù)值上可以作為公式應(yīng)用，可以推廣到與原物相近的一類問題，可以作為某事物用，可以推廣到與原物相近的一類問題，可以作為某事物的數(shù)學(xué)語言，可譯成算法語言，編寫程序進(jìn)入計(jì)算機(jī)的數(shù)學(xué)語言，可譯成算法語言，編寫程序進(jìn)入計(jì)算機(jī). 一、數(shù)學(xué)模型的含義一、數(shù)學(xué)模型的含義 建建立立一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)際際問問題題的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型， 需需要要一一定定的的洞洞察察力力和和想想像像力力，篩篩選選、拋拋棄棄次次要要因因素素，突突出出主主要要因因素素，做做出出適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡某槌橄笙蠛秃秃喓喕^過

23、程程一一般般分分為為表表述述、求求解解、解解釋釋、驗(yàn)驗(yàn)證證幾幾個(gè)個(gè)階階段段，并并且且通通過過這這些些階階段段完完成成從從現(xiàn)現(xiàn)實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)象象到到數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型， 再再從從數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型到到現(xiàn)現(xiàn)實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)象象的的循循環(huán)環(huán)可可用用流流程程圖圖表表示示如如下下： 數(shù)學(xué)模型的解答 數(shù)學(xué)模型 表達(dá) （歸納） 驗(yàn)證 （檢驗(yàn)） 解釋 （實(shí)際解答） （演繹） 求解 現(xiàn)實(shí)對(duì)象 現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息 二、數(shù)學(xué)模型的建立過程二、數(shù)學(xué)模型的建立過程 表述表述 根據(jù)建立數(shù)學(xué)模型的目的和掌握的信息，將實(shí)際根據(jù)建立數(shù)學(xué)模型的目的和掌握的信息，將實(shí)際問題翻譯成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)語言確切地表述出來問題翻譯成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)語言確切地表述

24、出來. 這是一個(gè)關(guān)鍵的過程，需要對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析，甚至這是一個(gè)關(guān)鍵的過程，需要對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析，甚至要做調(diào)查研究，查找資料，對(duì)問題進(jìn)行簡化、假設(shè)、數(shù)學(xué)抽要做調(diào)查研究，查找資料，對(duì)問題進(jìn)行簡化、假設(shè)、數(shù)學(xué)抽象，運(yùn)用有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)表達(dá)式去表現(xiàn)客象，運(yùn)用有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)表達(dá)式去表現(xiàn)客觀對(duì)象及其關(guān)系如果現(xiàn)有的數(shù)學(xué)工具不夠用時(shí)，可根據(jù)實(shí)觀對(duì)象及其關(guān)系如果現(xiàn)有的數(shù)學(xué)工具不夠用時(shí)，可根據(jù)實(shí)際情況，大膽創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)概念和方法去表現(xiàn)模型際情況，大膽創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)概念和方法去表現(xiàn)模型 求解解 選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，求得?shù)學(xué)模型的解答選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，求得?shù)學(xué)模型的解答 解釋解釋 數(shù)學(xué)解答翻

25、譯回現(xiàn)實(shí)對(duì)象，給實(shí)際問題的解答數(shù)學(xué)解答翻譯回現(xiàn)實(shí)對(duì)象，給實(shí)際問題的解答 驗(yàn)驗(yàn)證證 檢檢驗(yàn)驗(yàn)解解答答的的正正確確性性 例如例如 哥尼斯堡一條普雷格爾河，這條河有兩個(gè)支哥尼斯堡一條普雷格爾河，這條河有兩個(gè)支流，在城中心匯合成大河，河中間有一小島，河上有七座流，在城中心匯合成大河，河中間有一小島，河上有七座橋，如下頁左圖所示橋，如下頁左圖所示1818 世紀(jì)哥尼斯堡的很多居民總想一世紀(jì)哥尼斯堡的很多居民總想一次不重復(fù)地走過這七座橋，再回到出發(fā)點(diǎn)可是試來試去次不重復(fù)地走過這七座橋，再回到出發(fā)點(diǎn)可是試來試去總是辦不到，于是有人寫信給當(dāng)時(shí)著名的數(shù)學(xué)家歐拉，歐總是辦不到，于是有人寫信給當(dāng)時(shí)著名的數(shù)學(xué)家歐拉，歐

26、拉于拉于 17361736 年，建立了一個(gè)數(shù)學(xué)模型解決了這個(gè)問題他年，建立了一個(gè)數(shù)學(xué)模型解決了這個(gè)問題他把把 A、B、C、D 這四塊陸地抽象為數(shù)學(xué)中的點(diǎn)，把七座橋這四塊陸地抽象為數(shù)學(xué)中的點(diǎn)，把七座橋抽象為七條線，如下頁右圖所示抽象為七條線，如下頁右圖所示 小 島 A 陸 地 D 陸 地 C 半 島 B C A B D 人人們們步步行行七七橋橋問問題題， 就就相相當(dāng)當(dāng)于于上上圖圖的的一一筆筆畫畫問問題題， 即即能能否否將將上上圖圖所所示示的的圖圖形形不不重重復(fù)復(fù)地地一一筆筆畫畫出出來來， 這這樣樣抽抽象象并并不不改改變變問問題題的的實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì) 哥尼斯堡七橋問題是一個(gè)具體的實(shí)際問題， 屬于數(shù)學(xué)模哥尼

27、斯堡七橋問題是一個(gè)具體的實(shí)際問題， 屬于數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)原型 經(jīng)過理想化抽象所得到的如型的現(xiàn)實(shí)原型 經(jīng)過理想化抽象所得到的如上上圖圖所示的一筆所示的一筆畫問題便是七橋問題的數(shù)學(xué)模型在一筆畫的模型里，只保畫問題便是七橋問題的數(shù)學(xué)模型在一筆畫的模型里，只保留了橋與地點(diǎn)的連接方式，而其他一切屬性則全部拋棄留了橋與地點(diǎn)的連接方式，而其他一切屬性則全部拋棄了所以從總體上來說，數(shù)學(xué)模型只是近似地表現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)原了所以從總體上來說，數(shù)學(xué)模型只是近似地表現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)原型中的某些屬性，而就所要解決的實(shí)際問題而言，它是更深型中的某些屬性，而就所要解決的實(shí)際問題而言，它是更深刻、更正確、更全面地反映了現(xiàn)實(shí)，也正由此，對(duì)一筆畫

28、問刻、更正確、更全面地反映了現(xiàn)實(shí)，也正由此，對(duì)一筆畫問題經(jīng)過一定的分析和邏輯推理，得到此問題無解的結(jié)論之題經(jīng)過一定的分析和邏輯推理，得到此問題無解的結(jié)論之后，可以返回到七橋問題，得出七橋問題的解答，不重復(fù)走后，可以返回到七橋問題，得出七橋問題的解答，不重復(fù)走過七座橋回到出發(fā)點(diǎn)是不可能的過七座橋回到出發(fā)點(diǎn)是不可能的 數(shù)學(xué)模型，從廣義上講，一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、數(shù)學(xué)模型，從廣義上講，一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、各種數(shù)學(xué)公式、各種方程式、各種函數(shù)關(guān)系，以及由公式系各種數(shù)學(xué)公式、各種方程式、各種函數(shù)關(guān)系，以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)等等都可以叫做數(shù)學(xué)模型從狹義上講，列構(gòu)成的算法系統(tǒng)等等都可以叫做

29、數(shù)學(xué)模型從狹義上講，只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系的只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系的結(jié)構(gòu)， 才叫做數(shù)學(xué)模型 在現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)中結(jié)構(gòu)， 才叫做數(shù)學(xué)模型 在現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)中, ,數(shù)學(xué)模型都作狹數(shù)學(xué)模型都作狹義解釋而建立數(shù)學(xué)模型的目的，主要是為了解決具體的實(shí)義解釋而建立數(shù)學(xué)模型的目的，主要是為了解決具體的實(shí)際問題際問題 研究數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而借鑒數(shù)學(xué)模型，對(duì)提高研究數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而借鑒數(shù)學(xué)模型，對(duì)提高解決實(shí)際問題的能力，以及提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)都是十分重要的建立解決實(shí)際問題的能力，以及提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)都是十分重要的建立函數(shù)模型的步驟可分為：函數(shù)模型的步驟可分為： 三、函數(shù)模型的建立三、函數(shù)模型的建立 (1) (1) 分析問題中哪些是變量，哪些是常量，