定積分的概念最新版本

1、1.5 1.5 定積分的概念定積分的概念 1.曲邊梯形曲邊梯形：在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線y=f(x)，直線，直線x=a、x=b及及x x軸所圍成的圖形叫做曲邊軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。梯形。Ox y a b y=f (x)一一. . 求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積x=ax=b 因此，我們可以用這條直線因此，我們可以用這條直線L來(lái)代替點(diǎn)來(lái)代替點(diǎn)P附附近的曲線，也就是說(shuō)：在點(diǎn)近的曲線，也就是說(shuō)：在點(diǎn)P附近，曲線可以看附近，曲線可以看作直線（即在很小范圍內(nèi)以直代曲）作直線（即在很小范圍內(nèi)以直代曲）P放大放大再放大再放大PP y = f(x)bax yO A1A A1.

2、用一個(gè)矩形的面積用一個(gè)矩形的面積A A1 1近似代替曲邊梯形的面積近似代替曲邊梯形的面積A A，得得A A1+ A2用兩個(gè)矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A，得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四個(gè)矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n n個(gè)小曲邊梯形，并用小矩個(gè)小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，陣形的面積代替小曲邊梯形的面積， 于是曲邊于是曲邊梯形的面積梯形的面積A A近似為近似為A1AiAn

3、 以直代曲以直代曲, ,無(wú)限逼近無(wú)限逼近 （1 1）分割）分割把區(qū)間把區(qū)間0，1等分成等分成n個(gè)小區(qū)間：個(gè)小區(qū)間：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1inix 每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為過(guò)各區(qū)間端點(diǎn)作過(guò)各區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線，從而得到軸的垂線，從而得到n個(gè)小曲個(gè)小曲邊梯形，他們的面積分別記作邊梯形，他們的面積分別記作.S,S,S,Sni21 n1n2nknnxOy2xy 例例1.求拋物線求拋物線y=x2、直線直線x=1和和x軸所圍成的軸所圍成的曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積。（2 2） 以直代曲以直代曲n1)n1i(x)n1i(fS2i（3 3）作和）作和) 1n(210n1

4、 n1)n1- i(n1)n1- if( SSSSS22223n1i2n1in1iin21 （4 4）逼近）逼近。面積為，即所求曲邊三角形的所以時(shí)，亦即當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)，即3131S31)n12)(n11 (61) 12n(n) 1n(61n1) 1n(210n1)n(0 x322223 小結(jié)小結(jié): :求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y f(x)對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法（1 1）分割分割 （2 2）求面積的和求面積的和 （3 3）取極限取極限 n 利利用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)我我們們解解決決了了“已已知知物物體體運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)路路程程與與時(shí)時(shí)間間的的關(guān)關(guān)系系，求求物物體體運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)速速度度”的的問(wèn)問(wèn)

5、題題反反之之，如如果果已已知知物物體體的的速速度度與與時(shí)時(shí)間間的的關(guān)關(guān)系系，如如何何求求其其在在一一定定時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)的的路路程程呢呢？ 引入引入二、汽車行駛的路程二、汽車行駛的路程思考：思考：結(jié)合求曲邊梯形面積的過(guò)程，你認(rèn)結(jié)合求曲邊梯形面積的過(guò)程，你認(rèn)為汽車行駛的路程為汽車行駛的路程S 與與由直線由直線0,1,0ttv和曲線和曲線22vt 所圍成的曲邊梯形的面積有什所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？么關(guān)系？ 思考思考一般地，如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函一般地，如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)為數(shù)為 vv t， 那么我們也可以采用分割、 近似代， 那么我們也可以采用分割、 近似代替、求

6、和、取極限的方法，利用“以不變代變”替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無(wú)限逼近的思想，求出它在的方法及無(wú)限逼近的思想，求出它在a atb b內(nèi)內(nèi)所作的位移所作的位移S 結(jié)論結(jié)論 練習(xí)練習(xí)2,bbnn，1,nbbn上所作的功上所作的功分別記作：分別記作：1W，2W，nW 2)(xxfnini,1C1、當(dāng)、當(dāng)n很大時(shí)，函數(shù)很大時(shí)，函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的值，可以用上的值，可以用( )近似代替近似代替 A. B.C. D.)1(nf)2(nf)(nif 0f1,iixx2、在、在“近似代替近似代替”中，函數(shù)中，函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間 上的上的近似值等于（近似值等于（ ）A.只能是左

7、端點(diǎn)的函數(shù)值只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值B.只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值 C.可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值D.以上答案均不正確以上答案均不正確)(ixf)(1ixf),)(1iiiixxfC精選ppt定積分的定義定積分的定義:一般地一般地,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上有定義上有定義,將區(qū)間將區(qū)間a,b等分成等分成n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間,每個(gè)小區(qū)的長(zhǎng)度每個(gè)小區(qū)的長(zhǎng)度為為 ,在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn),依次為依次為x1,x2,.xi,.xn,作和作和如果如果 無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于0時(shí)時(shí),Sn無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于常數(shù)常數(shù)S,那么稱那么稱常數(shù)常數(shù)S

8、為函數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的定積分上的定積分,記作記作: .)(nabxxx)f(xx)f(xx)x(fSn21n baSf(x)dxf(x)dxx精選ppt積積分分下下限限積積分分上上限限badxxf)(被積函數(shù)被積函數(shù)積積分分變變量量精選ppt注注 ：定積分?jǐn)?shù)值只與被積函數(shù)及積分定積分?jǐn)?shù)值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間區(qū)間 a, b 有關(guān)有關(guān), 與積分變量記號(hào)無(wú)關(guān)與積分變量記號(hào)無(wú)關(guān)bababaduufdttfdxxf)()()(精選ppt曲線曲線 y = f (x) 0，直線，直線 x = a， x = b， y = 0 所所圍成的曲邊梯形面積可用定積分表示為圍成的曲邊梯形面積可用定

9、積分表示為badxxfS)(變力作功問(wèn)題可表示為變力作功問(wèn)題可表示為badxxFW)(精選ppt1.由曲線由曲線y=x2+1與直線與直線x=1,x=3及及x軸所圍成的曲邊梯形的面積軸所圍成的曲邊梯形的面積,用定積分用定積分表示為表示為_(kāi).223sin tdt2. 中中,積分上限是積分上限是_,積積分下限是分下限是_,積分區(qū)間是積分區(qū)間是_舉例 dxx) 1(2312-2-2,23.定積分定積分 =_.211)dx1)dx(x(x25. ._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _4 4d dx x4 4. .定定積積分分3 31 18精選ppt思考思考: 函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積上的

10、定積分分 能否為能否為負(fù)負(fù)的的?定積分._121)dx1)dx(x(x 定積分 =_.211)dx1)dx(x(x精選ppt 三三 .定積分的幾何意義定積分的幾何意義.當(dāng)當(dāng) f (x) 0，定積分，定積分 badxxf)(的幾何意義就是的幾何意義就是bAoxyay=f (x)S 曲線曲線 y = f (x)直線直線 x = a， x = b， y = 0 所所圍成的曲邊梯形的面積圍成的曲邊梯形的面積b ba aS Sf(x)dxf(x)dx: :即即精選ppt當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù) f (x) 0 ， x a, b 時(shí)時(shí) 定積分定積分 幾何意義幾何意義badxxf)(Sdxxfba)(即即就是位于就是位

11、于 x 軸下方的曲邊軸下方的曲邊梯形面積的相反數(shù)梯形面積的相反數(shù). oyaby=f (x)S精選ppt當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù) f (x)在在 x a, b 有正有負(fù)時(shí)有正有負(fù)時(shí), 定定積分積分 幾何意義幾何意義badxxf)(3 32 21 1b ba aS SS SS Sf f( (x x) )d dx x即即就是圖中幾個(gè)曲邊圖形面積的就是圖中幾個(gè)曲邊圖形面積的代數(shù)和代數(shù)和,(x軸軸上方面積取正號(hào)上方面積取正號(hào),x軸下方面積取負(fù)號(hào)軸下方面積取負(fù)號(hào)) OXS2S1yS3精選ppt 1求下列定積分求下列定積分: (1) 504)dx4)dx(2x(2xdxx1121)3(例題分析例題分析: 20s si in nx xd dx x (2)求定積分，只要求定積分，只要理解被積函數(shù)和理解被積函數(shù)和定積分的意義，定積分的意義，并作出圖形，即并作出圖形，即可解決可解決。精選ppt用定積分表示下列陰影部分面積用定積分表示下列陰影部分面積 S=_;S=_;S=_;y=sinxXOyXOy5-1y=x