《航天制導(dǎo)與控制基礎(chǔ)》作業(yè)2014

1、參考資料：【1】衛(wèi)星軌道姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與控制，章仁為，北京航空航天大學(xué)出版社。 【2】航天器控制原理，周軍，西北工業(yè)大學(xué)出版社。第二章 作 業(yè)一、設(shè)剛體B相對某參考坐標(biāo)系的姿態(tài)可用方向余弦陣A表示，角速度矢量為w，試證明：(1) AAT=E(2) |A|=1(3) dA/dt = -w´A證明：設(shè)(1) 根據(jù)A陣的性質(zhì)，可知(2) 由于方向余弦陣A描述的坐標(biāo)系皆為右手正交坐標(biāo)系，由此可以驗(yàn)證（代入變換矩陣公式即可驗(yàn)證）AT= A*又由于AT= A-1因此，由A-1= A*/|A|可以推知|A|=1(3) 令姿態(tài)相對參考坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)速為w，轉(zhuǎn)軸為e，則w= w e。如在t時(shí)刻姿態(tài)矩陣為A(t

2、) ，在t+Dt時(shí)刻為A(t+Dt)。如用A¢表示姿態(tài)的變化，則有A(t+Dt) =A¢ A(t) 利用Euler軸/角與姿態(tài)矩陣間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以寫出當(dāng)時(shí)，因此，有A(t+Dt) = A(t)-w´ Dt A(t)= -w´ A(t)二、試推導(dǎo)方向余弦陣與Euler軸/角間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。解：設(shè)轉(zhuǎn)軸為e，轉(zhuǎn)角為，對任意矢量a，旋轉(zhuǎn)后所對應(yīng)的矢量為，如圖1所示。vuaaeu'圖1定義(1)(2)則(3)(4)將式(1)式(3)代入式(4)可得，(5)參考坐標(biāo)系軸經(jīng)歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)得出對應(yīng)的本體坐標(biāo)軸，則(6)根據(jù)姿態(tài)矩陣的定義，將本體系各軸按式(6)展開并代

3、入，可得由上式可得證畢。三、設(shè)固連于某剛體的坐標(biāo)系Oxyz相對參考坐標(biāo)系OXYZ的姿態(tài)可用2-3-1Euler角描述，。(1) 試畫出兩個(gè)坐標(biāo)系的相對旋轉(zhuǎn)關(guān)系；(2) 試求出對應(yīng)的姿態(tài)矩陣及其逆矩陣；(3) 試推導(dǎo)以2-3-1Euler角描述的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。解：(1) 假設(shè)從坐標(biāo)系Oxyz到坐標(biāo)系OXYZ經(jīng)過三次旋轉(zhuǎn)：繞Oxyz 的Oy軸旋轉(zhuǎn)角度q，得到坐標(biāo)系Ox1y1z1；繞坐標(biāo)系Ox1y1z1的Oz1軸旋轉(zhuǎn)角度y，得到坐標(biāo)系Ox2y2z2；繞坐標(biāo)系Ox2y2z2的Ox2軸旋轉(zhuǎn)角度j，得到坐標(biāo)系OXYZ；相對旋轉(zhuǎn)關(guān)系如下圖所示：(2)經(jīng)過“2-3-1”旋轉(zhuǎn)，就可以完成Oxyz到OXYZ的轉(zhuǎn)

4、化，變換矩陣R為：因?yàn)樽儞Q矩陣R是正交矩陣，因此：。(3)四、試寫出描述剛體繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的Euler方程，并分析在什么情況下，可以使三軸運(yùn)動(dòng)解耦。解：剛體繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的Euler方程式(1)所示當(dāng)體坐標(biāo)軸與慣性主軸重合時(shí)，上式可寫為：顯然，當(dāng)時(shí)，三軸運(yùn)動(dòng)解耦。第四章 作 業(yè)一、證明在僅有二體引力的作用下，航天器機(jī)械能守恒。(參見講義P33)【周軍p22】證明：設(shè)r為二體之間的位置關(guān)系矢量，根據(jù)二體問題的力學(xué)方程，可得到如下關(guān)系式：用與上式點(diǎn)乘，可得：根據(jù)矢量運(yùn)算法則，故上式可寫為：對上式進(jìn)行積分，可得由上式可知航天器的機(jī)械能守恒。證畢。二、證明在二體問題中，航天器的運(yùn)動(dòng)軌道始終處于空間中的一個(gè)

5、固定平面內(nèi)。(參見講義P32) 【章仁為p2】證明：在地心第一赤道坐標(biāo)系中，航天器運(yùn)動(dòng)方程為：將上式的第二方程乘以z減去第三個(gè)方程乘以y，可得：即同理可得：其中，A，B，C 是積分常數(shù)。進(jìn)一步整理，可以得到：故航天器在一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。證畢。三、證明開普勒第二、第三定律。證明：首先證明開普勒第二定律?！菊氯蕿閜3】由上圖，可以寫出三角形OBB¢的面積為因此，有進(jìn)而可得上式表明，航天器在單位時(shí)間掃過的面積是相等的。下面證明開普勒第三定律?！菊氯蕿閜5】由于這里是整個(gè)橢圓的面積，T為周期。因?yàn)檐壍朗菣E圓軌道，可得：從而，可得：即：上式表明，衛(wèi)星軌道周期的平方和橢圓軌道半長軸的三次方成正比。

6、證畢。四、設(shè)某地球衛(wèi)星質(zhì)心到地心的距離為r，橢圓軌道的半長軸為a，偏心率為e，偏近點(diǎn)角為E，試證明。證明：【章仁為p6】由上圖，可以寫出：由軌道運(yùn)動(dòng)方程可得將上式代入第1式，并整理可得：證畢。五、什么是軌道六要素，它們是如何確定航天器在空間中位置的？【章仁為p7】 解：航天器運(yùn)行的軌道形狀和其在空間的位置，可以通過6個(gè)參數(shù)來表示，簡稱軌道要素。軌道六要素是描述和確定航天器軌道特征的量。1、 軌道傾角i：航天器運(yùn)行軌道所在的平面與赤道面的夾角。2、 升交點(diǎn)赤經(jīng)W：以地球自轉(zhuǎn)方向?yàn)檎?，從春分點(diǎn)方向軸量起的升交點(diǎn)的經(jīng)度。3、 近地點(diǎn)角距w：投影在天球上的橢圓軌道近地點(diǎn)于升交點(diǎn)對地心所張的角度，從升交

7、點(diǎn)順航天器運(yùn)行方向量到近地點(diǎn)。4、 橢圓軌道的長半軸a。5、 橢圓軌道的偏心率e。6、 航天器過近地點(diǎn)的時(shí)刻tp。這就是航天器的軌道六要素，它們是怎樣確定航天器軌道的呢？首先，軌道傾角i和升交點(diǎn)赤經(jīng)W確定航天器軌道平面在空間中的方位；其次，近地點(diǎn)角距w確定橢圓長軸在軌道平面上的指向；第三，長半軸a和偏心率e確定橢圓軌道的形狀和大小；第四，航天器過近地點(diǎn)時(shí)刻tp把時(shí)間和空間聯(lián)系起來，確定了航天器在軌道上的位置。六、設(shè)對地定向的某三軸穩(wěn)定衛(wèi)星沿近圓軌道運(yùn)動(dòng)，軌道角速度為w0。固連于星體的本體坐標(biāo)系為慣量主軸坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣為J=diag(Jx, Jy, Jz)，衛(wèi)星相對軌道坐標(biāo)系的姿態(tài)可用2-

8、3-1Euler角描述。(參見講義P41)(1)試推導(dǎo)衛(wèi)星完整的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型；(2)在小角度假設(shè)下，對上述模型進(jìn)行線性化；(3)試定量分析軌道高度分別為2000km和200km時(shí)各姿態(tài)通道間耦合的強(qiáng)弱，并分析產(chǎn)生耦合的原因。解：航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程可表示為：當(dāng)Ix Iy Iz完全相同時(shí)，可得：由上式可知，俯仰通道和滾轉(zhuǎn)、偏航通道是沒有耦合的。滾轉(zhuǎn)通道和偏航通道之間是耦合的，其耦合強(qiáng)弱與航天器的軌道角速度有關(guān)。由于航天器的軌道是圓軌道，有：因此，軌道高度為2000km與軌道高度為200km的耦合強(qiáng)度之比為：即，10-3/2。產(chǎn)生耦合的原因主要是由于軌道角速度的存在，使得航天器的滾動(dòng)軸和偏航軸經(jīng)

9、過四分之一周期出現(xiàn)交替，從而出現(xiàn)耦合。七、利用歐拉動(dòng)力學(xué)方程分析10-5Nm數(shù)量級的常值干擾力矩對自由飛行狀態(tài)下的航天器的姿態(tài)影響。解：解耦后，航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的簡化方程為：可見，航天器的姿態(tài)是外力矩的二次積分，所以，當(dāng)航天器存在一個(gè)常值的干擾力矩時(shí)，航天器的姿態(tài)會(huì)隨時(shí)間的平方發(fā)生變化。因此，即使常值干擾力矩的數(shù)量級為10-5N·m，但經(jīng)過長時(shí)間的積累，也會(huì)出現(xiàn)很大的姿態(tài)偏差，甚至出現(xiàn)翻滾。八、航天器重力梯度穩(wěn)定的條件是什么，并簡要證明之。解：航天器重力梯度穩(wěn)定的條件是：Iy > Ix > Iz。證明過程如下：重力梯度力矩在小角度線性化后，可得到如下表達(dá)式：帶入航天器姿態(tài)運(yùn)

10、動(dòng)方程，得到：首先，考慮俯仰運(yùn)動(dòng)，其方程為：顯然，穩(wěn)定性的必要和充分條件是：然后研究滾轉(zhuǎn)、偏航耦合運(yùn)動(dòng)經(jīng)過拉式變化后，可得到其特征方程為：展開整理可得：其中：。穩(wěn)定條件為：其充分必要條件為：結(jié)合前面俯仰通道的穩(wěn)定條件，可得航天器重力梯度穩(wěn)定的條件是：Iy > Ix > Iz第五章 作 業(yè)一、比較地球同步軌道與靜止軌道的異同。 【周軍p36】 二、求地球靜止軌道的高度和靜止衛(wèi)星的運(yùn)行速度。 【章仁為p29】三、如果需要對某一地區(qū)每30d在同樣的光照條件下觀測一次，觀測衛(wèi)星的軌道為800Km圓軌道。試求T、N、e。 參見講義P49。地球自轉(zhuǎn)角速度we已知，為7.292´10-

11、5rad/s； K=30；取太陽同步圓軌道，軌道面轉(zhuǎn)動(dòng)角速度=2p/365.24=0.0172029 rad/d；根據(jù)軌道高度，算出軌道周期T=2pr3/2m-1/2= 6052s，從而可以推知N。e為回歸系數(shù)，等于N/K。四、分析地球扁率、大氣阻力、日/月引力對航天器軌道的影響。 【周軍p39 41】五、什么是霍曼轉(zhuǎn)移，有什么特點(diǎn)？ 參見講義P61。六、平面外軌道轉(zhuǎn)移有幾種方式？比較各種方式的優(yōu)劣。 參見講義P64。第六章 作 業(yè)一、簡述雙錐相交法定姿的原理。 【章仁為】p191二、在自旋衛(wèi)星的姿態(tài)確定中，能否僅根據(jù)太陽角和天底角唯一確定自旋姿態(tài)？為什么？不能。根據(jù)雙錐相交法定姿的原理，僅根

12、據(jù)太陽角和天底角的測量信息，可以得到兩個(gè)姿態(tài)的解。為唯一確定自旋姿態(tài)，必須引入附加測量信息。三、在三軸穩(wěn)定衛(wèi)星的姿態(tài)測量中，能否用紅外地球敏感器測量出星體的偏航姿態(tài)？為什么？不能。因?yàn)榈厍蚴乔驅(qū)ΨQ的，對于紅外地球敏感而言，衛(wèi)星繞地垂線的轉(zhuǎn)動(dòng)(偏航運(yùn)動(dòng))是不可觀的。四、證明航天器的自旋穩(wěn)定原理，分析航天器繞最小慣量軸旋轉(zhuǎn)不穩(wěn)定的原因？【周軍p80】五、從動(dòng)力學(xué)方程出發(fā)，分析證明章動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特性和形式?！局苘妏82】六、主動(dòng)章動(dòng)阻尼和被動(dòng)章動(dòng)阻尼的區(qū)別是什么？兩者皆可阻尼航天器的章動(dòng)，不同之處在于：1、被動(dòng)章動(dòng)阻尼不消耗電能和燃料，簡單易行，而主動(dòng)章動(dòng)阻尼則需要消耗電能和燃料，還需要配置敏感器測量章動(dòng)，比較復(fù)雜；2、被動(dòng)章動(dòng)阻尼只能應(yīng)用于繞最大慣量軸自旋的衛(wèi)星，而主動(dòng)章動(dòng)阻尼還可應(yīng)用于繞最小慣量軸自旋的衛(wèi)星；3、被動(dòng)章動(dòng)阻尼一般不能徹底消除章動(dòng)，還有剩余章動(dòng)角，而主動(dòng)章動(dòng)阻尼則可徹底消除章動(dòng)。七、理論分析為什么飛輪適合克服周期性干擾，不適合克服常值干擾。參見講義?！局苘妏118】八、分析在周期性干擾和常值干擾分別作用下，飛輪的卸載周期是怎樣確定的？參見講義。九、給出一種偏置動(dòng)量輪三軸姿態(tài)穩(wěn)定系統(tǒng)的基本敏感器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)配置方案，并分別說明它們各自的作用，以及這種系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)。敏感器：雙軸紅外地球敏感器(或滾動(dòng)+俯仰紅外)，測量滾動(dòng)和俯仰姿態(tài)。