自動控制 控制系統(tǒng)時域分析

1、第三章 控制系統(tǒng)的時域分析o 時域性能指標(biāo)o 一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)o 二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)o 高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)o 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性o 控制系統(tǒng)誤差分析3.1 典型輸入信號和性能指標(biāo)典型輸入信號和性能指標(biāo)代表輸入量有一突然變化，如突然加入或突然停止。 000ttatxia=1時稱為時稱為單位階躍函數(shù)。單位階躍函數(shù)。輸入量等速度變化。 000ttattxia=1時稱為時稱為單位斜坡函數(shù)。單位斜坡函數(shù)。輸入量等加速變化。 000212ttattxi 0000, 000lim0ttttttatxti t系統(tǒng)輸入為單位脈沖時的輸出響應(yīng)，記為： tg任一時間函數(shù)信號可分解為一系列脈沖信任一時間函數(shù)信號可分解

2、為一系列脈沖信號的疊加。號的疊加。系統(tǒng)對任一時間函數(shù)信號輸入的響應(yīng)系統(tǒng)對任一時間函數(shù)信號輸入的響應(yīng)=這一系列脈沖信號各個單獨作這一系列脈沖信號各個單獨作用下系統(tǒng)響應(yīng)的疊加。用下系統(tǒng)響應(yīng)的疊加。 tnkkkndtgxtgxty010lim3.1 典型輸入信號和性能指標(biāo)典型輸入信號和性能指標(biāo) 000sintttatxi控制系統(tǒng)為輸入量隨時間逐漸變化的函數(shù)時，選擇斜坡信號較為合適。如機床、雷達(dá)天線、火炮、控溫裝置等；控制系統(tǒng)輸入量是沖擊量時，選擇脈沖信號較為合適；控制系統(tǒng)的輸入量是隨時間變化而往復(fù)變化的，選擇正弦信號。如機床振動研究；控制系統(tǒng)的輸入量是突然變化的，選擇階躍信號；時域性能指標(biāo)往往選擇階

3、躍信號作為輸入來定義。3.1 典型輸入信號和性能指標(biāo)典型輸入信號和性能指標(biāo)系統(tǒng)在輸入信號作用下，輸出量從初始狀態(tài)過的過渡到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程，也稱為。信號輸入后，系統(tǒng)在時間趨向于無窮大時的輸出狀態(tài)。也稱為。3.1 典型輸入信號和性能指標(biāo)典型輸入信號和性能指標(biāo)二、過渡過程和穩(wěn)態(tài)過程二、過渡過程和穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)定系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的兩種類型穩(wěn)定系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的兩種類型3.1 典型輸入信號和性能指標(biāo)典型輸入信號和性能指標(biāo)三、時域性能指標(biāo)三、時域性能指標(biāo)1. 動態(tài)性能動態(tài)性能1. 動態(tài)性能指標(biāo)動態(tài)性能指標(biāo)（4）最大超調(diào)量）最大超調(diào)量%：階躍輸入時，響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差。通常用百分?jǐn)?shù)表示。 %10

4、0%oopoxxtx峰值穩(wěn)態(tài)值延遲時間 td（1）延遲時間）延遲時間td ：階躍響應(yīng)第一次從零上升到穩(wěn)態(tài)值50%所需要的時間。上升時間 tr（2）上升時間）上升時間tr：階躍響應(yīng)從零時刻首次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的時間。峰值時間 tp（3）峰值時間）峰值時間tp ：階躍響應(yīng)從零時刻到達(dá)峰值的時間。（6）振蕩次數(shù)）振蕩次數(shù)N：調(diào)整時間內(nèi)響應(yīng)曲線振蕩的次數(shù)。（5）調(diào)節(jié)時間）調(diào)節(jié)時間ts ：階躍響應(yīng)達(dá)到并一直保持在允許誤差帶5%Xo()內(nèi)的最短時間。 sooottxxtx%調(diào)節(jié)時間 ts峰值穩(wěn)態(tài)值延遲時間 td上升時間 tr峰值時間 tp1. 動態(tài)性能指標(biāo)動態(tài)性能指標(biāo)無超調(diào)情況下的動態(tài)性能指標(biāo)無超調(diào)情況下的動態(tài)

5、性能指標(biāo)上升時間：上升時間：階躍響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間。1. 動態(tài)性能指標(biāo)動態(tài)性能指標(biāo)3.1 典型輸入信號和性能指標(biāo)典型輸入信號和性能指標(biāo)三、時域性能指標(biāo)三、時域性能指標(biāo)2. 穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差：時間趨向于無窮時系統(tǒng)實際輸出與理想輸出之間的誤差，是衡量系統(tǒng)控制準(zhǔn)確度（穩(wěn)態(tài)精度）或抗干擾能力的標(biāo)志。通常在典型輸入信號下進(jìn)行測定或計算。3.2 一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)時域方程：時域方程： txtxtxTioo 11TssXsXio一、一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)一、一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) TssTsTsTsssXTssXio111111111 tToet

6、x11一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)分析一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)分析1. 一階慣性系統(tǒng)總是穩(wěn)定、無振蕩的；一階慣性系統(tǒng)總是穩(wěn)定、無振蕩的；2. 調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間 3T (=5）或）或 4T (=2);3. t=0時，響應(yīng)曲線的斜率為：時，響應(yīng)曲線的斜率為：1/T。1AT0.632斜率1/Tt txo二、一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)二、一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng) TsTsTsTsssXTssXio11111122一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)分析一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)分析 tToieTtxtxte11誤差響應(yīng)誤差響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差：穩(wěn)態(tài)誤差： TeTtetTtt11limlim ttxi 21ssXi

7、 tToTeTttx1一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)TTtxo(t)0三、一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)三、一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng) TsTTssXTssXio111111 tToeTtx11一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng) ttxi 1sXi1/TT1368. 0Ttxo(t)四、一階系統(tǒng)不同輸入信號下時域響應(yīng)之間的關(guān)系四、一階系統(tǒng)不同輸入信號下時域響應(yīng)之間的關(guān)系 1txi單位階躍輸入：單位階躍輸入：求導(dǎo) tToetx11求導(dǎo)單位階躍響應(yīng)：單位階躍響應(yīng)：2. 系統(tǒng)對原輸入信號積分的響應(yīng)系統(tǒng)對原輸入信號積分的響應(yīng) = 系統(tǒng)對原輸入信號響應(yīng)的積分系統(tǒng)對原輸入信號響應(yīng)的積分1. 系統(tǒng)對原輸入信

8、號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)系統(tǒng)對原輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng) = 系統(tǒng)對原輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)對原輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)結(jié)論：結(jié)論： tToTeTttx1 ttxi單位斜坡輸入：單位斜坡輸入：單位斜坡響應(yīng)：單位斜坡響應(yīng)： ttxi單位脈沖輸入：單位脈沖輸入：求導(dǎo) tToeTtx11單位脈沖響應(yīng)：單位脈沖響應(yīng)：求導(dǎo)積分積分積分積分3.3 二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)：二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)： 2222nnniosssXsX阻尼比無阻尼自振角頻率n 12122TssTsXsXionT10222nnss122, 1nns特征方程特征方程 ssssXnnno122220222nnss12nns結(jié)論：結(jié)論：過

9、阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是無振蕩的單調(diào)上升曲線。過阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是無振蕩的單調(diào)上升曲線。 兩個極點離虛軸的遠(yuǎn)近不一樣，當(dāng)兩者差別很大時，離虛軸太遠(yuǎn)的極點可以忽略不計，而兩個極點離虛軸的遠(yuǎn)近不一樣，當(dāng)兩者差別很大時，離虛軸太遠(yuǎn)的極點可以忽略不計，而近似處理成一階系統(tǒng)。近似處理成一階系統(tǒng)。 11121111211222222nnnnossssX部分分式展開 ttonnnneetx12212222112111211拉氏反變換11. 過阻尼：過阻尼：一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)過阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)過阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位

10、階躍響應(yīng)過阻尼二階系統(tǒng)特征根的分布過阻尼二階系統(tǒng)特征根的分布 222222nnnnniossssXsX nnnnnossssssX111222結(jié)論：結(jié)論：臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是一條單調(diào)上升的曲線。臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是一條單調(diào)上升的曲線。 ttnonnetetx1拉氏反變換12. 臨界阻尼：臨界阻尼：一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)臨界阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)臨界阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)臨界阻尼二階系統(tǒng)特征根的分布臨界阻尼二階系統(tǒng)特征根的分布臨界阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線臨界阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線一、二階系統(tǒng)的單位階躍

11、響應(yīng)一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)10 2222222112nnnnnnossssssssX0222nnss21nnjsdnjs21nd阻尼自然振蕩頻率阻尼自然振蕩頻率 22222221221dnnnnnnnossssssssX 22221dnndnnosssssX 2222211dnddnnosssssX欠阻尼二階系統(tǒng)特征根的分布欠阻尼二階系統(tǒng)特征根的分布21 arctg 2222211dnddnnosssssX tetetxdtdtonnsin1cos12拉氏反變換 tetxdtonsin112欠阻尼欠阻尼(0(01)1，動態(tài)特性為單調(diào)變化曲線，無超調(diào)和振蕩，但調(diào)節(jié)時間較長，系統(tǒng)反應(yīng)遲緩。零阻

12、尼和負(fù)阻尼0，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。系統(tǒng)一般在欠阻尼00（i= 1, 2, , n）注意：注意：滿足必要條件的一、二階系統(tǒng)一定穩(wěn)定，而滿足必要條件的高階系統(tǒng)未必穩(wěn)定。2. 勞斯判據(jù)：勞斯判據(jù)：系統(tǒng)特征方程中的系數(shù)都具有相同的符號，且不都為零；按系統(tǒng)特征方程式排出的勞斯表格中，第一列元素都具有相同的符號，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。如果第一列元素的符號不全相同，則該列元素符號變化的次數(shù)，就是特征方程所含實部為正的根的數(shù)目。130211aaaaab150412aaaaab121311bbaabc131512bbaabc141713bbaabc170613aaaaabnnnnnagfee

13、ccccbbbbaaaaaaaasssssss11214321432175316420012321勞斯表格勞斯表格3.5 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性三、勞斯判據(jù)三、勞斯判據(jù) 0001110aasasasasDnnnn例3-4 設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為： 05432234sssssD試應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（1）用一個正數(shù)去乘或除勞斯陣的某一整行，不會改變穩(wěn)定性的結(jié)論。解：解：列寫勞斯表：56514253101234sssss由勞斯表的第一列可見，第一列中的系數(shù)符號不全為正值，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定另外，改變符號兩次（+1-6-+5），說明閉環(huán)系統(tǒng)有兩個正實部的根，即在s右半平面內(nèi)有兩個閉

14、環(huán)極點。例3-5 已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 212ssssKsG試應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷預(yù)使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。解：解：根據(jù)題意，可得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： KssssKsGsGsRsCs2112 系統(tǒng)的特征方程為： 0233234KsssssD列寫勞斯表：KsKsKssKs01234792372331根據(jù)勞斯判據(jù)，可知要使系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足：00792KK使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍為：9140 K（2） 勞斯陣某一行第一項系數(shù)為零勞斯陣某一行第一項系數(shù)為零，但其余系數(shù)不全為零的情況：但其余系數(shù)不全為零的情況：可以用一個有限小的可以用一個有限小的正數(shù)正數(shù)代替為零的那一項，然后根據(jù)上述公

15、式計算下一行的各項。如果第一列為零的代替為零的那一項，然后根據(jù)上述公式計算下一行的各項。如果第一列為零的上項和下項符號相反，則計入一次符號改變。上項和下項符號相反，則計入一次符號改變。例3-6 設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為： 0122234sssssD試應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列寫勞斯陣：012341022111sssss由于勞斯陣第一列系數(shù)不全為正，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列各元素符號改變兩次，因此特征方程有兩個實部為正的根。 0221（3）勞斯陣某一行系數(shù)全為零，或某一行只有零的一項，則表明方程具有一些大小相等而符號相反）勞斯陣某一行系數(shù)全為零，或某一行只有零的一項，則表明方程具有一些大

16、小相等而符號相反的根（如：絕對值相等而符號相反的實根；模相等的共軛虛根），的根（如：絕對值相等而符號相反的實根；模相等的共軛虛根），可將不為零的最后一行的各可將不為零的最后一行的各項組成一輔助多項式，用輔助多項式各項對項組成一輔助多項式，用輔助多項式各項對s求導(dǎo)所得系數(shù)，代替全為零的一行的各項，求導(dǎo)所得系數(shù)，代替全為零的一行的各項，則可繼則可繼續(xù)計算勞斯陣以下各行。特征方程大小相等，符號相反的根可由求解輔助方程得出。顯然輔助續(xù)計算勞斯陣以下各行。特征方程大小相等，符號相反的根可由求解輔助方程得出。顯然輔助方程的次數(shù)為偶數(shù)。方程的次數(shù)為偶數(shù)。例3-7 設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為： 01616201

17、28223456sssssssD試應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。01234560086116122162081sssssss解：解：列寫勞斯陣： 8624sssA ssdssdA1243 41238348 08624sssA令js22, 1js24, 3系統(tǒng)特征方程具有兩對共軛虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定（不穩(wěn)定，對應(yīng)的暫態(tài)分量為等幅振蕩。系統(tǒng)特征方程具有兩對共軛虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定（不穩(wěn)定，對應(yīng)的暫態(tài)分量為等幅振蕩。)3.5 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性三、相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度三、相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度 應(yīng)用代數(shù)判據(jù)只能給出應(yīng)用代數(shù)判據(jù)只能給出系統(tǒng)是穩(wěn)定還是不穩(wěn)系統(tǒng)是穩(wěn)定還是不穩(wěn)定定，即只解決

18、了，即只解決了絕對穩(wěn)定性絕對穩(wěn)定性的問題。在處理實際的問題。在處理實際問題時，只判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定是不夠的。因為，問題時，只判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定是不夠的。因為，對于實際的系統(tǒng)，所得到的參數(shù)值往往是近似的，對于實際的系統(tǒng)，所得到的參數(shù)值往往是近似的，并且有的參數(shù)隨著條件的變化而變化，這樣就給并且有的參數(shù)隨著條件的變化而變化，這樣就給得到的結(jié)論帶來了誤差。為了考慮這些因素，往得到的結(jié)論帶來了誤差。為了考慮這些因素，往往希望知道往希望知道系統(tǒng)距離穩(wěn)定邊界有多少余量系統(tǒng)距離穩(wěn)定邊界有多少余量，這就，這就是是相對穩(wěn)定性相對穩(wěn)定性或或穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度的問題。的問題。1j01p2p3p利用勞斯判據(jù)確定系統(tǒng)相對穩(wěn)定

19、性和穩(wěn)定裕度的方法：利用勞斯判據(jù)確定系統(tǒng)相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度的方法：利用勞斯判據(jù)，以s=z-1代人系統(tǒng)特征方程，寫出z的多項式，然后利用勞斯判據(jù)判定z的多項式的根是否都在都在新的虛軸的左側(cè)，即s的多項式的根的實部都小于-1。1j01p2p3p3.5 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性三、相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度三、相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度例：例：系統(tǒng)特征方程為：068523sss試檢查上述系統(tǒng)是否有裕度 。1解解：（1）判定系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性653465810123ssss勞斯表為：勞斯表第一列各項全為正值，故系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）檢查系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度令：s=z-1代入原特征方程得：061815123zzz202

20、2110123szzz列勞斯表：根據(jù)勞斯判據(jù)可知，方程沒有在s右半平面的根，但有一對虛根，故原系統(tǒng)剛好有 的穩(wěn)定裕度。02223zzz1三、相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度（勞斯判據(jù)）三、相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度（勞斯判據(jù)）補充：赫爾維茨判據(jù)補充：赫爾維茨判據(jù) nnnnasasasasD1110赫爾維茨行列式赫爾維茨行列式nnnaaaaaaaaaaaaa21203142053100000000000000000階行列式nn系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為： 005. 01000096. 02 . 0001. 04 . 005. 02000134. 04 . 005. 0012 . 001.

21、004 . 005. 03000134. 0130001. 00a 014 . 02 . 005. 0001. 0234sssssD例：例：設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為：試應(yīng)用赫爾維茨判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)穩(wěn)定。nnnaaaaaaaaaaaaa21203142053100000000000000000 nnnnasasasasD1110赫爾維茨行列式赫爾維茨行列式12 . 0001. 0004 . 005. 00012 . 0001. 0004 . 005. 0作業(yè)：o 習(xí)題3-6 3.6 控制系統(tǒng)的誤差分析控制系統(tǒng)的誤差分析控制系統(tǒng)輸入信號與反饋信號之差，記為(t)， (s) ?？刂葡到y(tǒng)理想

22、輸出量與實際輸出量之差，記為e(t)，E(s)。1. 誤差與偏差誤差與偏差一、穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念一、穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念R(s) sG sH(s)C(s)_+R(s) sHE(s)C(s)_+ sH1 sH(s)2. 誤差與偏差的關(guān)系誤差與偏差的關(guān)系 sHsCsRs sCsHsRsE sHssE或 sHsEs 注意：注意：對于單位反饋控制系統(tǒng)，H(s)=1， E(s)= (s) 3.6 控制系統(tǒng)的誤差分析控制系統(tǒng)的誤差分析二、穩(wěn)態(tài)誤差的計算二、穩(wěn)態(tài)誤差的計算穩(wěn)態(tài)誤差：穩(wěn)態(tài)誤差：誤差信號e(t)的穩(wěn)態(tài)分量，記為：ess。 ssEteestss0limlim穩(wěn)態(tài)偏差：穩(wěn)態(tài)偏差：偏差信號(t) 的穩(wěn)態(tài)

23、分量，記為：ss。 sststss0limlim sHsss0lim3. 穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差3.6 控制系統(tǒng)的誤差分析控制系統(tǒng)的誤差分析二、穩(wěn)態(tài)誤差的計算二、穩(wěn)態(tài)誤差的計算4. 穩(wěn)態(tài)誤差的計算步驟穩(wěn)態(tài)誤差的計算步驟判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性；判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性；求誤差傳遞函數(shù)；求誤差傳遞函數(shù)； 用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差；用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差； sHsGsGsHsRssHsRsEsRReR211111 sHsGsGsGsHsGsGsHsGsHsNssHsNsEsNNeN2122121111 ssNssRssEsEsssEeeNeRsNRssss00limlimlim例例3-8 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，

24、將開環(huán)增益和積分環(huán)節(jié)分布在回路的不同位置，討論它們分別對控制輸入r(t)=t2/2和干擾n(t)=At作用下所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差的作用，并求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。R(s)sK1N(s)C(s)_+(s)sK213TsK+解：（解：（1）判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性）判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)： 1321221TsKKKsKKs特征多項式： 13212TsKKKssD由勞斯判據(jù)可知，當(dāng)K1K2K30，且T0時系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）求輸入）求輸入r(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差作用下的穩(wěn)態(tài)誤差R(s)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)： 1111111132123223213TsKKKsTsKssTsKKKTsKsRssHsRsEsRReR

25、R(s)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差： 232132123230001111limlimlimKKKTsKKKsTsKssssssRssEeseRseRsssR(s)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差： 321321223000111limlimlimKKKTsKKKsssssRsssRssseRseRsss結(jié)論：結(jié)論：開環(huán)增益和積分環(huán)節(jié)在回路的任何位置，對于減小或消除r(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差（穩(wěn)態(tài)偏差）均有效。例例3-8 R(s)sK1N(s)C(s)_+(s)sK213TsK+解：（解：（3）求干擾輸入）求干擾輸入n(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差作用下的穩(wěn)態(tài)誤差N(s)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)： 11113212223

26、212TsKKKssKsTsKKKsKsNssHsNsEsNNeNN(s)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差： 313212220001limlimlimKKATsKKKssKsAssssNssEeseNsNsssNN(s)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差： 1321232200011limlimlimKATsKKKsTsKsKsAssNsssNssEsNseNsssN結(jié)論：結(jié)論：分布在前向通道主反饋口到干擾作用點之間的開環(huán)增益和積分環(huán)節(jié)對減小或消除n(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差（穩(wěn)態(tài)偏差）有效； 開環(huán)增益分布在主反饋通路上，對減小n(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差有作用，而對于減小穩(wěn)態(tài)偏差無效。（4）求總的穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)偏差）求總的

27、穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)偏差23213231232111KKKKAKKKAKKKeeessNssRss3212132111KKKAKKAKKKssNssRss開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù) njjmiiKsTssKsHsGsG1111式中：開環(huán)傳遞函數(shù)中純積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，稱為系統(tǒng)型別或系統(tǒng)誤差階數(shù)。按開環(huán)傳遞函數(shù)中純積分環(huán)節(jié)個數(shù)，可將系統(tǒng)分為：按開環(huán)傳遞函數(shù)中純積分環(huán)節(jié)個數(shù)，可將系統(tǒng)分為：u 0型系統(tǒng)： =0u型系統(tǒng)： =1u型系統(tǒng)： =2 越高，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度越高，但系統(tǒng)的穩(wěn)定性越差。一般采用0型、型、型系統(tǒng)。3.6 控制系統(tǒng)的誤差分析控制系統(tǒng)的誤差分析三、靜態(tài)誤差系數(shù)法三、靜態(tài)誤差系數(shù)法給定輸入作用下的穩(wěn)

28、態(tài)誤差計算方法給定輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計算方法R(s) sG sH(s)C(s)_+1. 系統(tǒng)型別（系統(tǒng)誤差階數(shù)）系統(tǒng)型別（系統(tǒng)誤差階數(shù)）單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)位置誤差為：單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)位置誤差為： 011111lim11limlimlim000KKsKsstssGsGsssGsRsssEtee靜態(tài)位置誤差系數(shù)：靜態(tài)位置誤差系數(shù)： sGKKsP0lim型以上的系統(tǒng)型系統(tǒng)0011Kess 型以上的系統(tǒng)型系統(tǒng)0lim0KsGKKsP結(jié)論：結(jié)論：0型系統(tǒng)在階躍信號輸入下有一定的穩(wěn)態(tài)誤差，型系統(tǒng)在階躍信號輸入下有一定的穩(wěn)態(tài)誤差， 型以上系統(tǒng)在階躍信號輸入下型以上系統(tǒng)在階躍信號輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為零。穩(wěn)

29、態(tài)誤差為零。三、靜態(tài)誤差系數(shù)法三、靜態(tài)誤差系數(shù)法 njjmiiKsTssKsHsGsG11113.6 控制系統(tǒng)的誤差分析控制系統(tǒng)的誤差分析單位斜坡信號輸入下的穩(wěn)態(tài)位置誤差為：單位斜坡信號輸入下的穩(wěn)態(tài)位置誤差為： ssGsGsssGsRseKsKsKsss1lim111lim11lim0200靜態(tài)速度誤差系數(shù)靜態(tài)速度誤差系數(shù): ssGKKsv0lim 型以上系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)KssGKKsv00lim0 型以上系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)01011lim0KKssGevKsss三、靜態(tài)誤差系數(shù)法三、靜態(tài)誤差系數(shù)法 njjmiiKsTssKsHsGsG1111不能跟蹤斜坡信號不能跟蹤斜坡信號能跟蹤斜坡信號，但有

30、一定的穩(wěn)態(tài)位置誤差能跟蹤斜坡信號，但有一定的穩(wěn)態(tài)位置誤差能準(zhǔn)確跟蹤斜坡信號能準(zhǔn)確跟蹤斜坡信號結(jié)論：結(jié)論：0型系統(tǒng)在斜坡信號輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為型系統(tǒng)在斜坡信號輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為 ； 型系統(tǒng)在單位斜坡信號輸入下穩(wěn)態(tài)型系統(tǒng)在單位斜坡信號輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為誤差為1/K； 型以上系統(tǒng)在斜坡信號輸入作用下穩(wěn)態(tài)誤差為零。型以上系統(tǒng)在斜坡信號輸入作用下穩(wěn)態(tài)誤差為零。單位加速度信號輸入下的穩(wěn)態(tài)位置誤差為：單位加速度信號輸入下的穩(wěn)態(tài)位置誤差為： sGssGsssGssReKsKsKsss203001lim111lim11lim靜態(tài)加速度誤差系數(shù)：靜態(tài)加速度誤差系數(shù)： sGsKKsa20lim 型系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)KsGs

31、KKsa000lim20 型系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)KKsGseaKsss1011lim20三、靜態(tài)誤差系數(shù)法三、靜態(tài)誤差系數(shù)法 njjmiiKsTssKsHsGsG1111能跟蹤加速度信號，但有一定的穩(wěn)態(tài)位置誤差。能跟蹤加速度信號，但有一定的穩(wěn)態(tài)位置誤差。不能跟蹤單位加速度信號不能跟蹤單位加速度信號結(jié)論：結(jié)論：0型、型、型系統(tǒng)在加速度信號輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為型系統(tǒng)在加速度信號輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為 ； 型系統(tǒng)在單位加速度信型系統(tǒng)在單位加速度信號輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為號輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為1/K。3.6 控制系統(tǒng)的誤差分析控制系統(tǒng)的誤差分析三、靜態(tài)誤差系數(shù)法三、靜態(tài)誤差系數(shù)法 20! 2100txtxxtxiiii結(jié)

32、論：結(jié)論：線性系統(tǒng)在任意輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為：該輸入信號用泰勒級數(shù)展開線性系統(tǒng)在任意輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為：該輸入信號用泰勒級數(shù)展開所得的典型信號單獨作用下的穩(wěn)態(tài)誤差之和。所得的典型信號單獨作用下的穩(wěn)態(tài)誤差之和。泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)例例3-9 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。已知輸入r(t)=2t+4t2，確定系統(tǒng)穩(wěn)定的條件并求穩(wěn)態(tài)誤差。(s)R(s)assK21C(s)_+1Ts解：（解：（1）判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性）判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 1121TsKassKs特征方程： 01112312KTsKassTsKasssD列勞斯表確定系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：010101110111213KKsaTaKaTsa

33、KasTKs根據(jù)勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為：a0，aT1，K10 11112121sasTsaKassTsKsGK （2）計算系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差）計算系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)為型系統(tǒng)，開環(huán)增益：K=K1/a，當(dāng)r1(t)=2t時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：021vssKe assTsKsssGKsKsv21001limlim aKassTsKssGsKsKsa12120201limlim當(dāng)r2(t)=4t2=80.5t2時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：1288KaKeass輸入r(t)=2t+4t2時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為：1218Kaeeessssss3.6 控制系統(tǒng)的誤差分析控制系統(tǒng)的誤差分析四、動態(tài)誤差系數(shù)四

34、、動態(tài)誤差系數(shù)動態(tài)位置誤差系數(shù)動態(tài)位置誤差系數(shù) lleeeeslss0!10! 210! 110)(2誤差象函數(shù)：誤差象函數(shù)： sRsCssRCsRCsE2210誤差象函數(shù)的拉氏反變換，即誤差隨時間變化的函數(shù)：誤差象函數(shù)的拉氏反變換，即誤差隨時間變化的函數(shù)： 0)(210iiitrCtrCtrCtrCte動態(tài)加速度誤差系數(shù)動態(tài)加速度誤差系數(shù)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)：系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)： sRsEse)(在在s=0的鄰域展開的鄰域展開成泰勒級數(shù)成泰勒級數(shù) trtrtr210111 記：記： 0,1,2, 0!1)(iiCiei注：大部分自動控制書籍中關(guān)于動態(tài)誤差系數(shù)的定義。單位加速度信號單位斜坡信號輸

35、入系統(tǒng)1的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)2的穩(wěn)態(tài)誤差單位階躍信號例例3-10 已知兩個單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試分析其穩(wěn)態(tài)誤差和動態(tài)誤差。解：（解：（1）靜態(tài)誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差計算）靜態(tài)誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差計算 1101ssG 15102ssG 0110limlim0101ssssGKssv 10110limlim0101ssGKssp 0110limlim201201sssGsKssa 01510limlim0202ssssGKssv 101510limlim0202ssGKssp 01510limlim202202sssGsKssa111111pssKevssKe11vssKe12111112pssKea

36、ssKe11assKe12注意：注意：兩系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差完全相同，看不出兩系統(tǒng)控制精度上的區(qū)別。單位階躍信號r(t)=1單位速度信號r(t)=t單位加速度信號r(t)=0.5t2輸入動態(tài)誤差輸入的各階導(dǎo)數(shù)例例3-10 已知兩個單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試分析其穩(wěn)態(tài)誤差和動態(tài)誤差。解：（解：（2）動態(tài)誤差系數(shù)和動態(tài)誤差計算）動態(tài)誤差系數(shù)和動態(tài)誤差計算 1101ssG 15102ssG系統(tǒng)系統(tǒng)1的動態(tài)誤差分析的動態(tài)誤差分析系統(tǒng)1的誤差傳遞函數(shù)： 1111111sssGse23211101110111ss動態(tài)位置誤差系數(shù)：111K動態(tài)速度誤差系數(shù)：101122K動態(tài)加速度誤差系數(shù)：10

37、1133K 232111101110111sssRssRsEe trtrtrsssRLte3223211110111011111101110111 111te 21110111tte , 0, 0 trtr , 0, 1 trtr 0, 1, trtrttr 3221110111021111ttte結(jié)論：結(jié)論：通過動態(tài)誤差分析，可得誤差隨時間變化的規(guī)律。單位階躍信號單位速度信號單位加速度信號輸入動態(tài)誤差輸入的各階導(dǎo)數(shù)例例3-10 已知兩個單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試分析其穩(wěn)態(tài)誤差和動態(tài)誤差。解：（解：（2）動態(tài)誤差系數(shù)和動態(tài)誤差計算）動態(tài)誤差系數(shù)和動態(tài)誤差計算 1101ssG 15102ss

38、G系統(tǒng)系統(tǒng)2的動態(tài)誤差分析的動態(tài)誤差分析系統(tǒng)2的誤差傳遞函數(shù)： 115151122sssGse232115051150111ss動態(tài)位置誤差系數(shù)：111K動態(tài)速度誤差系數(shù)：501122K動態(tài)加速度誤差系數(shù)：5051133K 2321115051150111sssRssRsEe trtrtrsssRLte322321115051150111115051150111 111te 21150111tte , 0, 0 trtr , 0, 1 trtr 0, 1, trtrttr 32211505115021111ttte結(jié)論：結(jié)論：比較可見，兩系統(tǒng)隨時間變化的規(guī)律不同，系統(tǒng)2在單位加速度信號輸入下，

39、誤差隨時間增大較快3.6 控制系統(tǒng)的誤差分析控制系統(tǒng)的誤差分析五、穩(wěn)態(tài)誤差分析小結(jié)五、穩(wěn)態(tài)誤差分析小結(jié)靜態(tài)位置誤差系數(shù)、速度誤差系數(shù)和加速度誤差系數(shù)分別用于衡量階躍、斜坡、勻加速度信號輸入時所引起的輸出位置上的誤差。輸入一定時，增大開環(huán)增益K，可以減小穩(wěn)態(tài)誤差；增加開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)，即提高系統(tǒng)型別，可以消除穩(wěn)態(tài)誤差；系統(tǒng)型別反映系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時，輸出跟蹤輸入型號的一種能力儲備。系統(tǒng)回路中的積分環(huán)節(jié)越多，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出跟蹤輸入信號的能力越強，但積分環(huán)節(jié)越多，系統(tǒng)越不容易穩(wěn)定，實際系統(tǒng) 型以上的很少。為使系統(tǒng)具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差，必須針對不同的輸入量選擇不同類型的系統(tǒng)，并且選取較高的K值。

40、考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一般選擇型以內(nèi)的系統(tǒng)，并且K也要滿足穩(wěn)定性的要求。作業(yè)：o 習(xí)題3-7 習(xí)題習(xí)題3-1 一階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，要求系統(tǒng)閉環(huán)增益K=2，調(diào)節(jié)時間ts 0.4s，試確定參數(shù)K1，K2 。習(xí)題和例題習(xí)題和例題(s)R(s)sK1C(s)_+2K解：解：根據(jù)題意，可得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)： 1111212211211sKKKKKsKKsKsKs5 . 02122KKK 該一階系統(tǒng)的時間常數(shù)為：211KKT 調(diào)節(jié)時間：%24 . 04%54 . 03sTsTts%24 . 05 . 044%54 . 05 . 033121121sKKKsKKK%220%51511KK習(xí)題習(xí)題3-2 設(shè)角

41、速度指示隨動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，若要求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)無超調(diào)，且調(diào)節(jié)時間盡可能短，問開環(huán)增益K應(yīng)取何值，調(diào)節(jié)時間ts是多少？習(xí)題和例題習(xí)題和例題(s)R(s)11 . 0ssKC(s)_+解：解：根據(jù)題意，可得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)： KssKKssKKssKssKssKs1010101 . 011 . 011 . 0111 . 022Kn10102nKn105210要求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)無超調(diào)，則：1105K5 . 2K當(dāng)系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)，即=1時，系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間最短，因此開環(huán)增益K的取值應(yīng)為：K=2.5，則n=5(rad/s)。=1時，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為： ttnetettcn515111取%

42、=5%對應(yīng)的調(diào)節(jié)時間ts滿足： %51515stsssettcte s95. 0575. 475. 4nst補充調(diào)節(jié)時間計算公式：補充調(diào)節(jié)時間計算公式：臨界阻尼：過阻尼：nst75. 47 . 145. 61nst習(xí)題和例題習(xí)題和例題解：解：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 222212212nnnssKKassKKsnnaK221由單位階躍響應(yīng)曲線可得： 21221001limlim3KsKassKKssRsshss 31334%s1 . 01212etnp33. 0s128.33n96.2128.33333. 0256.110728.33221aKn因此K1= 1142.44，K2=3

43、 ，a=21.96。習(xí)題習(xí)題3-8 設(shè)如圖（a）所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖（b）所示，試確定系統(tǒng)參數(shù)K1，K2和a。assK1 sR sC2K sE(b) 單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)(a) 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖習(xí)題和例題習(xí)題和例題習(xí)題習(xí)題3-6 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。（1）確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益K與阻尼比的取值范圍，并畫出相應(yīng)區(qū)域；（2）當(dāng)=2時，確定使系統(tǒng)極點全部落在s=-1左邊的K的取值范圍。100202sssKa sR sC aaKsssKs1002023由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：解：解：（1）根據(jù)題意可得系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： 12 . 001. 001. 01002022sssKsssKsGaaK因此系統(tǒng)的開環(huán)增益為：K=0.01KaaaaKsKsKss01232010