第2講直接證明與間接證明

1、第 2 講直接證明與間接證明一、選擇題1設(shè) a， b R，則“ ab1”是“ 4ab1”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析 若“ab1”，則 4ab4a(1a) 4 a12 ”，；若“21 14ab 1取 a 4， b 1， a b 3，即 “a b 1” 不成立；則 “a b 1” 是“4ab1”的充分不必要條件答案A2對于平面 和共面的直線 m，n，下列命題中真命題是()A若 m，mn，則 nB若 m， n，則 m nC若 m? ， n，則 m nD若 m，n 與 所成的角相等，則 m n解析對于平面 和共面的直線 m，n，真命題是 “若 m? ，n

2、，則 mn”答案C3要證： a2b2 1 a2b20，只要證明() 2 2044ABa2 b2 1a b02ab1a b2C. ab 21a2b2 0D(a2 1)(b2 1)02解析因為 a22 220? (a21)(b21) ，故選D.b1a b0答案D4設(shè) a， b 是兩個實數(shù)，給出下列條件：ab>1； a b 2； ab>2； a2b2；>2ab>1.其中能推出：“ a，b 中至少有一個大于 1”的條件是()ABCD解析若 a1， 2，則ab>1，但a<1，b<1，故推不出；2b3若 ab1，則 ab2，故推不出；若 a 2， b 3，則 a2

3、b2>2，故推不出；若 a 2， b 3，則 ab>1，故推不出；對于，即 a b>2，則 a， b 中至少有一個大于 1，反證法：假設(shè) a1 且 b1，則 ab2，與 ab>2 矛盾，因此假設(shè)不成立， a，b 中至少有一個大于1.答案C5設(shè)a， b， c 均為正實數(shù)，則三個數(shù)1 1 1 ab， b c， c a()A都大于 2C至少有一個不大于2B都小于 2D至少有一個不小于2解析a0，b0，c0，1ab1b c1c a1a a1b b1c c 6，當(dāng)且僅當(dāng)abc 時，“ ”成立，故三者不能都小于2，即至少有一個不小于2.答案D6如果 A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分

4、別等于A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則()A A1 B1C1 和 A2B2C2 都是銳角三角形B A1B1 C1 和 A2B2C2 都是鈍角三角形C A1B1C1 是鈍角三角形， A2 B2C2 是銳角三角形D A1 B1C1 是銳角三角形， A2B2C2 是鈍角三角形解析由條件知， A1B1C1 的三個內(nèi)角的余弦值均大于0，則A1B1C1 是銳角三角形，假設(shè)A2B2 C2 是銳角三角形sin A2cos A11，2 1sin 2AA2A ，不妨令sin B2cos B1sin 2B1，得 B22B1，sin C2cos C1 sin 2C1，C22C1.那么， A2 B2C22，這與三角形

5、內(nèi)角和為相矛盾所以假設(shè)不成立，所以 A2B2C2 是鈍角三角形答案D二、填空題7用反證法證明命題“ a， b N，ab 可以被 5 整除，那么 a， b 中至少有一個能被 5 整除”，那么假設(shè)的內(nèi)容是 _解析“至少有 n 個 ”的否定是 “最多有 n 1 個”，故應(yīng)假設(shè)a，b 中沒有一個能被 5 整除答案a， b 中沒有一個能被5 整除8設(shè) a>b>0，mab，nab，則 m，n 的大小關(guān)系是解析取 a2，b1，得 m<n.再用分析法證明：_ab<ab?a<bab?a<b2b·abab?2b·ab>0，顯然成立答案m<n199

6、已知 a，b，(0， )且 a b 1，則使得 ab恒成立的 的取值范圍是_1 9解析 a，b(0， )且ab1， 199a b102916，a b 的最小值為 16.a b(ab) a b10b a要使ab恒成立，需 16，0<16.答案(0,1610已知下表中的對數(shù)值有且只有一個是錯誤的.x35689lg x2a bac 11 a b c3(1 a c)2(2ab)試將錯誤的對數(shù)值加以改正_解析由 2ablg 3，得 lg 92lg 32(2a b)從而 lg 3 和 lg 9 正確，假設(shè) lg5 a c 1 錯誤，則由1abclg 6 lg 2 lg 3，lg 2 1 a c，3

7、1ac lg 83lg 2，得lg 3 2ab，所以 lg 51lg 2ac.因此 lg 5a c1 錯誤，正確結(jié)論是lg 5ac.答案lg 5ac三、解答題11若 a，b，c 是不全相等的正數(shù)，求證：lga b2 lgb c2 lgca2 lg a lg blg c.證明a，b，c (0， )，ab2b cab 0，2a cbc0，2 ac0.又 a，b，c 是不全相等的正數(shù)，故上述三個不等式中等號不能同時成立ab bc ca 2 ·2 · 2 abc 成立上式兩邊同時取常用對數(shù)，得 lgab bc calg(abc)，2·2 ·2abbcc alg2

8、lg 2 lg2 lg alg blg c.12設(shè)數(shù)列 an 是公比為 q 的等比數(shù)列， Sn 是它的前 n 項和(1)求證：數(shù)列 Sn 不是等比數(shù)列；(2)數(shù)列 Sn 是等差數(shù)列嗎？為什么？(1)證明假設(shè)數(shù)列 Sn 是等比數(shù)列，則 S22 S1S3，即 a21(1q)2 a1·a1·(1qq2)，因為 a10，所以 (1q)21qq2，即 q0，這與公比 q0 矛盾，所以數(shù)列 Sn 不是等比數(shù)列(2)解當(dāng) q 1 時， Sn na1，故 Sn 是等差數(shù)列；當(dāng) q1 時， Sn 不是等差數(shù)列，否則 2S2S1S3，即 2a1(1 q)a1a1(1q q2)，得 q0，這與公

9、比 q0 矛盾13已知 f(x) x2ax b.(1)求： f(1)f(3)2f(2) ；1(2)求證： |f(1)|，|f(2)|， |f(3)|中至少有一個不小于 2.(1)解f(1)ab1，f(2)2ab4，f(3)3ab9， f(1)f(3)2f(2)2.1(2)證明假設(shè) |f(1)|， |f(2)|，|f(3)|都小于2.111111則 2<f(1)<2，2<f(2)<2，2<f(3)<2， 1<2f(2)<1， 1<f(1)f(3)<1. 2<f(1)f(3)2f(2)<2，這與 f(1)f(3)2f(2)2 矛盾假設(shè)錯誤，即所證結(jié)論成立14對于定義域為 0,1 的函數(shù) f(x)，如果同時滿足以下三條：對任意的 x 0,1 ，總有 f(x)0；f(1) 1；若 x10，x2 0，x1x2 1，都有 f(x1x2) f(x1)f(x2)成立，則稱函數(shù) f(x) 為理想函數(shù)(1)若函數(shù) f(x)為理想函數(shù)，求f(0)的值；(2)判斷函數(shù) g(x)2x 1(x 0,1) 是否為理想函數(shù)，并予以證明解 (1)取 x1x20 可得 f(0)f(0) f(0)， f(0)0，又由條件得 f(0)0，故 f(0