(完整word版)人教版高數(shù)選修2-2第6講：合情推理與演繹推理(教師版)

1、1合情推理與演繹推理1 推理根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷，這種思維方式叫做推理推理一般分為合情推理與演繹推理兩類2合情推理歸納推理類比推理由某類事物的部分對象具有某些特由兩類對象具有某些類似特定義征，推出該類事物的全部對象都具有征和其中一類對象的某些已這些特征的推理，或者由個別事實概知特征，推出另一類對象也具括出一般結論的推理有這些特征的推理特點由部分到整體、由個別到一般的推理由特殊到特殊的推理一般步驟(1) 通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同 性質；(2) 從已知的相冋性質中推出一個明確 的一般性命題(猜想)(1) 找出兩類事物之間相似性 或一致性；(2) 用一類事物的性質去推測 另

2、一類事物的性質，得出一個 明確的命題(猜想)3演繹推理(1) 定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理稱為演繹推理;(2) 特點：演繹推理是由一般到特殊的推理:(3) 模式：三段論“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：“三段論”的結構1大前提已知的一般原理；2小前提一一所研究的特殊情況；3結論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷“三段論”的表示1大前提一一 M 是 P.2小前提一一 S 是 M.3結論一一 S 是 P.21例 1 設 f(x)=才+羽，先分別求 f(0) + f(1), f( 1) + f(2), f(-2)+ f(3)，然后歸納猜想一般性結論,并給出證

3、明.思維啟迪解題的關鍵是由 f(x)計算各式，利用歸納推理得出結論并證明11解f(0)+f(1)=嚴+k=1+ ,32 3 41V3 1 + 3-/3V33+；3 =26= 3，同理可得：f( - 1) + f(2) =33,f( 2) + f(3) = -T3，并注意到在這三個特殊式子中，自變量之和均等于1.3歸納猜想得：當 X1+ X2= 1 時，均為 f(x1) + f(x2) 33.證明：設 X1+ X2= 1 ,XX2XX23+3+3+3+2J3為X2X1X2X-iX23+，3 3+33+3 3+3+3XX2XX2_3+3+2_ 3+3+2、3_ 電 3X1X2X1X23.3 3+3

4、+2X3.3 3+3+2 ,3思維升華(1)歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象，因而由歸納所得的結論超越了前提所包含的范圍(2)歸納的前提是特殊的情況，所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗或試驗的基礎之上的(3)歸納推理所得結論未必正確，有待進一步證明，但對數(shù)學結論和科學的發(fā)現(xiàn)很有用跟蹤訓練1(1)觀察下列等式1= 12+ 3+ 4= 93 + 4+ 5+ 6 + 7= 254 + 5+ 6+ 7+ 8 + 9+ 10 = 49 f(X1)+ f(X2) =3X1+ /313X2+：33照此規(guī)律，第五個等式應為d dAC7已知 f(n)= 1 + -+ 3+-+ -(n N*)，經(jīng)計算得 f(4)2 ,

5、f(8)2，f(佝3 , f(32)-,則有_ .23n22答案 (1)5 + 6+ 7+ 8 + 9 + 10+ 11+ 12+ 13= 81nn + 2*(2)f(2n)-(n2, n N)解析(1)由于 1 = 12,2+ 3 + 4= 9= 323+ 4 + 5 + 6+ 7 = 25= 524 + 5+ 6 + 7+ 8+ 9 + 10= 49= 72,所 以第五個等式為 5+ 6 + 7 + 8+ 9+ 10+ 11+ 12+ 13= 92= 81.4567由題意得 f(22)2, f(23)2, f(24)2, f(25)2，n+ 2所以當 n2 時，有 f(2n)號.故填 f(

6、2n)n+(n2, n N*).題型二類比推理差數(shù)列an的上述結論，對于等比數(shù)列 bn( bn0, n N*),若 bm= c, bn= d(n m2, m, n N*),則可以得到 bm+n=_.思維啟迪 等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn類比時，等差數(shù)列的公差對應等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的加減法運算對應等比數(shù)列的乘除法運算，等差數(shù)列的乘除法運算對應等比數(shù)列中的乘方開方運 算.解析 設數(shù)列 an的公差為 d,數(shù)列bn的公比為 q.nb maam+n=n mn m /dn所以類比得 bm+n=了思維升華(1)進行類比推理，應從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進行對比，提出猜想.其中找到合適的類比對象

7、是解題的關鍵(2) 類比推理常見的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；數(shù)的運算與向量的運算類比；圓錐曲線間的類比等(3) 在進行類比推理時，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點：找兩類對象的對應元素，如：三角形對應三棱錐，圓對應球，面積對應體積等等；找對應元素的對應關系，如：兩條邊(直線)垂直對應線面垂直或面面垂直，邊相等對應面積相等例 2 已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若am= a, an= b(n m1,m,*nb man*N)，則am+n=.類比等因為 an= a1+ (n 1)d,bn= b1qn 1,4跟麻訓琳 2(1)給出下列三個類比結

8、論：1(ab)n= anbn與(a+ b)n類比，則有(a+ b)n= an+ bn;2loga(xy)= logax+ logay 與 sin(a+ 類比，則有 sin( a+3= sinasin 3；3(a+ b)2= a2+ 2ab+ b2與(a+ b)2類比，則有(a + b)2= a2+ 2a b+ b2.其中結論正確的個數(shù)是()A.OB.1C.2D.3(2)把一個直角三角形以兩直角邊為鄰邊補成一個矩形，則矩形的對角線長即為直角三角形外接圓直徑，以此可求得外接圓半徑r =a：b (其中 a, b 為直角三角形兩直角邊長).類比此方法可得三條側棱長分別為 a, b, c 且兩兩垂直的三

9、棱錐的外接球半徑R=_ .答案(1)B衛(wèi)2甞 * 解析(1)錯誤，正確(2)由平面類比到空間，把矩形類比為長方體，從而得出外接球半徑題型三演繹推理(1)證明：函數(shù) y= f(x)的圖象關于點(2, - p 對稱;求 f( 2)+ f( 1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3)的值.思維啟迪證明本題依據(jù)的大前提是中心對稱的定義，函數(shù)y= f(x)的圖象上的任一點關于對稱中心的對稱點仍在圖象上小前提是 f(x)=孑*aa(a0 且 1)的圖象關于點 g,中)對稱(1)證明 函數(shù) f(x)的定義域為全體實數(shù)，任取一點(x, y),1 1它關于點(2， )對稱的點的坐標為(1 x,

10、 1 y).由已知得y一為，則1y=1+希一樂，ya需&axaxf(1x)一 a1-x+ ” a 一 口一 a + ;a ax=ax+. a，. 1 y= f(1 x),即函數(shù) y= f(x)的圖象關于點(；一對稱.(2)解 由(1)知一 1 f(x)= f(1 x)，即 f(x) + f(1 x) = 1.f( 2)+ f(3) = 1, f( 1) + f(2) = 1 , f(0) + f(1) = 1.則 f( 2) + f( 1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 3.思維升華演繹推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式為三段論，演繹推理的前提和結論

11、之間有著某種蘊含關系，解題時要找準正確的大前提，一般地，若大前提不明確時，可找一個使結論成立的充分條件作為大前提已知函數(shù) f(x)=-（a0，且 1）.ax+ Y：a5跟歸訓練 3已知函數(shù) y= f(x),滿足：對任意 a, b R, a豐b，都有 af(a) + bf(b)af(b)+ bf(a)，試證明：f(x)為 R 上的單調增函數(shù).證明 設 Xi, X2 R，取 X1Xlf(X2) + X2f(Xl),二 Xif(Xl) f(X2) + X2f(X2) - f(Xl)0 ,f(X2) f(X1)(X2 X1)0 ,TX10,f(X2)f(X1).所以 y= f(x)為 R 上的單調增函

12、數(shù).弔頻小考點7高考中的合情推理問題典例：(1)古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù) 1,3,6,10,，第 n 個三n n + i i i角形數(shù)為 2=尹2+尹，記第 n 個 k 邊形數(shù)為 N(n, k)(k3)，以下列出了部分k 邊形數(shù)中第 n個數(shù)的表達式：1i三角形數(shù)N( n,3) = -n2+尹,正方形數(shù)N( n,4) = n2,31五邊形數(shù)N(n ,5)=刃2尹,六邊形數(shù)N(n,6) = 2n2 n可以推測 N(n, k)的表達式，由此計算N(10,24) =_ .思維啟迪從已知的部分 k 邊形數(shù)觀察一般規(guī)律寫出N(n, k)，然后求 N(10,24).k24k

13、解析 由 N(n,4)= n2, N(n,6) = 2n2n,可以推測：當 k 為偶數(shù)時，N(n, k)=n2*4丁 n,N(10,24)=242X100+424=1 100 100= 1 000.答案 1 0002 2(2)(5 分)若 P(X0, y0)在橢圓字+岸=1(ab0)外，過 P。作橢圓的兩條切線的切點為 P1, P2,則切 點弦 P1P2所在的直線方程是 X0 x+翠=1,那么對于雙曲線則有如下命題：若 P0(X0, y0)在雙曲線ay2= 1(a0, b0)外，過 P0作雙曲線的兩條切線，切點為P1, P2，則切點弦 P1P2所在直線的方x106程是_.思維啟迪直接類比可得解

14、析 設 Pi(xi, yi), P2(x2, y2),則 Pi, P2的切線方程分別是xixyiy4X2x_y2ya2 b2= ，a2 b2=.因為 Po(xo, yo)在這兩條切線上,X2X0y2yoar盲=1，這說明 Pi(xi, yi), P2(x2, y2)在直線 2 1 上,a b故切點弦 PiP2所在的直線方程是 爭一守=1.答案xox-豊=1a2b2(5 分)在計算“ 1X2+ 2X3+-+ n(n+1)”時，某同學學到了如下一種方法：先改寫第1k(k+ 1) = 3【k(k+ 1)(k+ 2)- (k 1)k(k+ 1),由此得11x2=3(1x2x30X1X2),12X3=3

15、(2X3X41X2X3),1 n(n + 1) = 3 n(n + 1)(n + 2) (n 1) n(n+ 1).1 相加，得 1X2+ 2X3 + + n(n + 1) = n(n+ 1) (n + 2).類比上述方法，請你計算“1X2X3+ 2X3X4+-+ n(n+ 1) (n + 2)”，其結果為思維啟迪根據(jù)兩個數(shù)積的和規(guī)律猜想，可以利用前幾個式子驗證1解析類比已知條件得 k(k+ 1)(k + 2) = yk(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3) (k 1)k(k+ 1)(k+ 2),1由此得 1X2X3= 4(1X2X3X4 0X1X2X3),12X3X4=4(2X3X4X51X2

16、X3X4),3X4X5=7(3X4X5X62X3X4X5),n(n + 1)(n + 2) = 4【n(n + 1)(n + 2)(n + 3) (n 1) n(n+ 1)(n + 2).以上幾個式子相加得：1X2X3 + 2x3X4+ - + n(n + 1)(n + 2)故有xixoyiyoa2b21,k 項:71=4n(n +1)( n + 2)( n+ 3).1答案 4n(n+ 1)(n + 2)( n+ 3)丄114*1. 判斷下面結論是否正確(請在括號中打“V”或“x”)(1) 歸納推理得到的結論不一定正確，類比推理得到的結論一定正確(X)(2) 由平面三角形的性質推測空間四面體的

17、性質，這是一種合情推理(V)(3) 在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.(x)(4) “所有 3 的倍數(shù)都是 9 的倍數(shù)，某數(shù) m 是 3 的倍數(shù)，則 m 一定是 9 的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結論是錯誤的.(V)(5) 一個數(shù)列的前三項是 1,2,3，那么這個數(shù)列的通項公式是an= n(n N+).(x)-2+2=2；2，.3+8=3;3，；4+A4爲，I；6+b=6心，b均為實數(shù))，則可以推測 a = 35, b= 6.(V)2. 數(shù)列 2,5,11,20, x,47,中的 x 等于()A.28B.32C.33D.27答案 B解析5- 2= 3,11-5

18、= 6,20- 11 = 9,推出 x- 20= 12,所以 x= 32.3. 觀察下列各式：55= 3 125,56= 15 625,57=78 125,，貝 V52 011的后四位數(shù)字為()A.3 125B.5 625C.0 625D.8 125答案 D解析 55= 3 125,56= 15 625,57= 78 125,58= 390 625,59= 1 953 125，可得 59與 55的后四位數(shù)字相 同，由此可歸納出 5m+4k與 5m(k N*, m = 5,6,7,8)的后四位數(shù)字相同，又 2 011 = 4X501 + 7, 所以 52 011與 57后四位數(shù)字相同為 8125

19、,故選 D.4. (2013 陜西)觀察下列等式12= 112-22=- 312- 22+ 32= 612- 22+ 32- 42= - 108照此規(guī)律，第 n 個等式可為 _解析觀察等式左邊的式子，每次增加一項，故第n 個等式左邊有 n 項，指數(shù)都是 2，且正、負相間，所以等式左邊的通項為（一 1）nn2.等式右邊的值的符號也是正、負相間，其絕對值分別為1,3,6,10,15,21,.設此數(shù)列為an，貝 V a2 a1= 2, a3 a2= 3, a4 a3= 4, a5 a4= 5,，anan為 12 22+ 32 42+ + ( 1)n+1n2= ( 1)n+1ny5設等差數(shù)列an的前

20、n 項和為 Sn,貝yS4, S8 S4,S12 S8,S16 S12成等差數(shù)列類比以上結論有設答案 T8票一、選擇題1觀察下列各式：a + b= 1,a2+ b2=3, a3+ b3= 4,a4+ b4= 7 , a5+ b5=11,，貝 Va10+ b10等于答案12 22+ 32-42+(-1廠1n2= ( 1)n+1n n+ 12-1= n,各式相加得an a1= 2+ 3+ 4 + + n,an= 1 + 2 + 3+ n =闿丄所以第 n 個等式等比數(shù)列bn的前 n 項積為 Tn,則 T4,尹成等比數(shù)列.T12解析 對于等比數(shù)列，通過類比,有等比數(shù)列bn的前 n 項積為 Tn,貝

21、V T4= a1a2a3a4, T8= a1a2a8,T12= a1a2a12,T16= a1a2a16,因此 T4=a5a6a7a8,半=a9a10a11a12,T16花=a13a14a15a16,而T4,尋 半,栄的公比為q16,因此T4,気豈弋成等比數(shù)列.基礎鞏固9A.28B.76答案 CC.123D.199( )10解析觀察規(guī)律，歸納推理從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，后一個式子的右端值等于它前面 兩個式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10+ b10= 123.2定義一種運算“ 四 ” ：對于自然數(shù) n 滿足以下運算性質:(1)1*1=1 , (2) (n +1)

22、*1= n*1+1，則 n*1 等于A.nB.n +1C. n 1D.n2答案 A解析 由(n+ 1)*1 = n*1 + 1,得 n*1 = (n 1)*1 + 1 = (n 2)*1 + 2=1*1+( n 1).又/ 1*1=1 , n*1 = n 3.下列推理是歸納推理的是A.A, B 為定點，動點 P 滿足|PA|+ |PB|= 2a|AB|，則 P 點的軌跡為橢圓B. 由 a1= 1, an= 3n 1，求出 S, S2, S,猜想出數(shù)列的前 n 項和 Sn的表達式四 ab，其中，畫線部分是演繹推理的（）A.大前提B.小前提 C.結論D.三段論答案 B解析由三段論的組成可得畫線部分

23、為三段論的小前提C.由圓 x2+ y2= r2的面積n2,猜想出橢圓2y= 1 的面積 S= jabb11D.科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇答案 B解析 從 S1, S2, S3猜想出數(shù)列的前 n 項和 Sn,是從特殊到一般的推理，所以B 是歸納推理，故應選 B.4.已知 ABC 中，/ A = 30 / B = 60 求證：ab.證明：/ A= 30 / B = 60 ,A0),且 f1(x) = f(x)=二2，當 n N*且 n 2 時,fn(x)= ffn1(x)，則 f3(x) =_猜想 fn(x)(n N*)的表達式為 _ .x解析f1(x)= x2，fn(x)= ffn-1(x)

24、( n 2),Xrxx + 2x-f2(x)=f(x2)=亠 +2=3x4.x+ 2 十3x+ 4Xx +2 7x+ 8 3x+ 4x,分母中常數(shù)項為2n, x 的系數(shù)比常數(shù)項少1,為 2n1,8.在平面幾何中， ABC 的內角平分線 CE 分 AB 所成線段的比為 篙=，把這個結論類比到空間:在三棱錐 A BCD 中(如圖所示)，平面 DEC 平分二面角 A-CD B 且與 AB 相交于點 E,則類比得到的結論是_答案7x+ 82n1 x+ 2nxf3(X)= ff2(x) = f(3J由所求等式知，分子都是故 fn(x)=X_2n1 x +2n.13解析 易知點 E 到平面 BCD 與平面

25、 ACD 的距離相等,VE-BCDBE SABCDVE-ACDEA 9ACD三、解答題9.已知等差數(shù)列an的公差 d= 2，首項 ai= 5.(1) 求數(shù)列an的前 n 項和 Sn；(2) 設 Tn= n(2an 5)，求 Si, S2, S3, S4, S5； Ti, T2, T3, T4, T5，并歸納出 Sn與 Tn的大小規(guī)律解(1)由于 a1= 5, d = 2,(2)TTn=n(2an5)=n2(2 n+3)5=4n2+n. T1=5,T2=4X22+2=18,T3=4X32+3=39,T4=4X42+4=68,T5=4X52+5=105.S1=5,S2=2x(2+4)=12,S3=

26、3X(3+4)=21,S4=4x(4+4)=32,S5=5X(5+4)=45.由此可知 S1= T1,當 n 2 時，3Tn.歸納猜想：當 n= 1 時，Sn= Tn；當 n2, n N 時，Sn0? ab”類比推出“若 a, b C,貝 U a b0? ab” .其中類比結論正確的個數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3答案 C解析 正確，錯誤.因為兩個復數(shù)如果不全是實數(shù)，不能比較大小2.設 是 R 的一個運算，A 是 R 的非空子集.若對于任意 a, b A,有 a b A,則稱 A 對運算 封 閉.下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運算都封閉的是（）A.自然數(shù)集B.整數(shù)集C.

27、 有理數(shù)集答案 C解析 A 錯：因為自然數(shù)集對減法、除法不封閉； B 錯：因為整數(shù)集對除法不封閉； C 對：因為任 意兩個有理數(shù)的和、差、積、商都是有理數(shù)，故有理數(shù)集對加、減、乘、除法（除數(shù)不等于零）四則運算都封閉；D 錯：因為無理數(shù)集對加、減、乘、除法都不封閉解析 1 條直線將平面分成 1 十 1 個區(qū)域；2 條直線最多可將平面分成1 十（1 十 2） = 4 個區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1 十（1 十 2+ 3） = 7 個區(qū)域；，n 條直線最多可將平面分成1 十 （1 十 2+ 31 =丄亠 1 AP=矽十 AD,D.無理數(shù)集3.平面內有 n 條直線，最多可將平面分成f（n）個區(qū)域，貝 U f（n）的表達式為答案n2+ n+ 22十十 n） = 1十n n+ 12n2+ n+ 22個區(qū)域.16n 十 2an+1= S(n N ).證明：（1）數(shù)列尋是等比數(shù)列;(2)3+1= 4an.4.數(shù)列 an的前 n 項和記為 3,已知 a1= 1,17、n+ 2證明 (1) - an+1= Sn+1一 Sn, an+1= nSn, (n+ 2)Sn= n(Sn+1 Sn),即