2020年廣東省高考數(shù)學(xué)(理科)模擬試卷(7)

1、=120,/ F1PF2的平分線交 x 軸于點 A，則|FA|=（ ） 第 1頁（共 18頁） 2020 年廣東省高考數(shù)學(xué)（理科）模擬試卷（ 7） 選擇題（共 12 小題，滿分 60 分，每小題 5 分） 1.(5 分)已知集合 A = x|(x+2) (x- 3) v 0, B= x|y= 1，則 AA (?RB)=( ) A. -2, 1) B . 1 , 3 C. (-m，- 2) D. (- 2, 1) 2. （ 5 分）若復(fù)數(shù)？?= （1 +?2019 掬 ， Zl=( ) 1 1 A .- B .- C . 1 D . 2 4 2 1 _ _ 3. ( 5 分)已知 a= 32,

2、?= ?= ?03, ?= ?= ?莎莎，則 a, b, c 的大小關(guān)系為( ) A . a bc B . ac b C. bac D. c b a 4. （ 5 分）設(shè) m、n表示不同的直線， a B表示不同的平面，且 m? a, n? B ,則“ all S 是m / B 且 n / a” 的（ ） A .充分不必要條件 B .必要不充分條件 C .充要條件 D .既不充分也不必要條件 5. （ 5 分）已知|?= 2 , （2?- ?丄?則？在？方向上的投影為（ ） A . 2 B . -2 C . 4 D . -4 ? 則 cos2a=( ) 6. （ 5 分）已知 sin2 a= c

3、os a, ?工?, kZ, 3 3 1 1 A .- B . C - D 4 -4 2 -2 7. （ 5 分）已知函數(shù)?（?= ? - ?） a0 且 a豐1,若函數(shù) f （x）在區(qū)間（-1 , 0）上 單調(diào)遞增，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A . 3, 1） B. 4, 1） C. （1 , 9） D. 4 , + -） & （ 5 分）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念.若老師站在正中間，甲 同學(xué)不與老師相鄰，乙同學(xué)與老師相鄰，則不同站法種數(shù)為（ ） A . 24 B . 12 C. 8 D. 6 1 9. （ 5 分）若 x, y 滿足尹+1 0，且 Sn=

4、 4 (an+1). (1 )求an的通項公式； (2)令 cn= anan+1,求數(shù)列an+ 前 n 項和 Tn. v5 A.虧 11. （5 分）已知圓柱的高為 2,若它的軸截面為正方形，則該圓柱的體積為（ 2? A . 3 2n 8? C 3 12. (5 分)已知 f(x)= 1 2cos2 ( 3X+?(30).給出下列判斷: 若 f( x1)= 1 , f (x2)= 1,且 |x1 - x2|min = n,貝 V 3 = 2 ; ? 存在3（ 0, 2）,使得 f （ x）的圖象右移一個單位長度后得到的圖象關(guān)于 6 y 軸對稱; 若 f （x）在0 , 2 n上恰有 7 個零點

5、，則 3的取值范圍為 I41 , 24 47 24 ? ? 若 f （ x）在卜？；訂上單調(diào)遞增，則 3 2 的取值范圍為（0,- 3 其中，判斷正確的個數(shù)為（ C. 3 二.填空題（共 4 小題，滿分 20 分，每小題 5 分) 13. （ 5 分）某校高二（4）班統(tǒng)計全班同學(xué)中午在食堂用餐時間，有 7 人用時為 6 分鐘，有 第 4頁（共 18頁） 18. (12 分)如圖，四棱錐 P ABCD 的底面是菱形， AB = AC = 2, PA= 2V3, PB = PD . (1)證明：平面 FAC 丄平面 ABCD ; （2）若 PA 丄 AC,點 M 在棱 PC 上，且 BM 丄 MD

6、，求二面角 B - AM - C 的余弦值. 19. （12 分）我國全面二孩政策已于 2016 年 1 月 1 日起正式實施.國家統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù) 顯示，從 2012 年到 2017 年，中國的人口自然增長率變化始終不大， 在 5%。上下波動（如 圖）為了了解年齡介于 24 歲至 50 歲之間的適孕夫妻對生育二孩的態(tài)度如何，統(tǒng)計部門 按年齡分為 9 組，每組選取 150 對夫妻進行調(diào)查統(tǒng)計有生育二孩意愿的夫妻數(shù)，得到如 表: 年齡區(qū)24 , 26 27 , 29 30, 32 33 , 35 36, 38 39 , 41 42, 44 45 , 47 48, 50 間 有意愿 80 81 8

7、7 88 84 83 83 70 66 數(shù) （1） 設(shè)每個年齡區(qū)間的中間值為 x,有意愿數(shù)為 y ,求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸直線方程， 并求該模型的相關(guān)系數(shù) r （結(jié)果保留兩位小數(shù)） （2） 從24 , 26 , 33, 35, 39 , 41, 45 , 47 , 48, 50這五個年齡段中各選出一對 夫妻（能代表該年齡段超過半數(shù)夫妻的意愿）進一步調(diào)研，再從這 5 對夫妻中任選 2 對 夫妻求其中恰有一對不愿意生育二孩的夫妻的概率. （參考數(shù)據(jù)和公式：r= 冷?泗 W , ?=磅=1（?巒）（?）, ?s= ?_ ? 心?=（?？?）勺孚?/?）2 孚?=1（?） E?=1 （ Xi-?） （

8、yi-?） = E9?=1xiyi-? E?=1 yi , g?=1Xiyi= 26340 , V224640 773.96.）第 4頁(共 18頁) 中加円攔珀人佔用I擁塔K本 138 TSO 婦迥 IM5 2XI 135 001 3 T T T T 20. (12 分)已知點 P (1, 2)，?= (x- 1, y), ?= (x+1 , y),且 |?+|?= 4，滿足條件的 點 Q (x, y)的軌跡為曲線 C. (1) 求曲線 C 的方程； (2) 是否存在過點(0,- 1)的直線 I，直線 I與曲線 C 相交于 A, B 兩點，直線 PA, PB 與 y 軸分別交于 M ,N 兩

9、點，使得|PM|=|PN|?若存在，求出直線 I的方程；若不存在， 請說明理由. (12 分)已知?(?= 2?- ?(?). (1 )討論函數(shù) f (x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若 f (x)存在極值且 f (x) 0，求實數(shù) a 的取值范圍; 1 2 2 3 (3)求證：當 x 1 時，? + ? ?. 2 3 ?= 1 + ? , / “,， , (10 分)在直角坐標系 xOy 中，曲線 C1的參數(shù)方程為?= ? ? a為參數(shù)).以坐 標原點 0 為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系， 曲線 C2的極坐標方程為 p= 1,直線 I的極坐標方程為?=?=歹歹? ?？ ?)?) (1)求：曲線

10、 C1的普通方程; 曲線 C2與直線 I交點的直角坐標; ? (2)設(shè)點 M 的極坐標為(6 , ?)，點 N 是曲線 C1上的點，求 MON 面積的最大值. 五解答題(共 1 小題) 23.已知函數(shù) f (x)= |x- 3|- 2|x|. (1 )求不等式 f (x)w 2 的解集； (2)若 f (x)的最大值為 m,正數(shù) a, b, c 滿足 a+b+c= m,求證：a2+b2+c23.tf21. 四解答題(共 1 小題，滿分 10 分，每小題 10 分) 22. 人)s 啟人岀席陽咄主啊) 腑呦 打 2012 站1、20 L4 - 故選：A. 第 6頁(共 18頁) 2020 年廣東

11、省高考數(shù)學(xué)（理科）模擬試卷（ 7） 參考答案與試題解析 選擇題（共 12 小題，滿分 60 分，每小題 5 分） 【解答】 解：I A = x|-2vxv 3, B= x|x1, ?RB= x|xv 1, An( ?RB) = ( - 2, 1). 故選：D. C. 1 |z|= 1, 故選：C. a b c. 故選：A. 是 “ m / 3 且 n / a” 的( A .充分不必要條件 B .必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 則“ a/ 3” ? “m / 3且 n/ a”，反之不成立. “ a/ 3”是“ m / 3且 n / a”的充分不必要條件. 故選：A. 【解答】解: m、

12、n表示不同的直線, (X、 3表示不同的平面，且 m?a, n? 3 , 1. (5 分)已知集合 A = x|(x+2) (x- 3) v 0, B= x|y= v? 1，則 An (?RB)=( B . 1 , 3 C. (-m，- 2) D (- 2, 1) 2. （5 分）若復(fù)數(shù)？?= （1+?）2019 ,Zl=( 【解答】解: 復(fù)數(shù)?=(扛)2019 =(2?2019 =i2019=( i2) 1009?i= (-1) 1009?i =- 3. （5 分）已知 1 a= 32, ?= ?= ?，則 a, b, c 的大小關(guān)系為（ A . a bc a c b C. bac D. c

13、 b a 【解答】 解: 1 1 / 32 3 = 1 ,- 2 1- = ?2 1 1, ?V2 v ?V3 =-, 4. （5 分）設(shè) m、n表示不同的直線, (X3表示不同的平面，且 m? a, n? 3，廠a / 3” C .充要條件 第 7頁（共 18頁） （5 分）已知|? = 2 , （2?- ?丄?則？在？方向上的投影為（5. 故選：A. 第 6頁(共 18頁) C. 4 【解答】解：|?= 2, (2?- ?丄? 所以(2?- ?= 2? - ?= 2 X 4-? ?= 0, 解得?= 8; 所以？在？方向上的投影為 I 2sin aCOS a= COS a, COS a 0

14、, 1 sinr , 故選：C. ?) a0 且 a豐1,若函數(shù) f (x)在區(qū)間 單調(diào)遞增，則實數(shù) a 的取值范圍是( 【解答】解：函數(shù)?(?= ?褂-?)a 0 且 1，若函數(shù) f (x)在區(qū)間 單調(diào)遞增, 可知 a (0 , 1),令 g (x)= x3 - ax ,貝U g( x)= 3x2- a,解得 x= v?由 3 次函 3 3 數(shù)的圖象以及單調(diào)性可知， x - v? , V3時，g(x)是單調(diào)減函數(shù)，而 x3-ax0,所以 ? 函數(shù) f (X)在-V- , 0)上單調(diào)遞增， 3 所以 v|?= 1,即 a= 4.|?cos 0 |? 故選：C. ? 8 =- = 4 2 4.

15、6. ( 5 分)已知 sin2 a= COS ? 戸, ?工, k Z，則 COS2 a= 1 C.- 2 【解答】解: T sin2 a= COS a, ? ?工亍k乙 .2 COS2 a= 1 - 2sin a= 1 =1-2 X( 2) 2 1 2. 1 (-2 , 0)上 9 c. (1 , 9) D. ， + OO (-1,0)上 第 9頁（共 18頁） & （ 5 分）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念若老師站在正中間，甲 同學(xué)不與老師相鄰，乙同學(xué)與老師相鄰，則不同站法種數(shù)為（ ） A 24 B 12 C. 8 D 6 【解答】解：根據(jù)題意，分 3 步進行分

16、析： ，老師站在正中間，甲同學(xué)不與老師相鄰，則甲的站法有 2 種，乙的站法有 2 種, ，乙同學(xué)與老師相鄰，則乙的站法有 2 種， ，將剩下的 2 人全排列，安排在剩下的 2 個位置，有 A22= 2 種情況， 則不同站法有 2X 2X 2 = 8 種； 故選：C. 1 9. （ 5 分）若 x, y 滿足尹+1 0).給出下列判斷: 3 若 f( X1)= 1 , f (X2)=- 1,且 |x1 - X2|min = n,貝 V w= 2 ; ? 存在 0, 2),使得 f (x)的圖象右移-個單位長度后得到的圖象關(guān)于 y 軸對稱; 6 41 47 若 f(x)在0, 2 n上恰有 7 個

17、零點，則3的取值范圍為亦,亦 ? ? 2 若 f (x)在卜一上單調(diào)遞增，則 3的取值范圍為(0, 一 PA ( v5+ 1+ v5- 1) V3-V5 2 FA, 所以佰佰= = 乎PA,所以 FA= 11. (5 分)已知圓柱的高為 2,若它的軸截面為正方形，則該圓柱的體積為( 2? A . B . 2 n 3 【解答】解：如圖， 由圓柱的高為 2,軸截面為正方形, 可得底面半徑 r = 1. 8? C 3 該圓柱的體積為 nX 12x 2 = 2 n . 2 5 則取出的 2 支彩筆中含有紅色彩筆的概率為 p= ?= 140 = |. 第 9頁（共 18頁） 其中，判斷正確的個數(shù)為(則取

18、出的 2 支彩筆中含有紅色彩筆的概率為 p= ?= 140 = |. 第 9頁（共 18頁） C. 3 ? 2? ? 【解答】 解：T ?(?= 1 - 2?牛牛 一一) )=-?(2?広広) )=?(2? 周期 3 3 6 2? ? ?= 2?= ? 1 由條件知，周期為 2? ?= 2，故錯誤; 故選：A. 13. （ 5 分）某校高二（4）班統(tǒng)計全班同學(xué)中午在食堂用餐時間，有 7 人用時為 6 分鐘，有 14 人用時 7 分鐘，有 15 人用時為 8 分鐘，還有 4 人用時為 10 分鐘，則高二（4）班全體 同學(xué)用餐平均用時為 7.5 分鐘. 【解【解答】解：因為：有 7 人用時為 6

19、分鐘，有 14 人用時 7 分鐘，有 15 人用時為 8 分鐘, 還有 4 人用時為 10 分鐘； 所以： 平均用時： 7 X 6+14 X 7+15 X 8+4 X 10 =7.5, 7+14+15+4 故答案為：7.5. 14. （ 5 分）有 5 支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫.從這 5 支彩 筆中任取 2 支不同顏色的彩筆，則取出的 2 支彩筆中含有紅色彩筆的概率為 2 . 5 【解答】解：有 5 支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫. 從這 5 支彩筆中任取 2 支不同顏色的彩筆, 基本事件總數(shù) n= ? = 10, 取出的 2 支彩筆中含有

20、紅色彩筆包含的基本事件個數(shù) m= ? =4,? 函數(shù)圖象右移-個單位長度后得到的函數(shù)為 6 ?= ?（2?繆+；?，其圖象關(guān)于 y 軸 3 6 對稱, , ? ? 則則- - + + : 3 6 ? 2 + ?(?) 3=- 1 - 3k (kZ), 故對任意整數(shù) k, 3? (0, 2),故錯誤; 由條件, 由條件, 7? ? - V 2? 2? 12? ? ? - + ? 6 ? ? ? . 6 2 4? ? ? 12? 41 47 ? ?V ，故不正確; 24 24 ?% T + ? 2 ?!，又 3 0,二 0 V ? 3，故正確. 3 二填空題（共 4 小題, 滿分 20 分，每小題

21、 5 分） 第 10頁（共 18頁） 2 2 2 6 b +c a = bc，貝 U tanB= 4 【解【解答】解：由 b2+c2- a2= 6bc 則 sinA= 5, 故答案為5 - 15. （ 5 分）在厶 ABC 中，內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為 ? a，b，c，若右+喬 ? 得 cosA= 2 ? ? - 3 - ?一 2? - 2? 5 ? . 2 16. （5 分）已知曲線r： x = 8y 的焦點為 F，點 P 在曲線r上運動, v2 定點 A (0, -2),則 |? - 的最小值為 |? 【解【解答】解：過 P 做 PQ 垂直于準線 y=- 2 由拋物線的性質(zhì)可得

22、1?1 PF = PQ,所以上一“ |?| |?| =sin / FAQ, |?| 當它最小時即 sin/ PAQ 最小，當且僅當直線 AP 與拋物線相切時, 求得最? ? ? 設(shè)切點 P （m, n）,拋物線的方程為：y= ?，所以 y= ?；所以切線的斜率為： ? 由題意可得：一 4 ?+2 +2 ” f =解得: ? ? |m|= 4, n= 2,所以 tan/ PAQ= 4 = 1, 即 sin / PAQ=乎, |?| 所以 J?的最小值為 |? v2 2 第 10頁（共 18頁） 故答案為：乎?則 + = = 1 ?r 3 1 即+ 一 1 , 4 ? 得一 1 1 + -=， 得

23、 tanB = 4, ?4 ? ? 故答案為：4. 第 11頁(共 18頁) V V / y=-l J Q 三解答題(共 5 小題，滿分 60 分，每小題 12 分) 1 17. (12 分)已知數(shù)列an的前 n 項和為 3, ai = 1, an 0，且 Sn= 4( an+1) (1 )求an的通項公式； (2)令 Cn= anan+1,求數(shù)列 an+ ?前 n 項和 Tn. 【解答】 1 Q 解：(1) a1= 1，且 Sn= 4 (an+1) 2, n 2 時, 1 2 1 2 an= Sn - Sn- 1= (an+1) - ( an -1+1 ), 4 4 化簡可得(an+an -

24、1) (an - an-1- 2)= 0 , 由 an0,可得 an - an-1= 2，即 an為首項為 1，公差為 2 的等差數(shù)列, 則 an= 1+2 (n - 1 )= 2n- 1; (2) cn= anan+1 =( 2n- 1) ( 2n+1), 1 , an+ ?= ( 2n- 1) + (2?-1)(2?+1) = ( 2n - 1) + 1 ( - 2?-1 1 ,2?+1 、 1 1 可得前 n 項和 Tn=( 1+3+ +2n -1) +2 (1- 3 + -5+ ? + 2?-1 2?+1 1 , 、 1 宀 1 、 2 ? =尹(1+2 n - 1) + 2 (1-

25、2?+1)= n + 2?+1 18. (12 分)如圖，四棱錐 P-ABCD 的底面是菱形, AB = AC = 2, PA= 2V3 , PB = PD . (1)證明：平面 FAC 丄平面 ABCD ; (2)若 PA 丄 AC,點 M 在棱 PC 上，且 BM 丄 MD，求二面角 B - AM - C 的余弦值. I 【解答】解：(1)證明：連結(jié) AC, BD，交于點 0,連結(jié) PO, 四棱錐 P-ABCD 的底面是菱形， AB= AC = 2, PA = 2v3, PB = PD. AC 丄 BD, P0 丄 BD, / ACn P0 = O , BD 丄平面 PAC, / BD?平

26、面 ABCD，平面 FAC 丄平面 ABCD . (2)解：T PA 丄 AC,平面 PAC 丄平面 ABCD , PA 丄平面 ABCD , 取 BC 中點 E,連結(jié) AE,貝U AE 丄 AD, 以 A 為原點，AE 為 x軸，AD 為 y 軸，AP 為 z 軸，建立空間直角坐標系， 則 B ( v3, - 1, 0) , D (0, 2 , 0), C (v3 , 1 , 0), P (0 , 0 , 2 込), 設(shè) M (a , b , c), ?= ?,?) w 入w 1 , ( a , b , c- 2v3)=入(v3 , 1 , - 2v3),解得 a= v3? b =入 c=

27、2v3 - 2v3? M (v5?入，2 v3 - 2 v5?, ?= (v3?2 v3,廿 1 , 2 v3 - 2 v3?, ?= ( v3?入-2 , 2 v3 - 2 v3?, 點 M 在棱 PC 上,且 BM 丄 MD, ?= ( v3?- v3) ?v3?+ (廿 1 )(入2) + (2v3 - 2v3? (2 v3 - 2 v3? = 0 , I 解得入=1或?= 5 （舍）, M v3 1 - (了 , 2, e, ?= (3 , 1, v3), ?= 0), ?=(v3, 1, 0), 設(shè)平面 ABM 的法向量？?= X y , z), ?= 則 . ? = v3 1 ?F

28、 ?+ 飛/3?4 2 2 v3?- ?= 0 0,取 x= v3，得？?= (v3 , 3 , - v3), 設(shè)平面 的法向量?= （a , b , c）, 第 12頁 （共 18頁） 第 13頁（共 18頁） 19. （12 分）我國全面二孩政策已于 2016 年 1 月 1 日起正式實施.國家統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù) 顯示，從 2012 年到 2017 年，中國的人口自然增長率變化始終不大， 在 5%。上下波動（如 圖）為了了解年齡介于 24 歲至 50 歲之間的適孕夫妻對生育二孩的態(tài)度如何，統(tǒng)計部門 按年齡分為 9 組，每組選取 150 對夫妻進行調(diào)查統(tǒng)計有生育二孩意愿的夫妻數(shù)，得到如 表：

29、年齡區(qū)24 , 26 27 , 29 30, 32 33 , 35 36, 38 39 , 41 42, 44 45 , 47 48, 50 間 有意愿 80 81 87 88 84 83 83 70 66 數(shù) （1） 設(shè)每個年齡區(qū)間的中間值為 x,有意愿數(shù)為 y,求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸直線方程， 并求該模型的相關(guān)系數(shù) r （結(jié)果保留兩位小數(shù)） （2） 從24, 26, 33 , 35 , 39 , 41, 45 , 47 , 48 , 50這五個年齡段中各選出一對 X3 1 ?2= 丄？丄？+、/3?2= 0 則 . 2 - 2 - 2 ? 0 取 a= v3，得?= 設(shè)二面角 B-AM -

30、C 的平面角為 0, 則二面角 B-AM - C 的余弦值為: |? 6 cos 0=- |?|?|? vi5?vi2 第 14頁(共 18頁) 夫妻（能代表該年齡段超過半數(shù)夫妻的意愿）進一步調(diào)研，再從這5 對夫妻中任選 2 對 第 14頁(共 18頁) 夫妻求其中恰有一對不愿意生育二孩的夫妻的概率. (參考數(shù)據(jù)和公式： r= 礙=1(?)(?) ?=罵?=1(?藥?)(?)? ? ? o o , oo 2 , . ？ E?/?)2?#?/?藥?) 2 9?=1(?) E?=1 ( Xi-?) ( yi-?) = E?=ixiyi-?E?=iyi, jj?=ixiyi = 26340, V22

31、4640 773.96.) 申 H 內(nèi)攔總?cè)薾F吋I擁塔K卓 ?9?=iyi= 37 X 720= 26640, E?=ixiyi= 26340, 故駕?=1 (xi-?) (yi-?) = E?=ixiyi-? Z9?=i yi = 26340 - 26640 =- 300, 由 E?=1 (? ?J = 540 , Z9?=1 (? ?2 = 416 , 故 E?=i (? ?2 ?刀?=1 (? ?2 = 540 X 416 = 224640 , 24, 26, 33 , 35 , 39 , 41這三個年齡段超過半數(shù)夫妻有生育二孩的意愿, 在45 , 47 , 48 , 50這兩個年齡段

32、中超過半數(shù)夫妻沒有生育二孩的意愿， 故設(shè)隨機變量 X 表示從 5 對夫妻中任選 2 對，不愿意生育二孩的夫妻個數(shù) 隨機變量 X 的分布列如下:【解【解答】解：(1)根據(jù)題意Z?=1xi= 333, ?= 333 =37 , E?=1 ?= 720 , ?= 80 , 所以？?=罵?=1(?)(?) = -300_ t?/?)2 540 5 5 5, ?= ? ?= 80+ 9 X 37 100.56 , 9 9 故線性回歸方程為 y= - 9 ?+ 100.56 , 9 相關(guān)系數(shù) r= 瑕1(?外?)(?)= Vt?=1(?/?)2 ?=1 (?-?)2 224640 300 473.96 -

33、0.63 (2)根據(jù)題意, 24 , 26, 33 , 35, 39 , 41, 45 , 47, 48, 50這五個年齡段中, 140060 二 .二 “ 13 則?(? 0) ?(?= 1)= ?(?= 2)= 所以存在直線 I符合題意，且方程為 y= 1x- 1 或 y= fx- 1. 第 15頁(共 18頁) P 0.3 0.6 0.1 EX= 0X 0.3+1 X 0.6+2 X 0.1 = 0.8. 3 - 20. (12 分)已知點 P (1, 2)，?=(X- 1, y), ?= (x+1 , y),且 |?+|?= 4，滿足條件的 點 Q (x, y)的軌跡為曲線 C. (1

34、) 求曲線 C 的方程； (2) 是否存在過點(0,- 1)的直線 I，直線 I與曲線 C 相交于 A, B 兩點，直線 PA, PB 與 y 軸分別交于 M ,N 兩點，使得|PM|=|PN|?若存在，求出直線 I的方程；若不存在， 請說明理由. 【解答】解：(1)設(shè) F1 (- 1, 0), F2 (1, 0), 由?= (x- 1, y), ?= ( x+1, y), |?1+|?= 4 , 可得 2(? 1)2+ ? + V (? 1)2 + ? =4 ,即為 |QF1|+|QF2|= 4 , 由 4 |F1F2| ,可得 Q 的軌跡是以 F1 (- 1 , 0) , F2 (1, 0

35、)為焦點，且 2a = 4 的橢圓， ? ? 由 c = 1 , a= 2,可得 b= V?- ? = v3,可得曲線 C 的方程為 + = 1; 4 3 (2)假設(shè)存在過點(0 , - 1)的直線 l 符合題意. 當直線 I的斜率不存在，設(shè)方程為 x= 0,可得 M , N 為短軸的兩個端點， |PM|=|PN不成立； 當直線 I的斜率存在時，設(shè)方程為 y= kx- 1 , A (x1 , kx1- 1), B (x2 , kx2- 1), 由|PM|= |PN| ,可得 kpM+kPN= 0,即 kPA+kPB= 0 , ,?= ?-? 1 r 2 2 由2 可得(3+4k2) x2- 8

36、kx- 8 = 0 , 3?鄉(xiāng) + 4? = 12 由(0 , - 1 )在橢圓內(nèi)，可得直線 I與橢圓相交， =0,化為 2kx1x2 - (k+|) (X1+x2) +5 = 0 , X1 +X 8? 2， 3+4?2 X1x2=- 8 2， 3+4?2 ?-1 所以存在直線 I符合題意，且方程為 y= 1x- 1 或 y= fx- 1. 第 15頁(共 18頁) 化為-16k- 8k (k+ 2) +5 (3+4k2)= 0,即為 4k2 - 12k+5 = 0,解得 k=扌或 k= | ,則 2k (- 8 2 3+4? 8? 3+4?2 +5 = 0 , (1 )討論函數(shù) f (x)的

37、單調(diào)區(qū)間; (2)若 f (x)存在極值且 f (x) 0，求實數(shù) a 的取值范圍； 1 2 2 3 (3 )求證：當 x 1 時，一 ? + ? ?. 2 3 【解答】解：(1)顯然定義域為(0, +R), , ? ?-? f( x)= x-= ? ? 當 aw 0 時，f( x) 0,函數(shù) f (乂乂)在(0, + s)上是單調(diào)遞增函數(shù), 當 a0 時，令 f( x)= 0，得 x= v? 在(0, V?上 f( x)v 0, f (x)是單調(diào)遞減函數(shù)； 在(V? +s) 上 f，( x) 0, f (x)是單調(diào)遞增函數(shù). a 0, 21. (12 分)已知?(?= 2? -?(?). 存

38、在極值且 f ( x) 0 , 只需 f (x) min0, 由上知 f (x) min= f ( V? 1 1 1 =2a- 2alna= a (1 - Ina) a (0, e (3 )設(shè) F (x) = 3?- 1?- ? 3 2 F ( x)= 2x2- x- ?= (?-1)(2?嚴?+1), ? / x 1, F ( x) 0,即 F (乂乂)在(1, + s)上為增函數(shù), (x) F(1)訂 0, (x) 0 在(1, + s)上恒成立, 故當 x 1 時，丄？ + ? ?. 2 3 四.解答題(共 1 小題，滿分 10 分，每小題 10 分) 22. (10 分)在直角坐標系 xOy 中，曲線 C1的參數(shù)方程為 ?= ? 為參數(shù)).以坐 標原點 O 為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系， 曲線 C2的極坐標方程為 p= 1,直線 第 16頁(共 18頁