5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用.PPT

1、1第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用一、形如一、形如 的積分的積分 20d)sin,(cosR二、形如二、形如 的積分的積分 xxRd)(三、形如三、形如 的積分的積分)0(d)(e axxRiax2第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 一、形如一、形如 的積分的積分 20d)sin,(cosR2cosee ii ize 方法方法 (1) 令令 ddeiiz 則則 要求要求 是是 u, v 的有理函數(shù)，的有理函數(shù)， ),(vuR即即 是以是以 u, v 為變量為變量 ),(vuR的二元多項(xiàng)式函數(shù)或者

2、分式函數(shù)。的二元多項(xiàng)式函數(shù)或者分式函數(shù)。 ,sincos i ,d z i ,ddz iz ,212zz 21 zziii2sinee ,212z iz izz21 3第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 方法方法 即即 是以是以 u, v 為變量為變量 要求要求 是是 u, v 的有理函數(shù)，的有理函數(shù)， 一、形如一、形如 的積分的積分 20d)sin,(cosR),(vuR),(vuR的二元多項(xiàng)式函數(shù)或者分式函數(shù)。的二元多項(xiàng)式函數(shù)或者分式函數(shù)。 zzfzd)(1| . , )(Res2 kkzzfi其中，其中， 是是 在在 內(nèi)內(nèi)的孤立奇點(diǎn)。的孤立奇點(diǎn)。 kz)(zf1| z

3、(2) 20d)sin,(cosRzz iRzd11| z izzz21,2122 )(zf4第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 可知被積函數(shù)的分母可知被積函數(shù)的分母不為零，不為零， 因而積分是有意義的。因而積分是有意義的。 解解 2cos21pp )cos1(2)1(2 pp由由 及及 ,10 p,e iz (1) 令令 22cos22ee ii ,222 zz,ddz iz ,2cos1 zz 則則 P120 例例5.24 5第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 解解 (2) 1|2122d22112zzizpzzpzzI 1|24d)( )1(21z

4、zpzpzz iz.d)(1| zzzf函數(shù)函數(shù) 有兩個(gè)孤立奇點(diǎn)：有兩個(gè)孤立奇點(diǎn)： 在在 內(nèi)，內(nèi)， )(zf1| z二階極點(diǎn)二階極點(diǎn) 一階極點(diǎn)一階極點(diǎn) ,01 z.2pz ( ( 注意：一階極點(diǎn)注意：一階極點(diǎn) 不在不在 內(nèi)內(nèi) ) ) pz/13 1| z6第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 解解 ,2122pip 222243220)(2)21( )1(4)(limzppzpzipzpzzzppzpzz (3) zzfzddlim0, )(Res0)( )1(21242pzpzz izz 事實(shí)上，可直接用洛朗展開(kāi)的方法來(lái)求該點(diǎn)的留數(shù)。事實(shí)上，可直接用洛朗展開(kāi)的方法來(lái)求該點(diǎn)的

5、留數(shù)。 利用洛朗展開(kāi)利用洛朗展開(kāi)求該點(diǎn)的留數(shù)求該點(diǎn)的留數(shù)7第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 解解 ,)1(21224ppip (3) pzpzflim, )(Res)( )1(21)(24pzpzz izpz )(, )(Res, )(Res2pzfpzfiI )1(212122422ppippip i2.1222pp 8第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 ,e iz (1) 令令 ,ddz iz ,2cos1 zz 則則 解解 由于由于 為偶函數(shù)，為偶函數(shù)， cos45cos .dcos45cos21 II 記記 1|111d24512zzizzzz

6、zI 1|2d)2( )2/1(41zzzzz iz.d)(1| zzzf9第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 解解 有兩個(gè)一階極點(diǎn)：有兩個(gè)一階極點(diǎn)： 在在 內(nèi)，內(nèi)， (2) )(zf1| z,01 z.212 z)(lim0, )(Res0zfzzfz 02)2( )2/1(41 zzziz;41i )(lim21, )(Res21zfzzfz 212)2(41 zzz iz.125i ii12541 iII221211.6 ( (實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)) ) 10第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 其中，其中，P (x) , Q(x) 為多項(xiàng)式；為多項(xiàng)式； (2)

7、 分母分母 Q(x) 的次數(shù)比分子的次數(shù)比分子 P (x) 的次數(shù)至少的次數(shù)至少高二次高二次； (3) 分母分母 Q(x) 無(wú)實(shí)零點(diǎn)。無(wú)實(shí)零點(diǎn)。 推導(dǎo)推導(dǎo) ( (略略) ) xxRd)(. , )(Res2 kkzzRi其中，其中， 是是 在上半平面內(nèi)在上半平面內(nèi)的孤立奇點(diǎn)。的孤立奇點(diǎn)。 kz)(zR要求要求 ,)()()(xQxPxR (1) 方法方法 二、形如二、形如 的積分的積分 xxRd)( (進(jìn)入推導(dǎo)進(jìn)入推導(dǎo)?)?)11第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 (1) 令令 解解 9102)(242 zzzzzR)9( )1(2222 zzzzizizzzzizR322

8、)3( )1(23, )(Res ,161i .4873i .125 izzizzzizR )9( )(2, )(Res22(2) 48731612iiiI(3) 在上半平面內(nèi)，在上半平面內(nèi)，i 與與 3i 為為 一階極點(diǎn)一階極點(diǎn) 。 )(zRP122 例例5.25 12第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 在上半平面內(nèi)，在上半平面內(nèi)，a i 與與 bi 為一階極點(diǎn)為一階極點(diǎn)。 (1) 令令 解解 ,)( )()(22222bzazzzR (2) )()(lim, )(ReszRiaziazRiaz .)(222abib )()(lim, )(ReszRibzibzRiaz

9、)(2)(22212222abibbaiai(3) xzRId)(21,)(222baia .)(2ba 13第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 (1) 記記解解 ,d12421 xxxII在上半平面內(nèi)，在上半平面內(nèi)， 為兩個(gè)為兩個(gè)一階極點(diǎn)一階極點(diǎn)。 ,41eiz iz432e ,1)(42 zzzR令令(2) )1(, )(Res421 zzzzR1zz z41 1zz ,414ei zzzR41, )(Res2 2zz i43e41 .414ei (3) )ee(44141412iiiI ,22 .42I 14第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 三、

10、形如三、形如 的積分的積分 )0(d)(e axxRiax(2) 分母分母 Q(x) 的次數(shù)比分子的次數(shù)比分子 P (x) 的次數(shù)至少的次數(shù)至少高一次高一次； (3) 分母分母 Q(x) 無(wú)實(shí)零點(diǎn)。無(wú)實(shí)零點(diǎn)。 其中，其中， 是是 在上半平面內(nèi)在上半平面內(nèi)的孤立奇點(diǎn)。的孤立奇點(diǎn)。 kz)(zR其中，其中，P (x) , Q(x) 為多項(xiàng)式；為多項(xiàng)式； ,)()()(xQxPxR 要求要求 (1) . ,)(Res2 kkzzRi方法方法 xxRiaxd)(ezaie15第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 三、形如三、形如 的積分的積分 )0(d)(e axxRiax其中，其中

11、，P (x) , Q(x) 為多項(xiàng)式；為多項(xiàng)式； (2) 分母分母 Q(x) 的次數(shù)比分子的次數(shù)比分子 P (x) 的次數(shù)至少的次數(shù)至少高一次高一次； (3) 分母分母 Q(x) 無(wú)實(shí)零點(diǎn)。無(wú)實(shí)零點(diǎn)。 ,)()()(xQxPxR . ,)(Res2 kkzzRi要求要求 (1) 方法方法 xxRiaxd)(ezaie推導(dǎo)推導(dǎo) ( (略略) ) .BiA 記為記為 .dsin)(BxaxxR ;dcos)(AxaxxR 特別特別 ( (進(jìn)入推導(dǎo)進(jìn)入推導(dǎo)?)?)16第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 在上半平面內(nèi)，在上半平面內(nèi)，1+3 i 為一階極點(diǎn)為一階極點(diǎn)。 (1) 令令

12、解解 102)(2e zzzzfz iizz izzizf312231, )(Rese ,)31( )31(eizizzz i .6313eiii (2) xxxxxid1022e. )1sin1(cos)31(33eii iiii 3e631217第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 xxxxxd102cos2(3) ; )1sin31(cos33e xxxxxd102sin2. )1sin1cos3(33e (2) xxxxxid1022e. )1sin1(cos)31(33eii 18第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 在上半平面內(nèi)，在上半平面內(nèi)，

13、i 為一階極點(diǎn)為一階極點(diǎn)， (1) 令令 解解 ,1)(2e zzfzaiizzaizizf 2, )(Rese.2eia (2) xxxaid12eiia22e ,ea 02d1cosxxxa;2ea .2eb 02d1cosxxxb同理同理 .2)e(ebaI (3) 19第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 附：附：關(guān)于第二、三型積分中關(guān)于第二、三型積分中 有實(shí)孤立奇點(diǎn)的情況有實(shí)孤立奇點(diǎn)的情況 )(zR若若 在上半平面在上半平面有孤立奇點(diǎn)有孤立奇點(diǎn) 結(jié)論結(jié)論 )(zR,21mzzz xxfd)( mkkzzfi1, )(Res2在實(shí)軸上在實(shí)軸上有有 ,21nxxx孤立奇

14、點(diǎn)孤立奇點(diǎn) 則則 . , )(Res1 mkkzzfi)(xf其中，其中， 為第二、三型積分中的被積函數(shù)。為第二、三型積分中的被積函數(shù)。 P12620第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 (1) 令令 解解 ,)(ezzfz i 0e0, )(Res zz izf.1 (2) xxxide0, )(Reszfi 在實(shí)軸上，在實(shí)軸上， 為一階極點(diǎn)為一階極點(diǎn)， 0 z, i 0dsinxxxI Im21 xxxide.2 P127 例例5.27 附：附：關(guān)于第二、三型積分中關(guān)于第二、三型積分中 有實(shí)孤立奇點(diǎn)的情況有實(shí)孤立奇點(diǎn)的情況 )(zR21第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在

15、定積分計(jì)算中的應(yīng)用 休息一下22第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 .210, )(Res22pipzf 附：附：求函數(shù)求函數(shù) 在在 點(diǎn)的留數(shù)。點(diǎn)的留數(shù)。 )( )1(21)(24pzpzz izzf 0 zpzzpzzpizf/1111121)()(22 )1()1(12122222)( pzpzzpzpzzpi zpppi1121)( (返回返回) )23第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 附：附：關(guān)于關(guān)于 型積分的公式推導(dǎo)型積分的公式推導(dǎo) xxRd)(. , )(Res2 kkzzRi(1) 如圖，如圖， 取積分路徑為取積分路徑為 ,0 CCC (

16、 (思路思路) ) 推導(dǎo)推導(dǎo) 其中其中 的半徑為的半徑為 C. |maxkkz (2) 根據(jù)留數(shù)定理有根據(jù)留數(shù)定理有 CzzRd)( C0C kz CzzRd)( 0d)(CzzR xxRd)( CzzRd)(P122 24第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 附：附：關(guān)于關(guān)于 型積分的公式推導(dǎo)型積分的公式推導(dǎo) xxRd)( (思路思路) ) 推導(dǎo)推導(dǎo) (3) | )(|zR|22112211mnnmnnnnbzbzbzazazaz 不妨設(shè)不妨設(shè) |1 |1 |111112mmnnzbzbzazaz |1|1|111112mmnnzbzbzazaz 5 . 015 . 01|

17、12 z.|32z ( (當(dāng)當(dāng) 足夠大足夠大) ) |z25第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 附：附：關(guān)于關(guān)于 型積分的公式推導(dǎo)型積分的公式推導(dǎo) xxRd)( (思路思路) ) 推導(dǎo)推導(dǎo) (4) |d)( CzzR C0C kz CzzR|d| | )(| Czz|d|32 23 3 ,0. )( , , )(Res2 kkzzRi xxRd)( CzzRd)(5) 由由 . , )(Res2 kkzzRi xxRd)( (返回返回) )26第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 附：附：關(guān)于關(guān)于 型積分的公式推導(dǎo)型積分的公式推導(dǎo) )0(d)(e axxR

18、iax. ,)(Res2e kkzaizzRi(1) 如圖，如圖， 取積分路徑為取積分路徑為 ,0 CCC ( (思路思路) ) 推導(dǎo)推導(dǎo) 其中其中 的半徑為的半徑為 C. |maxkkz (2) 根據(jù)留數(shù)定理有根據(jù)留數(shù)定理有 CzaizzRd)(e C0C kz CzaizzRd)(e 0d)(eCzaizzR xxRxaid)(e CzaizzRd)(eP123 27第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 (3) | )(|zR|22112211mnnmnnnnbzbzbzazazaz 不妨設(shè)不妨設(shè) |1 |1 |11111mmnnzbzbzazaz |1|1|11111mmnnzbzbzazaz 5 . 015 . 01|1 z.|3z ( (當(dāng)當(dāng) 足夠大足夠大) ) |z( (思路思路) ) 推導(dǎo)推導(dǎo) 附：附：關(guān)于關(guān)于 型積分的公式推導(dǎo)型積分的公式推導(dǎo) )0(d)(e axxRiax28第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 (4) |e|d)( CzaizzR CzaizzR|d| | | )(|e Cyasd3e)1(3e aa ,0. )( ( (思路思路) ) 推導(dǎo)推導(dǎo) 附