2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第九章 9.3圓的方程-教師版

1、 第1課時進(jìn)門測判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑()(2)已知點a(x1，y1)，b(x2，y2)，則以ab為直徑的圓的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.()(3)方程ax2bxycy2dxeyf0表示圓的充要條件是ac0，b0，d2e24af>0.()(4)方程x22axy20一定表示圓(×)(5)若點m(x0，y0)在圓x2y2dxeyf0外，則xydx0ey0f0.()作業(yè)檢查無第2課時階段訓(xùn)練題型一求圓的方程例1(1)已知圓c的圓心在x軸的正半軸上，點m(0，)在圓c上，且圓心到直線2xy0的距

2、離為，則圓c的方程為_(2)一個圓經(jīng)過橢圓1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案(1)(x2)2y29(2)2y2解析(1)因為圓c的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)c(a,0)，且a>0，所以圓心到直線2xy0的距離d，解得a2，所以圓c的半徑r|cm|3，所以圓c的方程為(x2)2y29.(2)由題意知圓過(4,0)，(0,2)，(0，2)三點，(4,0)，(0，2)兩點的垂直平分線方程為y12(x2)，令y0，解得x，圓心為，半徑為.思維升華(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程(2)待定系數(shù)法若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則

3、設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于d、e、f的方程組，進(jìn)而求出d、e、f的值已知圓c關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點a(1,0)，且被x軸分成兩段弧，弧長之比為12，則圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案x2(y±)2解析圓c關(guān)于y軸對稱，可設(shè)c(0，b)，設(shè)圓c的半徑為r，則圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(yb)2r2，依題意，得解得于是圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y±)2.題型二與圓有關(guān)的最值問題例2已知點(x，y)在圓(x2)2(y3)21上求xy的最大值和最小值解設(shè)txy，則yxt，t可視為

4、直線yxt的在y軸上的截距，xy的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時的在y軸上的截距由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即1，解得t1或t1.xy的最大值為1，最小值為1.引申探究1在例2的條件下，求的最大值和最小值解可視為點(x，y)與原點連線的斜率，的最大值和最小值就是與該圓有公共點的過原點的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時的斜率設(shè)過原點的直線的方程為ykx，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即1，解得k2或k2.的最大值為2，最小值為2.2在例2的條件下，求的最大值和最小值解，求它的最值可視為求點(x，y)到定點(1,

5、 2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為圓心(2，3)到定點(1,2)的距離與半徑的和或差又圓心到定點(1,2)的距離為，的最大值為1，最小值為1.思維升華與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略(1)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解(2)與圓上點(x，y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法形如u型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(a，b)和點(x，y)的直線的斜率的最值問題；形如taxby型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；形如(xa)2(yb)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點(a，b)的距離平方的最值問題已知實數(shù)x，y滿足方程x2y24x1

6、0.求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最小值；(3)x2y2的最大值和最小值解(1)如圖，方程x2y24x10表示以點(2,0)為圓心，以為半徑的圓設(shè)k，即ykx，則圓心(2,0)到直線ykx的距離為半徑，即直線與圓相切時，斜率取得最大值、最小值由，解得k23，kmax，kmin.(2)設(shè)yxb，則yxb，當(dāng)且僅當(dāng)直線yxb與圓切于第四象限時，在y軸上的截距b取最小值，由點到直線的距離公式，得，即b2±，故(yx)min2.(3)x2y2是圓上的點與原點的距離的平方，故連接oc，與圓交于b點，并延長交圓于c，則(x2y2)max|oc|2(2)274，(x2y2)min|ob|

7、2(2)274.題型三與圓有關(guān)的軌跡問題例3已知圓x2y24上一定點a(2,0)，b(1,1)為圓內(nèi)一點，p，q為圓上的動點(1)求線段ap中點的軌跡方程；(2)若pbq90°，求線段pq中點的軌跡方程解(1)設(shè)ap的中點為m(x，y)，由中點坐標(biāo)公式可知，p點坐標(biāo)為(2x2,2y)因為p點在圓x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故線段ap中點的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)pq的中點為n(x，y)，在rtpbq中，|pn|bn|.設(shè)o為坐標(biāo)原點，連接on，則onpq，所以|op|2|on|2|pn|2|on|2|bn|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段pq

8、中點的軌跡方程為x2y2xy10.思維升華求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；(4)代入法，找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等設(shè)定點m(3,4)，動點n在圓x2y24上運動，以om、on為兩邊作平行四邊形monp，求點p的軌跡解如圖所示，設(shè)p(x，y)，n(x0，y0)，則線段op的中點坐標(biāo)為，線段mn的中點坐標(biāo)為.由于平行四邊形的對角線互相平分，故，.從而又n(x3，y4)在圓上，故(x3)2(y4)24.因此所求軌跡為圓：(x3)2

9、(y4)24，但應(yīng)除去兩點和(點p在直線om上的情況)第3課時階段重難點梳理1圓的定義與方程定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(xa)2(yb)2r2(r>0)圓心(a，b)半徑為r一般x2y2dxeyf0充要條件：d2e24f>0圓心坐標(biāo)：(，)半徑r【知識拓展】1確定圓的方程的方法和步驟確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或d、e、f的方程組；(3)解出a、b、r或d、e、f代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程2點與圓的位置關(guān)系點和圓的位置關(guān)系有三種圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2，點m(

10、x0，y0)(1)點在圓上：(x0a)2(y0b)2r2；(2)點在圓外：(x0a)2(y0b)2>r2；(3)點在圓內(nèi)：(x0a)2(y0b)2<r2.重點題型訓(xùn)練典例在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線yx26x1與坐標(biāo)軸的交點都在圓c上，求圓c的方程思想方法指導(dǎo)本題可采用兩種方法解答，即代數(shù)法和幾何法(1)一般解法(代數(shù)法)：可以求出曲線yx26x1與坐標(biāo)軸的三個交點，設(shè)圓的方程為一般式，代入點的坐標(biāo)求解析式(2)巧妙解法(幾何法)：利用圓的性質(zhì)，知道圓心一定在圓上兩點連線的垂直平分線上，從而設(shè)圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式，簡化計算，顯然幾何法比代數(shù)法的計算量小，因此平時訓(xùn)練多采用幾何法解題規(guī)

11、范解答解一般解法(代數(shù)法)曲線yx26x1與y軸的交點為(0,1)，與x軸的交點為(32，0)，(32，0)，設(shè)圓的方程是x2y2dxeyf0(d2e24f>0)，則有解得故圓的方程是x2y26x2y10.巧妙解法(幾何法)曲線yx26x1與y軸的交點為(0,1)，與x軸的交點為(32，0)，(32，0)故可設(shè)c的圓心為(3，t)，則有32(t1)2(2)2t2，解得t1.則圓c的半徑為3，所以圓c的方程為(x3)2(y1)29.1將圓x2y22x4y10平分的直線是()axy10 bxy30 cxy10 dxy30答案c解析圓心是(1,2)，所以將圓心坐標(biāo)代入檢驗選項c滿足2方程x2y

12、2mx2y30表示圓，則m的范圍是()a(，)(，)b(，2)(2，)c(，)(，)d(，2)(2，)答案b解析將x2y2mx2y30化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得(x)2(y1)213.由其表示圓可得2>0，解得m<2或m>2.3圓c的圓心在x軸上，并且過點a(1,1)和b(1,3)，則圓c的方程為_答案(x2)2y210解析設(shè)圓心坐標(biāo)為c(a,0)，點a(1,1)和b(1,3)在圓c上，|ca|cb|，即，解得a2，圓心為c(2,0)，半徑|ca|，圓c的方程為(x2)2y210.4已知ar，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圓，則圓心坐標(biāo)是_，半徑是_答案(2，4)5解析由

13、已知方程表示圓，則a2a2，解得a2或a1.當(dāng)a2時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去當(dāng)a1時，原方程為x2y24x8y50，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y4)225，表示以(2，4)為圓心，半徑為5的圓.作業(yè)布置1已知點a(1，1)，b(1,1)，則以線段ab為直徑的圓的方程是 ()ax2y22 bx2ycx2y21 dx2y24答案a解析ab的中點坐標(biāo)為(0,0)，|ab|2，圓的方程為x2y22.2圓心在y軸上，且過點(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是()ax2y210y0 bx2y210y0cx2y210x0 dx2y210x0答案b解析根據(jù)題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，r)，半徑為r，則

14、32(r1)2r2，解得r5，可得圓的方程為x2y210y0.3設(shè)圓的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0a1，則原點與圓的位置關(guān)系是 ()a原點在圓上 b原點在圓外c原點在圓內(nèi) d不確定答案b解析將圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(y1)22a，因為0a1，所以(0a)2(01)22a(a1)20，即，所以原點在圓外4點p(4，2)與圓x2y24上任一點連線的中點的軌跡方程是()a(x2)2(y1)21b(x2)2(y1)24c(x4)2(y2)24d(x2)2(y1)21答案a解析設(shè)圓上任一點坐標(biāo)為(x0，y0)，xy4，連線中點坐標(biāo)為(x，y)，則代入xy4中得(x2)2(y1

15、)21.5圓c的圓心在y軸正半軸上，且與x軸相切，被雙曲線x21的漸近線截得的弦長為，則圓c的方程為()ax2(y1)21 bx2(y)23cx2(y1)21 dx2(y)23答案a解析依題意得，題中的雙曲線的一條漸近線的斜率為，傾斜角為60°，結(jié)合圖形(圖略)可知，所求的圓c的圓心坐標(biāo)是(0,1)、半徑是1，因此其方程是x2(y1)21.6已知p是直線l：3x4y110上的動點，pa，pb是圓x2y22x2y10的兩條切線(a，b是切點)，c是圓心，那么四邊形pacb的面積的最小值是()a. b2 c. d2答案c解析圓的方程可化為(x1)2(y1)21，則c(1,1)，當(dāng)|pc|

16、最小時，四邊形pacb的面積最小，|pc|min2，此時|pa|pb|.所以四邊形pacb的面積s2×××1，故選c.7設(shè)直線l1：mx(m1)y10(mr)，則直線l1恒過定點_；若直線l1為圓x2y22y30的一條對稱軸，則實數(shù)m_.答案(1,1)2解析l1方程變形為m(xy)y10，令得l1恒過定點(1,1)l1過圓心(0，1)，則m110，m2.8若圓c經(jīng)過坐標(biāo)原點與點(4,0)，且與直線y1相切，則圓c的方程是_答案(x2)2(y)2解析因為圓的弦的垂直平分線必過圓心且圓經(jīng)過點(0,0)和(4,0)，所以設(shè)圓心為(2，m)又因為圓與直線y1相切，所以|1

17、m|，解得m.所以圓c的方程為(x2)2(y)2.9圓心在直線x2y0上的圓c與y軸的正半軸相切，圓c截x軸所得弦的長為2，則圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案(x2)2(y1)24解析設(shè)圓c的圓心為(a，b)(b>0)，由題意得a2b>0，且a2()2b2，解得a2，b1.所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24.10直線mxy40與直線xmy40相交于點p，則p到點q(5,5)的距離|pq|的取值范圍是_答案，5解析直線mxy40過定點a(0,4)，直線xmy40過定點b(4,0)，且兩直線互相垂直，所以點p在以ab為直徑的圓上運動，圓心k(2,2)，r2.又|qk|3，所以32|pq|3

18、25，即|pq|的取值范圍是，511已知圓c經(jīng)過p(4，2)，q(1,3)兩點，且在y軸上截得的線段的長為4，半徑小于5.(1)求直線pq與圓c的方程；(2)若直線lpq，且l與圓c交于點a，b，且以線段ab為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，求直線l的方程解(1)由題意知直線pq的方程為xy20.設(shè)圓心c(a，b)，半徑為r，由于線段pq的垂直平分線的方程是yx，即yx1，所以ba1.由圓c在y軸上截得的線段的長為4，知r212a2，可得(a1)2(b3)212a2，由得a1，b0或a5，b4.當(dāng)a1，b0時，r213，滿足題意，當(dāng)a5，b4時，r237，不滿足題意故圓c的方程為(x1)2y213.(2)設(shè)直線l的方程為yxm(m2)，a(x1，mx1)，b(x2，mx2)由題意可知oaob，即·0，x1x2(mx1)(mx2)0，化簡得2x1x2m(x1x2)m20.由得2x22(m1)xm2120，x