數(shù)學(xué)分析三試卷及答案

1、;.數(shù)學(xué)分析 ( 三 ) 參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一 .計(jì)算題（共8 題，每題 9 分，共 72 分）。1.求函數(shù) f ( x, y)3x sin 13y sin 1 在點(diǎn) (0,0)處的二次極限與二重極限 .yx解： f ( x, y)3 x sin13 y sin13 x3y，因此二重極限為 0 .(4 分)yx因?yàn)?lim 3x sin13y sin1 與 lim 3x sin13y sin1 均不存在，x 0yxy 0yx故二次極限均不存在。(9 分)2. 設(shè) yy( x), 是由方程組z xf ( xy), 所確定的隱函數(shù) , 其中 f 和 F 分別zz(x)F ( x, y, z)0具有

2、連續(xù)的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù), 求 dz .dx解： 對(duì)兩方程分別關(guān)于x 求偏導(dǎo) :dzf (xy)xf( xdy，dxy)(1)dx(4分)FxFydyFzdz0。dxdx解此方程組并整理得dzFyf ( xy)xf ( xy)( FyFx )(9分)dxFyxf (xy)Fz.3.取 ,為新自變量及ww(,v) 為新函數(shù)，變換方程2 z2 zzz 。x2x yx設(shè)xy ,xy ,wzey（假設(shè)出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)） .22解： z 看成是 x, y 的復(fù)合函數(shù)如下：wxy,xy(4分)zy , w w( , ),22。e代人原方程，并將 x, y, z變換為 ,w 。整理得：2 w2 w2w 。(9分)

3、24. 要做一個(gè)容積為 1m3 的有蓋圓桶 , 什么樣的尺寸才能使用料最省 ?解： 設(shè)圓桶底面半徑為 r , 高為 h, 則原問(wèn)題即為： 求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最小值，其中目標(biāo)函數(shù) :S表2 rh2 r 2 ,;.'.約束條件 :r 2 h1。r 2r 2h(3 分)構(gòu)造 Lagrange 函數(shù)：F (r , h,)2rh 2(1) 。令Fr2h4 r2 rh0,(6 分)Fh2rr 20.解得 h2r ，故有 r31, h34由題意知問(wèn)題的最小值必存在，當(dāng)?shù)酌姘?.徑為 r31高為 h34時(shí)，制作圓桶用料最省。(9 分)2,y35. 設(shè) F ( y)e x2 y dx , 計(jì)算 F

4、 ( y) .y2解：由含參積分的求導(dǎo)公式y(tǒng)3x2 yy32x2 y2x2 yx2 y (5 分)F ( y)y 2edxy 2x edx 3yex y32 yex y2yy32ydx 3y2e y72 ye y5y2 x2 e x7 y2e y75 ye51y32ydx 。(9 分)y2 e x222yyx2y22xy6. 求曲線所圍的面積，其中常數(shù) a,b, c 0 .a2b2c2解：利用坐標(biāo)變換xacos ,由于 xy0 ，則圖象在第一三象限，從而可y b sin .以利用對(duì)稱性，只需求第一象限內(nèi)的面積。,0,0abcos 。(3分 )c2 sin2則ab1(x, y)2V 2d d22

5、dc 2 sincos(6 分)( , )00ab da2b22 sincosdc20a2b2(9分)2c2.52,其中 L是圓柱面7. 計(jì)算曲線積分 3zd xxd y2y21與 平面yd zxLz y 3的交線（為一橢圓），從 z 軸的正向看去，是逆時(shí)針?lè)较?.解： 取平面 z y 3上由曲線 L 所圍的部分作為 Stokes 公式中的曲面 ，定向?yàn)樯蟼?cè)，則 的法向量為;.'.cos,cos,cos0,1,1。 (3 分)22由 Stokes 公式得coscoscos3zdx5xdy 2 ydzdSLxyz3z5x2 y2dS (6 分)22dxdyx2 y2 12(9 分)8.

6、計(jì)算積分, S 為橢球 x2y2z21的上半部分的下側(cè).yzdzdxa2b2c2S解：橢球的參數(shù)方程為 xa sin cos, ybsinsin , z c cos，其中02,02, 且( z, x)ac sin2sin。(3 分)(,)積分方向向下，取負(fù)號(hào)，因此，yzdzdx22 bac2 sin3 cossin2d(6 分)0d0bac22d2 sincosd0sin 2304abc2(9 分)二 . 證明題（共3 題，共 28 分）。9. （9 分）討論函數(shù) f (x)xy3,x2y20x2y4在原點(diǎn) (0,0) 處的連續(xù)性、0,x2y20可偏導(dǎo)性和可微性 .解：連續(xù)性：當(dāng) x2y20

7、時(shí)，xy2x2y4yy，當(dāng) x, y0,0 ，f ( x)x2y4 yx2y4 220從而函數(shù)在原點(diǎn) 0,0處連續(xù)。(3 分)可偏導(dǎo)性： f x 0,0limf0x,0f0,00，0xxfy0,0limf0,0yf0,00 ，yy0;.'.即函數(shù)在原點(diǎn)0,0 處可偏導(dǎo)。(5分 )ffx x f y yx y31不存在，可微性： limx2y2limyx2x2y2 0x2 y2 0 x24y2從而函數(shù)在原點(diǎn) 0,0處不可微。(9分 )10. （ 9 分） （9 分） 設(shè) F x, y 滿足：（1）在 Dx, yx x0a,y y0b 上連續(xù)，（2） F x0 , y00 ，（3）當(dāng) x

8、固定時(shí)，函數(shù) Fx, y是 y 的嚴(yán)格單減函數(shù)。試證：存在0，使得在xxx0上通過(guò) F x, y0 定義了一個(gè)函數(shù) yy( x) ，且 yy( x) 在上連續(xù)。證明：（i ）先證隱函數(shù)的存在性。由條件（ 3）知，F(xiàn) x0 , y在y0b, y0b上是y的嚴(yán)格單減函數(shù)，而由條件（2）知 F x0 , y00 ，從而由函數(shù) Fx0 , y 的連續(xù)性得F x0 , y0b 0 ， F x0 , y0b 0 ?，F(xiàn)考慮一元連續(xù)函數(shù) F x, y0b 。由于 Fx0 , y0b 0 ，則必存在 1 0 使得F x, y0b 0 ， x O ( x0 , 1) 。同理，則必存在20 使得F x, y0b 0

9、 ， x O ( x0 , 2 ) 。取min( 1, 2 ) ，則在鄰域 O (x0 , ) 內(nèi)同時(shí)成立Fx, y0b0 ，F(xiàn) x, y0b0 。 (3 分 )于是，對(duì)鄰域 O( x0 ,) 內(nèi)的任意一點(diǎn) x ，都成立Fx, y0b0 ，F(xiàn)x, y0b0。固定此 x ，考慮一元連續(xù)函數(shù)Fx, y 。由上式和函數(shù) Fx, y 關(guān)于 y 的連續(xù)性可知，存在 Fx, y 的零點(diǎn) yy0b, y0b 使得F x, y 0。而 F x, y 關(guān)于 y 嚴(yán)格單減，從而使 F x, y 0 的 y 是唯一的。再由 x 的任意性，證明了對(duì):O ( x0 ,) 內(nèi)任意一點(diǎn)，總能從Fx, y0 找到唯一確定的y

10、 與 x 相對(duì)應(yīng)，即存在函數(shù)關(guān)系f :xy 或 yf ( x) 。此證明了隱函數(shù)的存在性。 (6 分 )（ ii ）下證隱函數(shù) yf ( x) 的連續(xù)性。設(shè) x* 是:O ( x0 ,) 內(nèi)的任意一點(diǎn)，記y* :fx*。對(duì)任意給定的0 ，作兩平行線yy*，yy*。由上述證明知;.'.F x* , y*0 ， F x* , y*0 。由 F x, y的連續(xù)性，必存在 x* 的鄰域 O (x* , ) 使得F x, y*0 ， F x, y*0，x O (x* , ) 。對(duì)任意的 xO (x* ,) ，固定此 x 并考慮 y 的函數(shù) F x, y，它關(guān)于 y 嚴(yán)格單減且F x, y*0 ，

11、 F x, y*0 。于是在 y*, y*內(nèi)存在唯一的一個(gè)零點(diǎn)y 使F x, y0 ，即 對(duì)任意的 xO (x* , ) ，它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 y 滿足 yy*。這證明了函數(shù)y f ( x) 是連續(xù)的。(9 分)111dx 在 02 上是否一致收斂，并給出證明。11. （ 10 分）判斷積分xsin0x證明：此積分在 02 上非一致收斂。證明如下：作變量替換 x1 ，則t11sin11sin tdt 。(3 分)0 xdxt 2x1不論正整數(shù) n 多么大，當(dāng) tA , A2n,2n3時(shí)，恒有44sin t2 。(5 分)2因此，A1sintdt2A1dt(7 分)At 22At 2214t2At2

12、22時(shí)。20 ，當(dāng)42n344因此原積分在 02 上非一致收斂。(10 分)注：不能用 Dirichlet判別法證明原積分是一致收斂的。原因如下：盡管對(duì)任意的 B1 積分Bsin tdt 一致有界，且函數(shù)1關(guān)于 x 單調(diào)，但是當(dāng)1t221x時(shí)，關(guān)于0,2并非一致趨于零。事實(shí)上，取t n, 相應(yīng)地取1t1112，則 limlim1 0 ，并非趨于零。nt211tnn nlim nnn 數(shù)學(xué)分析 3模擬試題;.'.一、解答下列各題（每小題5 分，共 40 分）1 、 設(shè) zln(xy), 求xzyzxy ；uzsiny ,x3s22t, y4s2t 3 , z 2s23t 2 ,u ,u2

13、 、x求 stuexsin(x2u1),x( 2,3 、設(shè)y求y 在點(diǎn)處的值；4 、求由方程 xyzx2y2z22 所確定的函數(shù) zz( x, y) 在點(diǎn) (1,0,1)處的全微分 dz；5 、求函數(shù) uln( x 2y2z2 ) 在點(diǎn) M (1,2, 2) 處的梯度 gradu(1,2,2) ；6 、求曲面 zez2xy3 在點(diǎn)（ 1 ，2 ，0）處的切平面和法線方程；e xe 2 x7 、計(jì)算積分：0xdx；8 、計(jì)算積分：I1dx1ey2dy0x；x 2y2z21二、 (10 分 )求內(nèi)接于橢球a 2b2c2的最大長(zhǎng)方體的體積， 長(zhǎng)方體的各個(gè)面平行于坐標(biāo)面。三、（ 10 分 ） 若 D

14、是 由 xy1和兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域，且1( x)dxf ( x)dxdy( x).D0，求yarctgd, 其 中 D 是 由 圓 周 x2y24, x2y2四、（ 10 分）計(jì)算 Dx1 及y0 y x 所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.ILex (1cosy)dx( y sin y)dy五、（ 10分）計(jì)算，其中 L為0x，0 y sin x 的全部邊界曲線，取逆時(shí)針?lè)较?。I( xy z)dS六、（10分）計(jì)算，其中是半球面x 2y2z2a 2 , z0(a0) 。sin(xy)dx在 y(,) 內(nèi)的一致收斂性。七、（ 10 分）討論含參變量反常積分4x 2;.'.參考答案一、解

15、答下列各題（每小題5 分，共 40分）1 、 設(shè) zxzyzln(xy), 求xy ；z111;z111xxy2xyxy 2y解：；x zy z1x1y1xxyxy2y22。uzsin y ,x3s22t, y4s2t 3 , z 2s22 、xuuxuyuz解： sxsyszsz cos yy6szcos y14sin y 4sxx2xxx6 yzscos y4z cosy4ssin yx 2xxxxuuxu yuztxtytztzcos yy2z cos y1(6t 2 )sin y ( 6t )xx 2xxx2 yz2 cos y6t2 z cos y6t sin yxxxxxuexsi

16、n(x),2u1)yx( 2,3 、設(shè)求y 在點(diǎn)處的值；ux2 ex cos(x )解：yyy2 ue x( x1) cos(xxxx yy2)sin( )yyy2 u12e2x y ( 2, )。4 、求由方程 xyzx2y2z22 所確定的函數(shù) z處的全微分 dz；解：在原方程的兩邊求微分，可得3t 2 ,u , u求 s t ；z( x, y) 在點(diǎn) (1,0, 1);.'.yzdxxzdyxydzxdxydyzdz0x 2y2z2將 x1, y0, z1 代入上式，化簡(jiǎn)后得到dzdx2dy5、求函數(shù) uln( x 2y2z2 ) 在點(diǎn) M (1,2,2) 處的梯度 gradu(

17、1,2,2) ；graduu ,u ,u解：xyz2x2 ,2 y,2zx22zx2y2z22y2z2yxgradu(1,2,2)221,2,9。6、求曲面 zez2 xy3在點(diǎn)（ 1 ， 2， 0）處的切平面和法線方程；解：記 F ( x, y, z)zez2 xy3,n(2 y,2 x,1ez )( 4,2,0)在點(diǎn)（ 1 ，2 ，0 ）處的法向量為：(1,2,0)則切平面方程為：4( x1)2( y2)0, 即 2xy4 0x 1 y 2 z 0x 2y 3 0法線方程為：420，即z0。exe2 x7、計(jì)算積分：0xdx；e xe解：xe0而 f ( x, y)2 x2xydye1xe

18、2 x2e xy dydxxdx01exy在0, )1,2上連續(xù)， 且 0e xydx在 1 ，2 上一致收斂， 則可交換積分次序，于是有2exydx2 1ln 2dydy原式101 y。8、計(jì)算積分：I1dx1e y 2dy；0x解：交換積分順序得：I1 e y 2 dyy dx1 ye y2 dy1 (1 e 1 ).0002x 2y2z21八、求內(nèi)接于橢球a 2b2c2的最大長(zhǎng)方體的體積，長(zhǎng)方體的各個(gè)面平行于坐;.'.標(biāo)面。解：設(shè)長(zhǎng)方體在第一卦限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y,z ），則長(zhǎng)方體的體積為：V8 xyzLxyzx2y2z21a2b2c2拉格朗日函數(shù)為yz2 x0(1)a 2ax

19、z2 y0( 2)xb23xy2z0( 3)bc2yx 2y23z21( 4)c由 a 2b2c2z解得：3a , b , c根據(jù)實(shí)際情況必有最大值，所以當(dāng)長(zhǎng)方體在第一卦限內(nèi)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為3 3 3Vmax8abc.時(shí)體積最大。33九、若D 是 由xy1和兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域，且f ( x)dxdy1( x)dx0( x).D，求f ( x)dxdy11x1(1 x) f ( x)dx0dxf ( x)dy00解：D( x)(1x) f ( x).arctg y d, 其中 D 是由圓周 x 2y24, x2y2十、計(jì)算Dx1 及 y 0 yx 所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.D(r ,) 0

20、4,1 r 2解：y4d2rdr23204darctg d011rdrDx64 。十一、ILex (1cosy)dx( ysin y)dy， 其 中 L 為 0 x，計(jì) 算0 y sin x 的全部邊界曲線，取逆時(shí)針?lè)较?。QPyex解：由格林公式：xy;.'I所以;.yex dxdyex dxsin xydy00D1e x sin2 xdx1 (1e).2 05I( xyz)dS十二、計(jì)算，其中是半球面x 2y2z2a 2 , z0(a0) 。I( xy x)1zx2zy2 dxdy解：D :x 2y2 a2( xya 2x2y2 )a 2ay2dxdya 3 .Dx 2sin(xy)

21、dx在 y( , ) 內(nèi)的一致收斂性。十三、討論含參變量反常積分4x 2sin(xy)11dx解：4 x 24x 2，而4x 22 收斂，sin(xy)dx) 內(nèi)的一致收斂。所以由 M 判別法知，4 x 2在 y(,;.'. 數(shù)學(xué)分析 3模擬試題十四、 解答下列各題（每小題5 分，共 40分）1 、設(shè) z x y ( x 0, xx z1 z1) ，求 y xln x y ；zz、 zu2vv2 u,y ；2ux cosy, vx sin y，求 x2 z3 、設(shè) zx ln( xy) ，求xy ；4、設(shè) z 是方程 xy zez 所確定的 x 與 y 的函數(shù)，求 dz ；5、求函數(shù)

22、zxe 2 y 在點(diǎn) P(1,0) 處沿從點(diǎn) P(1,0) 到點(diǎn) Q(2,1) 的方向?qū)?shù)；6、已知曲面 z4x2y2上點(diǎn) P 處的切平面平行于平面2x 2 y z 1，求P 點(diǎn)的坐標(biāo)。e 2 xe 3 x7、計(jì)算積分：0x11x2I0 dyy e8、計(jì)算積分：dx;dx；x 2y2z,二、 (10分 )原點(diǎn)到曲線xyz1 的最大距離和最小距離。f ( x 2y2z2 )dxdydzR( x)dx三、（10分）已知0， 其中為球體 ：x 2y2z2R2，求( x).(2 x y) 2 dxdy四、（ 10分）計(jì)算 D，其中 D 是由圓周 x 2y21所圍成的區(qū)域。五、（ 10Ixy 2 dyx 2 ydx2y21，取