東北大學考研

1、1-6已知物體內某點的應力分量為；x = ；y=20MPa , -xy=10MPa，其余應力分量為零，試求主應力大小和方向。解：I! - ；. x y ；z=40MPa2 2 2I2 二一（二 x；y 一九 y；z ；W）宀 xy 戈 yz 畑=-300 MPax"-，y"z 2 Xy yZ zx22-廠 z xy =032；-40二 2 300；- 0G=30MPa二 2 =10 MPa -3=01-7已知變形時一點應力狀態(tài)如圖1-34所示，單位為 MPa，是回答下列問題?（1）注明主應力；（2）分解該張量；（3 ）給出主變形圖；（4 ）求出最大剪應力，給出其作用面。6解

2、：（1 ）注明主應力如下圖所示:（2）分解該張量;-500 |'-6000°】0_ 60 H 0-60 1+丨000 11 001一7丿 100一6丿 100-1'（3）給出主變形圖（4）最大剪應力.13九丁九寧_1 MPa其作用面為1-8已知物體內兩點的應力張量為a點二1=40 MPa，二2=20 MPa，二3=0 ；b點：二x 一 ；y =30MPa,xy=10 MPa，其余為零，試判斷它們的應力狀態(tài)是否相同。解: a 點 J =二_!；2；3 = 60MPa|2 -（二仁二 二2二3 二3F）=-800 MPa* =m=o丨1 - ；x ；y ；z=60 MPa

3、2 2 212 = 一（；y；z ）xyyzzx=-800 MPa解: (1) 6000 6 二 60MPa100 .10-則 G = 60Mia，二2=0 ； 3 = 0 ；應力分量為16000、2000、4000 )000=0200+0-20000-600020J00-20J廣4000偏差應力分量為 0-2000 0 -200000'球應力分量為02000020<J(3 )畫出變形狀態(tài)圖1-15 已 知 應 力 狀 態(tài) 的 6 個 分 量 j = 7MPaixy,= - MPa 坊4=0 已=4Ma, ZT =-8MP,坊z=-15Mia。畫出應力狀態(tài)圖，寫出應力張量解：J7

4、-4-8 應力張量為-404-84-151-16已知某點應力狀態(tài)為純剪應力狀態(tài)，且純剪應力為 -10MPa求：（1）特征方程；（2）主應力；（3）寫出主狀態(tài)下應力張量；（4）寫出主狀態(tài)下不變量；（5） 求最大剪應力、八面體正應力、八面體剪應力，并在主應力狀態(tài)中繪出其 作用面。解: （ 1）X = ；X 二 y匕=0 + 0 + 0 = 0I2二z ；x)Xy ；z ；x=100|3 =CT CT <T +2l T T CT T2 CT T2 CT T2 =013-x-y-zxy yz zx - x yz - y zx -z x特征方程為二3 - 100；- 0(2) 其主應力為；_ =

5、10MPa ； c2 = 0 MPa ； c3 = -10 MPa1000"(3) 主狀態(tài)下應力張量為00000-10IJ(4 )主狀態(tài)下不變量I 1- J 二2 匚3=012飛2二3 )=- ( -100) =10013- ；1匚2二3=0（5）最大剪應力為13=-10- (-10)-10 MPa ；八面體正應力1匚3)= 3(10八面體.、八剪1 2.8=3( c -匚)+ (匚-<)+ (二-二)=3(10-0) + (0+10)+(-10-10)= 63MPa最大剪應力在主應力狀態(tài)中繪出其作用面為:1-17已知應力狀態(tài)如圖1-35所示：（1 ）計算最大剪應力、八面體正應

6、力、八面體剪應力，繪出其作用面;（2 ）繪出主偏差應力狀態(tài)圖，并說明若變形，會發(fā)生何種形式的變形。-10解：（1）最大剪應力13=-6-(-10)=_ 2MPa八面體正應力二8=二2二3)=(-6 - 8 - 10) = -8Mia338=1 廠八面體剪應力7a變形時是平面變形，一個方向拉伸，另外一個方向縮短。（1） 最大剪應力.13= _ ；"3 = _ 0-（-10）= _ 5八面體正應力-5Mia二8=1（二1 6）= 3（° -5-10）33八面體剪應力13變形時是平面變形，一個方向拉伸，另外一個方向縮短。.（0+5）+ （-5+10）+ （-10+0）2=5 .6

7、3(1)最大剪應力.13= 一二=_空=_2.52 2八面體正應力二 二8=3(二1二2二3) 2）2+ （二2-匚3）2+（J-J）2：1（8-5）2+（5-3）2+ （3-8）2 = .38 （3+5+8） = 16 Mia338：1 廠八面體剪應力3變形時是體積變形，一個方向拉伸，另外兩個個方向縮短。1-14，軋板時某道軋制前后的軋件厚度分別為H=10mm h=8mm軋輥圓周速度v=2000mm/s軋輥半徑R=200.試求該軋制時的平均應變速率。解：軋制時的平均應變速率為：2vH+h2 200010+810 - 8200二 22.22m / s1-13軋制寬板時，厚向總的對數變形為InH

8、/h=0.357，總的壓下率為30%共軋 兩道次，第一道次的對數變形為 0.223 ;第二道次的壓下率為0.2，試求第二道 次的對數變形和第一道次的壓下率。解：第二道次的對數變形為 第一道次的壓下率為1-12已知壓縮前后工件厚度分別為 H=10mn和h=8mm壓下速度為900mm/s試 求壓縮時的平均應變速率。解：壓縮的平均應變速率2vy = 2 漢 900 H h "10+8= 100m/s1-11試證明對數變形為可比變形，工程相對變形為不可比變形。 證明：設某物體由I。延長一倍后尺寸變?yōu)?l 0.其工程變形為 e = L_L 100%= 100%L如果該物體受壓縮而縮短一半，尺寸

9、變?yōu)?0.51 0,則工程變形為0 5L Le100% = -50%L物體拉長一倍與縮短一半時，物體的變形程度應該一樣。而用工程變形表示拉壓 程度則數值相差懸殊。因此工程變形失去可以比較的性質。用對數變形表示拉壓兩種不同性質的變形程度，不失去可以比較的性質。拉長-倍的對數變形為,2L , o'一 In In 2縮短一半的對數變形為所以對數變形滿足變形的可比性。Ty = 15 (應力2-4.某理想塑性材料在平面應力狀態(tài)下的各應力分量為ax=75 , oy=15 , oz=0,單位為MPa,若該應力狀態(tài)足以產生屈服，試問該材料的屈服應力是多少？ 解：由由密席斯屈服準則：I1- CT f +

10、(CT - CT f + (<T - CT f + 6(l 2 2-0.5 6+6-6+1.56-1.5j+05s + T a < cr s s + T 2, 2 xy - yz - zxxyyzxz得該材料的屈服應力為:血75-15$+(15-0$ +(0-75 歸6(152 +0 + 0=73.5MPa2-4兀00 '-0 .2s00、CF =0-5兀0；貯=0-0 .電000g00-0園丿2-5.試判斷下列應力狀態(tài)彈性還是塑性狀態(tài)?7-°.應力處于彈性狀態(tài) ；s-S-1.5解：a)由屈雷斯加屈服準則:5-(3= (Ts得：-4 匹-(-5 CS) =應力處于

11、塑性狀態(tài)。由密席斯屈服準則亍二6f +佃3 - 坊2 f +9l - 6 f、二s。應力處于塑性狀態(tài)。b)由屈雷斯加屈服準則：3- 3= 3得：-0.2 3+0.8 3 =0.6 3,應力處于彈性狀態(tài)。由密席斯屈服準則e=2"22JJ應力處于彈性狀態(tài)。二 0.6 JC)由屈雷斯加屈服準則：3-3=3得：-0.5 3-( -1.5 3) =3,應力處于塑性狀態(tài)。由密席斯屈服準則=2匕 2二 3 -二2 2J - 二 3 22-15 已知應力狀態(tài) e=-50MPa ,念=-80 MPa , 妒-120 MPa , cs=10 , 79 MPa，判斷產生何變形，繪出變形狀態(tài)圖，并寫出密賽斯

12、屈服準則簡化形式。解：a)由屈雷斯加屈服準則：5-03= os得：-50- (-120) =70彈性狀態(tài)。由密席斯屈服準則MPa<10 79 MPa。應力處于二 310 一 37 MPa <10 , 79 MPa。應力處于彈性狀態(tài)。"00偏差應力分量為00010T000110變形狀態(tài)圖如下:密賽斯屈服準則簡化形式如下:Jdk與屈服應力的關系。2-14繪出密賽斯屈服準則簡化形式，指出參數的變化范圍和 答：密賽斯屈服準則簡化形式“參數變化范圍為-1乞冬1, 1 < 1<-s3k與屈服應力關系為 k=2-13已知三向壓應力狀態(tài)下產生了軸對稱的變形狀態(tài), 的屈服極限為

13、200 MPa，試求第二和第三主應力。解：匚 s=200Mfac1 =-50 Mia軸對稱的變形狀態(tài)，:-；s=200Mia二3 =-250 Mia二2 =二3=-250 MP或二產；=-50 Mia且第一主應力為-50 MPa，如果材料2-12已知兩向壓應力的平面應力狀態(tài)下產生了平面變形，如果材料的屈服極限為 試求第二和第三主應力。解：平面應力，則 G = 0平面變形，則200 MPa，F+6 = £322按屈雷斯卡塑性條件: 則 ；-；3 - : s=200Mia則 二3 =-200 Mia二2 =-100 MP按密賽斯塑性條件：2 2 2 2 2 J - 匚2匚3 一 匚2J

14、一 匚3 =2= =2 2002 200MiaMia200=-232-11寫出主應力表示的塑性條件表達式。 答：主應力表示的塑性條件表達式為： 屈雷斯卡屈服準則：T -max密賽斯屈服準則：2 2 2 2G - -2-二3 - -2-3=2s2-10寫出平面應變狀態(tài)下應變與位移關系的幾何方程。 答：平面應變狀態(tài)下應變與位移關系的幾何方程：。剖X,別y1 （別X , dyXyxyrxy ；yxy 2 :：y:：x2-9推導薄壁管扭轉時等效應力和等效應變的表達式。解：薄壁扭轉時的應力為：.xy = 0，其余為二x=；y = =yz=Gx=O主應力狀態(tài)為：二 2=0屈服時：J=Y3= xy=k6=0

15、等效應力為:Ce二3亠心 - I? = 31=.、3.xy=-3k等效應變?yōu)?2 2 2 2 2 2 9 d 1 - d；2d；2- d；3d；3- d “=石 d；嚴石 d2二"3 12-8試寫出屈雷斯卡塑性條件和密賽斯條件的內容，并說明各自的適用范圍。無論是簡單應力狀態(tài)還答：屈雷斯卡塑性條件內容： 假定對同一金屬在同樣的變形條件下, 是復雜應力狀態(tài)，只要最大剪應力達到極限值就發(fā)生屈服，即 適用范圍：當主應力不知時，屈雷斯卡準則不便適用。密賽斯條件的內容：在一定的塑性變形條件下，當受力物體內一點的應力偏張量的第 量達到一定值時，該點就進入塑性狀態(tài)。屈服函數為 I 2 = (CT+

16、CT+ CT+ 衛(wèi)2 + X += C2丫y zz x f"xy*yz "zx適用范圍：密賽斯認為他的準則是近似的，不必求出主應力，顯得非常簡便。2-7已知下列三種應力狀態(tài)的三個主應力為：(1) 6=2 6 02=6 03=0 ；( 2) 6 = 0 , 02=2不變(3) 6=6, 6=6 6=0，分別求其塑性應變增量d *、d ；2、d *與等效應變增量-6 6=- 6；pd ；的關系表達式。解:d ；yz-yxyyzzx=d z.匚1-6-2；md ；=d （二2-d =d（-3-血_pd ；= 9 Td " - d ；2 i 亠 id ；2 d ；3 d

17、3（1） d 1p=d1rm）=d（ 2；-；） =d- 2d * =d1 （：- 2- n） =d1 （-：-）=0d 3 =d1 （“-乜-=m =d （0-）=-d_d ；p=-d 町23d£p=21 =3d ；p（2）d 屮二d （二!-二訐d （0+）=d-32d £ =d，（二3_；m=d，（_；+）=-32 、 1 一 G 二一 dZcr332 d*旦o，得生dr hdr2kd 1 =-2d ；p =-2d ；32 2 2 2 - 百*gp _d）十（d諾 _d式）+（d®p_d£ip"1 i=d=-d$d=d （-目 d3m）=

18、d（ cr -2d 2 =d，（二2-二 n?=d，（；_ :.：）32 2d ；3=d'（U=d'（°-"3d邊界條件 r 二 R,；za一 - ；S則接觸面表面壓力曲線分布方程為-S則接觸面單位壓力分布方程為pdz2 二 rdr（13-2平面變形無外端壓縮矩形件，并假定接觸面全滑動（即= pf ），試用近似力平衡方程式和近似塑性條件推導確定平均單位壓力p的公式。答:將 f二pf代入力平衡微分方程式dx-0 得 H 3 y = 0dx h再將屈服準則式d；x代入上式 此ydxCFyh積分上式-y二Ce h ,由邊界條件a點匚xa = °，-xya

19、 =°，由剪應力互等， yxa =。， 則由 G-"x-；y)24.xy2 = 4k2，邊界處二ya = _Kf(L)常摩擦系數區(qū)接觸表面壓應力分布曲線方程為:-y = - Ke 2lP = 2 0 二ydx-2 -平均單位壓力為 p2 ；ydx廠loy整個接觸面均為常摩擦系數區(qū)條件下p ex - 1fl，XK xh3-3在' 750x 1000mm勺二輥軋機上冷軋寬為590mrtl勺鋁板坯，軋后寬度為610mm 該鋁板退火時板坯厚為 H=3.5mm壓下量分配為 3.5mnr2.5mm 1.7mnr 1.1mm 已知該鋁的近似硬化曲線 6二6.88.2 ；，摩擦系數

20、f=0.3，試用斯通公式計算第三道次軋制力P。_11解：解：按斯通公式h - 2( Hh - 2 (1.71.1) -1.4 mml =.麗=,375 (1.7-1.1) flx=15mm0.315_hJ 二 K1.4xe -1二 3.213=7.43.21軋件在變形區(qū)的平均變形程度1 ( H0 - H H° -h4(H0H°H。小H。.H。- hH。(0雯竺3.53.5 - 1.73 5113.5則該合金的平均變形抗力6.8 8.2 ；二 6.8-s8.20.3714 二 9.85 MPa耳 + cbK f b - 1.1559.85200 二 11.38 MPa2二 7

21、.411.38=84.2 MPa鋁板坯平均變形寬帶為B-BB 前 后二 600mm則第三道次軋制力=p B I = 84.260015 二 757.8k N3-4在500軋機上冷軋鋼帶，H=1mm h=0.6mm, B=500mm f=0.08 ,-b=200MPacrf = 300MPa 眄-解：按斯通公式h = (H h)2600MPa,試計算軋制力。1(10.6) = 0.8 mm2l = . -R =.250 (1-0.6)=10mmfl 0.081010.8x1e -1 e-111.73軋件在變形區(qū)的平均變形程度二 1(H_HH_h)二2H。H。則該合金的平均變形抗力(01 匹)=2

22、0%K 一寧 “155 600 一43MPap = 1.73443=766.4 MPa銅帶平均變形寬帶為B_BB 前 后二 500mm2則軋制力P = p B I = 766.450010 二 3832kN3-5試推導光滑拉拔時，拉拔應力的表達式。答：光滑拉拔時，無摩擦力f，先將分離體上所有作用力在x軸向的投影值求出, 然后按照靜力平衡條件，找出各應力分量間的關系。作用在分離體兩個底面上作用力的合力為巳二才 D（Dd；X2；xdD）作用在分離體錐面上的法向正壓力在軸方向的投影為2JINx=0 fdxtana dx= nDdD2 n作用在分離體錐面上的剪力在軸方向的投影為 0; 根據靜力平衡條件

23、兀 f f I兀 fD Dd”x 2”xdD)cnDdD = 042整理后得Dd；x 2；xdD2cndD 二 0將塑性條件近似屈服準則代入上式積分上式，得-2；打nDcb 代入上式二 62；理nDb-2；sInD；b2；二1 nDbD)"2訥§Db-s當x=xa， D = Da -嗚）2代入上式得"-'xaCxaDb2Da2cb In二：I sin 3-7-軋板時假定接觸面全滑動，試建立卡爾曼方程，并指出解此方程的這個主要 途徑。答：軋板時假定接觸面全滑動卡爾曼做了如下假設：1）把軋制過程看成平面變形狀態(tài)；2）二x沿軋件高向、寬向均勻分布；3）接觸表面摩

24、擦系數f為常數.將作用在此單元體上的力向x軸投影，并取得力平衡(匚xd；x)( 0dhj - :xhx -2pxrd ： sin 芒 士 2fpxrd ： cos ： = 0展開上式，并略去高階無窮小，得-xdhxhxd J _2pxrd ： sin - 2fpxrd ： cos ： = 0d(；xhx)d :=2pxr(sin二 f cos :)式中+號為前滑區(qū)，-號為后滑區(qū) 此方程為卡爾曼方程原形。解此方程的主要途徑將單元體的上、下界面假設為斜平面，另外將屈服準則的近似式 px -cx = K 代入到方程中來。分別對前滑區(qū)和后滑區(qū)的邊界條件代入到前滑區(qū)和后滑區(qū)的方程中，求出常數項C來。3-

25、8試任舉一例子說明工程法的基本出發(fā)點和假定條件以及用此法求解變形力 的主要步驟。答：舉例如下：圓柱體周圍作用有均布壓應力，如圖所示。用主應力求鐓出力P和單位流動壓力。 設 t =mk。r / v 上孑 a二D工程法的基本出發(fā)點：簡化為平面圓柱壓縮為軸對稱問題，米用柱座標。設三個坐標方向的正應力CT、囚和CZ視為主應力，且與對稱軸Z無關。某瞬間圓柱單元體上的應力如圖所示，單元體 沿徑向的靜力平衡方程為：（込 + 運_）（尸 + 由陽® -小孑卩+ asrddr-2hsin（= 0令sin(d02)d 02，并忽略二次微分項，則得dr rh由于軸對稱條件，=岡。此時平衡方程簡化為3-12

26、w zd czdrh根據米賽斯屈服條件，可得近似表達式為代入式d；r=d；z(3-1)，得2mk；z i-dr h因此2mkr C hCJzGe2mk r h3-2邊界條件：當r二R時,c= 00。由近似屈服條件知，此時的；z =2K +(d，代入方程式(3-2),可得2K co代入式Ci 二 2K(3-2)，得R _2 mk c e h2m43-3,2K 二。e h所需變形力P為：壓板上的平均單位壓力用p表示，則- PP 2 兀R4-1如圖所示，已知滑移線場和屈服剪應力k的方向，試判斷一下哪個是a線,哪個是3線。解：a線是使單元體具有順時針旋轉的趨向，則圖中 a線和B線如下圖所示。4-2如圖

27、所示，已知a線上的a點靜水壓力200MP©經a的切線與x軸的夾角 15度，由a點變化到b點時，其夾角的變化為15度，設k=50MPa,求: 1)b點的靜 水壓力是多少？ 2)寫出b點的應力張量。解:通過漢基應力方程，a-b (沿a線)，Pa+2k a = Pb+2k bPa +怎 a 二 Pb +12 ；,15pb =pa +2k ( - b) = 200+250 ()= 173.8 MPa180b點的應力張量二x 二 4P k sin 2 b)二 _173.8 _50 sin (2 30) = _217. 1MPa二y = 4 p _ k sin 2 b) = P k sin 2=

28、 - 173.850 sin (230) = - 130. 5MPa-yx=k cos 2 b二 50 cos (230)-217. 1 _ 130. 5'= 2二 25MPa-173. 8MPa= pbxz= . zx 二 -yz則b點的應力張量為-217.125L 025-130.5000-173.8,4-3如圖所示，已知滑移線場，試判斷一下 a B的方向。解：a 3的方向如圖所示解：a族和3族如圖所示4-4,如圖所示，已知滑移線場的主應力的方向，試判斷一下哪個是a族？哪個是3族4-5試推導沿3線漢基應力方程式 p - 2k C2答：滑移線的微分方程為 對3線二 tg( ) = -

29、ctg2二x =-p ksin2 - -p - ksin2二y = - p ksin2 -p ksin2xy = kcos2代入平面應變問題的微分平衡方程.:x .:y蟲+2k cos2© +sin2© =0血 (excy j>-pf'一-2k sin2巾一-cos2$ =0& l &by取滑移線本身作為坐標軸，設為軸a和3軸。這樣，滑移線場中任何一點的位置， 可用坐標值a和3表示。當沿著a坐標軸從一點移動到另一點時，坐標值3不變, 當然沿著坐標軸3從一點移動到另一點時，坐標軸 a也不變。(空dx + 空dy) +2k |色dx(cos2

30、69; +sin 2© 巴)+ 2k 竺 dx(sin2© -cosdy = 0 次ex_cxdx _dydx巴一 ctgdxp'P .dp dx dy放cydp+2k |蘭dx(cos2$sin 2©ctg©) + 2k |戲dx(sin2$+cos2©ctg$) = 01玫創(chuàng)一cos2T sin 2 ctg =-1sin2cos 2 ctg = -ctgdp -2k dx 2k dxctg =0:x-:ydpc*2k dx-2k dxctg 二 0dxdc*dxdy.xydp -2kd = 0p 2k =C24-6試敘述并證明漢基第

31、一定理。漢基第一定理：同族的兩條滑移線與另一族滑移線相交，其相交處兩切線間的夾 角是常數。證明：在同一族（例如a族）的兩條滑移線（例如 a 1和a 2線）與另一族（例如 B族） 的任一條滑移線（例如31和B2線）的兩個交點上，其切線夾角與靜水壓力的變化 p 均保持常數，如下圖所示：A-B（沿a線）Pa +2kA = Pb +2k%B-C（沿3線）Pb _ 2k b = Pc 2k cPcPa =2“+2%）A-D（沿3線）Pa -2k a = Pd -2k dD-C（沿a線）Pc 2k c 二 Pd 2k'dPc 一 Pa = 2k(2 D 一 C 一 A)4-7試滑移線理論證明接觸面

32、光滑情況下壓縮半無限體問題的單位壓力公式 證明：按Henchy應力方程，沿 b線DFGCTPd 2k d = Pc 2k cPc = p 2k（ D - C ）4他 3兀）=k -2kk（1 二）pc是接觸面4 C處的靜水壓力，而我們要求的是sy ,由 ；y = - Pc ksin2 c-k（1 二）ksin=_k（1 二）_k=5.14k單位壓力p - -；y = 5.14k總壓力l.2h'2P=2p pdx=2p （-二y）dx =5.14kl平均單位壓力p = P =5.14k l4-8用光滑平錘頭壓縮頂部被削平的對稱楔體，楔體夾角為2：，試求其平均單壓力 p ，并解出6 =30°、90°時的為多少。2k解：如上圖所示 沿B線Pa2k a = Pd -'2k DPd二 Pa -2k( a - d)二 k(12、J其中Pa3=H43=