多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用

1、 第八章第八章 第六節(jié)一、幾何應(yīng)用一、幾何應(yīng)用三、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用三、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用1.1.空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面2. 曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線二、二元函數(shù)可微的幾何意義二、二元函數(shù)可微的幾何意義回顧回顧: 平面平面曲線的切線與法線曲線的切線與法線 已知平面光滑曲線已知平面光滑曲線),(xfy ),(00yx切線方程切線方程0yy 法線方程法線方程0yy 若平面光滑曲線方程為若平面光滑曲線方程為, 0),( yxF,),(),(ddyxFyxFxyyx 故在點(diǎn)故在點(diǎn)),(00yx切線方程切線方程法線方程法線方程)(0yy

2、 ),(00yxFy )( ),(000 xxyxFx 0 )(00 xxxf )()(100 xxxf 在點(diǎn)在點(diǎn)有有有有因因 0)( ),(000 yyyxFx),(00yxFy)(0 xx 一、一、幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用)0)(0 xf過點(diǎn)過點(diǎn) M 與切線垂直的平面稱為曲線在與切線垂直的平面稱為曲線在極限位置極限位置. T空間光滑曲線空間光滑曲線 在點(diǎn)在點(diǎn) M 處的處的切線切線為此點(diǎn)處割線的為此點(diǎn)處割線的該點(diǎn)的該點(diǎn)的法平面法平面.1.空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 M(1) 曲線方程為參數(shù)方程的情形曲線方程為參數(shù)方程的情形)( )(, )(, )(:ttztytx 寫成向量形式：寫

3、成向量形式：) )(, )(, )()(ttttr ,)(, )(, )(0可可導(dǎo)導(dǎo)都都在在當(dāng)當(dāng)tttt) )(, )(, )()(0000ttttr 上點(diǎn)上點(diǎn) 處的切線的方向向量處的切線的方向向量 ),(000zyxM).(, )(, )(000000tztytx 其中其中由第七章由第七章 知知 MT000zzyyxx )(0t )(0t )(0t 上點(diǎn)上點(diǎn) 處的切線方程處的切線方程 ),(000zyxM此處要求此處要求)(, )(, )(000ttt 稱為曲線稱為曲線的的切向量切向量如個(gè)別為如個(gè)別為0, 不全為不全為0, )(, )(, )(tttT 則理解為相應(yīng)的分子為則理解為相應(yīng)的分子

4、為 0 .)(, )(, )(000tttT 曲線曲線上點(diǎn)上點(diǎn) 處的處的切向量切向量 .),(000zyxM指向參數(shù)指向參數(shù)t增大的方向增大的方向.:)(00 xxt 也是法平面的法向量也是法平面的法向量,)( )(00yyt 0)(00 zztT因此得因此得 法平面方程法平面方程 曲線曲線上點(diǎn)上點(diǎn) 處的處的),(000zyxM o)(trTM注注 )()(xzxy若光滑曲線若光滑曲線表示為：表示為： )()(xzxyxx切線方程：切線方程：000zzyyxx 1)(0 x )(0 x 法平面方程：法平面方程：)(0 xx )( )(00yyx 0)(00 zzx 切切向向量量：處處則則在在點(diǎn)

5、點(diǎn),),(000zyxM )(),(, 100 xxT ： 0),(0),(zyxGzyxF )()(xzxy有有由由,0)(),(,(0)(),(,( xxxGxxxF 0)()(0)()(xGxGGxFxFFzyxzyx (2) 曲線方程為一般方程的情形曲線方程為一般方程的情形)0),(),( zyGFJ若若xx 可求得曲線可求得曲線 )(),(, 100 xxT 0)()(0)()(xGxGGxFxFFzyxzyx MxyxyzxzxGGFFJGGFFJ 1,1, 1,1MyxyxxzxzGGFFGGFFJJ .zyzyGGFFJ 其其中中切向量求法之一切向量求法之一處的切向量：處的切向

6、量：在在),(000zyxM 000zzyyxx 于是在點(diǎn)于是在點(diǎn)),(000zyxM切線方程：切線方程：處有處有MzyGF),(),( MxzGF),(),( MyxGF),(),( 或或 MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(切向量求法之二切向量求法之二xyz法平面方程為：法平面方程為：. 0)()()(000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFMyxyxMxzxzMzyzy求曲線求曲線: tuuduex0cos tysin2 tcos , tez31 在在0 t處的切線和法平面方程處的切線和法平面方程. 解解當(dāng)當(dāng)0 t時(shí)，時(shí)， , 2, 1, 0 zy

7、x,costext ,sincos2tty ,33tez )2, 1, 0(M切切點(diǎn)點(diǎn)：例例1)3, 2, 1( 0),( tzyxT切切向向量量：求空間曲線的切線求空間曲線的切線(或法平面或法平面)：一求切點(diǎn)；二求切向量一求切點(diǎn)；二求切向量.切線方程切線方程:,322110 zyx法平面方程法平面方程:, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即例例2 求曲線求曲線0,6222 zyxzyx在點(diǎn)在點(diǎn)M ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程處的切線方程與法平面方程. MzyGF),(),( 解解(方法方法1), 6222zyxGzyxF 令令則則切向量切向量;0),(),(

8、MxzGFMzy1122 Mzy)(2 ;6 6),(),( MyxGF)6,0, 6( xyz MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(點(diǎn)點(diǎn) M ( 1,2, 1)， 切向量：切向量：)6,0, 6( T切線方程切線方程121 zyx即即. 02 y066 , 02zx法平面方程法平面方程0)1(6)2(0)1(6 zyx即即0 zx, 0dd2dd22 xzzxyyx 每個(gè)方程兩邊對(duì)每個(gè)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得. 0dddd1 xzxyxzddxydd曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn) M(1,2, 1) 處的處的切向量切向量為為:解得解得,zyxz zyyx )1,

9、0,1( MMxzxyTdd,dd,1(方法方法2) . 0,6:222zyxzyx切線方程切線方程121 zyx即即 0202yzx法平面方程法平面方程0)1()1()2(0)1(1 zyx即即0 zx01 1(方法方法3) 將在后面介紹將在后面介紹.點(diǎn)點(diǎn) M (1,2, 1) 處的切向量處的切向量)1,0,1( T2.曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線(1) 形如形如 z = f (x, y) 的曲面的切平面與法線的曲面的切平面與法線),(00yxfx 0),(yyyxfz在點(diǎn)在點(diǎn) M0 處的切線處的切線是曲線是曲線對(duì)對(duì) x 軸的斜率軸的斜率.xTM0 tan00),(ddxxyxfx

10、xTM0 x yzo0yy 0M),(00yxP 0),(yyyxfz ),(00yxfy在點(diǎn)在點(diǎn) M0 處的切線處的切線是曲線是曲線對(duì)對(duì) y 軸的斜率軸的斜率.00),(ddyyyxfy tan 0),(xxyxfzyTM0 x yzoyTM0 0 xx 0M),(00yxP 0),(xxyxfz曲線曲線xTM0 0),(yyyxfz在點(diǎn)在點(diǎn)M0 處的處的切向量切向量為：為：0),(, 0, 1(0Mxyxf ),(, 0, 1(00yxfx 同理，同理，0)dd,dd, 1(Mxzxy 曲線曲線在點(diǎn)在點(diǎn)M0 處的處的切向量切向量為：為： 0),(xxyxfzyTM00)dd, 1,dd(M

11、yzyx 0),(, 1, 0(0Myyxf ),(, 1, 0(00yxfy 0),(xxyxfzyxMTMT 與與確定的平面確定的平面為曲面為曲面z = f (x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn)),(,(0000yxfyxM處的處的切平面切平面.定義定義 設(shè)設(shè) z = f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 稱由切線稱由切線x yzo0yy ),(00yxPxTM0yTM00MyTM00M0 xxTM0切平面的法向量切平面的法向量:yxMTMTn ),(10),(010000yxfyxfkjiyx ),(, 0, 1(000yxfTMxx ),(, 1, 0(000yx

12、fTMyy kjyxfiyxfyx ),(),(0000) 1, ),(, ),(0000 yxfyxfnyx曲面曲面z=f (x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)M0的的法向量法向量x yzo0yy ),(00yxPxTM0yTM00MyTM00M0 xxTM0稱通過點(diǎn)稱通過點(diǎn))( ),(000 xxyxfx )( ),(000yyyxfy 0)(0 zz切平面的直線為切平面的直線為曲面曲面z = f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)M處處的法線的法線.),(000yxfz 記記),(000zyxM且垂直于且垂直于法線方程法線方程:1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx:切切平平面面方方程程求曲面的切平

13、面求曲面的切平面(或法或法線線)方程方程:一求切點(diǎn)一求切點(diǎn), 二二求曲面的法向量求曲面的法向量.x yzo0yy ),(00yxPyTM0 xTM00 x法線法線0M,用用表示法向量的方向角表示法向量的方向角,并并假定假定法向量方向法向量方向向上向上,.為為銳銳角角則則 法向量：法向量：) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx 將將),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff分別記為分別記為則則法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：注注 1 法向量的方向余弦法向量的方向余弦x yzo0yy ),(00yxPyTM0 xTM00 x法線法線0M,1cos,1cos2222yxyy

14、xxffffff .11cos22yxff 法向量法向量) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx 的的方向余弦：方向余弦：2可以證明：可以證明：在曲面在曲面 上通過點(diǎn)上通過點(diǎn)M0且在點(diǎn)且在點(diǎn)M0處有切線的處有切線的任一任一曲線曲線在該點(diǎn)的在該點(diǎn)的切線切線都在都在同一平同一平面面(曲面曲面 的的切平面切平面)上上.設(shè)曲面設(shè)曲面 的的方程為方程為:),(yxfz ),(0000zyxM 處處連連續(xù)續(xù)，則則在在),(,00yxffyxnT0MM0t0nT0MM0t0),(),(),(000tttT 曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn)M0 處的切向量：處的切向量：在曲面在曲面 上任取一條上任取一條,)()(

15、)(: tztytx 證證通過點(diǎn)通過點(diǎn)M0 的曲線的曲線曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn)M0 處的切線方程處的切線方程.)()()(000000tzztyytxx 上上在在曲曲線線 )(),()(ttftz )()(),()()(),()(tttftttftyx 故故0)()(),()()(),()(0ttyxtttftttft )(),()(),(000000tyxftyxfyx 0)(1)(),()(),(0000000 ttyxftyxfyx 即即) 1, ),(, ),(0000 yxfyxfnyx 曲面曲面z = f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)M0的法向量的法向量, 0 TnTn 即即所所確確定定和和其其

16、上上的的點(diǎn)點(diǎn)曲曲面面由由而而0Mn 的的平平面面上上，為為法法向向量量且且以以處處的的切切線線必必在在過過點(diǎn)點(diǎn)在在點(diǎn)點(diǎn)nMM00 即在切平面上即在切平面上.再由再由 的任意性，可知命題成立的任意性，可知命題成立.例例3解解.)3 , 1 , 1(222方方程程處處的的切切平平面面方方程程及及法法線線在在點(diǎn)點(diǎn)求求橢橢圓圓拋拋物物面面yxz ,2),(22yxyxf 記記則則 ),(yxfx ),(yxfy,)1 ,1(處處在在點(diǎn)點(diǎn),4)1 , 1( xf,2)1 ,1( yf n故故法法向向量量).1,2,4( 從從而而0)3()1(2)1(4 zyx,4x,2 y即即. 0324 zyx:法法

17、線線方方程程.132141 zyx:切切平平面面方方程程),1 , 1(xf),1 ,1(yf)1 (2) 形如形如 F(x, y, z)=0 的曲面的切平面與法線的曲面的切平面與法線若光滑曲面若光滑曲面 ： , 0),( zyxF函數(shù)函數(shù) F(x, y, z) 具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且 ),(000zyxM, 0),(000 zyxFz則則0),(: zyxF),(:yxfz 隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理法向量：法向量：)1),(),(0000 yxfyxfnyx,(zxFF ,zyFF 0)1M ),(1000zyxFz ),(000zyxFy),(000zyxFz

18、),(000zyxFx)1),(),(0000 yxfyxfnyx,),(),(000000zyxFzyxFzx ,),(),(000000zyxFzyxFzy )1 ),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面曲面F(x, y, z)= 0在點(diǎn)在點(diǎn)M0的的法向量法向量)( ),(0000 xxzyxFx 法線方程法線方程 000zzyyxx )( ),(0000yyzyxFy 0)(,(0000 zzzyxFz切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFznM 例例4 求橢球面求橢球面3632222 zyx在點(diǎn)在點(diǎn)

19、(1 , 2 , 3)處的切平面及法線方程處的切平面及法線方程. 解解3632),(222 zyxzyxF所以在球面上點(diǎn)所以在球面上點(diǎn) (1 , 2 , 3) 處有處有:切平面方程切平面方程 )1( x03694 zyx即即法線方程法線方程.321 zyx)2(4 y149法向量法向量令令)6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1( n)9,4,1(2 0)3(9 z注注 0),(0),(:zyxGzyxF求光滑曲線求光滑曲線切向量的切向量的第三種第三種方法：方法：),(, ),(, ),(0000000001zyxFzyxFzyxFnzyx ),(, ),(, ),(00000

20、00002zyxGzyxGzyxGnzyx 21nnT ,1nT 2nT 1 T1n2n 0M2 處的切向量：處的切向量：在點(diǎn)在點(diǎn)曲線曲線0M )/(210nnGGGFFFkjiMzyxzyx 例例2 解解（方法方法3） 切線方程切線方程121 zyx06222 zyxzyx與與曲面曲面即即02 y曲線的切向量：曲線的切向量：066 0,6222 zyxzyx在點(diǎn)在點(diǎn)M ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程處的切線方程與法平面方程. 求曲線求曲線的法向量分別為：的法向量分別為：),1 , 2, 1(2 MMzyxn)2 ,2 ,2(1 ),1 , 1 , 1(2 Mn)6,0, 6(

21、)1 , 1 , 1()1 , 2, 1( MT, 0)1(6)2(0)1(6 zyx法平面方程法平面方程 , 02zx即即. 0 zx二、二元函數(shù)可微的幾何意義二、二元函數(shù)可微的幾何意義二元函數(shù)二元函數(shù) z = f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)可可微微),(00yxP),(),(00yxfyxf )(,()(,(000000yyyxfxxyxfyx ),(),(00yxfyxf)(,(000 xxyxfx ),(),(00yxPUyxM )()(,()(,(000000 oyyyxfxxyxfyx )()(2020yyxx )(,(000yyyxfy )(,()(,(),(00000000yyyxf

22、xxyxfyxfzyx 0),()(,()(,(00000000 yxfzyyyxfxxyxfyx曲面曲面z =f (x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)處處 的的切平面方程切平面方程),(,(00000yxfyxM記上式右端為記上式右端為 z ,即即x yzo),(00yxP0Mn于是有于是有幾何意義幾何意義由由f(x,y)z知知，若若Z=f (x, y)在在P(x0,y0)可微，可微，則曲面則曲面Z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)M0 (x0,y0 , f(x0,y0)近旁的一小部分近旁的一小部分可用該點(diǎn)的切平面來近似可用該點(diǎn)的切平面來近似.f (x, y)z，而而可知當(dāng)可知當(dāng) 三、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用三、全微分在

23、近似計(jì)算中的應(yīng)用1. 利用近似公式作計(jì)算利用近似公式作計(jì)算由全微分定義由全微分定義xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx ),(yyxxf yyxfxyxfyx ),(),(較小時(shí)較小時(shí),yyxfxyxfzzyx ),(),(dzd及及有近似等式有近似等式: ),(yxf(用于誤差分析用于誤差分析) (用于近似計(jì)算用于近似計(jì)算) 半徑由半徑由 20cm 增大增大解解 已知已知,2hrV V,100,20 hr)1(2005. 01002022 V即受壓后圓柱體體積減少了即受壓后圓柱體體積減少了 .cm2003例例5 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到到 20.05cm

24、, 則則 rrh 2hr 21,05. 0 hr)cm(2003 高度由高度由100cm 減少到減少到 99cm ,柱體體積的近似改變量柱體體積的近似改變量. 求此圓求此圓例例6 計(jì)算計(jì)算的近似值的近似值. 02. 204. 1解解 設(shè)設(shè)yxyxf ),(, ,則則 ),(yxfx取取, 2, 1 yx則則)02. 2,04. 1(04. 102. 2f yfxffyx )2, 1()2, 1()2, 1(08. 102. 0004. 021 ),(yxfy,1 yxyxxyln02. 0,04. 0 yx分別表示分別表示 x , y , z 的絕對(duì)誤差限的絕對(duì)誤差限, ,2. 2. 利用近似

25、公式作誤差估計(jì)利用近似公式作誤差估計(jì)利用利用yyxfxyxfzyx ),(),(zyx,令令z 的的絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差限約為約為yyxxzyxfyxf),(),( z 的的相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限約為約為yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),( 即即則則,xx ,yy ,zz 例例7 利用公式利用公式CbaSsin21 1 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba求計(jì)算面積時(shí)的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差求計(jì)算面積時(shí)的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差.解解aSaS aCbsin21 1800,01. 0,30,3 . 8, 5 .12CbaCba 13. 0 S故絕對(duì)誤差約為故絕對(duì)

26、誤差約為又又CbaSsin21 所以所以 S 的相對(duì)誤差約為的相對(duì)誤差約為SS 30sin3 . 85 .1221bCasin21 CCabcos21 94.25 94.2513. 0 %5 . 0 計(jì)算三角形面積計(jì)算三角形面積. .現(xiàn)測(cè)得現(xiàn)測(cè)得bbS CCS 例例8 在直流電路中在直流電路中, 測(cè)得電壓測(cè)得電壓 U = 24 伏伏 ,解解 由歐姆定律可知由歐姆定律可知4624 IUR( 歐歐)所以所以 R 的相對(duì)誤差約為的相對(duì)誤差約為 IURIUR0.3 + 0.5 R 的絕對(duì)誤差約為的絕對(duì)誤差約為 RR0.8 0.3;定律計(jì)算電阻定律計(jì)算電阻 R 時(shí)產(chǎn)生的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差時(shí)產(chǎn)生的相對(duì)誤差

27、和絕對(duì)誤差 .相對(duì)誤差為相對(duì)誤差為 測(cè)得電流測(cè)得電流 I = 6安安, 相對(duì)誤差為相對(duì)誤差為 0.5 ,= 0.032 ( 歐歐 )= 0.8 求用歐姆求用歐姆1. 空間曲線的切向量空間曲線的切向量（1）參數(shù)式情況）參數(shù)式情況. )()()(:tztytx空間光滑曲線空間光滑曲線切向量切向量?jī)?nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))(, )(, )(000tttT 空間光滑曲線空間光滑曲線 0),(0),(:zyxGzyxF切向量切向量 （2）一般式情況）一般式情況.,),(),(MzyGF ,),(),(MxzGF MyxGF),(),( TMxzxyT dd,dd,1),(, ),(, ),(0000000001

28、zyxFzyxFzyxFnzyx ),(, ),(, ),(0000000002zyxGzyxGzyxGnzyx 21nnT 2. 曲面的法向量曲面的法向量（1） 曲面方程為隱式曲面方程為隱式, 0),( zyxF其其法向量法向量),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx （2） 曲面方程為顯式曲面方程為顯式),(yxfz 其其法向量法向量)1 ,(yxffn 其其中中思考題思考題1.前面當(dāng)前面當(dāng)0),(),( zyGFJ時(shí)推出了曲線時(shí)推出了曲線 ： 0),(0),(zyxGzyxF的切向量為：的切向量為： )(),(, 100 xxT 或或 MMMyxGFx

29、zGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(想一想想一想，當(dāng)當(dāng)0),(),( xzGFJ0),(),( yxGFJ或或時(shí)，時(shí)，曲線曲線的切向量是什么？的切向量是什么？答案：答案： 當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，0),(),( xzGFJ )(, 1),(00yyT 或或 MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0),(),( yxGFJ 1),(),(00zzT 或或 MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(2. 如果平面如果平面01633 zyx與橢球面與橢球面相切相切,提示提示: : 設(shè)切點(diǎn)為設(shè)切點(diǎn)為, ),(000zy

30、xM則則223yx .求求000226zyx 33 01633000 zyx163202020 zyx2 162 z(二法向量平行二法向量平行) (切點(diǎn)在平面上切點(diǎn)在平面上)(切點(diǎn)在橢球面上切點(diǎn)在橢球面上)證明證明 曲面曲面)(xyfxz 上任一點(diǎn)處的上任一點(diǎn)處的切平面都通過原點(diǎn)切平面都通過原點(diǎn).提示提示: : 在曲面上任意取一點(diǎn)在曲面上任意取一點(diǎn), ),(000zyxM則通過此則通過此0)(0 zz)(0 xxxzM )(0yyyzM 3. 設(shè)設(shè) f ( u ) 可微可微,并證明原點(diǎn)的坐標(biāo)滿足上述方程并證明原點(diǎn)的坐標(biāo)滿足上述方程 .點(diǎn)的切平面為點(diǎn)的切平面為,MMyzxz 求出求出0),( y

31、nzymxF與定向量平行與定向量平行,.),(可微可微其中其中vuF分析分析 只須證曲面上任一點(diǎn)處的法向量與定向量垂直只須證曲面上任一點(diǎn)處的法向量與定向量垂直.,1F , )()(21nFmF )2F 取定向量為取定向量為,m,1)n則則故結(jié)論成立故結(jié)論成立 .的所有切平面恒的所有切平面恒證明曲面證明曲面( n( l,0 nl問題問題 觀察一下觀察一下,定向量是什么定向量是什么?證證 曲面上任一點(diǎn)的法向量曲面上任一點(diǎn)的法向量4.并并備用題備用題., 42,32求求出出此此切切線線方方程程此此點(diǎn)點(diǎn)的的切切線線平平行行于于平平面面使使上上求求一一點(diǎn)點(diǎn)在在曲曲線線 zyxtztytx, ,1,1 ,

32、2,1,切切線線與與平平面面平平行行所所以以因因?yàn)闉楣使始醇?03122112 tt,2t23t,nT ,0 nT T量量曲曲線線上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切向向 n平平面面的的法法線線向向量量解解例例1-1解解得得,1 t)1,1 ,1( 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的點(diǎn)點(diǎn)為為為為這這兩兩點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切向向量量分分別別3,2,1 故故切切線線方方程程為為111 zyx,31 t).271,91,31( 及及,31,32,1 及及2719131 zyx及及3 2 1 31 32 1 ,1 T,2 t23t, tx ,2ty .3tz 例例1-2解解在在點(diǎn)點(diǎn)求求曲曲線線2sin4,cos1,sintztyttx

33、 tM處處對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的參參數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)22 , 1 , 12,2 處處的的點(diǎn)點(diǎn)M,cos1tx ,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)t ,1 x .2,1 ,1.22 , 1 , 12方方程程處處的的切切線線方方程程和和法法平平面面 M,sin ty ,2cos2tz , 1 y,2 z TM處處的的切切向向量量故故點(diǎn)點(diǎn):切切向向量量 22 , 1 , 12M:于于是是切切線線方方程程:法法平平面面方方程程.22112 zyx)12( x即即.0422 zyx.2 1 1)1( y ,0222 z 2,1 ,1 T求空間曲線的切線（或法平面）：求空間曲線的切線（或法平面）：一求切點(diǎn)；二求切向量一求切點(diǎn)；二求切向量.zyx

34、o例例1-3求圓柱螺旋線求圓柱螺旋線 kzRyRx ,sin,cos2 對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和法平面方程對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和法平面方程.,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 切線方程切線方程 Rx法平面方程法平面方程xR 022 kzkxR即即 002RykRzRxk即即解解 由于由于,sinRx 0Ry kkz2 ,cosRy ,kz ),0(20kRM對(duì)應(yīng)的切向量為對(duì)應(yīng)的切向量為0)(2 kzk在在),0,(kRT , 故故例例2-1 求曲線求曲線在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1,1)處處解解 點(diǎn)點(diǎn) (1,1,1) 處兩曲面的法向量為處兩曲面的法向量為)2,2,1( 因此切線的方向向量為因此切線的方向向量為)1,9,16( 由此得切線方程由此得切線方程:111 zyx1691 法平面方程法平面方程:0)1()1(9)1(16 zyx024916 zyx即即的切線與法平面方程的切線與法