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1、專題檢測(cè)專題檢測(cè)( (二十六二十六) ) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)問題導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)問題 大題強(qiáng)化練 1(2020 安徽省部分重點(diǎn)學(xué)校聯(lián)考)已知函數(shù) f(x)ex(x1)12eax2,a0. (1)求曲線 yf(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程; (2)求函數(shù) f(x)的極小值; (3)求函數(shù) f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 解:(1)因?yàn)?f(x)ex(x1)12eax2, 所以 f(x)xexxea. 所以 f(0)1,f(0)0. 所以曲線 yf(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程為 y1. (2)f(x)xexxeax(exea),令 f(x)0, 得 x0或 xa(a0) f(x)與 f(x)在 r
2、 上的變化情況如表: x (,a) a (a,0) 0 (0,) f(x) 0 0 f(x) 極大值 極小值 由表可知,當(dāng) x0時(shí),f(x)有極小值 f(0)1. (3)當(dāng) x1 時(shí),f(x)0,且 f(2)e22eae220. 由(2)可知,f(x)在(0,)上單調(diào)遞增, 所以函數(shù) f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 1. 2(2020 南昌市第一次模擬測(cè)試)已知函數(shù) f(x)ex(ln xaxab)(e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),a,br,直線 ye2x是曲線 yf(x)在 x1 處的切線 (1)求 a,b 的值; (2)是否存在 kz,使得 yf(x)在(k,k1)上有唯一零點(diǎn)?若存在,求出 k 的值;若不
3、存在,請(qǐng)說明理由 解:(1)f(x)exln xax1xb ,f(x)的定義域?yàn)?0,) 由已知,得f(1)e2,f(1)e2,即ebe2,e(ba1)e2, 解得 a1,b12. (2)由(1)知,f(x)exln xx32, 則 f(x)exln xx1x12, 令 g(x)ln xx1x12, 則 g(x)x2x1x20,g(2)ln 210,即 f(x)0,當(dāng) x(x0,)時(shí),g(x)0,即 f(x)0. 所以 f(x)在(0, x0)上單調(diào)遞增, 在(x0,)上單調(diào)遞減 又當(dāng) x0時(shí),f(x)0, f(2)e2ln 2120,f(e)ee52e 0, 所以存在 k0或 2, 使得 y
4、f(x)在(k,k1)上有唯一零點(diǎn) 3(2020 四省八校檢測(cè))已知函數(shù) f(x)(2x)ex,g(x)a(x1)2. (1)求曲線 yf(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程; (2)討論 yf(x)和 yg(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 解:(1)f(x)ex(2x)ex(1x)ex,則 f(0)1,又 f(0)2,所以切線方程為 yx2,即 xy20. (2)令 f(x)g(x)f(x)a(x1)2(x2)ex,則 yf(x)和 yg(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù) f(x)(x1)(ex2a) 當(dāng) a0 時(shí),f(x)(x2)ex,f(x)只有一個(gè)零點(diǎn) 當(dāng) a0 時(shí),由 f(x)0得 x
5、1或 xln(2a) 若 ae2,則 ln(2a)1,故當(dāng) x(1,)時(shí),f(x)0,因此 f(x)在(1,)上單調(diào)遞增 當(dāng) x時(shí),f(x)0,又當(dāng) x1 時(shí),f(x)0,所以 f(x)只有一個(gè)零點(diǎn) 若 ae2,則 ln(2a)1,故當(dāng) x(1,ln(2a)時(shí),f(x)0; 當(dāng) x(ln(2a),)時(shí),f(x)0. 因此 f(x)在(1,ln(2a)上單調(diào)遞減,在(ln(2a),)上單調(diào)遞增 當(dāng) x時(shí),f(x)0,又當(dāng) x1 時(shí),f(x)0,所以 f(x)只有一個(gè)零點(diǎn) 當(dāng) a0 時(shí),若 x(,1),則 f(x)0; 若 x(1,),則 f(x)0, 所以 f(x)在(,1)上單調(diào)遞減, 在(1
6、,)上單調(diào)遞增 f(1)e,f(2)a,取 b滿足 b0 且 bln a2, 則 f(b)a2(b2)a(b1)2ab232b 0,所以 f(x)有兩個(gè)零點(diǎn) 綜上,當(dāng) a0時(shí),yf(x)和 yg(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 1;當(dāng) a0時(shí),yf(x)和 yg(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2. 4(2020 武昌區(qū)高三調(diào)研)已知函數(shù) f(x)(a1)ln x1xax2(ar) (1)討論 f(x)的單調(diào)性; (2)若 f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn) x1,x2(x1x2),且至少存在兩個(gè)零點(diǎn),求f(x1)f(x2)x1x2的取值范圍 解:(1)f(x)的定義域?yàn)?0,),且 f(x)(x1)(ax1)x2. 令
7、f(x)0,得 x1或 x1a. 當(dāng) a0時(shí),ax10,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,)上單調(diào)遞增; 當(dāng) 0a1 時(shí),f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在1,1a上單調(diào)遞增,在1a, 上單調(diào)遞減; 當(dāng) a1時(shí),f(x)在(0,)上單調(diào)遞減; 當(dāng) a1 時(shí),f(x)在0,1a上單調(diào)遞減,在1a,1 上單調(diào)遞增,在(1,)上單調(diào)遞減 (2)由(1)知,0a1 或 a1. 因?yàn)?0a1時(shí),f(1)3a0,所以 0a1不合題意 因?yàn)?a1 時(shí),f(x)在0,1a上單調(diào)遞減,在1a,1 上單調(diào)遞增,在(1,)上單調(diào)遞減, 所以f1a0,f(1)0,即(a1)(1ln a)0,3a0, 解得 ea3. 此時(shí)f(x1)f(x2)x1x23a(a1)(1ln a)11a 4aa1aln a. 記 g(a)4aa1aln a(ea3),則 g(a)4(a1)2(1ln a
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