高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解

1、高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解第一章函數(shù)、極限、連續(xù)第 1 節(jié) 函數(shù)基本內(nèi)容學(xué)習(xí)一 基本概念和性質(zhì)1 函數(shù)的定義設(shè)有兩個變量 x 和 y，變量 x 的變域為 d，如果對于 d 中的每一個 x 值，按照一定的法則，變量 y 有一個確定的值與之對應(yīng)， 則稱變量 y 為變量 x 的函數(shù)，記作：yfx。2 函數(shù)概念的兩要素定義域：自變量x 的變化范圍對應(yīng)關(guān)系：給定x 值,求 y 值的方法。3 函數(shù)的三種表示方法顯式：形如 yfx的稱作顯式， 它最直觀， 也是初等函數(shù)一般采用的形式。隱式：有時有些關(guān)系用顯式無法完全表達(dá)，這時要用到隱式，形如x2y2 f(x,y)0，如橢圓函數(shù) 221。 a

2、b xvt 參數(shù)式：形如平拋運動的軌跡方程12 稱作參數(shù)式。參數(shù)式將兩個ygt2 變量的問題轉(zhuǎn)化為一個變量的問題，從而使很多難以處理的問題簡化。4 函數(shù)的四個基本性質(zhì)1 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解奇偶性：設(shè)函數(shù)fx在對稱區(qū)間x 上有定義，如果對于xx 恒有f(x)f(x) (或)f(x)f(x)，則稱 fx為偶函數(shù) (或 fx奇函數(shù) )。注：偶函數(shù) fx圖形關(guān)于 y 軸對稱，奇函數(shù) fx的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點對稱。有界性：設(shè)函數(shù) fx在區(qū)間 x 上有定義 ,如果m0,使得對一切 xx,恒有：fxm,則稱 fx在區(qū)間 x 上有界；若不存在這樣的m0，則稱 fx在區(qū)間 x 上無界 .

3、注：函數(shù) fx有無界是相對于某個區(qū)間而言的。周期性：設(shè)函數(shù)fx在區(qū)間 x 上有定義 ,若存在一個與 x 無關(guān)的正數(shù) t，使對任一 xx，恒有 fxtfx則稱 fx是以 t 為周期的周期函數(shù)，把滿足上式的最小正數(shù)t 稱為函數(shù) fx的周期。單調(diào)性：設(shè)函數(shù)fx在區(qū)間 x 上有定義，如果對x1,x2x,x1x2,恒有：fx1fx2(或 fx1fx2)則稱 fx在區(qū)間 x 上是單調(diào)增加 (或單調(diào) 減 少 ) 的 ； 如 果 對 于x1,x2x,x1x2, 恒 有 ： fx1fx2( 或fx1fx2)則稱 fx在區(qū)間 x 上是嚴(yán)格單調(diào)增加 (或嚴(yán)格單調(diào)減少 )的。5 其它函數(shù)定義復(fù)合函數(shù)：設(shè)函數(shù)yfu的定

4、義域為 df，而函數(shù) ux的定義域是d值域為 z，若 dfz，則稱函數(shù) yfx為 x 的復(fù)合函數(shù)，它的定義域是 xxd且(x)df 。這里表示空集。反函數(shù)：設(shè)函數(shù)yfx的值域為 zf，如果對于 zf 中任一 y 值，從關(guān)系式y(tǒng)fx中可確定唯一的一個x 值，則稱變量x 為變量y 的函數(shù)，記為：xy，2 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解其中y稱為函數(shù)yfx的反函數(shù)，習(xí)慣上yfx的反函數(shù)記為：yf1x。6 初等函數(shù)常值函數(shù)c(c 為常數(shù) )，xr 冪 函數(shù)yxr， 定 義 域 由確 定 ， 但不 論如何 ， 在(0,)yax(a0 且 a1) xr x對數(shù)函數(shù)yloag( a0 且 a1

5、) x(0,) 三角函數(shù)如 ysinx,xr；ycosx,xr；ytanx,x(k,k),kz；cotx,x(k,(k1),kz 等 22反三角函數(shù)yarcsx；inx1,1yarccosx,x1,1；yarctanx,xr；yarccotx,xr. 以上六類函數(shù)稱基本初等函數(shù)。由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次加、減、乘、除、復(fù)合而成的函數(shù)稱初等函數(shù)。7 分段函數(shù)一個函數(shù)在其定義域ysgnx0 當(dāng) x0 , 1 當(dāng) x0.取整函數(shù)x 表示不超過 x 的最大整數(shù)； xn,當(dāng) nxn1，其中 n 為整數(shù)。1當(dāng) x 為有理數(shù)時 ,yfx狄利克萊 (dirichlet) 函數(shù)0 當(dāng) x 為無理數(shù)時.3 高等數(shù)學(xué)

6、各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解x,x0絕對值函數(shù)x x,x0基本題型訓(xùn)練一 典型例題1 判斷函數(shù)的等價性例 1.1 下列各題中，函數(shù)f(x)與 g(x)是否相同？為什么？(1) f(x)lgx2,g(x)2lgx; (2) f(x)x,g(x)(3) f(x)g(x)；(4) f(x)1,g(x)sec2xtan2x； 解：(1)不相同，因為 lgx2 的定義域是 (,0)(0,)，而 2 glx 的定義域是 (0,)。(2)不相同，因為兩者對應(yīng)法則不同，當(dāng)x0 時，g(x)x。(3)相同，因為兩者定義域、對應(yīng)法則均相同。(4)不相同，因為兩者定義域不同。2 求函數(shù)的定義域例 1.2 設(shè)

7、 f(x1)的定義域為 0,a(a0)則 f(x)的定義域為多少？解：函數(shù)f(x1 的)定義域是指x 的變化范圍，即0 x1a,令 tx1,則1ta1。 故對函數(shù) f(x)而言，t 的變化范圍為 1,a1， 由函數(shù)表達(dá)式的 “ 變量無關(guān)性 ” ，知： f(x)的定義域為 1,a1。常見錯誤： 1,a1。主要是對定義域所指的變量取值范圍理解不深，誤認(rèn)為0 x1a，由此得到 1xa1。3 判斷函數(shù)奇偶性例 1.4 下列函數(shù)中哪些是奇函數(shù)，哪些是偶函數(shù)，哪些是非奇非偶函數(shù)？4 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解(1) yexsinx, (2) yloga(x(a0,a1) 2 解：(1)因

8、為 sinx 為奇函數(shù)， x2 為偶函數(shù)，所以yexsinx 為奇函數(shù)。(2) f(x)loga(xloga 故 f(x)為奇函數(shù)4 判斷函數(shù)的周期性例 1.5 下列哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)，指出其周期。(1) ycos(x2) (2) y1sinx 解(1) ycos(x2)是周期函數(shù)，周期為2；(2) y1sinx 是周期函數(shù)，周期是2 5 判斷函數(shù)單調(diào)性例 1.6 設(shè) f(x)在(,)上有定義，且對任意x，y(,)有f(x)f(y)xy 證明 f(x)f(x)x 在(,)上單調(diào)增加。2 loga(xf(x), 證明：設(shè)x1,x2(,),x1x2 所以 f(x2)f(x1)x2x1x2

9、x1， 而f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)x2x1 所以 f(x1)x1f(x2)x2 所以f(x1)f(x2) 即 f(x)在(,)上單調(diào)增加。6 求反函數(shù)例 1.7 求函數(shù) y5 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解解：令 ty2y1y11t。所以 t，所以 y1y11ty14yx1，2y1(y1)所以反函數(shù) y4x 即為所求。(x1)2 7 復(fù)合函數(shù)求法x2,x01x,x0,g(x)例1.8設(shè)f(x)則fg(x) 等 于 多 少 ？x2,x0 x,x0 解：當(dāng) x0 時，g(x)x0，所以當(dāng) x0 時有 fg(x)1x；當(dāng) x0 時，g(x)2x0 所以 x0 時有 fg

10、(x)2x2 故，1x,x0fg(x)2。 x2,x0注：求復(fù)合函數(shù)一般用三種方法： 分析法，代入法，圖示法。本題用的是分析法，下面分別介紹這三種方法。(1)分析法：是抓住最外層函數(shù)定義域的各區(qū)間段，結(jié)合中間變量的表達(dá)式及中間變量的定義域進(jìn)行分析， 從而得出復(fù)合函數(shù)的方法， 該法適用于初等函數(shù)與分段函數(shù)或分段函數(shù)之間的復(fù)合。(2) 代入法：將一個函數(shù)中的自變量用另一個函數(shù)的表達(dá)式來替代，這種構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的方法， 稱之為代入法， 該法適用于初等函數(shù)或抽象函數(shù)的復(fù)合，這種方法在求復(fù)合函數(shù)時一般最先想到。(3) 圖示法：借助于圖形的直觀性達(dá)到將函數(shù)復(fù)合的一種方法，適用于分段函數(shù)，尤其是兩個均為分段函

11、數(shù)的復(fù)合。關(guān)于圖示法解題的一般步驟如下：先畫出中間變量函數(shù)ux的圖形；把 yfu的分界點在 xou 平面上畫出 (這是若干條平行于x 軸的直線 )； 寫出 u 在不同區(qū)間段上 x 所對應(yīng)的變化區(qū)間；將所得結(jié)果代入yfu中， 便得 yfx的表達(dá)式及相應(yīng)x的變 6 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解化區(qū)間。關(guān)于這種方法我們會在后面的練習(xí)或者能力拓展中用到。二 能力拓展例 1 設(shè) f(x)是連續(xù)函數(shù) f(x)的一個原函數(shù)， "mn" 表示“m 的充分必要條件是 n ” ，則必有(a)f(x) 是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù)。(b)f(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函

12、數(shù)。(c) f(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù)。(d)f(x) a 解法一：任一原函數(shù)可表示為f(x)f(t)dtc，且 f(x)f(x). 當(dāng) f(x)0 x 是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù)。為偶函數(shù)時，有f(x)f(x) ， 于 是 f(x)(1)f(x) ， 即f(x)f(x) ， 也 即f(x)f(x)，可見 f(x)為奇函數(shù)；反過來，若f(x)為奇函數(shù)，則f(t)dt 為偶函數(shù)，0 x 從而 f(x)f(t)dtc 為偶函數(shù)，可見選 (a) 。 0 x 1 解法二：令 f(x)=1，則取 f(x)=x+1，排除(b)、(c)； 令 f(x)=x， 則取 f(x)=x2，2 排除(d)

13、；故應(yīng)選 (a)。1,x1 例 2 設(shè) f(x)則 fff(x)等于。0,x1 1,x1(a) 0 (b)1 (c) (d) 0,x1解：由 ff(x) 1 得，fff(x)1，故應(yīng)選 (b) 0,x1 1,x17 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解函數(shù)理論框架圖第 2 節(jié) 極限與連續(xù)性基本 limxna0,n一個正整數(shù) n,當(dāng) nn時，8 恒有高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解xna。 若 xn 存在極限，稱xn 收斂，否則稱 xn 發(fā)散。定義 2.2 limf(x)a0,一個整數(shù) x，當(dāng) xx 時，有 f(x)a xf(x)a0,正 數(shù)， 當(dāng) 0 xx0時， 有 f(x

14、)a定 義 2.3 xlimx0 2 數(shù)列、函數(shù)極限的基本性質(zhì)與相關(guān)定理定理 2.1(極限的不等式性質(zhì) ) xna，limynb 若 ab，設(shè) nlim 則n，當(dāng) nn 時，若 nn 時，xnyn；xnyn，n則 ab。xna，limxnb 則 ab。 定理 2.2(極限的唯一性 ) 設(shè) nlimn定 理2.3( 收 斂 數(shù) 列 的 有 界 性 ) 設(shè)xn收 斂 ， 則xn有 界 （ 即常 數(shù)m0,xnm,n1,2,） 。f(x)a，limg(x)b 若 ab 則>0，定理2.4(極限的不等式性質(zhì)) 設(shè)xlimxxx00 當(dāng) 0 xx0時 f(x)g(x)；若 f(x)g(x)(

15、0 xx0)，則 ab。fxa,a0或 a0,則存在一個0，當(dāng) 推論 (極限的保號性) 若xlimx0 xx0,x0,xx0 時，fx0(或 fx0)。00f(x)a，limf(x)b 則 ab。 定理 2.5(極限的唯一性 )設(shè) xlimxxx 定理 2.6(夾逼準(zhǔn)則 ) 設(shè)在 x0 的領(lǐng)域內(nèi)，恒有xfxx，且xx0limxlimxa，則 limfxa。 xx0 xx0 定理 2.7(單調(diào)有界準(zhǔn)則 ) 單調(diào)有界數(shù)列xn必有極限。3 函數(shù)連續(xù)性定義定義 2.1 設(shè)函數(shù) fx在 x0 的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，給x 在 x0 處以增量x，相應(yīng)9 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解地得到函數(shù)增量

16、yfx0 xfx0。若極限limy0，則稱 fx在 xx0 處連 x0 續(xù)。fx定義 2.2 設(shè)函數(shù) fx滿足條件： (1)fx在 x0 的某領(lǐng)域若 fx在 x0處出現(xiàn)以下三種情形之一：fx不存在； fxfx0。(1)fx在 x0 處無定義； (2)xlim(3)xlim 則稱x0 為 fxxx 的間斷點。間斷點 x0 的分類：第類間斷點fx0,fx0均存在。其中若fx0fx0fx0，xx0稱 為可 去間斷點 。 若fx0fx0,xx0 稱為跳躍間斷點。第類間斷點： fx0,fx0至少有一個不存在。 若 fx0,fx0之中有一個為，則 xx0 稱為無窮間斷點。5 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(1)(

17、連續(xù)函數(shù)的有界性 )設(shè)函數(shù) fx在a,b上連續(xù)，則 fx在a,b上有界，即常數(shù) m0，對任意的 xa,b，恒有f xm。(2) (最值定理 )設(shè)函數(shù) fx在a,b上連續(xù)，則在a,b上 fx至少取得最大值與最小值各一次，即,使得：10 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解fmaxfx,a,bfmin,a, bfxaxbaxb (3) (介值定理 )若函數(shù) fx在a,b上連續(xù)，是介于 fa與 fb(或最大值 m 與最小值m)之間的任一實數(shù)，則在a,b上至少一個，使得f.ab。(4) (零 點 定 理 或 根 的 存 在 性 定 理 ) 設(shè) 函 數(shù) fx在a,b上 連 續(xù) ， 且fafb0

18、，則 在a,b內(nèi)至 少一 個，使得f0.ab5 無窮小及其階(1)無窮小與無窮大的定義定義 2.5 在某一過程中以零為極限的變量稱為無窮?。浚?。limfx00,一個 x0，當(dāng) xxx時，恒有 fx。時，恒有 fx。 xx0limfx00,0，當(dāng) 0 xx0定義 2.6 在自變量的某一變化過程中，若函數(shù)fx的絕對值無窮增大，則稱函數(shù) fx為無窮大量。limfxm0,一個 x0，當(dāng) xxx時，恒有 fxm. 時 ， 恒 有fxm. xx0limfxm0,一 個0 ， 當(dāng)0 xx0(2)無窮小與無窮大、無窮小與極限的關(guān)系xx0limfxaf(x),其中 lim(x)0； xx0 1f(x)為無窮小

19、， f(x)0 則為無窮大f(x)在同一極限過程中，。f(x)為無窮大，則 1 為無窮小f(x)(3)無窮小階的概念定義 2.7 設(shè)在同一極限過程中，x、x為無窮小且存在極限11 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解xx0(x)limx0,limx0。 xx0(x) x若 lix0，則稱x是比x高階的無窮小，記為xox. 若limx， 則 稱x是 比x低 階 的 無 窮 小 。xxc，則稱x與x是同階無窮小。x 若 lim 若limx1 ， 則 稱x與x是 等 價 無 窮 小 ， 記 為xx。x若limxcc0,k0，則稱x為x的 k 階無窮小。kx(4)等價無窮小的重要性質(zhì)x()x,

20、(，若 xa(x)x 且 lim(x)存在，則(x) lim(x)(x) lim(x)(x) 該結(jié)論表明：在求極限過程中等價無窮小因子可以替換。(x)(x)(xa)(x)(x)o(x) (5)確定無窮小階的方法利用洛必達(dá)法則確定 k0 使得 limxx0fx(xa)ka0，則 xa 時，f(x) 是 xa 的 k 階無窮小。洛必達(dá)法則：法則( xx0 xx00 型)設(shè)函數(shù) fx,gx滿足條件：0limfx0,limgx0；fx,gx在 x0 的領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo) (在 x0 處可除外 )且12 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解gx0 ； limxx0fxfxfxlim. 存 在 ( 或)

21、。 則limxxxx0gx0gxgxxx0法則 i (型)設(shè)函數(shù) fx,gx滿足條件：limfx0,limgx0；一 0 個 x0，當(dāng) xx 時，fx,gx可導(dǎo)，且 gx0；lim fxgxfx. gxxx0fx存在(或)。gx 則 limxx0limxx0 法則 (型) 設(shè)函數(shù)fx,gx滿足條件： limfx,limgx；xx0 xx0fx,gx在 x0 的領(lǐng)域 f(x)f(a)f(a)(xa)n! 若 f(a)f(a)f n1fn(a)(a)0,f(a)0 則 f(x)(xa)no(xa)n)。n!n 因此 f(x)是(xa)的 n 階無窮小 (后面章節(jié)還會講到 )。利用無窮小的運算性質(zhì)如

22、若 xa 時，fx,gx分別是 xa的 n 階與則 fxgx是 xa 的(nm)階無窮小，當(dāng)nm 時，fxgx是 m階無窮小，xa的 n 階無窮小。本章需要記憶知識1 重點概念、性質(zhì)函數(shù)的定義、函數(shù)連續(xù)的定義、間斷點及其類型、夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界準(zhǔn)13 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解則等。2 重點公式sinxlim1,x0 x nlim1xx01x1e(或 lim1e)；xxnx 常用極限：01 特例 lim1 limarctanx2xlimarcxtanxx2cot limarcxxx0 xxx1limarccotxlimex 0limexlimx基本題型訓(xùn)練1 求復(fù)合函數(shù)ex,

23、x1x2,x0,x2 例設(shè) fx，求 fx。x,x1x1,x0 xe,x1 解：由題設(shè) fx, x,x1 分以下情況討論。(1)當(dāng)x1 時，x0 x1. 或 x0,xx21，即x1x00 x或 x0,xx211，即2x2 (2)當(dāng)x1 時，x01x0. 或 x0,xx21，即x1 x0 x或 x0,xx11，即2x22 14 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解ex2,x2,綜上所述， fxx21e, x21,x11x00 xx2 利用函數(shù)概念求函數(shù)表達(dá)式例已 知f(ex)1xsinx ， 求f(x) 。解 ： 令ext ， 則xlnt 。 于 是f(t)1lntsin(lnt)從而

24、f(x)1lxn s。ix 注：設(shè) f(x)(x)，其中(x)是已知函數(shù)，則有兩類問題：一是已知f 求；二是已知求 f。若 f 是已知，并存在反函數(shù)，則(x)f1(x)。 若已知，并存在反函數(shù)，令 t(x)， 則 x1(t)， 從而 f(t)(1(t)， 即 f(x)(1(t)。因此，這兩類問題都是求反函數(shù)問題。3 求未定型函數(shù)極限例求下列極限解：原式15 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解原式1 原式原式( ) 16 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解4 求變限積分不等式的極限(etdt)2 02x0 2 例 求極限 lim 解：原式=lim xx3x edt 2t2 2

25、(etdt)(etdt) 2x 2 2x 2 3e 018x2 lim x4e4x 2 2x 3e 018x2 etdt 2 4lim014x23xe 2x etdt 2 42e4xlim0 14x2x328xe 2 注：在驗證條件 limx(x) x0 f(t)dt時，要用到以下結(jié)論 :若 f(x)連續(xù)，又(x) xlimf(x)a0(也可為) lim(x)，則 limx0 f(t)dt。5 由極限確定函數(shù)中的參數(shù)例確定 a,b,c的值，使解：當(dāng)原式故原式故 c= 存在，并求該1 2 時，由可得同理可得的值，使極限例 試確定常數(shù)極限值 . 17 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解解

26、：原式由可得，即存在則原式同理由所以原式6 利用函數(shù)收斂準(zhǔn)則求極限例 1 (利用夾逼準(zhǔn)則) _ 可得，即解：且又由夾逼原則可得原式例 2 (利用單調(diào)有界準(zhǔn)則 ) 1a若序列a n的項滿足： a1a 為正的常數(shù) )，且 an1an，(這里 2an18 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解n1,2,)。試證an有極限，并求出它。1aa12a2a解：由 a1a2a12a12a12a1 今用數(shù)學(xué)歸納法證 ak1aak2a2aak1ak 2aka2ak2k 1a又 anan1an2an。這只須注意到：an2a0，故an單調(diào)且有下界，從而其極限2an(n時)存在， 令其為 a。 1a由 an1an

27、2an1alimalima有nn1nn2an1a,即aa， 2a即 a2a，所以aa0。從而 liman n7 求 n 項和數(shù)列的極限2nsin 例求 limnn1nn2n 2nsinsinsin1ni12n<(sinsinsin)sin 1nni1nnnnn1n1n2nsinsin 11ni2 而 limsinsinxdx，另一方面，0nnni119 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解sin 2nsinsinn>1(sinsin2sinn)n1sininn1n1ni1nnnn1nn2n n1ni22 且 limsin，故由夾逼定理原式nn1nni1 8

28、求 n 項積數(shù)列極限xxx 例當(dāng) x0 時，limcoscoscosn n242xxxx2nsinncoscos cosn 原極限lim n2nsinn 2 xxxx 2n1coscos (cosnsinn) lim nx 2nsinn 2 xxxx 2n2coscos (2cosn1sinn1) lim n2nsinn 2 sin xx2n2nlim nsinx li nnx 2sin 2 sinx2nsin x2n sinx x 9 利用函數(shù)極限求數(shù)列極限12 例 求 lim(ntan)n nn 解：因為 limntan n1 limnntan 1 1,可化為求 lim(xtan1)x2

29、nx n t tanttt1tantttantt1x2 )又因為 lim(xtan)tlim(1nxt0tx 20 ，其中 lim t0 t 0 而tantt 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解1112tantt1(1cost)(1cost)1limlimlim，故原式=e3 3222t0t0t3t3t0tcost3 10 無窮小的比較與無窮小的階的確定例 設(shè)函數(shù) f(x)limnxn3n， 則 f(x)在(,)處處可導(dǎo)(b) 恰有一個不可導(dǎo)點(c) 恰有兩個不可導(dǎo)點(d) 至少有三個不可導(dǎo)點c 解： 先求出 f(x)的表達(dá)式，再討論其可導(dǎo)情形當(dāng)x1 時， f(x)limxn3n1；

30、n當(dāng)x1時 ， f(x)lim11 ；當(dāng)x1時 ，f(x)limx(n31x3n1)x. 1n3 x3,x1,即 f(x)1,1x1, 可見 f(x)僅在 x=1 時不可導(dǎo)，故應(yīng)選(c) x3,x1.11函數(shù)連續(xù)性與間斷點類型的討論例 判斷間斷點并判別類型解：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，即，所以為函數(shù)第一類間斷點21 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解12 有關(guān)極限的證明例 設(shè) f(x)在0,)連續(xù),limf(x)a0 ,求證 limf(t)dtxx x0 證明因 limf(x)aa ，由極限的不等式性質(zhì)可知，x2 a x,當(dāng) xx 時,f(x),則 xx 時,有2 xxxxaf(t)dtf(

31、t)dtf(t)dtf(t)dt(xx)00x0 2 x0，因此xl if mt d(t) x x0 注：若a0,則 lim， tft(d)類似可知，若a0,則 lim。tft(d)x0 x 13 利用泰勒公式求極限例 求下列極限 (關(guān)于泰勒展式有關(guān)(2) limxx2ln(1)；xx 2112x (3) ；(4) lim(123ln)；x0 x0 xx2x 解 (1) lim cosxex0sin4x x2 2 lim cosxex0 x4 x2 2 x22 分母的次數(shù)為4，只要把cosx，e cosx1e x22 展開到出現(xiàn) x 的四次冪即可。12144 xxo(x) 2!4! 12112

32、2 1x(x)o(x4 ) 22!2 114 )xox41 故原極限 lim4x0 x12 ( 22 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解(2) ln(1)的展開式只要取到2 項即可11111 ln(1)()2o()2) xx2xx 111111原極限limxx2()2o()2)limo(1) xx2x2xx2 (3) 分子關(guān)于 x 的次數(shù)為 2。1111 (15x)1(5x)(1)(5x)2o(x2) 52!55151x 1x2x2o(x2) x21原極限lim x01x2x2o(x2)(1x)2 x 2xln(1x)ln(1x) (4) lnlnx2x2212 x1x1xx1x21

33、x33 2)3)ox()(o)x 3(2223222232 1 xx3o(x3) 12111131o(x3)3 123xxo(x)13 xx1212x) 故 lim(1x0112x11ln) x2x32x12 練習(xí)題一1 填空題(1) 已知(2) 設(shè)函數(shù)則_ 有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，,若23 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解在處連續(xù)，則常數(shù)(3) 設(shè)當(dāng)(4) (5) 已知(6) 時，= ，則為 的階無窮小，則，1222n2 (7) lim(333) nn1n2nn xm1(8) limn(m 和 n 為正整數(shù)且 mn) nx1 abx2,x0(9)設(shè) f(x)sinbx 在 x0 處間斷，

34、則a 與 b 應(yīng)滿足的關(guān)系是,x0 x 2 選擇題(1) 若函數(shù)在處連續(xù)，則的值是(2) 設(shè)24 其中則必有高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解x 在定義域(b)有下界無上界 . 11x (c)有界,且fx. (d)有界且22 21x22(3) 函數(shù) fx(4) limx3x)_ x(a) (b) 4 1 (c) (d)4 x1,x1x1 則 lim(5) f(x)2,f(x)_ x11,x1x (a)1 (b)0 3 (6) 設(shè) f(x)xx,則_ sinx (c) (d)不存在(a) 有無窮多個第一類間斷點, (b) 自由一個可去間斷點(c) 有兩個跳躍間斷點(d) 有 3 個可去

35、間斷點3 計算與證明(1) 求極限x0 (2) 設(shè)試討論在處的連續(xù)性和可導(dǎo)性 . (3) 試確定常數(shù)極限值 . 25 的值，使極限存在，并求該高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解(4) 設(shè)的值。求在及，且是的可去間斷點，求(5) 設(shè)的值。 求(6) 設(shè)的某鄰域f()f(x1)f(x2)f(xn) 。 n (9) 設(shè) f(x)在(,)上連續(xù)，且 ff(x)x，證明：一個，使得 f()(10) 設(shè) f(x)，g(x)在a,b上連續(xù)，且 f(a)g(a),f(b)g(b)，則在(a,b) (2)a+b (3) 26 ，高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解(4) 1 6 (5) , (

36、6) 2 (7) 1 3 (8) m n (9) ab 2 (1) (a) (2) (d) (3) (c) (4) (a) (5) (d) (6) (d) 3 (1) n m (2) 1 (3) , (4) , (5) 9 , (6) 2 (7) 1 2 (8) 提示：用介值定理(9) 提示：輔助函數(shù)f(x)f(x)x，用零點定理(10) 輔助函數(shù) f(x)f(x)g(x)，利用介值定理(11) 可利用零點定理(12) 可利用前面講到的求復(fù)合函數(shù)當(dāng)中的圖示法27 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解極限理論框架圖28 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解第二章 一元函數(shù)微分學(xué)本

37、章要求1 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義， 會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量(數(shù)三、數(shù)四不要求 )，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。(數(shù)三、數(shù)四增加要求了解經(jīng)濟(jì)意義（含邊際與彈性的概念）。2 掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。3 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。4 會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(數(shù)三、數(shù)四參數(shù)方程求導(dǎo)不要求) 5 理解并會用羅爾定理、 拉格朗日中值

38、定理泰勒定理，了解并會用 ( 數(shù)三、數(shù)四不要求 )柯西中值定理。6 掌握用洛必達(dá)法則求未定型極限的方法( 數(shù)三、數(shù)四會用洛必達(dá)法則求極限)。7 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用。8 會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。9 了解曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑( 數(shù)三、數(shù)四不要求 )。第 1 節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分基本內(nèi)容學(xué)習(xí)一 基本概念與定理1 導(dǎo)數(shù)的概念定義 1(函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù) )：設(shè)函數(shù) yf(x)在 x0 的領(lǐng)域內(nèi)有定義，給x 在 29 高等數(shù)學(xué)各章知識要點及典

39、型例題與習(xí)題詳細(xì)精解x0 處以增量x(0)，函數(shù)y 和相應(yīng)地得到增量yf(x0 x)f(x0)，如果極f(x0 x)f(x0)y,(1) 存在，則函數(shù)在點處可導(dǎo)，該函數(shù)值limx0 xx0 x dy 稱為函數(shù)在 x0 處的導(dǎo)數(shù)，記為f(x0) ，y(x0)， xx0 即 dx f(x0 x)f(x0)y令x0 xx，則(1) f(x0)limlimx0 xx0 x 限 lim f(x0)limxx0f(x)f(x0) xx0 定義 2(左右導(dǎo)數(shù) )：函數(shù) f(x) 在 x0 處的左、右導(dǎo)數(shù)分別定義為左導(dǎo)數(shù)f(x0)limx0f(x0 x)f(x0)f(x)f(x0)lim,(xx0 x) xxxxx00 f(x0 x)f(x0)f(x)f(x0)lim xx0 xxx0 右導(dǎo)數(shù)f(x0)limx0 定義 3(函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo) )：如果 yf(x)在(a,b)內(nèi)每一點均可導(dǎo)；則稱該函數(shù)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)； 若 yf(x) 在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)， 且在 xa和 xb處分別具有右導(dǎo)數(shù) f(a)和左導(dǎo)數(shù) f(b)，則 yf(x) 在a,b上可導(dǎo)。2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物