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1、. . 1 / 8 立體圖形之長(zhǎng)方體與正方體一、一個(gè)長(zhǎng)方體至少可以有兩個(gè)面是正方形,最多可以有6 個(gè)面是正方形, 但不會(huì)存在3 個(gè)、 4 個(gè)、 5 個(gè)面是正方形!二、經(jīng)過(guò)折疊可以組合成正方體: 三、經(jīng)過(guò)折疊可以組合成長(zhǎng)方體:練習(xí):以下三個(gè)圖形中,能拼成正方體的是()四、長(zhǎng)方體或正方體的切割組合對(duì)棱長(zhǎng)的影響 1.切割將長(zhǎng)方體橫向切割成兩個(gè)長(zhǎng)方體后,棱長(zhǎng)將比原來(lái)一個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)增加4 條長(zhǎng)和 4條寬; (棱長(zhǎng)增加的最長(zhǎng))將長(zhǎng)方體豎向切割成兩個(gè)長(zhǎng)方體后,棱長(zhǎng)將比原來(lái)一個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)增加4 條寬和 4條高; (棱長(zhǎng)增加的最短)將正方體沿?zé)o論沿那個(gè)方向切割成兩個(gè)長(zhǎng)方體后,棱長(zhǎng)將比原來(lái)增加4 條棱。. . 2 /
2、 8 2. 組合將兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體沿上下面組合后,棱長(zhǎng)比原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)減少4條長(zhǎng)和 4 條寬; (棱長(zhǎng)減少的最多)將兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體沿前后面組合后,棱長(zhǎng)比原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)減少4條長(zhǎng)和 4 條高;將兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體沿左右面組合后,棱長(zhǎng)比原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)減少4條寬和 4 條高; (棱長(zhǎng)減少的最少)將兩個(gè)完全相同的正方體沿上下面組合后,棱長(zhǎng)比原來(lái)兩個(gè)正方體時(shí)減少8條棱;依次類(lèi)推將三個(gè)完全相同的正方體沿上下面組合后,棱長(zhǎng)比原來(lái)三個(gè)正方體時(shí)減少 16 條棱,四個(gè)組合減少 24 條棱,五個(gè)組合減少 32條(公式:8(n1)例如:將五個(gè)完全相同的正方體組合成一個(gè)長(zhǎng)方體后,棱長(zhǎng)和為140 厘米,
3、原來(lái)每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)和是多少?分析:五個(gè)正方體棱長(zhǎng)共有125=60條;將五個(gè)完全相同正方體組合后棱長(zhǎng)比原來(lái)減少32 條,還剩 60-32=28 條;即這 28 條棱的長(zhǎng)度和即為新長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和, 所以正方體一條棱的長(zhǎng)度為:14028=5cm ;所以一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)和為:512=60cm 。五、小正方體拼大正方體的規(guī)律由于正方體, 每條棱的長(zhǎng)度相等, 所以要用小的正方體拼出大的正方體每條棱上擺放的小正方的個(gè)數(shù)應(yīng)該是相等的,因此要拼出最小的正方體至少需要222=23=8個(gè)(也就是說(shuō)每條棱上放2 個(gè)小正方體),接著再往大了拼正方體,就是每條棱上放 3 個(gè)小正方體即 333=33=27個(gè),依次類(lèi)推接下
4、來(lái)是444=43=64個(gè);555=53=125個(gè)從中我們可以發(fā)現(xiàn)要用小的正方體拼出大的正方體所需要的小正方體的個(gè)數(shù)應(yīng)該是一個(gè)數(shù)的立方。這就要求我們能夠熟記一些數(shù)的立方:23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729 103=1000 小正方體拼大長(zhǎng)方體的規(guī)律規(guī)律同正方體, 首先觀察大長(zhǎng)方體各棱長(zhǎng)分別是小正方體棱長(zhǎng)的幾倍,如,長(zhǎng)方體長(zhǎng)是小正方體棱長(zhǎng)的a 倍,寬是小正方體棱長(zhǎng)的b 倍,高是小正方體棱長(zhǎng)的c倍,則,大長(zhǎng)方體就是由abc 個(gè)小正方體組成的。練習(xí):(1)用棱長(zhǎng)為 3 厘米的小正方體拼棱長(zhǎng)為9 厘米的大正方體需要()個(gè)小正方體。 a、
5、8 個(gè) b、27 個(gè) c、26 個(gè) d、64 個(gè)(2)一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別是18、12、9,如果用棱長(zhǎng)為 3 的小正方拼一個(gè)這樣的長(zhǎng)方體,一共需要()塊這樣的小正方體。(3)一個(gè)長(zhǎng)方體的盒子里面長(zhǎng)5 分米,寬 4 分米,深 3 分米,放棱長(zhǎng)為 5 厘米的正方體小木塊共可以放()塊。. . 3 / 8 長(zhǎng)方體與正方體的表面積六、長(zhǎng)方體表面求法的變形:貼商標(biāo)類(lèi)型:只求四周面積。例如:一個(gè)長(zhǎng)方體包裝盒,長(zhǎng)寬高分別為8,4,5 ,需要在包裝盒四周貼上商標(biāo),需要商標(biāo)紙的面積是多少?游泳池類(lèi)型:只求四周和底面。例如:一座游泳池,長(zhǎng)寬高分別為10m ,4m ,1.5m,需要在池貼上邊長(zhǎng)為1dm的瓷磚,大約
6、需要多少塊瓷磚?抽紙盒類(lèi)型:六個(gè)面面積減去缺口面積。例如:一款抽紙盒,長(zhǎng)寬高分別是20cm ,12cm ,5cm ,上面有長(zhǎng)14cm ,寬 3cm的抽紙口,做這款抽紙盒需要多少硬紙片?占地面積問(wèn)題:只求底面面積。例如:一個(gè)長(zhǎng)方體蓄水池,長(zhǎng)12m ,寬 8m ,深 3m ,這個(gè)水池占地面積多少平方米? 1.一塊長(zhǎng)方形鐵皮長(zhǎng)60 厘米,寬 40 厘米,如圖, 從四個(gè)角上剪去邊長(zhǎng)是 10 厘米的正方形,然后做成盒子,這個(gè)盒子的表面積是多少平方厘米? 2.一個(gè)無(wú)蓋正方體鐵桶外進(jìn)行涂漆,涂漆的是()個(gè)面。七、棱長(zhǎng)變化對(duì)表面積的影響 1.正方體。正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大2 倍,其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大2 倍,表面積擴(kuò)大 4
7、 倍,體積擴(kuò)大8 倍;正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大3 倍,其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大3 倍,表面積擴(kuò)大 9 倍,體積擴(kuò)大27 倍;正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大n 倍,其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大n 倍,表面積擴(kuò)大 n2倍,體積擴(kuò)大 n3倍。 2.長(zhǎng)方體。長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高同時(shí)擴(kuò)大2 倍,其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大2 倍,表面積擴(kuò)大 4 倍,體積擴(kuò)大 8 倍;長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高同時(shí)擴(kuò)大3 倍,其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大3 倍,表面積擴(kuò)大 9 倍,體積擴(kuò)大 27 倍;長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高同時(shí)擴(kuò)大n 倍,其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大n 倍,表面積擴(kuò)大 n2倍,體積擴(kuò)大 n3倍。長(zhǎng)方體的長(zhǎng)擴(kuò)大 a 倍,寬擴(kuò)大 b 倍,高擴(kuò)大 c 倍,棱長(zhǎng)和變化無(wú)規(guī)律,表面積變化也無(wú)規(guī)律,體積擴(kuò)大abc 倍。長(zhǎng)方體的長(zhǎng)
8、擴(kuò)大 a 倍,寬擴(kuò)大 b 倍,棱長(zhǎng)和變化無(wú)規(guī)律, 表面積變化無(wú)規(guī)律,體積擴(kuò)大 ab 倍 。長(zhǎng)方體的寬擴(kuò)大 b 倍,高擴(kuò)大 c 倍,棱長(zhǎng)和變化無(wú)規(guī)律, 表面積變化無(wú)規(guī)律,體積擴(kuò)大 bc 倍 。長(zhǎng)方體的長(zhǎng)擴(kuò)大 a 倍,高擴(kuò)大 c 倍,棱長(zhǎng)和變化無(wú)規(guī)律, 表面積變化無(wú)規(guī)律,體積擴(kuò)大 ac 倍 。. . 4 / 8 練習(xí):(1)大正方體的棱長(zhǎng)是小正方體的棱長(zhǎng)的2 倍,那么大正方體的表面積是小正方體表面積的()倍。(2)正方體的棱長(zhǎng)縮小5 倍,它的體積就縮?。ǎ┍叮?)一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都擴(kuò)大4 倍,它的表面積就()。(4)正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大6 倍,表面積擴(kuò)大()倍。(5)一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為4 厘米,
9、擴(kuò)大為 2 倍后,其棱長(zhǎng)和為()厘米,表面積為()平方厘米,比原來(lái)擴(kuò)大了()。(6)一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)擴(kuò)大2 倍,高擴(kuò)大 4 倍,體積擴(kuò)大()倍。(7)大正方體的表面積是小正方體的4 倍,那么大正方體的棱長(zhǎng)是小正方體的();大正方體棱長(zhǎng)之和是小正方體的() a.2倍 b.4倍 c.6倍 d.8倍(8)把一個(gè)正方體切成大小相等的8 個(gè)小正方體, 8 個(gè)小正方體的表面積之和()。a.等于大正方體的表面積 b.等于大正方體表面積的2 倍 c.等于大正方體表面積的3 倍(9)判斷:一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)擴(kuò)大2 倍,寬擴(kuò)大 3 倍,高擴(kuò)大 4 倍,這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積擴(kuò)大 24 倍。()正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大1.2 倍,它的
10、棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大1.2 倍,它的表面積就擴(kuò)大14.4 倍。()有棱長(zhǎng)為 1 厘米的正方體拼成較大的正方體, 其表面積比原來(lái)一個(gè)正方體時(shí)擴(kuò)大了 4 倍。()棱長(zhǎng)為 16 厘米的正方體,將棱長(zhǎng)縮小2 倍后,其棱長(zhǎng)為 4 厘米,其表面積也縮小了 4 倍。()八、立體圖形的切割: (切割會(huì)使表面積增加,因此存在表面積增加最多或最少的問(wèn)題)?長(zhǎng)方體沿與原來(lái)長(zhǎng)方體最大面平行的方向切割,其表面積比原來(lái)增加的最多。沿與原來(lái)長(zhǎng)方體最小面平行的方向切割,其表面積比原來(lái)增加的最少。而且每切一刀增加兩個(gè)完全相同的面, 切兩刀增加四個(gè)完全相同的面, 依次類(lèi)推。?正方體無(wú)論沿那個(gè)面平行的方向切,都將增加兩個(gè)正方形的面,增加的
11、面積均為2a2不存在增加最多最少的問(wèn)題。例如:兩盒磁帶有三種不同的包裝方式,你說(shuō)哪一種最省包裝紙?要求最省包裝紙, 即表面積最小, 也就是表面積比原來(lái)單獨(dú)包裝時(shí)減少的表面積最多,根據(jù)規(guī)律應(yīng)該選擇第一種包裝方式。. . 5 / 8 練習(xí):(1)把一個(gè)棱長(zhǎng)為 6 米的正方體分成兩個(gè)大小、形狀相同的長(zhǎng)方體,每個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是()。(2)用兩個(gè)長(zhǎng) 4 厘米、寬 4 厘米、高 1 厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體,這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積最大是()平方厘米,最小是()平方厘米。(3)把一根長(zhǎng) 80 厘米,寬 5 厘米,高 3 厘米的長(zhǎng)方體木料鋸成長(zhǎng)都是40 厘米的兩段,表面積比原來(lái)增加了()平方厘米。(4)用兩
12、個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是3 厘米,2 厘米,1 厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體,這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積最小是()平方厘米。(5)棱長(zhǎng)是 a 的兩個(gè)立方體拼成長(zhǎng)方體,長(zhǎng)方體的表面積比正方體的表面積和減少()。(6)一根長(zhǎng)方體木料,長(zhǎng)1.5 米,寬和厚都是 2 分米,把它鋸成 4 段,表面積最少增加()平方分米(7)一個(gè)長(zhǎng) 5 厘米,寬 4 厘米,高 3 厘米的長(zhǎng)方體,截成兩個(gè)形狀,大小完全一樣的長(zhǎng)方體,表面積最多能增加多少平方厘米?(8)把一根長(zhǎng) 2 米的方木(底面是正方形) 鋸成三段, 表面積增加 5.76 平方分米,原來(lái)這根方木的底面積是多少平方分米?(9)一根 1.8m 長(zhǎng)的木材,鋸成三個(gè)完全相同的
13、 正方體后,表面積比原來(lái)增加多少平方厘米?(10)一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)為1.5 分米,寬為 0.5 分米,高位 1 分米,鋸三刀之后可以鋸成 6 個(gè)完全相同的正方體, 每個(gè)正方體的表面積是多少?這時(shí)表面積之和比原來(lái)增加多少?. . 6 / 8 長(zhǎng)方體與正方體的表面積和體積九、從一個(gè)長(zhǎng)方體中切出一個(gè)最大的正方體問(wèn)題應(yīng)該以長(zhǎng)方體中最短的棱作為切出正方體的棱長(zhǎng),這樣的正方體將是能切出的最大正方體,否則切出的將不是正方體。例如:在一個(gè)長(zhǎng)是 4 厘米,寬為 3 厘米,高為 2 厘米的長(zhǎng)方體中切出一個(gè)最大的正方體,該正方體的棱長(zhǎng)和是多少?剩余部分的表面積是多少?十、立體圖形的組合 (組合只會(huì)使表面積減少, 因此存
14、在減少最多或最少的問(wèn)題)?長(zhǎng)方體將原來(lái)長(zhǎng)方體的最大面組合在一起,其表面積比原來(lái)減少的最多。將原來(lái)長(zhǎng)方體的最小面組合在一起,其表面積比原來(lái)減少的最少。而且兩個(gè)組合將減少兩個(gè)完全相同的面,三個(gè)組合減少四個(gè)完全相同的面,依次類(lèi)推。?正方體無(wú)論沿那個(gè)面組合,都將減少兩個(gè)正方形的面,減少的面積均為2a2不存在增加最多最少的問(wèn)題。練習(xí):(3)用 27 個(gè)體積是 1 立方厘米的小正方體粘合成一個(gè)大正方體,粘合后的大正方體的表面積是()(4)把三個(gè)完全相等的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體,這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是350 平方米。這個(gè)正方體的表面積是多少平方米?(5)一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)8 厘米,寬 6 厘米,高 5.5 厘米。將
15、兩個(gè)這樣的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體,表面積最大是多少?體積是多少?(8)有三個(gè)大小相等的正方體,將他們拼成長(zhǎng)方體,表面積減少32 平方厘米。求所拼長(zhǎng)方體的表面積。(10)用兩個(gè)長(zhǎng) 6 厘米,寬 3 厘米,高 1厘米的長(zhǎng)方體一起包裝,至少需要包裝紙多少?(12)用兩個(gè)同樣的長(zhǎng)、寬、高分別為4 厘米、3 厘米和 2 厘米的小長(zhǎng)方體,拼成一個(gè)表面積最大的長(zhǎng)方體,這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米?. . 7 / 8 十一、小正方體拼成的大正方體表面涂漆問(wèn)題例如:練習(xí):圖 1 圖 2 十二、小正方體拼成的大正方體在取走一部分后表面積的變化大正方體長(zhǎng)、寬、高上有幾個(gè)小正方體,則將長(zhǎng)、寬、高上的正方體數(shù)相乘
16、就是大正方體所含小正方體的總數(shù);在頂點(diǎn)位置的小正方體露在外面的面有3 個(gè);在棱上(不包含頂點(diǎn)位置)的小正方體露在外面的面有2 個(gè);在面上(不包含棱上)的小正方體露在外面得面有1 個(gè);用總數(shù) 3 個(gè)面的 2 個(gè)面的 1 個(gè)面得 =沒(méi)有露在外面的小正方體的個(gè)數(shù)。在該正方體表面涂上漆,有三個(gè)面涂上漆的小正方體有幾個(gè)?有兩個(gè)面圖上漆的小正方體有幾個(gè)?有一個(gè)面涂上漆的小正方體有幾個(gè)?沒(méi)有涂上漆的小正方體有幾個(gè)?圖一中,長(zhǎng)方體共有()個(gè)小正方體;其中兩個(gè)面露在外面的小正方體共有()個(gè);沒(méi)有露在外面的小正方體共有()個(gè)。圖二中三個(gè)圖一次有()、()、()小正方體組成。第二個(gè)長(zhǎng)方體中有三個(gè)面在外面的正方體有(
17、)個(gè),兩個(gè)面在外面的正方體有()個(gè),一個(gè)面在外面的有()個(gè),沒(méi)有露在外面的小正方體()。挖去的小正方體在頂點(diǎn)位置 ,則大正方體的表面積不變 ,因?yàn)樵瓉?lái)在頂點(diǎn)位置小正方體露在外面的面為3 個(gè),挖去后露出來(lái)的面也是3 個(gè),所以表面積不變。挖去的小正方體在棱的位置 ,則大正方體的表面積增加 ,因?yàn)樵瓉?lái)在棱上的小正方體露在外面的面有2 個(gè),挖去后會(huì)露出 4 個(gè)面,所以表面積會(huì)增大。挖去的小正方體在面上 ,則大正方體的表面積也會(huì)增加,因?yàn)樵瓉?lái)在面上的小正方體只有1 個(gè)面露在外面,挖去后會(huì)露出 5 個(gè)面,所以表面積會(huì)增大。. . 8 / 8 十二、等積變形的題,常用鍛造、熔鑄等詞1、把一個(gè)棱長(zhǎng)為 6 分米
18、的正方體鋼坯, 鍛造成一個(gè)長(zhǎng) 3 分米、寬 2 分米的長(zhǎng)方體鋼條,這個(gè)鋼條長(zhǎng)多少米?2、將一塊長(zhǎng) 4.5 分米,寬 4 分米,高 2 分米的長(zhǎng)方體鋼塊,熔鑄成一根橫截面的邊長(zhǎng)是 2 分米的方鋼,這根方鋼的長(zhǎng)是多少分米?3、一個(gè)棱長(zhǎng)是 40 厘米的正方體鐵塊,現(xiàn)在要把它熔鑄成一個(gè)底面為200 平方厘米的長(zhǎng)方體鐵塊,這個(gè)長(zhǎng)方體鐵塊的高是多少厘米?十三、用排水法解題(求不規(guī)則物體的體積轉(zhuǎn)化成規(guī)則的物體的體積,即:放入物體后水的體積放入物體前水的體積=物體的體積),或利用放入水中物體的體積等于水面上升的那部分水的體積。1、一個(gè)長(zhǎng)方體容器長(zhǎng) 25 厘米,寬 18 厘米,里面水深 6 厘米。將一個(gè)西瓜放入其中(西瓜完全淹沒(méi)),水上升了4 厘米。這個(gè)西瓜的體積是多少?2、一個(gè)底面長(zhǎng)和寬都是2 分米的長(zhǎng)方體玻璃容器, 里面裝有 5.6 升水,再將一個(gè)蘋(píng)果浸沒(méi)在水中, 這時(shí)量得容器的水深1.5 分米。這個(gè)蘋(píng)果的體積是多少立方分米?(玻璃的厚
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