勾股定理全章復習與鞏固(提高)知識講解

1、勾股定理全章復習及鞏固（提高）責編：曾山【學習目標】1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應用勾股定理及逆定理解決有關的實際問題.【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】要點一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）2.勾股定理的應用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應用是：（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；（2）利用勾股定理可以證明有關線段平方關系的問題；（3）解決及勾股定理有關的面積計算；（4）勾股定理在實際生活中的應用要點二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的

2、三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.要點詮釋：應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：（1）首先確定最大邊，不妨設最大邊長為；（2）驗證：及是否具有相等關系： 若，則ABC是以C為90°的直角三角形； 若時，ABC是銳角三角形；若時，ABC是鈍角三角形2.勾股數(shù)滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.要點詮釋：常見的勾股數(shù)：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果()是勾股數(shù)，當t為正整數(shù)時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.觀察上面的、

3、四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長的直角邊及對應斜邊相差1.3.假設三個數(shù)分別為，且，那么存在成立.（例如中存在2425、4041等）要點三、勾股定理及勾股定理逆定理的區(qū)別及聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理及其逆定理的題設和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都及直角三角形有關.【典型例題】類型一、勾股定理及逆定理的應用1、如圖所示，等腰直角ABC中，ACB90°，E、F為AB上兩點(E左F右)，且ECF45°，求證：.【思路點撥】由于ACB90°，ECF45°，所以ACEBCF45

4、°，若將ACE和BCF合在一起則為一特殊角45°，于是想到將ACE旋轉(zhuǎn)到BCF的右外側(cè)合并，或?qū)CF繞C點旋轉(zhuǎn)到ACE的左外側(cè)合并，旋轉(zhuǎn)后的BF邊及AE邊組成一個直角，聯(lián)想勾股定理即可證明 【答案及解析】解：(1)，理由如下： 將BCF繞點C旋轉(zhuǎn)得ACF，使BCF的BC及AC邊重合， 即ACFBCF， 在ABC中，ACB90°，ACBC，CAFB45°，EAF90°ECF45°，ACEBCF45°ACFBCF，ECF45° 在ECF和ECF中ECFECF(SAS)， EFEF 在RtAEF中，【總結(jié)升華】若一個角

5、的內(nèi)部含有同頂點的半角，(如平角內(nèi)含直角，90°角內(nèi)含45°角，120°角內(nèi)含60°角)，則常常利用旋轉(zhuǎn)法將剩下的部分拼接在一起組成又一個半角，然后利用角平分線、全等三角形等知識解決問題舉一反三：【變式】已知凸四邊形ABCD中，ABC30°，ADC60°，ADDC，求證：.【答案】解：將ABD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°由于DCAD，故點A轉(zhuǎn)至點C點B轉(zhuǎn)至點E，連結(jié)BE BDDE，BDE60°BDE為等邊三角形，BEBD易證DABDCE，A2，CEAB 四邊形ADCB中ADC60°，ABC30°A13

6、60°60°30°270°121A270°3360°(12)90°2、如圖，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，P是ABC內(nèi)的一點，且PB=1，PC=2，PA=3，求BPC的度數(shù)【答案及解析】解：如圖，做ECB=PCA，且使CE=CP，連結(jié)EP，EB在APC和BEC中APCBECPCE為等腰直角三角形CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8又PB2=1，BE2=9PE2+ PB2= BE2則BPE=90°BPC=135°【總結(jié)升華】本題考查了勾股定理的逆定理，通過觀察所要求的角度

7、，作出輔助線，把PA、PB、PC的長度轉(zhuǎn)化為一個三角形三條邊，構造出直角三角形是解題的關鍵，當然此題也可以利用旋轉(zhuǎn)的思想來解，即將APC繞點C旋轉(zhuǎn)，使CA及CB重合即APCBEC.類型二、勾股定理及逆定理的綜合應用3、（2019春豐城市期末）如圖，已知四邊形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積【思路點撥】連接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的長，利用勾股定理求出AC的長，再由AD及CD的長，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD為直角三角形，根據(jù)四邊形ABCD的面積=直角三角形ABC的面積+直角三角形ACD的面積，即可求出四

8、邊形的面積【答案及解析】解：連接AC，如圖所示：B=90°，ABC為直角三角形，又AB=3，BC=4，根據(jù)勾股定理得：AC2=25，又CD=12，AD=13，AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，CD2+AC2=AD2，ACD為直角三角形，ACD=90°，則S四邊形ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=×3×4+×5×12=36故四邊形ABCD的面積是36【總結(jié)升華】此題考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本題的關鍵4、如圖：正方形ABCD中，E

9、是DC中點，F(xiàn)是EC中點.求證：BAF=2EAD.【答案及解析】證明：取BC中點G，連結(jié)AG并延長交DC延長線于HABG=HCG，BG=CG，AGB=HGCGABHCGGAB=H，AB=CH又 AB=AD，B=D，BG=DEABGADEGAB=DAE在中，設，由勾股定理得：又 AF=HFFAH=HFAH=DAEBAF=2DAE【總結(jié)升華】要證BAF=2EAD，一般方法是在BAF中取一個角使之等于EAD，再證明另一個角也等于EAD，另一種方法是把小角擴大一倍，看它是否等于較大的角.舉一反三：【變式】（2019春防城區(qū)期末）如圖所示，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周長為36cm，點P

10、從點A開始沿邊向B點以每秒1cm的速度移動；點Q從點B沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動，如果同時出發(fā)，問過3秒時，BPQ的面積為多少？【答案】解：設AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，周長為36cm，AB+BC+AC=36cm，3x+4x+5x=36，得x=3，AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，AB2+BC2=AC2，ABC是直角三角形，過3秒時，BP=93×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），SPBQ=BPBQ=×（93）×6=18（cm2）故過3秒時，BPQ的面積為18cm2類型三、勾股定理的實際應用5、如圖所示，牧

11、童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC400米，BD200米，CD800米，牧童從A處把牛牽到河邊飲水后再回家試問在何處飲水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路點撥】作點A關于直線CD的對稱點G，連接GB，交CD于點E，利用“兩點之間線段最短”可知應在E處飲水，再根據(jù)對稱性知GB的長為所走的最短路程，然后構造直角三角形，利用勾股定理可解決【答案及解析】解：作點A關于直線CD的對稱點G，連接GB交CD于點E，由“兩點之間線段最短”可以知道在E點處飲水，所走路程最短說明如下：在直線CD上任意取一異于點E的點I，連接AI、AE、BE、BI、GI、GE 點G、A關于直線CD對稱， A

12、IGI，AEGE由“兩點之間線段最短”或“三角形中兩邊之和大于第三邊”可得GIBIGBAEBE，于是得證最短路程為GB的長，自點B作CD的垂線，自點G作BD的垂線交于點H，在直角三角形GHB中， GHCD800，BHBDDHBDGCBDAC200400600， 由勾股定理得 GB1000，即最短路程為1000米【總結(jié)升華】這是一道有關極值的典型題目解決這類題目，一方面要考慮“兩點之間線段最短”；另一方面，證明最值，常常另選一個量，通過及求證的那個“最大”“最小”的量進行比較來證明，如本題中的I點本題體現(xiàn)了勾股定理在實際生活中的應用舉一反三：【變式】如圖所示，正方形ABCD的AB邊上有一點E，A

13、E3，EB1，在AC上有一點P，使EPBP最短求EPBP的最小值【答案】解：根據(jù)正方形的對稱性可知：BPDP，連接DE，交AC于P，EDEPDPEPBP， 即最短距離EPBP也就是ED AE3，EB1， ABAEEB4， AD4，根據(jù)勾股定理得： ED0， ED5， 最短距離EPBP56、臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風暴，有極強的破壞力如圖臺風中心在我國臺灣海峽的B處，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心風力為12級，每遠離臺風中心25千米，臺風就會減弱一級，如圖所示，該臺風中心正以20千米/時的速度沿北偏東30°方向向C移動，且臺風中

14、心的風力不變，若城市所受風力達到或超過4級，則稱受臺風影響試問：（1）該城市是否會受到臺風影響？請說明理由（2）若會受到臺風影響，那么臺風影響該城市的持續(xù)時間有多長？（3）該城市受到臺風影響的最大風力為幾級？【答案及解析】解：（1）該城市會受到臺風影響理由：如圖，過點A作ADBC于D點，則AD即為該城市距離臺風中心的最短距離在RtABD中，因為B=30°，AB=240AD=×240120（千米）由題可知，距臺風中心在（12-4）×25=200（千米）以內(nèi)時，則會受到臺風影響因為120200，因此該城市將會受到影響（2）依題（1）可知，當點A距臺風中心不超過200千米時，會受臺風影響，故在BC上作AE=AF=200；臺風中心從點E移動到點F處時，該城市會處在臺風影響范圍之內(nèi)（如圖）由勾股定理得，