斯托克斯公式PPT課件

1、一、斯托克斯公式有向曲面的正向邊界曲線：的正向與的側(cè)符合右手法則，如圖. 是有向曲面的正向邊界曲線右手法則n 第1頁(yè)/共50頁(yè)設(shè)是光滑或分片光滑的有向曲面,的的 .閉曲線閉曲線為光滑的或分段光滑的為光滑的或分段光滑的正向邊界正向邊界 如果函數(shù)上具有上具有及其邊界及其邊界在在 ),(),(),(zyxRzyxQzyxP一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( zRyQxPdddSyPxQxRzPzQyRdcos)(cos)(cos)( 或定理10.8斯托克斯公式第2頁(yè)/共50頁(yè) 將斯托克斯公式分為三式 xzyxPyxyPxzzPd),(dddd )1(首先

2、證明第一式.證明思路:第二類曲面積分第一類曲面積分二重積分第二類曲線積分 yzyxQzyzQyxxQd),(dddd )2( zzyxRxzxRzyyRd),(dddd )3(第二類曲面積分第3頁(yè)/共50頁(yè)證 xzyxPyxyPxzzPd),(dddd )1( 的正向邊界曲線的正向邊界曲線 yxDyxyxfz ),(, ),(:方向?yàn)樯蟼?cè) 與平行 z 軸的直線只交于一點(diǎn), CxOy面上的投影為面上的投影為在在.xyDC所圍成的閉區(qū)域?yàn)樗鶉傻拈]區(qū)域?yàn)榈?頁(yè)/共50頁(yè)yxyPxzzPdddd 左邊左邊 SyPzPdcoscos,1cos22yxyfff coscos fy 故有故有 dcosSy

3、PfzPy 左邊左邊yxyPfzPydd ),(,yxfyxPy 2211cosyxff yfzPyP 第5頁(yè)/共50頁(yè) dcosSyPfzPy 左邊左邊yxyPfzPydd yfzPyPyxfyxPy ),(, yxyxfyxPyxyDdd),(, xyxfyxPcd),(, yxyPxzzPdddd yxyPxzzPdddd 即即.上式仍成立上式仍成立也相應(yīng)改成相反方向，也相應(yīng)改成相反方向，取下側(cè)，取下側(cè)，若若 注 成立成立 d),(,xyxfyxPc 成立成立 d),(xzyxP 第6頁(yè)/共50頁(yè) d),(dddd xzyxPyxyPxzzP 同理可證其余二式: yzyxQzyzQyxx

4、Qd),(dddd三式相加可得yxyPxQxzxRzPzyzQyRdddddd zRyQxPddd zzyxRxzxRzyyRd),(dddd第7頁(yè)/共50頁(yè)(2)曲面 與平行 z 軸的直線交點(diǎn)多于一個(gè), 則可通過作輔助線面把 分成與z 軸只交在每一部分上應(yīng)用斯托克由于沿輔助曲線方向相所以對(duì)這類曲面斯托克斯公式仍成立. 于一點(diǎn)的幾部分,然后相加, 斯公式,反的兩個(gè)曲線積分相加剛好抵消,第8頁(yè)/共50頁(yè)注 表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.1 斯托克斯公式的實(shí)質(zhì):2 斯托克斯公式便于記憶的形式: yxxzzydddddd zRyQxPddd 或cos cos cosd

5、S.cos,cos,cos指定側(cè)的單位法向量指定側(cè)的單位法向量為為其中其中 nzyx RQP第9頁(yè)/共50頁(yè)3 斯托克斯斯托克斯公式公式是是格林公式格林公式的推的推廣廣斯托克斯公式格林公式特殊情形是xOy面上的有向閉區(qū)域時(shí)；，上側(cè)，上側(cè)面上的區(qū)域面上的區(qū)域：事實(shí)上，設(shè)事實(shí)上，設(shè)DxOy .，逆時(shí)針，逆時(shí)針的邊界的邊界面上的區(qū)域面上的區(qū)域：LDxOy xyzOn= L zRyQxPddd LyyxQxyxPd)0 ,(d)0 ,(第10頁(yè)/共50頁(yè)xyzOn= L面上的投影為零面上的投影為零面面在在zOxyOz, yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( yxyPxQdd)(

6、00 yxyyxPxyxQDdd) 0 ,() 0 ,( D第11頁(yè)/共50頁(yè) LyyxQxyxPd)0 ,(d)0 ,(yxyyxPxyxQDdd)0 ,()0 ,( 這正是格林公式.4何時(shí)采用斯托克斯公式？ zRyQxPddd當(dāng)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分：當(dāng)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分：的積分曲線的參數(shù)方程不易寫出，或用直接法計(jì)算較繁時(shí)，可考慮用斯托克斯公式.第12頁(yè)/共50頁(yè) 在斯托克斯公式中，是以為邊界的任意分片光滑曲面(只要P，Q，R在包含的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)即可).5 如何選取如何選取 ？ 通常，取為平面或球面等法向量的方向余弦易求的曲面.第13頁(yè)/共50頁(yè)利用斯托克斯公式計(jì)算例1 zy

7、yxxzddd其中為平面 x+ y+ z = 1 被三坐標(biāo)面所截三角形的整個(gè)邊界, 它的正方向與這個(gè)三角形上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則.記三角形域?yàn)? 取上側(cè), zyyxxzddd解第14頁(yè)/共50頁(yè) yxxzzydddddd zyyxxzddd yxxzzydddddd利用輪換對(duì)稱性 xyDyxdd3.23 yxdd3zyx yxz第15頁(yè)/共50頁(yè)利用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分zyxyxzxzyId)(d)(d )( 222222 10 , 10 , 10:23 zyxzyx截立方體截立方體是用平面是用平面其中其中例2.,針方向針方向取逆時(shí)取逆時(shí)軸的正向看去軸的正向看去若從若從的表面所得的截

8、痕的表面所得的截痕Ox解所圍的部分，所圍的部分，的上側(cè)被的上側(cè)被為平面為平面取取23 zyx第16頁(yè)/共50頁(yè)31coscoscos 即即 ,1, 1, 131 n的單位法向量的單位法向量所圍的部分，所圍的部分，的上側(cè)被的上側(cè)被為平面為平面取取23 zyxSId313131 Szyxd )(34 Sd2334)23,( zyx上上在在yxxyDdd332 xy 6 zyx 222222yxxzzy 第17頁(yè)/共50頁(yè)438121 xy .的面積的面積為為平面上的投影區(qū)域，平面上的投影區(qū)域，在在為為其中其中xyxyxyDxOyD xyI 6 .29 I第18頁(yè)/共50頁(yè)為柱面與平面 y = z

9、的交線從 z 軸正向看為順時(shí)針, 計(jì)算.ddd2zxzyxyxyI oz2yx解(方法1) ,0cos SId Szyd)(21. 0 則其法線方向余弦,21cos 21cos coscoscoszyx zxyxy2yyx222 例3設(shè)為平面 z = y 上被 所圍橢圓域且取下側(cè),第19頁(yè)/共50頁(yè)(方法方法2)將： zyyyx222參數(shù)化：02:sin1sin1costtztytx oz2yxzxzyxyxyIddd2 ttttttdcos)sin1(cos2)sin()sin1(022 第20頁(yè)/共50頁(yè)ttttttdcos)sin1(cos2)sin()sin1(022 ttttd)2s

10、insin4sin3(2023 tu 令令)d( 2)sin()(sin4)(sin3 23uuuu uuuud2sinsin4sin3(23 uud)2sin4(202 4dsin28202 uu. 0422128 第21頁(yè)/共50頁(yè)二、環(huán)量與旋度定義 向量場(chǎng) kzyxRjzyxQizyxPF),(),(),(的第二類曲線積分的第二類曲線積分沿有向閉曲線沿有向閉曲線 rF d.的環(huán)量的環(huán)量沿曲線沿曲線向量場(chǎng)向量場(chǎng) F稱為注改變的環(huán)行方向時(shí),環(huán)量要變號(hào).1. 環(huán)量 zRyQxPddd第22頁(yè)/共50頁(yè)即即記為記為,rotF,的旋度的旋度向量場(chǎng)向量場(chǎng)F為定義當(dāng)函數(shù)具有具有),(),(),(zyx

11、RzyxQzyxP一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí), 稱向量 kyPxQjxRzPizQyR)()()(RQPzyxkjiF rot2. 旋度由哈密爾頓算符的定義 F第23頁(yè)/共50頁(yè).rotFF總伴隨著另一個(gè)向量場(chǎng)總伴隨著另一個(gè)向量場(chǎng)向量場(chǎng)向量場(chǎng)., 0rot為無旋場(chǎng)為無旋場(chǎng)稱向量場(chǎng)稱向量場(chǎng)若若 FF注3 利用旋度, 可將斯托克斯公式寫為 rFSFddrot4 斯托克斯公式的物理解釋:的環(huán)流量的環(huán)流量沿有向閉曲線沿有向閉曲線向量場(chǎng)向量場(chǎng) F等于向量.所張的曲面的通量所張的曲面的通量的旋度場(chǎng)通過的旋度場(chǎng)通過場(chǎng)場(chǎng) F.的側(cè)符合右手法則）的側(cè)符合右手法則）的正向與的正向與（ 1 2 第24頁(yè)/共50頁(yè)ozxyl設(shè)

12、某剛體繞定軸 l 轉(zhuǎn)動(dòng),M 為剛體上任一點(diǎn), 建立坐標(biāo)系如圖,則),(zyxr 角速度為,r), 0, 0( 點(diǎn) M 的線速度為rv zyxkji00 )0,(xy 5 旋度的力學(xué)意旋度的力學(xué)意義義M第25頁(yè)/共50頁(yè)0 xyzyxkji )2, 0, 0( 2 線速度場(chǎng)中任一點(diǎn)處的旋度等于剛體旋轉(zhuǎn)角速度的2倍，這就是“旋度”一詞的由來. vrot除去一個(gè)常數(shù)因子2外，恰好等于物體旋轉(zhuǎn)的角速度.第26頁(yè)/共50頁(yè) .M ne內(nèi)，內(nèi)，定義在區(qū)域定義在區(qū)域向量場(chǎng)向量場(chǎng) F 為為M，為法向量做平面為法向量做平面以以過過 nMe內(nèi)一點(diǎn)，內(nèi)一點(diǎn)，的閉曲線的閉曲線上任取包圍上任取包圍在在 M.，滿足右手法

13、則，滿足右手法則所圍部分為所圍部分為 .A面積為面積為 .e內(nèi)單位向量?jī)?nèi)單位向量為為 n根據(jù)斯托克斯公式和積分中值定理 rFAd1 SFAdrot1第27頁(yè)/共50頁(yè) .M ne rFAd1 SFAdrot1 SFAnd)e(rot1.,erot* MFMn收縮收縮向點(diǎn)向點(diǎn)當(dāng)當(dāng)M rFAMd1lim*erotlimMnMF MnFerot 第28頁(yè)/共50頁(yè)密度）。密度）。的方向旋量（或環(huán)量面的方向旋量（或環(huán)量面ne rFAMd1limMnFerot 稱環(huán)量對(duì)面積的變化率處沿方向處沿方向在點(diǎn)在點(diǎn)為向量場(chǎng)為向量場(chǎng)MF有關(guān)的量，有關(guān)的量，方向旋量是一個(gè)與方向方向旋量是一個(gè)與方向ne與該點(diǎn)與該點(diǎn)當(dāng)當(dāng)

14、ne.)(rot取最大值取最大值方向相同時(shí)，方向旋量方向相同時(shí)，方向旋量的旋度的旋度MF向量場(chǎng)的旋度是一個(gè)向量,此向量的方向是使方向旋量取最大值的方向,此方向的模是該點(diǎn)處最大方向旋量的值.第29頁(yè)/共50頁(yè)三、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件徑無關(guān)的充徑無關(guān)的充內(nèi)有向曲線的積分與路內(nèi)有向曲線的積分與路沿沿則則GzyxF),(連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定理10.9 設(shè)空間閉區(qū)域G是一個(gè)一維單連通域, 內(nèi)具有一階內(nèi)具有一階在在函數(shù)函數(shù)GzyxRzyxQzyxP),(),(),( kzyxRjzyxQizyxPF),(),(),(要條件是 0rotF即,yRzQ ,zPxR xQyP G內(nèi)的任一閉曲線總可張一片完全含于

15、G內(nèi)的曲面第30頁(yè)/共50頁(yè)注差）可用下式求出：差）可用下式求出：這函數(shù)（不計(jì)一常數(shù)之這函數(shù)（不計(jì)一常數(shù)之的全微分的全微分內(nèi)成為某一函數(shù)內(nèi)成為某一函數(shù)在在表達(dá)式表達(dá)式,),(dddzyxuGzRyQxP ,yRzQ ,zPxR xQyP 當(dāng)成立時(shí) ddd),(),(),(000 zyxzyxzRyQxPzyxu或用定積分表示為 ),(zyxu.),(),(0000GzyxMGzyxM 內(nèi)某一定點(diǎn)，點(diǎn)內(nèi)某一定點(diǎn)，點(diǎn)為為其中其中 xxxzyxP0d),(00 d),(00 yyyzyxQ d),( 0 zzzzyxR第31頁(yè)/共50頁(yè)例4zyxyxzxzyd)(d)(d)( 與路徑無關(guān), 并求函數(shù)

16、zyxyxzxzyzyxuzyxd)(d)(d)(),(),()0 , 0 , 0( 解 令yxRxzQzyP ,1xQyP ,1yRzQ yPxR 1驗(yàn)證曲線積分 積分與路徑無關(guān),因此選擇特殊路徑第32頁(yè)/共50頁(yè)zyxxy)( yxyd0 zyxzd)(0 zxyzxy xxd00 xzyo),(zyx)0 ,(yx)0 , 0 ,(xzyxyxzxzyzyxuzyxd)(d)(d)(),(),()0 , 0 , 0( 第33頁(yè)/共50頁(yè)例5求電場(chǎng)強(qiáng)度 rrqE3333rotrqzrqyrqxzyxkjiE 的旋度 .解 )0, 0, 0( (除原點(diǎn)外)這說明, 在除點(diǎn)電荷所在原點(diǎn)外, 整

17、個(gè)電場(chǎng)無旋.第34頁(yè)/共50頁(yè)保守場(chǎng)：而與從 A 到 B 的路徑無關(guān).的的內(nèi)沿任意曲線弧內(nèi)沿任意曲線弧在區(qū)域在區(qū)域向量場(chǎng)向量場(chǎng)ABGF ABBArF兩點(diǎn)的位置有關(guān)，兩點(diǎn)的位置有關(guān)，、只與只與積分積分d，內(nèi)是無旋場(chǎng)，即內(nèi)是無旋場(chǎng)，即在在若若 0rotFGF.內(nèi)是保守場(chǎng)內(nèi)是保守場(chǎng)在在則則GF第35頁(yè)/共50頁(yè)內(nèi)容小結(jié)1. 斯托克斯公式y(tǒng)xyPxQxzxRzPzyzQyRdddddd zRyQxPdddSRQPzyxdcoscoscos 第36頁(yè)/共50頁(yè)的環(huán)量。的環(huán)量。沿曲線沿曲線向量場(chǎng)向量場(chǎng) F. 2 zRyQxPrFdddd的旋度的旋度向量場(chǎng)向量場(chǎng)F. 3RQPzyxkjiF rot第37頁(yè)/

18、共50頁(yè) kzyxRjzyxQizyxPF),(),(),(4. 向量徑無關(guān)的充要條件徑無關(guān)的充要條件內(nèi)有向曲線的積分與路內(nèi)有向曲線的積分與路沿沿G 0Frot即,yRzQ ,zPxR xQyP 第38頁(yè)/共50頁(yè) uuzuyuxu ,grad本章小結(jié), ),(zyxuu 設(shè)設(shè), ),(RQPA 梯度: AAzRyQxPdiv ARQPkjiAzyxrot散度:旋度:則1. 場(chǎng)論中的三個(gè)重要概念第39頁(yè)/共50頁(yè)場(chǎng)論中的三個(gè)重要定場(chǎng)論中的三個(gè)重要定理理 DDyQxPyPxQddd)( （1）格林公式（2）斯托克斯公式 DrFFrotdSd（3）高斯公式 SvdFdFdiv第40頁(yè)/共50頁(yè)分分

19、積積線線曲曲本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖曲線積分曲線積分第一類第一類 曲線積分曲線積分第二類第二類 、可加性）、可加性）性質(zhì)（可積性、線性性性質(zhì)（可積性、線性性定義定義、引力）、引力）物理應(yīng)用（質(zhì)量、重心物理應(yīng)用（質(zhì)量、重心化為定積分）化為定積分）計(jì)算方法（用參數(shù)方程計(jì)算方法（用參數(shù)方程、可加性、方向性）、可加性、方向性）性質(zhì)（可積性、線性性性質(zhì)（可積性、線性性定義定義 場(chǎng)沿曲線的環(huán)流量場(chǎng)沿曲線的環(huán)流量力沿曲線運(yùn)動(dòng)做功力沿曲線運(yùn)動(dòng)做功物理應(yīng)用物理應(yīng)用 全微分求積全微分求積積分與路徑無關(guān)積分與路徑無關(guān)分）分）格林公式（平面曲線積格林公式（平面曲線積）計(jì)算方法（化為定積分計(jì)算方法（化為定積分線）線）斯托克斯公式

20、（空間曲斯托克斯公式（空間曲第41頁(yè)/共50頁(yè)分分積積面面曲曲 曲面積分曲面積分第一類第一類曲線積分曲線積分第二類第二類 定義定義、可加性）、可加性）性質(zhì)（可積性、線性性性質(zhì)（可積性、線性性為二重積分）為二重積分）計(jì)算方法（用投影法化計(jì)算方法（用投影法化、引力）、引力）物理應(yīng)用（質(zhì)量、重心物理應(yīng)用（質(zhì)量、重心 定義定義、可加性、方向性）、可加性、方向性）性質(zhì)（可積性、線性性性質(zhì)（可積性、線性性為二重積分）為二重積分）計(jì)算方法（用投影法化計(jì)算方法（用投影法化高高斯斯公公式式指定側(cè)的通量）指定側(cè)的通量）物理應(yīng)用（場(chǎng)穿過曲面物理應(yīng)用（場(chǎng)穿過曲面第42頁(yè)/共50頁(yè)備用題例1-1 是球面是球面其中其中計(jì)

21、算計(jì)算,ddd222 zyxzzyyxx在第一卦限與坐標(biāo)平面在第一卦限與坐標(biāo)平面2222azyx 相交的圓弧連接而成的閉曲線.解在球面上，所以 zzyyxxazyxzzyyxxddd1ddd2222從x軸正向看為逆時(shí)針方向.第43頁(yè)/共50頁(yè) zzyyxxaddd12zyxzyxyxxzzya dddddd12yxxzzyadd0dd0dd012 0 0ddd222 zyxzzyyxx取上側(cè)第44頁(yè)/共50頁(yè)例2-1 LzyxyxzxzyI,d)3(d)2(d)(222222計(jì)算計(jì)算，的交線的交線與柱面與柱面是平面是平面其中其中12 yxzyxL.為逆時(shí)針方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向軸正方向看去，軸正方向看去，從從L