(完整word版)高考求函數(shù)值域及最值得方法及例題,訓(xùn)練題

1、函數(shù)專題之值域與最值問題一.觀察法通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。例 1 求函數(shù) y=3+V(2- 3x)的值域。點撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出V(2- 3x)的值域。解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知V(2- 3x)0故 3+V(2- 3x)3函數(shù)的知域為點評：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：(1)被開方數(shù)的非負(fù)性，(2)值的非負(fù)性。本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。練習(xí)：求函數(shù) y=x(O x 嘲值域。(答案：值域為：0, 1, 2, 3 , 4, 5)二反函數(shù)法當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時，則其反函數(shù)的定

2、義域就是原函數(shù)的值域。例 2 求函數(shù) y=(x+1)/(x+2)的值域。點撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。解：顯然函數(shù) y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1 2y)/ (y- 1),其定義域為 y 工1的實數(shù)，故函 數(shù) y 的值域為 yIyz1,y R 。點評：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。練習(xí)：求函數(shù) y=(10 x+10-x)/(10 x 10-x)的值域。(答案：函數(shù)的值域為 yIy1)三.配方法當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時，可以利用配方法求函數(shù)值域例 3 :求函數(shù)

3、y=V(x2+x+2)的值域。點撥：將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。解：由X2+X+2 0,可知函數(shù)的定義域為 x 1 , 2。此時x2+x+2= ( x 1/2 ) 2 + 9/4 0 , 9/40Ax2+x+2w3/2，函數(shù)的值域是0,3/2點評：求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用，而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。練習(xí)：求函數(shù) y=2x 5 +V1 4x 的值域.(答案:值域為yIyQ解得：2vx0 )。五. 最值法對于閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù) y=f(x),可求出 y=f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)的極值,并與邊界值 f(a).f(b)

4、作比較，求出函數(shù)的最值，可得到函數(shù) y 的值域。例 5 已知(2x2-x- 3)/(3x2+x+1)w且滿足 x+y=1,求函數(shù) z=xy+3x 的值域。點撥：根據(jù)已知條件求出自變量x 的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。解： 3x2+x+1 0,上述分式不等式與不等式 2x2-x- 30同解，解之得1wxw3/2 又x+y=1，將 y=1-x 代入 z=xy+3x 中，得 z=-x2+4x(- 1wxw3/2), z=-(x-2)2+4 且 x -1,3/2,函數(shù) z 在區(qū)間-1,3/2上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。當(dāng) x=-1 時，z= 5 ;當(dāng) x=3/2 時，z=15/

5、4。函數(shù) z 的值域為 zI 5wzw15/4。點評：本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對開區(qū)間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。練習(xí)：若 Vx 為實數(shù)，則函數(shù) y=x2+3x-5 的值域為()A . ( , + )B . 7，+m C . 0，+ )D . 5,+ )(答案：D )。六. 圖象法通過觀察函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。例 6 求函數(shù) y=Ix+1I+V(x2)2 的值域。點撥：根據(jù)絕對值的意義，去掉符號后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。解：原函數(shù)化為2x+1 (xw1)y= 3 (- 12)它的圖象如圖所示。顯然函數(shù)值 y3 所以，函數(shù)值域3,+

6、點評：分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點。禾 U 用函數(shù)的圖象求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問題的重要方法。求函數(shù)值域的方法較多，還適應(yīng)通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值 域。七. 單調(diào)法利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。例 1 求函數(shù) y=4x Vt3x(xw1/3 的值域。點撥：由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，即g(x)= V1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為 xw1/3 在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域。解：設(shè) f(x)=4x,g(x)= Vt3x ,(xw1/3 易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而 y=f(x)+g(x)= 4xV1-3

7、x在定義域為 xw1/3 上也為增函數(shù)，而且 ywf(1/3)+g(1=4/3,因此，所求的函數(shù)值域為y|yw4/3。點評：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù) y=3+“4-x 的值域。(答案： y|y3)八. 換元法以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進(jìn)而求出值域。例 2 求函數(shù) y=x- 3+V2x+1 的值域。點撥：通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值，確定原函數(shù)的值域。解：設(shè) t=V2x+1 (t0，則x=1/2(

8、t2-1)。于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4 1/24=-7/2.所以，原函數(shù)的值域為y|y 7/2 o點評：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。練習(xí)：求函數(shù) y=Vx-x 的值域。(答案： y|y 三 3/4 九. 構(gòu)造法根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。例 3 求函數(shù) y=Vx2+4x+5+Vx24x+8 的值域。點撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識，確定出函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為 f(x)=V(x+2)2+1+V22+22作一個長

9、為 4、寬為 3 的矩形 ABCD，再切割成 12 個單位正方形。設(shè) HK=x,貝 U ek=2-x ,KF=2+x,AK=V(2 -x)2+22 ,KC=/ (x+2)2+1。由三角形三邊關(guān)系知，AK+KO AC=5。當(dāng) A、K、C 三點共線時取等號。原函數(shù)的知域為 y|y5。點評：對于形如函數(shù) y=Vx2+a “x)2+b(a,b,c 均為正數(shù))，均可通過構(gòu)造幾何圖形，由 幾何的性質(zhì)，直觀明了、方便簡捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。練習(xí)：求函數(shù) y=Vx2+9 +V-5)2+4 的值域。(答案： y|y 5V2)十.比例法對于一類含條件的函數(shù)的值域的求法，可將條件轉(zhuǎn)化為比例式，代入目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)

10、而求出原函數(shù)的值域。例 4 已知 x,y R，且 3x-4y-5=0,求函數(shù) z=x2+y2 的值域。點撥：將條件方程 3x-4y-5=0 轉(zhuǎn)化為比例式，設(shè)置參數(shù)，代入原函數(shù)。解：由 3x-4y-5=0 變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k 為參數(shù)) x=3+4k,y=1+3k, z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。當(dāng) k= 3/5 時,x=3/5,y= 4/5 時,zmin=1。函數(shù)的值域為 z|z .點評：本題是多元函數(shù)關(guān)系，一般含有約束條件，將條件轉(zhuǎn)化為比例式，通過設(shè)參數(shù)，可 將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式，這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法，具有一定的創(chuàng)

11、新意識。練習(xí)：已知 x,y R，且滿足 4x-y=0,求函數(shù) f(x,y)=2x2-y 的值域。(答案：f(x,y)|f(x,y)1十一利用多項式的除法例 5 求函數(shù) y=(3x+2)/(x+1)的值域。點撥：將原分式函數(shù)，利用長除法轉(zhuǎn)化為一個整式與一個分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=3 - 1/(x+1)。/ 1/(x+1),0故 y3函數(shù) y 的值域為的一切實數(shù)。點評：對于形如 y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方法。練習(xí)：求函數(shù) y=(x2-1)/(x- 1)(x 工的值域。(答案：y2)十二不等式法例 6 求函數(shù) Y=3x/(3x+1)的值域。點撥：先求

12、出原函數(shù)的反函數(shù)，根據(jù)自變量的取值范圍，構(gòu)造不等式。解：易求得原函數(shù)的反函數(shù)為y=log3x/(1-x),由對數(shù)函數(shù)的定義知x/(1-x) 01-XM0解得，Ovx1。函數(shù)的值域(0, 1 )。點評：考查函數(shù)自變量的取值范圍構(gòu)造不等式(組)或構(gòu)造重要不等式，求出函數(shù)定義域，進(jìn)而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應(yīng)用非常廣泛。是數(shù)學(xué)解題的方法之一。以下供練習(xí)選用：求下列函數(shù)的值域1Y=V(15-4x)+2x-5;(y|y1 或 y0)3(x3，則f2.A.9B.C. -91-I 1,xE R, T2 丿，ry| y =log2(x 1),x-1?，則S T等于A. 0y|y-o3.F 列函數(shù)

13、中值域是(0, +8)的函數(shù)是4.5.1A.y=5B.11yTC.定義在 R 上的函數(shù)y= f(x)的值域為a,y -1 2xD.b,則f (x 1)的值域為A. :a,b B. :a+1,b+12y= 的定義域是(-：,1)2,5x -11 :,0),2 B.(- ,2)C.(-2函數(shù)A.(-C.:a 1,b- 1 D.，則其值域是無法確定 1 二,)2,+：D.(0,+:)26.函數(shù)A.y二I2y =lgx2(k 3)x4的值域為 R,則實數(shù) k 的取值范圍是一7乞k 1B.k0)的值域為-1，4，則a,b的值為2x 317.函數(shù)y = x 3-x 5x乞00 x g(2x)二f(4x 1

14、)，實際是將原函數(shù)圖象的點的橫坐標(biāo)縮短變?yōu)樵瓉淼亩种?，縱坐標(biāo)不變。故最值不變。_ 1 110.提示：由a b = 1 = 1二a b _ 2 . ab = ab4，4 ab1 1 1:1=(a b)114 = 5a bab二、 填空題14.7 ；15.4012；16.a=4, b=3 ；17. 4；18.2。15.提示：丄 = f(a)用賦值法或令f(x)=2xf (b)三、 解答題19.解析先確定函數(shù)的定義域，正確選擇方法，并作出相應(yīng)的數(shù)式變換.(1 )函數(shù)的定義域為x =-1,且x=5,令u =x2-4x-5 = (x-2)2一9, u _ -9 且 u = 0,444即u 0或-9

15、_ u：00或9函數(shù)的值域為4U(0,XC)；，9a bab 04x - 5) = 4,即 yx2- 4yx -(5y4) = 0,當(dāng)y = 0時，得一 4=0,矛盾，.y = 0,x R(x一 ：T,且x = 5),2:=16y4y(5y4)丄0= y(9y 4)丄0,解得函數(shù)的值域為(-：,-4(0,：).9(2)函數(shù)的定義域為L：，1.作換元，令-2X =t= x 0),t2-112yt (t 1)2-1rf(t)在0：)上為增函數(shù),(注)這里運(yùn)用了不等式性質(zhì):解法二原函數(shù)等價于y(x222.y_f(0)=冷，函數(shù)的值域為-2，匸：)；解法二令fjx) =-x, f2(x)_2x,.原函

16、數(shù)y = f!(x)f2(x), fl(x)與f2(x)在定義域內(nèi)都是減函數(shù),原函數(shù)y = f(x)在定義域(-：,*是減函數(shù),而當(dāng)x一：時，:,函數(shù)的值域為2(3)函數(shù)的定義域為 X1,2yfG)_-，2x 1yx2-(-1)1(:- 02得(2 -y)x+bx+c-y=0,(*)228c b2即 4y- 4(2+c)y+8cb 0，由已知得 2+c=1+3 且=1x34b= 2,c=2 又b0, b=- 2,c=2,而y 2=0,b=- 2,c=2 代入(*)式得x=0b= 2,c=2 為所求121121 .解：打f (x) =(X -)2 _ 對稱軸為X =2221(1 )3 -x一0

17、- -,f(x)的值域為f (0), f(3)，即-；，11,對稱軸xa,a - 1,1 47】4打；a2二a 1一 -丄2-,2 2區(qū)間a, a 1的中點為xa-,21111當(dāng)a,即-1 _ a時，2221211f(x)max= f(a 1), (a 1)2(a 1)-1641623916a48a 27 = 0二a (a不合)；4411312當(dāng)a,即 a：-1時，f (x)max= f (a) -2 2 2 1621 125 1 a a , 16a16a - 5 = 0= a (a不合)；41644綜上，a4 或a1315如果a -1-即 a 2 時 g(x)min=g(-4如果 a-1 -

18、即a時 g(x)在-1)上為減函數(shù) g(x)min二 g (a -1) = (a -1)22 23 .2532r1r2312當(dāng) a 時(a 1) -(a ) =(a )0 當(dāng) a 時(a1) -( a) =(a )04224綜合得：22. (1)證明:x 1 -aa - x結(jié)論成立x 1 - a 2a - x 1 - a f (x) 2 f(2a - x)2axa 2a+xc ax+1 x+1a+2a2xa + x 12x a=J(a-x).丄a - xa - x11當(dāng)a x乞a 1時一a -1 _ X _ a(2)證明:f (x)乞 axE，2112 a x1-3 豈-1 - -2即f (x)值域為-3,-2a x