函數(shù)定義域的類型和求法

1、函數(shù)定義域的類型和求法函數(shù)定義域的類型和求法1.1.當函數(shù)是整式時例如當函數(shù)是整式時例如 那么函數(shù)的定那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集義域是實數(shù)集R R。2.2.如果函數(shù)中含有分式如果函數(shù)中含有分式, ,那么函數(shù)的分母必須不為零。那么函數(shù)的分母必須不為零。3.3.如果函數(shù)中含有偶次根式如果函數(shù)中含有偶次根式, ,那么根號內(nèi)的式子必須那么根號內(nèi)的式子必須不小于零。不小于零。4.4.零的零次冪沒有意義零的零次冪沒有意義, ,即即f(xf(x)=x)=x0 0，x0 x0。5.5.對數(shù)的真數(shù)必須大于零。對數(shù)的真數(shù)必須大于零。6.6.對數(shù)的底數(shù)滿足大于零且不等于對數(shù)的底數(shù)滿足大于零且不等于1 1。2( )1f

2、 x x x 求函數(shù)定義域注意以下幾點：求函數(shù)定義域注意以下幾點：一、常規(guī)型一、常規(guī)型即給出函數(shù)的解析式的定義域求法即給出函數(shù)的解析式的定義域求法, ,其解法是由解析其解法是由解析式有意義列出關(guān)于自變量的不等式或不等式組式有意義列出關(guān)于自變量的不等式或不等式組, ,解此解此不等式不等式( (或組或組) )即得原函數(shù)的定義域。即得原函數(shù)的定義域。例例1求函數(shù)求函數(shù) 8|3x|15x2xy2的定義域。的定義域。 解解:要使函數(shù)有意義要使函數(shù)有意義,則必須滿足則必須滿足 08|3x|015x2x2由由解得解得x-3或或x5 由由解得解得x5或或x-11 由由和和求交集得求交集得x-3且且x-11或或

3、x5 故所求函數(shù)的定義域為故所求函數(shù)的定義域為x| x-3且且x-11x|x5。例例2 求函數(shù)求函數(shù) 2x161xsiny的定義域。的定義域。 解：要使函數(shù)有意義，則必須滿足解：要使函數(shù)有意義，則必須滿足 0 x160 xsin2由由解得解得2kx+2k,kZ 由由解得解得-4x4 由由和和求公共部分，得求公共部分，得-4x-或或0 x故函數(shù)的定義域為故函數(shù)的定義域為(-4,-(0, 和和怎樣求公共部分？你會嗎？怎樣求公共部分？你會嗎？.1x1xlg)x(g)4(; )1x2(lg)x( f )3(;x4lg3x2x)x( f )2(;)4x(1xx21)x( f121o2 ）（求求函函數(shù)數(shù)的

4、的定定義義域域練練習習(-2,-11,2)(2x4且且x3（1/2,1X1/10,且且x1）二、抽象函數(shù)型二、抽象函數(shù)型抽象函數(shù)是指沒有給出解析式的函數(shù)，不能常規(guī)方抽象函數(shù)是指沒有給出解析式的函數(shù)，不能常規(guī)方法求解，一般表示為已知一個抽象函數(shù)的定義域求另法求解，一般表示為已知一個抽象函數(shù)的定義域求另一個抽象函數(shù)的解析式，一般有兩種情況。一個抽象函數(shù)的解析式，一般有兩種情況。(1)已知已知f(x)的定義域的定義域,求求fg(x)的定義域。的定義域。其解法是其解法是:已知已知f(x)的定義域是的定義域是a,b求求fg(x)的定義域的定義域是解是解ag(x)b,即為所求的定義域。即為所求的定義域。例

5、例1 已知已知f(x)的定義域為的定義域為2,2,求求f(x2-1)的定義域。的定義域。解：令解：令-2x2-12，得，得-1x23，即，即0 x23，因此因此 3|x|0，從而，從而 3x3故函數(shù)的定義域是故函數(shù)的定義域是 3x3|x（2）已知）已知fg(x)的定義域，求的定義域，求f(x)的定義域。的定義域。其解法是：已知其解法是：已知fg(x)的定義域是的定義域是a，b，求，求f(x)定定義域的方法是：由義域的方法是：由axb，求，求g(x)的值域，即所求的值域，即所求f(x)的的定義域。定義域。例例2 已知已知f(2x+1)的定義域為的定義域為1,2,求求f(x)的定義域。的定義域。解

6、：因為解：因為1x2,22x4,32x+15.即函數(shù)即函數(shù)f(x)的定義域是的定義域是x|3x5。(3)已知已知f(2x-1)的定義域是的定義域是0,1,求求f(3x)的定義域。的定義域。解解:因為因為0 x1,02x2,-12x-11.所以函數(shù)所以函數(shù)f(3x)的定義域是的定義域是-13x1即即 x|-1/3x1/3。例例4 若若f(x)的定義域為的定義域為3，5,求求g(x)f(x)f(x2)的定義域的定義域解：由解：由f(x)的定義域為的定義域為3,5，則，則g(x)必有必有23535xx ,即即 5355xx 解得解得 - x 55所以函數(shù)所以函數(shù)g(x)的定義域為的定義域為 , 55

7、例例5 已知函數(shù) 8mmx6mxy2的定義域為的定義域為R求實數(shù)求實數(shù)m的取值范圍。的取值范圍。 分析：函數(shù)的定義域為分析：函數(shù)的定義域為R，表明，表明mx2-6mx+8+m0，使，使一切一切xR都成立，由都成立，由x2項的系數(shù)是項的系數(shù)是m，所以應分，所以應分m=0或或m0進行討論。進行討論。解：當解：當m=0時，函數(shù)的定義域為時，函數(shù)的定義域為R；當當m0時，時，mx2-6mx+8+m0是二次不等式是二次不等式,其對一切實其對一切實數(shù)數(shù)x都成立的充要條件是都成立的充要條件是 206480()()mmm m 01m綜上可知綜上可知0m1。注注:不少同學容易忽略不少同學容易忽略m=0的情況的情況,希望通過此希望通過此例解決問題。例解決問題。例例6 已知函數(shù) 3kx4kx7kx)x( f2的定義域是的定義域是R，求實數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍。的取值范圍。 解解:要使函數(shù)有意義要使函數(shù)有意義,則必須則必須kx2+4kx+30恒成立恒成立,因為因為f(x)的定義域為的定義域為R,即即kx2+4kx+3=0無實數(shù)根無實數(shù)根當當k0時，時，=16k2-43k0,即即x2-2x-30，解得，解得