長(zhǎng)方體和正方體的體積和表面積提升練習(xí)

1、. . 1 / 8 立體圖形之長(zhǎng)方體與正方體一、一個(gè)長(zhǎng)方體至少可以有兩個(gè)面是正方形，最多可以有6 個(gè)面是正方形， 但不會(huì)存在3 個(gè)、 4 個(gè)、 5 個(gè)面是正方形！二、經(jīng)過折疊可以組合成正方體: 三、經(jīng)過折疊可以組合成長(zhǎng)方體：練習(xí)：以下三個(gè)圖形中，能拼成正方體的是（）四、長(zhǎng)方體或正方體的切割組合對(duì)棱長(zhǎng)的影響 1.切割將長(zhǎng)方體橫向切割成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，棱長(zhǎng)將比原來一個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)增加4 條長(zhǎng)和 4條寬； （棱長(zhǎng)增加的最長(zhǎng)）將長(zhǎng)方體豎向切割成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，棱長(zhǎng)將比原來一個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)增加4 條寬和 4條高； （棱長(zhǎng)增加的最短）將正方體沿?zé)o論沿那個(gè)方向切割成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，棱長(zhǎng)將比原來增加4 條棱。. . 2 /

2、 8 2. 組合將兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體沿上下面組合后，棱長(zhǎng)比原來兩個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)減少4條長(zhǎng)和 4 條寬； （棱長(zhǎng)減少的最多）將兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體沿前后面組合后，棱長(zhǎng)比原來兩個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)減少4條長(zhǎng)和 4 條高；將兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體沿左右面組合后，棱長(zhǎng)比原來兩個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)減少4條寬和 4 條高； （棱長(zhǎng)減少的最少）將兩個(gè)完全相同的正方體沿上下面組合后，棱長(zhǎng)比原來兩個(gè)正方體時(shí)減少8條棱；依次類推將三個(gè)完全相同的正方體沿上下面組合后，棱長(zhǎng)比原來三個(gè)正方體時(shí)減少 16 條棱，四個(gè)組合減少 24 條棱，五個(gè)組合減少 32條（公式：8（n1）例如：將五個(gè)完全相同的正方體組合成一個(gè)長(zhǎng)方體后，棱長(zhǎng)和為140 厘米，

3、原來每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)和是多少？分析：五個(gè)正方體棱長(zhǎng)共有125=60條；將五個(gè)完全相同正方體組合后棱長(zhǎng)比原來減少32 條，還剩 60-32=28 條；即這 28 條棱的長(zhǎng)度和即為新長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和， 所以正方體一條棱的長(zhǎng)度為：14028=5cm ；所以一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)和為：512=60cm 。五、小正方體拼大正方體的規(guī)律由于正方體， 每條棱的長(zhǎng)度相等， 所以要用小的正方體拼出大的正方體每條棱上擺放的小正方的個(gè)數(shù)應(yīng)該是相等的，因此要拼出最小的正方體至少需要222=23=8個(gè)（也就是說每條棱上放2 個(gè)小正方體），接著再往大了拼正方體，就是每條棱上放 3 個(gè)小正方體即 333=33=27個(gè)，依次類推接下

4、來是444=43=64個(gè)；555=53=125個(gè)從中我們可以發(fā)現(xiàn)要用小的正方體拼出大的正方體所需要的小正方體的個(gè)數(shù)應(yīng)該是一個(gè)數(shù)的立方。這就要求我們能夠熟記一些數(shù)的立方：23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729 103=1000 小正方體拼大長(zhǎng)方體的規(guī)律規(guī)律同正方體， 首先觀察大長(zhǎng)方體各棱長(zhǎng)分別是小正方體棱長(zhǎng)的幾倍，如，長(zhǎng)方體長(zhǎng)是小正方體棱長(zhǎng)的a 倍，寬是小正方體棱長(zhǎng)的b 倍，高是小正方體棱長(zhǎng)的c倍，則，大長(zhǎng)方體就是由abc 個(gè)小正方體組成的。練習(xí)：（1）用棱長(zhǎng)為 3 厘米的小正方體拼棱長(zhǎng)為9 厘米的大正方體需要（）個(gè)小正方體。 a、

5、8 個(gè) b、27 個(gè) c、26 個(gè) d、64 個(gè)（2）一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別是18、12、9，如果用棱長(zhǎng)為 3 的小正方拼一個(gè)這樣的長(zhǎng)方體，一共需要（）塊這樣的小正方體。（3）一個(gè)長(zhǎng)方體的盒子里面長(zhǎng)5 分米，寬 4 分米，深 3 分米，放棱長(zhǎng)為 5 厘米的正方體小木塊共可以放（）塊。. . 3 / 8 長(zhǎng)方體與正方體的表面積六、長(zhǎng)方體表面求法的變形：貼商標(biāo)類型：只求四周面積。例如：一個(gè)長(zhǎng)方體包裝盒，長(zhǎng)寬高分別為8,4,5 ，需要在包裝盒四周貼上商標(biāo)，需要商標(biāo)紙的面積是多少？游泳池類型：只求四周和底面。例如：一座游泳池，長(zhǎng)寬高分別為10m ，4m ，1.5m，需要在池貼上邊長(zhǎng)為1dm的瓷磚，大約

6、需要多少塊瓷磚？抽紙盒類型：六個(gè)面面積減去缺口面積。例如：一款抽紙盒，長(zhǎng)寬高分別是20cm ，12cm ，5cm ，上面有長(zhǎng)14cm ，寬 3cm的抽紙口，做這款抽紙盒需要多少硬紙片？占地面積問題：只求底面面積。例如：一個(gè)長(zhǎng)方體蓄水池，長(zhǎng)12m ，寬 8m ，深 3m ，這個(gè)水池占地面積多少平方米？ 1.一塊長(zhǎng)方形鐵皮長(zhǎng)60 厘米，寬 40 厘米，如圖， 從四個(gè)角上剪去邊長(zhǎng)是 10 厘米的正方形，然后做成盒子，這個(gè)盒子的表面積是多少平方厘米？ 2.一個(gè)無蓋正方體鐵桶外進(jìn)行涂漆，涂漆的是（）個(gè)面。七、棱長(zhǎng)變化對(duì)表面積的影響 1.正方體。正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大2 倍，其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大2 倍，表面積擴(kuò)大 4

7、 倍，體積擴(kuò)大8 倍；正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大3 倍，其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大3 倍，表面積擴(kuò)大 9 倍，體積擴(kuò)大27 倍；正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大n 倍，其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大n 倍，表面積擴(kuò)大 n2倍，體積擴(kuò)大 n3倍。 2.長(zhǎng)方體。長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高同時(shí)擴(kuò)大2 倍，其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大2 倍，表面積擴(kuò)大 4 倍，體積擴(kuò)大 8 倍；長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高同時(shí)擴(kuò)大3 倍，其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大3 倍，表面積擴(kuò)大 9 倍，體積擴(kuò)大 27 倍；長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高同時(shí)擴(kuò)大n 倍，其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大n 倍，表面積擴(kuò)大 n2倍，體積擴(kuò)大 n3倍。長(zhǎng)方體的長(zhǎng)擴(kuò)大 a 倍，寬擴(kuò)大 b 倍，高擴(kuò)大 c 倍，棱長(zhǎng)和變化無規(guī)律，表面積變化也無規(guī)律，體積擴(kuò)大abc 倍。長(zhǎng)方體的長(zhǎng)

8、擴(kuò)大 a 倍，寬擴(kuò)大 b 倍，棱長(zhǎng)和變化無規(guī)律， 表面積變化無規(guī)律，體積擴(kuò)大 ab 倍 。長(zhǎng)方體的寬擴(kuò)大 b 倍，高擴(kuò)大 c 倍，棱長(zhǎng)和變化無規(guī)律， 表面積變化無規(guī)律，體積擴(kuò)大 bc 倍 。長(zhǎng)方體的長(zhǎng)擴(kuò)大 a 倍，高擴(kuò)大 c 倍，棱長(zhǎng)和變化無規(guī)律， 表面積變化無規(guī)律，體積擴(kuò)大 ac 倍 。. . 4 / 8 練習(xí)：（1）大正方體的棱長(zhǎng)是小正方體的棱長(zhǎng)的2 倍，那么大正方體的表面積是小正方體表面積的（）倍。（2）正方體的棱長(zhǎng)縮小5 倍，它的體積就縮?。ǎ┍叮?）一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都擴(kuò)大4 倍，它的表面積就（）。（4）正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大6 倍，表面積擴(kuò)大（）倍。（5）一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為4 厘米，

9、擴(kuò)大為 2 倍后，其棱長(zhǎng)和為（）厘米，表面積為（）平方厘米，比原來擴(kuò)大了（）。（6）一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)擴(kuò)大2 倍，高擴(kuò)大 4 倍，體積擴(kuò)大（）倍。（7）大正方體的表面積是小正方體的4 倍，那么大正方體的棱長(zhǎng)是小正方體的（）；大正方體棱長(zhǎng)之和是小正方體的（） a.2倍 b.4倍 c.6倍 d.8倍（8）把一個(gè)正方體切成大小相等的8 個(gè)小正方體， 8 個(gè)小正方體的表面積之和（）。a.等于大正方體的表面積 b.等于大正方體表面積的2 倍 c.等于大正方體表面積的3 倍（9）判斷：一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)擴(kuò)大2 倍，寬擴(kuò)大 3 倍，高擴(kuò)大 4 倍，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積擴(kuò)大 24 倍。（）正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大1.2 倍，它的

10、棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大1.2 倍，它的表面積就擴(kuò)大14.4 倍。（）有棱長(zhǎng)為 1 厘米的正方體拼成較大的正方體， 其表面積比原來一個(gè)正方體時(shí)擴(kuò)大了 4 倍。（）棱長(zhǎng)為 16 厘米的正方體，將棱長(zhǎng)縮小2 倍后，其棱長(zhǎng)為 4 厘米，其表面積也縮小了 4 倍。（）八、立體圖形的切割： （切割會(huì)使表面積增加，因此存在表面積增加最多或最少的問題）?長(zhǎng)方體沿與原來長(zhǎng)方體最大面平行的方向切割，其表面積比原來增加的最多。沿與原來長(zhǎng)方體最小面平行的方向切割，其表面積比原來增加的最少。而且每切一刀增加兩個(gè)完全相同的面， 切兩刀增加四個(gè)完全相同的面， 依次類推。?正方體無論沿那個(gè)面平行的方向切，都將增加兩個(gè)正方形的面，增加的

11、面積均為2a2不存在增加最多最少的問題。例如：兩盒磁帶有三種不同的包裝方式，你說哪一種最省包裝紙？要求最省包裝紙， 即表面積最小， 也就是表面積比原來單獨(dú)包裝時(shí)減少的表面積最多，根據(jù)規(guī)律應(yīng)該選擇第一種包裝方式。. . 5 / 8 練習(xí)：（1）把一個(gè)棱長(zhǎng)為 6 米的正方體分成兩個(gè)大小、形狀相同的長(zhǎng)方體，每個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是（）。（2）用兩個(gè)長(zhǎng) 4 厘米、寬 4 厘米、高 1 厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積最大是（）平方厘米，最小是（）平方厘米。（3）把一根長(zhǎng) 80 厘米，寬 5 厘米，高 3 厘米的長(zhǎng)方體木料鋸成長(zhǎng)都是40 厘米的兩段，表面積比原來增加了（）平方厘米。（4）用兩

12、個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是3 厘米，2 厘米，1 厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積最小是（）平方厘米。（5）棱長(zhǎng)是 a 的兩個(gè)立方體拼成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的表面積比正方體的表面積和減少（）。（6）一根長(zhǎng)方體木料，長(zhǎng)1.5 米，寬和厚都是 2 分米，把它鋸成 4 段，表面積最少增加（）平方分米（7）一個(gè)長(zhǎng) 5 厘米，寬 4 厘米，高 3 厘米的長(zhǎng)方體，截成兩個(gè)形狀，大小完全一樣的長(zhǎng)方體，表面積最多能增加多少平方厘米？（8）把一根長(zhǎng) 2 米的方木（底面是正方形） 鋸成三段， 表面積增加 5.76 平方分米，原來這根方木的底面積是多少平方分米？（9）一根 1.8m 長(zhǎng)的木材，鋸成三個(gè)完全相同的

13、 正方體后，表面積比原來增加多少平方厘米？（10）一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)為1.5 分米，寬為 0.5 分米，高位 1 分米，鋸三刀之后可以鋸成 6 個(gè)完全相同的正方體， 每個(gè)正方體的表面積是多少？這時(shí)表面積之和比原來增加多少？. . 6 / 8 長(zhǎng)方體與正方體的表面積和體積九、從一個(gè)長(zhǎng)方體中切出一個(gè)最大的正方體問題應(yīng)該以長(zhǎng)方體中最短的棱作為切出正方體的棱長(zhǎng)，這樣的正方體將是能切出的最大正方體，否則切出的將不是正方體。例如：在一個(gè)長(zhǎng)是 4 厘米，寬為 3 厘米，高為 2 厘米的長(zhǎng)方體中切出一個(gè)最大的正方體，該正方體的棱長(zhǎng)和是多少？剩余部分的表面積是多少？十、立體圖形的組合 （組合只會(huì)使表面積減少， 因此存

14、在減少最多或最少的問題）?長(zhǎng)方體將原來長(zhǎng)方體的最大面組合在一起，其表面積比原來減少的最多。將原來長(zhǎng)方體的最小面組合在一起，其表面積比原來減少的最少。而且兩個(gè)組合將減少兩個(gè)完全相同的面，三個(gè)組合減少四個(gè)完全相同的面，依次類推。?正方體無論沿那個(gè)面組合，都將減少兩個(gè)正方形的面，減少的面積均為2a2不存在增加最多最少的問題。練習(xí)：（3）用 27 個(gè)體積是 1 立方厘米的小正方體粘合成一個(gè)大正方體，粘合后的大正方體的表面積是（）（4）把三個(gè)完全相等的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是350 平方米。這個(gè)正方體的表面積是多少平方米？（5）一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)8 厘米，寬 6 厘米，高 5.5 厘米。將

15、兩個(gè)這樣的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，表面積最大是多少？體積是多少？（8）有三個(gè)大小相等的正方體，將他們拼成長(zhǎng)方體，表面積減少32 平方厘米。求所拼長(zhǎng)方體的表面積。（10）用兩個(gè)長(zhǎng) 6 厘米，寬 3 厘米，高 1厘米的長(zhǎng)方體一起包裝，至少需要包裝紙多少？（12）用兩個(gè)同樣的長(zhǎng)、寬、高分別為4 厘米、3 厘米和 2 厘米的小長(zhǎng)方體，拼成一個(gè)表面積最大的長(zhǎng)方體，這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？. . 7 / 8 十一、小正方體拼成的大正方體表面涂漆問題例如：練習(xí)：圖 1 圖 2 十二、小正方體拼成的大正方體在取走一部分后表面積的變化大正方體長(zhǎng)、寬、高上有幾個(gè)小正方體，則將長(zhǎng)、寬、高上的正方體數(shù)相乘

16、就是大正方體所含小正方體的總數(shù)；在頂點(diǎn)位置的小正方體露在外面的面有3 個(gè)；在棱上（不包含頂點(diǎn)位置）的小正方體露在外面的面有2 個(gè)；在面上（不包含棱上）的小正方體露在外面得面有1 個(gè)；用總數(shù) 3 個(gè)面的 2 個(gè)面的 1 個(gè)面得 =沒有露在外面的小正方體的個(gè)數(shù)。在該正方體表面涂上漆，有三個(gè)面涂上漆的小正方體有幾個(gè)？有兩個(gè)面圖上漆的小正方體有幾個(gè)？有一個(gè)面涂上漆的小正方體有幾個(gè)？沒有涂上漆的小正方體有幾個(gè)？圖一中，長(zhǎng)方體共有（）個(gè)小正方體；其中兩個(gè)面露在外面的小正方體共有（）個(gè)；沒有露在外面的小正方體共有（）個(gè)。圖二中三個(gè)圖一次有（）、（）、（）小正方體組成。第二個(gè)長(zhǎng)方體中有三個(gè)面在外面的正方體有（

17、）個(gè)，兩個(gè)面在外面的正方體有（）個(gè)，一個(gè)面在外面的有（）個(gè)，沒有露在外面的小正方體（）。挖去的小正方體在頂點(diǎn)位置 ，則大正方體的表面積不變 ，因?yàn)樵瓉碓陧旤c(diǎn)位置小正方體露在外面的面為3 個(gè)，挖去后露出來的面也是3 個(gè)，所以表面積不變。挖去的小正方體在棱的位置 ，則大正方體的表面積增加 ，因?yàn)樵瓉碓诶馍系男≌襟w露在外面的面有2 個(gè)，挖去后會(huì)露出 4 個(gè)面，所以表面積會(huì)增大。挖去的小正方體在面上 ，則大正方體的表面積也會(huì)增加，因?yàn)樵瓉碓诿嫔系男≌襟w只有1 個(gè)面露在外面，挖去后會(huì)露出 5 個(gè)面，所以表面積會(huì)增大。. . 8 / 8 十二、等積變形的題，常用鍛造、熔鑄等詞1、把一個(gè)棱長(zhǎng)為 6 分米

18、的正方體鋼坯， 鍛造成一個(gè)長(zhǎng) 3 分米、寬 2 分米的長(zhǎng)方體鋼條，這個(gè)鋼條長(zhǎng)多少米？2、將一塊長(zhǎng) 4.5 分米，寬 4 分米，高 2 分米的長(zhǎng)方體鋼塊，熔鑄成一根橫截面的邊長(zhǎng)是 2 分米的方鋼，這根方鋼的長(zhǎng)是多少分米？3、一個(gè)棱長(zhǎng)是 40 厘米的正方體鐵塊，現(xiàn)在要把它熔鑄成一個(gè)底面為200 平方厘米的長(zhǎng)方體鐵塊，這個(gè)長(zhǎng)方體鐵塊的高是多少厘米？十三、用排水法解題（求不規(guī)則物體的體積轉(zhuǎn)化成規(guī)則的物體的體積，即：放入物體后水的體積放入物體前水的體積=物體的體積），或利用放入水中物體的體積等于水面上升的那部分水的體積。1、一個(gè)長(zhǎng)方體容器長(zhǎng) 25 厘米，寬 18 厘米，里面水深 6 厘米。將一個(gè)西瓜放入其中（西瓜完全淹沒），水上升了4 厘米。這個(gè)西瓜的體積是多少？2、一個(gè)底面長(zhǎng)和寬都是2 分米的長(zhǎng)方體玻璃容器， 里面裝有 5.6 升水，再將一個(gè)蘋果浸沒在水中， 這時(shí)量得容器的水深1.5 分米。這個(gè)蘋果的體積是多少立方分米？（玻璃的厚