第二章4矩陣的秩

1、14 矩陣的秩給定矩陣111212122212.nnmmmnaaaaaaAaaa 矩陣的行11112122122212(,),(,),(,),nnmmmmnaaaaaaaaa 可以看作 個 維行向量。mn矩陣的列看作n個m維列向量11121212221212,.nnnmmmnaaaaaaaaa3定義定義 行行 (列列)向量組的秩稱為矩陣向量組的秩稱為矩陣A的行的行(列列)秩秩.定理定理 矩陣的初等行矩陣的初等行(列列)變換不改變其行變換不改變其行(列列)秩秩.證明證明 初等行變換把行向量組變成等價向量組.1222122212122(1),;(2),0;(3),.mmmmmmkkk 難能可貴的是

2、定理定理 矩陣的初等行矩陣的初等行(列列)變換不改變其列變換不改變其列(行行)秩秩 .證明為避免復(fù)雜記號掩蓋證明的實(shí)質(zhì)我們針對34矩陣書寫證明，并且設(shè)A的行秩為2.不妨設(shè)前2個行向量組成極大無關(guān)組.設(shè)交換前兩列的位置得矩陣B.5111213141211131421222324222123243132333432313334,aaaaaaaaAaaaaBaaaaaaaaaaaa前兩個向量線性無關(guān)，齊次方程組1112121212221312321412420000a xa xa xa xa xa xa xa x 只有零解. 前兩個方程交換后的方程也只有零解，故B的前兩個向量線性無關(guān) .其它初等變換

3、類似.列初等變換相當(dāng)對應(yīng)齊次方程的初等變換，方程組同解。6三個行向量線性相關(guān)，相當(dāng)齊次方程組有非零解,于是前兩個方程交換后也有非零解。故B的秩也是2.其它兩個列初等變換類似考慮.由證明看出，列變換保持行向量之間的線性關(guān)系，即如果 成立，則列初等變換后所得向量 滿足1112123131212223231312323331412423430000a xa xa xa xa xa xa xa xa xa xa xa x 1122mmxxxo12,m 1122.mmxxxo7定理定理 矩陣矩陣A的行秩等于矩陣的列秩的行秩等于矩陣的列秩.證明證明 零矩陣的行秩和列秩都是零，自然相等.設(shè)A=(aij)mn

4、是非零矩陣,不妨設(shè)a110.進(jìn)行初等變換：12122222222110000.00nnnmmnmmnaaaaaaAaaaa81001001 行秩=r,列秩=r,故行秩=列秩.推論推論 矩陣經(jīng)過初等變換可以化成標(biāo)準(zhǔn)形矩陣經(jīng)過初等變換可以化成標(biāo)準(zhǔn)形.定義定義 矩陣A行秩和列秩的公共值稱為矩陣的秩,記作r(A).矩陣標(biāo)準(zhǔn)形定義定義 行行( 列列)滿秩矩陣：滿秩矩陣：r(Amn)=m(n).推論推論 r(A) min(m,n).9引理引理 如果矩陣如果矩陣A=(aij)mn中有一個中有一個r階子式不階子式不等于零等于零,則則r(A) r.證明 不妨設(shè)A的左上角的子式不等于零,即111212122212

5、0.rrrrrraaaaaaaaa 于是r個r維的行向量線性無關(guān),于是原矩陣的前r個向量線性無關(guān),故R(A) r.1011121212221112, ().nnrrrnaaaaaaAr Araaa證明證明必要性 設(shè)r(A)=r.則A的行向量組中有r個是線性無關(guān)的,不妨設(shè)是前r行向量線性無關(guān).設(shè)定理定理 矩陣矩陣A=(aij)mn的秩等于的秩等于r 的充要條件是的充要條件是 A有一個有一個r 階子式不等于零，并且所有階子式不等于零，并且所有r+1階子階子式等于零式等于零.11A1的列向量組的秩也是r,于是有r 個列向量線性無關(guān),不妨設(shè)就是前r 個列向量線性無關(guān).于是1112121222120.r

6、rrrrraaaaaaaaa 如果A有r+1子式不等于零,由前面的引理,r(A) r+1,矛盾。12充分性 由于A有一個r階子式不等于零，由引理r(A) r.A 的所有r+1階子式等于零,由行列式展開定理,所有大于r階的子式都等于零.如果r(A)=sr,根據(jù)必要性,A必有一個s階子式不等于零,矛盾.故r(A)=r.13例例 化下列矩陣A為標(biāo)準(zhǔn)形, 求r(A):13452270.33912A解對矩陣A進(jìn)行初等變換1345134504110411 ,012330000( )2.Ar A 14例 求矩陣A的秩，其中88231222126 .11132A 解解 對矩陣A進(jìn)行行初等變換，把它化為階梯形：

7、11132111322221260041810882340062715A1511132111320029500295 .0029500000( )2.r A 16例例 給定下列向量組，求其一個極大無關(guān)組，并且用它線性表示其余向量：1234(1, 1,2,1,0),(2, 2,4, 2,0),(3,0,6, 1, 1),(0,3,0,0,1).解一 用 作為行向量構(gòu)造矩陣1234, 123411210224203061103001A 171234121314112102242030611030011121020004030304103001A 18121314121314311121020004

8、0303041030011121020004030304100040 1912131431131214321112102000403030413000401121030304120004000000 2013121432143214321123412312341231121030304120004000000( )3.=0,=.(,)(,),(,)= (,)=3,r Arr 123,. 線性性無無關(guān)21解二把所給向量作為列向量組成矩陣，并進(jìn)行初等行變換，12301230120300332460000012100440001100111230123001100110001100110000000000000000A2212