二面角、判定、性質(zhì)

1、2021/8/141二面角2021/8/142一、一、 二面角及二面角的平面角二面角及二面角的平面角平面的一條直線把平面分為平面的一條直線把平面分為兩兩部分，部分，其中的每一部分都叫做一個其中的每一部分都叫做一個半平面半平面。1 1 、半平面半平面l二面角2021/8/143 從空間一直線出發(fā)的兩個半從空間一直線出發(fā)的兩個半2、二面角的定義二面角的定義3、二面角的平面角二面角的平面角ABP平面所組成的圖形叫做二面角平面所組成的圖形叫做二面角記作：記作：二面角二面角 以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角.如圖2021/8/14

2、4 一個平面垂直于二面角一個平面垂直于二面角的棱，并與兩半平的棱，并與兩半平面分別相交于射線面分別相交于射線PA、PB垂足為垂足為P，則，則APB是二面是二面注：二面角的平面角取值范圍是: 00,1800l 角的平面角嗎？ABPABP APB 與與 APB是否相等是否相等?相等相等(利用等角定理利用等角定理)直二面角：平面角是直角的二面角.是2021/8/145注：二面角的平面角的特點二面角的平面角的特點：3）角的邊都要垂直于二面角的棱角的邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點在棱上角的頂點在棱上2）角的兩邊分別在兩個面內(nèi)角的兩邊分別在兩個面內(nèi)10 lOABAOB(1)(2)2021/8/146二

3、二.作二面角的平面角的常用方法作二面角的平面角的常用方法、點、點P在棱上在棱上、點、點P在一個半平面上在一個半平面上、點、點P在二面角內(nèi)在二面角內(nèi)pABABpABOp定義法定義法三垂線定理法三垂線定理法垂面法垂面法二面角cosAOBPABsPOAOBs面向量法2021/8/1471、如圖，、如圖，AB是圓的直徑，是圓的直徑，PA垂垂直圓所在的平面，直圓所在的平面，C是圓上任一是圓上任一點，則二面角點，則二面角P-BC-A的平面角為的平面角為:ACP 基礎(chǔ)練練 習習2、已知、已知P為二面角為二面角 內(nèi)一內(nèi)一點，且點，且P到兩個半平面的距離都等到兩個半平面的距離都等于于P到棱的距離的一半，則這個二

4、到棱的距離的一半，則這個二面角的度數(shù)是多少？面角的度數(shù)是多少？pABOABCP60二面角2021/8/148PABCM1.例 已知三棱錐P-ABC, ABC與 PAB是正三角形，2 3,AB 3,PC 求二面角P-AB-C的平面角的大小.,ABM解：取的中點為,.PM CM連,PAPB.ABPM,ACBC.CMABPMC是二面角P-AB-C的平面角.sin603. 在 ABC中，CM=ACsin603,PABPMPA 在中，3,PC 又.PCM是正三角形60 .PMC二面角P-AB-C的大小為60 .2021/8/149例例2.2.如圖，已知如圖，已知P P是二面角是二面角-ABAB-棱上一點

5、，過棱上一點，過P P分分別 在別 在 、 內(nèi) 引 射 線內(nèi) 引 射 線P MP M 、 P NP N， 且， 且 M P N = 6 0 M P N = 6 0 BPM=BPN=45BPM=BPN=45 ，求此二面角的度數(shù)。，求此二面角的度數(shù)。ABPMNCDO解解：在PB上取不同于P 的一點O，在內(nèi)過O作OCAB交PM于C，在內(nèi)作ODAB交PN于D，連CD，可得COD是二面角-AB-的平面角設(shè)PO = a ，BPM =BPN = 45CO=a， DO= a ， PC a ， PD a22又MPN=60 CD=PC a2COD=90因此，二面角的度數(shù)為因此，二面角的度數(shù)為90aOPC二面角22

6、2.OCODCD2021/8/1410OABPC取取AB 的中點為的中點為E，連連PE，OEO為為 AC 中點中點， ABC=90OEBC且且 OE BC212221在RtPOE中， OE ，PO 22tanPEO22所求的二面角所求的二面角P-AB-C 的正切值為的正切值為例例3 3如圖，三棱錐如圖，三棱錐P-ABCP-ABC的頂點的頂點P P在底面在底面ABCABC上的射影上的射影是底面是底面RtRtABCABC斜邊斜邊ACAC的中點的中點O O，若，若PB=AB=1PB=AB=1，BC= BC= ，求二面角，求二面角P-AB-CP-AB-C的正切值的正切值。2PEO為二面角為二面角P-A

7、B-C 的平面角的平面角23在在RtPBE中中，BE ，PB=1，PE21OEAB ,PO平面ABC PEABE解：解：EOP二面角2021/8/1411二面角的計算：二面角的計算：1、找到或作出二面角的平面角找到或作出二面角的平面角2、證明證明 1中的角就是所求的角中的角就是所求的角3、計算出此角的大小計算出此角的大小一一“作作”二二“證證”三三“計算計算”162021/8/1412練習練習1 1：已知已知RtRtABCABC在平面在平面 內(nèi)，斜邊內(nèi)，斜邊ABAB在在3030的二的二面角面角-AB-AB-的棱的棱上，若上，若AC=5AC=5，BC=12BC=12，求點，求點C C到平到平面面

8、的距離的距離CO。ACBOD練習練習2 2：已知棱長為：已知棱長為1 1正方體正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1,1,求二面求二面角角C C1 1-BD-B-BD-B1 1的余弦值的大小。的余弦值的大小。二面角O 362021/8/1413二二、二面角的平面角二面角的平面角一一、二面角的定義二面角的定義 從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角1、定義2、求二面角的平面角方法、求二面角的平面角方法點點P在棱上在棱上點點P在一個半平面上在一個半平面上點點P在二面角內(nèi)在二面角內(nèi)ABP小小結(jié)結(jié)ABppABpABO定義法定義法三垂線定理法三垂線定理法垂面法垂

9、面法二面角2021/8/1414cosAOBPABsPOAOBs面向量法2021/8/1415ABCD作業(yè): A A為二面角為二面角 CD CD 的棱的棱CDCD上一點，上一點，ABAB在平面在平面 內(nèi)且與棱內(nèi)且與棱CDCD成成4545角，又角，又ABAB與平面與平面成成30 ，求二面角，求二面角 CD CD 的大的大小。小。二面角2021/8/1416平面與平面垂直的判定定理b 2.判定定理：如果一條直線與一個平面垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面與已知平面垂直. 1.面面垂直的定義：如果兩個面所成的二面角是直二面角，稱兩個平面垂直.記作：.書面語言：.bb2021/8/14173.如圖:RtAB

10、C中, C=Rt, PA平面ABC,圖中有哪些平面互相垂直?ACBP(2)請找(作)出不互相垂直 的平面的二面角的平面角.DE 1 .求證：平面PAC平面PBC.2021/8/1418ABCEDFG如圖所示如圖所示, ABC為正三角形為正三角形,EC平面平面ABC,BDCE,且且CE=CA=2BD,M為為EA的中點的中點, 請作出平面請作出平面EAD和平面和平面BAC所成的二所成的二面角的平面角面角的平面角2021/8/1419思考題思考題如圖，在底面是直角梯形的四棱錐如圖，在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中，中，ABC=900，SA面面ABCD，AD=21SA=AB=BC=1，求：，求：面

11、面SCD與面與面SBA所成所成二面角的正切值。二面角的正切值。SADCBE22（2001年高考題）年高考題）2021/8/1420練習練習1 1如圖，四棱錐如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形，的底面是正方形，PA平面平面ABCD，2PA=AB，求平面，求平面PAB與與平面平面PCD所成的二面角的正切值的大小。所成的二面角的正切值的大小。PABCDl2021/8/1421解解 P是面是面PAB與與PCD的一個公共點，的一個公共點，由公理由公理2知這兩個平面有且僅有過點知這兩個平面有且僅有過點P的一條的一條公共直線，記面公共直線，記面PAB面面PCD=l。CDBA， CD平面平面PAB，又平面，

12、又平面PCD經(jīng)過直線經(jīng)過直線CD且與平面且與平面PAB交于交于l，由直線與平面平行的性質(zhì)由直線與平面平行的性質(zhì)定理知定理知lCD，易證得，易證得APD為平面為平面PAB與平與平面面PCD所成二面角，且所成二面角，且tanAPD=2，即為所求。，即為所求。PABCDl2021/8/1422思考題思考題如圖，在底面是直角梯形的四棱錐如圖，在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中，中，ABC=900，SA面面ABCD，AD=21SA=AB=BC=1，求：，求：面面SCD與面與面SBA所成所成二面角的正切值。二面角的正切值。SADCBE22（2001年高考題）年高考題）2021/8/1423垂直關(guān)系的性質(zhì)

13、aboc如果兩條直線同垂直一個平面，那么這兩條直線平行.1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明：,/ / .abab已知：求證：/ / ,abbooca假設(shè) 與 不平行，在上取點 過點 做,.ac ,.bcbo又這與過一點只能做一條直線與已知平面垂直矛盾/ /.abab2021/8/1424平面和平面垂直的性質(zhì)定理 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.lAB, l 已知：求證：,.ABABl.AB證明：.BBCl在 內(nèi)過點 ，做C,ABABl又ABCl 是二面角的平面角，,90 ,ABC.ABBC即,ABl lBCB.AB2021/8/1425PABl,PA,

14、AABlB過點 作交與點,PB連.lPB則.ABPl 是二面角的平面角一作二連方法：三證四說.三垂線法2021/8/1426ABCD1A1B1C1D2021/8/1427例例2 2如圖如圖P P為二面角為二面角 內(nèi)一點，內(nèi)一點，PA,PBPA,PB,且且PA=5PA=5，PB=8PB=8，AB=7AB=7，求這二面角的度數(shù)。，求這二面角的度數(shù)。 過過PA、PB的平面的平面PAB與與 棱棱 交于交于O點點PA PA PB PB 平面PABAOB為二面角的平面角又PA=5，PB=8，AB=721cosP由余弦定理得由余弦定理得P= 60 AOB=120 這二面角的度數(shù)為這二面角的度數(shù)為120解：解

15、：ABPO二面角2021/8/1428 平行關(guān)系思路方法：線線平行定義、判定定理線面平行面面平行性質(zhì)面 面 平 行 定 義 、 判 定 定 理性質(zhì)定理直線與平面平行定義a,/ /.aa直 線 與 平 面 平 行 的 判 定 定 理直線與平面平行的性質(zhì)定理ab/ ,/ .ab abaab/ / ,/ /bbaab 面面平行判定定理,/ / . 無公共點，面面平行定義oab/ / , / / ,/ / .ababo面面平行性質(zhì)定理ab/ ,/ .abab 面面平行性質(zhì)/ /,/ /.aaa圖形語言書面語言名稱面面平行性質(zhì)定理2021/8/1429垂直關(guān)系思路方法：線線垂直線面垂直面面垂直定 義 、

16、 判 定 定 理定義定義、判定定理性質(zhì)定理直 線 與 平 面 垂 直 定 義直 線 與 平 面 垂 直 判 定 定 理直線與平面垂直定義面面垂直定義面面垂直判定定理面面垂直性質(zhì)定理名稱圖形語言書面語言ababolalABCla,.baab任意,.la lb abol ,.lala90ABC二面角，.a,.aa,.al a la 2021/8/1430推論四個公里及、等角定理名稱圖形語言書面語言1公理2公理3公理4公理等角定理ABCABCABC.點 、 、 不共線,點確定平面l. l, 有公共點，AB,.ABAB直線abc/ / ,/ / ,/ / .ab bcacoABOABOA/OA,OB/OB,AOB= AOB.2021/8/14312021/8/143